Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 411 Chương 4

ðIỀU KHIỂN BỀN VỮNG
4.1 Giới thiệu
4.1.1 Khái niệm ñiều khiển bền vững
Hệ thống ñiều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm luôn ổn
ñịnh, không phụ thuộc vào sự thay ñổi của ñối tượng cũng như của nhiễu tác
ñộng lên hệ thống. Mục ñích của ñiều khiển bền vững là thiết kế các bộ ñiều
khiển K duy trì ổn ñịnh bền vững không chỉ với mô hình danh ñịnh của ñối
tượng (P
0
) mà còn thỏa với một tập mô hình có sai số
∆
so với mô hình
chuẩn (
∆
P
).

P
0
:Mô hình chuẩn (mô hình danh
ñịnh)
∆


Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 412
- Chất lượng bền vững: nếu các mục tiêu chất lượng ñược thỏa ñối với mọi
mô hình thuộc
∆
P

Mục tiêu bài toán ổn ñịnh bền vững là tìm bộ ñiều khiển không chỉ ổn ñịnh
mô hình danh ñịnh P
0
mà còn ổn ñịnh một tập các mô hình có sai số
∆
P

4.1.2 Chuẩn của tín hiệu
4.1.2.1 Khái niệm chuẩn
Trong ñiều khiển nói riêng cũng như trong các công việc có liên quan ñến
tín hiệu nói chung,thông thường ta không làm việc chỉ riêng với một tín hiệu
hoặc một vài tín hiệu ñiển hình mà ngược lại phải làm việc với một tập gồm
rất nhiều các tín hiệu khác nhau. Khi phải làm việc với nhiều tín hiệu khác
nhau như vậy chắc chắn ta sẽ gặp bài toán so sánh các tín hiệu ñể chọn lọc
ra ñược những tín hiệu phù hợp cho công việc.
Các khái niệm như tín hiệu x
1
(t) tốt hơn tín hiệu x
2
(t) chỉ thực sự có nghĩa
nếu như chúng cùng ñược chiếu theo một tiêu chuẩn so sánh nào ñó. Cũng
như vậy nếu ta khẳng ñịnh rằng x

∀
x(t) và
Ra ∈∀
. (4.3)
4.1.2.2 Một số chuẩn thường dùng trong ñiều khiển cho một tín hiệu x(t):
- Chuẩn bậc 1:
dttxtx
∫
∞
∞−
= |)(|||)(||
1
(4.4)
- Chuẩn bậc 2:
∫
∞
∞−
= dttxtx
2
2
|)(|||)(|| . (4.5)
Chương 4
:
ð
i
ề
u khi
ể
n b
ề

p
dttxtx
∫
∞
∞−
= |)(|||)(|| v
ớ
i p ∈ N (4.6)
- Chu
ẩ
n vô cùng: |)(|sup||)(||
txtx
t
=
∞
(4.7)
ñ
ây là biên
ñộ
hay
ñỉ
nh c
ủ
a tín hi
ệ
u
Khái ni
ệ
m chu
ẩ

ề
u ph
ầ
n
t
ử
và m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
l
ạ
i là m
ộ
t tín hi
ệ
u.
Xét m
ộ
t vector tín hi
ệ
u:
x(t) =






(4.8)
- Chu
ẩ
n 2 c
ủ
a vector
x
:

∑
=
=
n
i
i
xx
1
2
2
(4.9)

- Chu
ẩ
n vô cùng c
ủ
a vector
x
:

ni

ử
d
ụ
ng khái ni
ệ
m chu
ẩ
n vào
ñ
i
ề
u khi
ể
n ,ta c
ầ
n quan
tâm t
ớ
i m
ố
i liên quan gi
ữ
a chu
ẩ
n tín hi
ệ
u x(t) là ||x(t)|| v
ớ
i
ả

ω
) của nó có quan hệ :

ωω
π
djXdttxtx
222
|)(|
2
1
|)(|||)(||
2
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
== (4.11)
Cho tín hiệu nhân quả causal x(t). Gọi X(s) là ảnh Laplace của nó .Giả sử
rằng X(s) có dạng thực -hữu tỷ với bậc của ña thức tử số không lớn hơn bậc
ña thức mẫu số ,tức là:

n
n
m
m
sasaa
sbsbb
sA
sB












nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
(4.13)
- Một ma trận vuông A=(a
ij
) có a
ij
= 0 khi i ≠ j ,tức là các phần tử không

) (4.14)
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 415
- Ma trận ñường chéo I = diag(1) =












100
010
001
L
MMMM
L
L
gọi là ma trận ñơn vị.
- Ma trận vuông A=(a
ij
) có a
ij
= 0 khi i > j (hoặc i < j) ñược gọi là ma trận
tam giác













nn
n
n
a
aa
aaa
L
MMMM
L
L
00
0
222
11211
(4.16)
4.1.3.2 Các phép tính về ma trận:
- Phép cộng / trừ: Cho hai ma trận A=(a
ij

là ma trận A
T
= (a
ji
) có n hàng và m cột ñược tạo từ ma trận A qua việc hoán
chuyển hàng thành cột và ngược lại cột thành hàng.
- Phép nhân ma trận: Cho ma trận A=(a
ik
) có m hàng và p cột và ma trận
B=(b
kj
) có p hàng và n cột ,tức là :
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 416
+ A=(a
ik
) i=1,2,....,m và k=1,2,….,p
+ B=(b
kj
) k=1,2,….,p và j=1,2,…..,n
Tích AB = C =(c
ij
) của chúng là một ma trận có m hàng và n cột với các
phần tử
C
ij
=
∑
=
p

=0 trong ñó a
i
là những số thực (hoặc phức) sẽ
ñúng khi và chỉ khi a
1
= a
2
= …..=a
n
= 0
Xét một ma trận A=(a
ij
) bất kì có m hàng và n cột .Nếu trong số m vector
hàng có nhiều nhất p ≤ m vector ñộc lập tuyến tính và trong số n vector cột
có nhiều nhất q ≤ n vector ñộc lập tuyến tính thì hạng ma trận ñươc hiểu là:
Rank(A) = min{p,q}
Một ma trận vuông A kiểu (n
×
n) sẽ ñược gọi là không suy biến nếu
Rank(A)=n .Ngược lại nếu Rank(A) <n thì A ñược nói là ma trận suy biến
Hạng ma trận có các tính chất sau:
- Rank(A) = min{p,q} (4.17)
- Rank(AB) ≤ rank(A) và rank(AB) ≤ rank(B) (4.18)
- Rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) (4.19)
- Nếu B không suy biến thì rank(AB) = rank(B) (4.20)
4.1.3.4 Ma trận nghịch ñảo:
Cho ma trận A=(a
ij
),i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n,trong ñó a
ij

Do phải tồn tại cả hai phép nhân AA
-1
và A
-1
A cho ra kết quả có cùng kiểu
nên ma trận A phải là một ma trận vuông,tức là phải có m = n.Hơn nữa do
det(
I
) = 1 ≠ 0 nên:
det(A)det(A
-1
) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A
-1
) ≠ 0. (4.22)
Vậy A phải là ma trận không suy biến.
Ma trận nghịch ñảo A
-1
của A có tính chất sau:
- Ma trận nghịch ñảo A
-1
của A là duy nhất (4.23)
- Tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng kiểu và không suy biến cùng với
phép nhân ma trận tạo thành một nhóm (không giao hoán). (4.24)
- Nghịch ñảo ma trận kiểu (2
×
2):





(4.26)
- (A
-1
)
T
= (A
T
)
-1
(4.27)
- Nếu A = diag(a
i
) và không suy biến thì A
-1
= diag






i
a
1
(4.28)
- A
-1
=
)det(
A

A
-1
U) cũng không suy biến thì
(A+UV
T
)
-1
= A
-1
– A
-1
U(I+V
T
A
-1
U)
-1
V
T
A
-1
(4.30)
- Cho ma trận vuông A =






43



−
−+
=






=
−
−
−
−
−−
−−
−
−
−
1
1
13
1
1
2
1
1
1

-1
A
3
cũng không suy biến thì






+−
−
=






=
−
−
−−
−
−
−
−−
−
−
1

trace=
∑
=
m
i
ii
a
1
(4.33)
Vết của ma trận có các tính chất:
a. trace(AB) = trace(BA) (4.34)
b. trace(S
-1
AS) = trace(A) với S là ma trận không suy biến bất kì (4.35)
4.1.3.6 Giá trị riêng và vector riêng:
Số thực
λ
ñược gọi là giá trị riêng và vector x ñược gọi là vector riêng bên
phải ứng với giá trị riêng
λ
của A thỏa mãn:
Ax =
λ
x
∀
x (4.36)
⇔ (A -
λ
I)x = 0
∀

trị riêng khác nhau sẽ trực giao với nhau
Trong Matlab ,sử dụng hàm eig(A) ñể tìm ma trận riêng và vector riêng.
Ch
ươ
ng 4
: ðiều khiển bền vững
Trang 419
4.1.3.7 Tính toán ma trận:
Cho ma trận X = (x
ij
) ∈ C
m
×
n
là một ma trận thực (hoặc phức) và F(X) ∈ C
là một vô hướng thực hoặc phức của X .ðạo hàm của F(X) ñối với X ñược
ñịnh nghĩa









∂
∂
=
∂

( )
1
(4.42)
( ) (4.43)
2 ( ) (4.44)
( ) (4.45)
( ) (4.46)
−
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= =
∂
∂
= +
∂
∂
=
∂
T T
k k T
T T
T T
T
Trace AXB A B
X

m ph
ụ
c v
ụ
vi
ệ
c kh
ả
o sát tính gi
ả
i
tích c
ủ
a nó.Có nhi
ề
u chu
ẩ
n khác nhau cho m
ộ
t ma tr
ậ
n A=(a
ij
)
,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.
Nh
ữ
ng chu
ẩ
n thông th

- Chu
ẩ
n 2 c
ủ
a ma tr
ậ
n
A)(max
*
1
2
AAA
i
ni
λ
≤≤
=
(4.48)
- Chu
ẩ
n vô cùng c
ủ
a ma tr
ậ
n
A


- Chu
ẩ
n Euclide c
ủ
a ma tr
ậ
n
A
(chu
ẩ
n Frobenius)

)(
2
AAtraceaA
T
i j
ij
F
==
∑∑
(4.50)
v
ớ
i
*
A
là ma tr
ậ
n chuy

4.1.4 Trị suy biến của ma trận – ñộ lợi chính(Principal gain)
Trị suy biến của ma trận A(m x l) ñược ký hiệu là )(A
i
σ
ñược ñịnh nghĩa
như sau:

kiAAA
ii
,...2,1)()(
*
==
λσ
(4.51)
với
},min{ lmk = .
Nếu chúng ta biểu diễn ma trận A dưới dạng A(s) và ñặt
ω
js =
)0( ∞<≤
ω
, thì trị suy biến của )(
ω
jA là một hàm của
ω
và ñược gọi là
ñộ lợi chính của A(s). Ở ñây chúng ta giả sử rằng
i
σ
ñược sắp xếp theo thứ

với
2
2
2
sup
x
Ax
A = .
ðộ lợi của hệ ña biến nằm giữa ñộ lợi chính lớn nhất và nhỏ nhất.
Trong Matlab tìm trị suy biến của ma trận A dùng lệnh svd(A)
Ví dụ: Cho ma trận A:
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 421
>> A =










7
8
4
2
6
9

σ

Ý nghĩa vật lý của
σσ
, : với mọi giá trị tần số ω giá trị suy biến nhỏ nhất
phải thỏa ñiều kiện của tiêu chuẩn tối ưu LQ:
1)]([ ≥+
ωσ
jKGI Re
0
1
Biểu ñồ phân bố cực cho tiêu chuẩn tối ưu LQ
[ ]
)(1
ωσ
jKG+
Im
0=

Re
0
1
PM
Xác ñịnh ñộ dữ trữ pha của hệ ña biến
Re
Im
0
1
1 1
60
ðộ dữ trữ pha ñảm bảo của LQR
[ ]
)(1
ωσ
jKG+
[ ]
)(1
ωσ
jKG+
Im
∞=
ω
0=
ω
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 423

2
212122
2
1
1
1
1
121211
)()(
)()(
wGKIGwGKIe
GKeGwwGewe
KwKGIwKGIe
KGeKwwKewe
−−
−−
−+−=⇒
++=+=
−+−=⇒
++=+=G
K
w
1

e
1


− −
   
 
I KG I KG K
I GK G I GK

ðiều kiện ổn ñịnh nội của hệ là các hàm truyền
1
( )
−
−I KG ,
1
( )
−
−I KG K ,
1
( )
−
−I GK G ,
1
( )
−
−I GK ñều ổn ñịnh.
4.1.6 ðịnh lý ñộ lợi nhỏ (Small Gain Theorem)
Cho hệ thống ñược biểu diễn như hình 4.3:

Gọi λ
i
là trị riêng của G


r y
-
u
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 425
K
v

-
G

+
∆
A
δ
w
M

Hình 4.4 : Sơ ñồ cấu trúc phân tích ổn ñịnh bền vững
ðịnh lý ổn ñịnh bền vững:
Giả sử M và ∆ ổn ñịnh, hệ thống vòng kín hình 4.4 sẽ ổn ñịnh khi và chỉ khi
biểu ñồ cực của ñường cong Nyquist det(I-M∆) không bao ñiểm gốc. Khi ñó
hệ thống vòng kín sẽ ổn ñịnh bền vững với mọi ∆ )1)(( ≤∆
σ
nếu và chỉ nếu
khi một trong các ñiều kiện sau thỏa mãn:
a.
)1(,0))(( ≤∆∀∀≠∆−
σωω
jMIDet (4.54)

v
M

∆

w
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 426
hay

1
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )
A
v s I K s G s K s s w s
δ
−
= − + (4.59)
vậy

)]()([
)()(
)(
sGsKI
ssK
sM
A
+
−=
δ
(4.60)

OO
, (4.62)
Ta có:
( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]
O
v s G s K s s w s v s
δ
= − + (4.63)
hay

1
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
O
v s I G s K s G s K s s w s
δ
−
= − + (4.64)
K
v

-
G

+
∆
0
δ

w
M

Cho hệ thống

Rt
tDxtz
tvtCxty
twtButAxtx
∈
=
+=
++=
)()(
)()()(
)()()()(
γ
&
(4.67)
Ngõ ra y là ngõ ra h
ồ
i ti
ế
p và
ñ
o
ñượ
c. Ngõ ra z là
ñ
i
ề
u khi
ể

u c
ủ
a x(0)
ñượ
c gi
ả
s
ử
là m
ộ
t vector ng
ẫ
u nhiên .
Bi
ế
n tr
ạ
ng thái x(t)
∈
R
n
, ngõ ra
ñ
o
ñượ
c y(t)
∈
R
p
và ngõ ra

là m
ộ
t quá trình ng
ẫ
u nhiên.
V
ấ
n
ñề
c
ủ
a
ñ
i
ề
u khi
ể
n h
ệ
th
ố
ng là giá tr
ị
mong
ñợ
i c
ủ
a tích phân

dttRututQztzE

∈
&
(4.70)
ðây là hệ thống (4.67) nhưng không có nhiễu hệ thống w và nhiễu ño v.
Trạng thái x của hệ thống (4.70) không thể sử dụng ñược trực tiếp bởi vì chỉ
ngõ ra y là ño ñược. Xây dựng lại trạng thái với sự chính xác tùy ý bởi việc
kết nối một bộ quan sát :

RttxCtyLtButxAtx ∈−++= )](
ˆ
)([)()(
ˆ
)(
ˆ
&
(4.71)
Tín hiệu
)(
ˆ
tx là một ước lượng của trạng thái x(t). Nó thỏa mãn phương
trình vi phân trạng thái của hệ thống (4.70) với thành phần thêm vào
L
)](
ˆ
)([ txCty − . L là ma trận ñộ lợi quan sát cần ñược lựa chọn phù hợp. Sai
số quan sát y(t)
)(
ˆ
txC−
là sự khác nhau giữa ngõ ra ño ñược thực tế y(t) và

~
nhận ñược sau
khi trừ (4.70) cho (4.71) :

( ) ( ) ( )x t A LC x t t R
= − ∈
&
% %
(4.73)
Nếu hệ thống (4.70) ñược tìm thấy thì tồn tại ma trận ñộ lợi L mà sai số hệ
thống (4.73) là ổn ñịnh. Nếu sai số hệ thống là ổn ñịnh thì
∞→→ tkhitx 0)(
~
cho bất kỳ sai số
x
~
(0). Vì vậy
)()(
ˆ
txtx
t
 →
∞→
(4.74)
Trạng thái ước lượng hội tụ về trạng thái thực.
Trong Matlab dùng hai lệnh acker và place ñể tính ma trận L của khâu
quan sát trạng thái :
L= acker(A
T
,C

+
-
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 430
4.2.3 Bộ lọc Kalman
4.2.3.1 ðặt vấn ñề:
Bộ lọc Kalman là một bộ quan sát ñược sử dụng cho các ứng dụng yêu cầu
xây dựng lại hệ phương trình trạng thái khi tính ñến ảnh hưởng của nhiễu ño
ñược.
Phương trình trạng thái của ñối tượng :

x
&
=Ax+Bu+
γ
w (4.75)
y=Cx+v (4.76)
với trạng thái x(t)
∈
R
n
,ngõ vào ñiều khiển u(t)
∈
R
m
, và ngõ ra ño lường
y(t)
∈
R
p

C
C
A
B
A
∫

y
y
~

x
ˆ

-
x
x
&
x
&
ˆ

w(t)
v(t)
u

Hệ thống
Bộ lọc Kalman
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 431

bây giờ cũng là một quá trình ngẫu nhiên như là y(t). ðể khảo sát những
ñặc tính thông thường của quá trình ngẫu nhiên cần nhắc lại một số khái
niệm lý thuyết xác suất (Papoulis 1984). Mặc dù w(t) và v(t) là những ñại
lượng ngẫu nhiên không biết ñược, nhưng cần biết một vài ñặc ñiểm ñể hỗ
trợ việc thiết kế các bộ ñiều khiển. Chẳng hạn như có thể biết ñược giá trị
trung bình hoặc tổng năng lượng của chúng.
Cho vector ngẫu nhiên z
∈
R
n
,f
z
(
ξ
) là hàm mật ñộ xác suất (PDF) của z.
ðại lượng PDF ñặc trưng cho xác suất mà z lấy giá trị bên trong vùng vi
phân d
ξ
ñặt giữa
ξ
.
Giá trị mong muốn của hàm g(z) của vector ngẫu nhiên ñược xác ñịnh như
sau :
E
{ }
)(zg
=
∫
∞
∞−

=E
{ }
T
zzzz ))(( −− (4.81)
Chú ý rằng P
z
là ma trận hằng n×n
Phần quan trọng của vector ngẫu nhiên ñược ñặc trưng bởi Gaussian hoặc
nomal PDF
ƒ
z
(
ξ
)=
||)2(
1
z
n
P∏
e
2/)(2/)(
1
−
−
−
−−− zPz
T
ξξ
(4.82)
Trong trường hợp vô hướng

,t). ðiều ñó có thể tưởng tượng rằng PDF ở
hình 4.10 thay ñổi theo thời gian. Trong tình huống này, giá trị mong ñợi và
ma trận hiệp phương sai là những hàm thời gian vì thế chúng có thể biểu
diễn z (t) và P
z
(t).

Hình 4.10 : Gaussian PDF
Z
f
z
(
ξ
)
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 433
Nhiều quá trình ngẫu nhiên z(t) quan trọng có PDF bất biến theo thời gian
ðó là những quá trình tĩnh, thậm chí chúng là hàm thời gian ngẫu nhiên vẫn
có trị trung bình và hiệp phương sai là hằng số.
ðặc trưng cho liên hệ giữa hai quá trình ngẫu nhiên z(t) và x(t), có thể sử
dụng PDF kết hợp ƒ
zx
( )
21
,,, tt
ξς
, tượng trưng cho xác xuất mà (z(t
1
), x(t
2

∞−
g(
ξς
, )ƒ
zx
(
ξς
, ,t
1
- t
2
)d
ς
d
ξ
(4.84)
Ma trận tương quan chéo ñược xác ñịnh bởi
R
zx
(
τ
)=E
{ }
)()( txtz
T
τ
+ (4.85)
Do ñó, ma trận tương quan chéo của hai quá trình không tĩnh mà ñược xác
ñịnh bởi
R

z
R
=trace
{ }
[ ]
)()( tztzE
T
=E
{ }
)(tz (4.88)
tương ñương với tổng năng lượng của quá trình z(t).
Nếu
0)( =
τ
zx
R (4.89)
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 434
z(t) và x(t) ñược gọi là trực giao với nhau.
Nếu
R
z
(
τ
)=P )(
τδ
(4.90)
trong ñó P là ma trận hằng và
δ
(t) là xung Dirac, thì z(t) là trực giao với

Như vậy không thể giả sử w(t) và v(t) có trị trung bình bằng 0 ñược. Giả sử
rằng nhiễu quá trình và nhiễu ño là nhiễu trắng, do vậy:
R
w
(
τ
)=E
{ }
)()()(
τδτ
Wtwtw
T
=+ (4.92)
R
v
(
τ
)=E
{ }
)()()(
τδτ
Vtvtv
T
=+ (4.93)
Ma trận mật ñộ phổ W và V sẽ ñược giả sử ñã biết trước.Theo tính chất của
hàm tự tương quan, W và V là bán xác ñịnh dương. Giả sử thêm rằng V là
không suy biến.Tóm lại, có thể giả sử rằng :
w(t)
≈
(0,W), W ≥ 0 (4.94)

D
u
B
x
x
A
CA
x
x
w
w
w
w
w
w






+






+


+






0 (4.99)
Hệ thống ñiều chỉnh này có nhiễu quá trình n(t) là nhiễu trắng. Một thủ tục
tương tự có thể làm theo các bước như thế nếu v(t) không phải là nhiễu
trắng. Do ñó, có thể mô tả một hệ thống với nhiễu không phải nhiễu trắng
dưới dạng một hệ thống ñiều chỉnh với nhiễu quá trình và nhiễu ño lường là
nhiễu trắng.
Xác ñịnh hệ thống (4.96), (4.97) miêu tả nhiễu không phải là nhiễu trắng
w(t) (hoặc v(t)) dựa trên phân tích mật ñộ phổ của nhiễu w(t). Chi tiết xem
Lewis (1986 )
Bây giờ thiết kế bộ ước lượng cho hệ thống (4.75), (4.76) dưới những giả sử
ñã ñược liệt kê. Cho bộ quan sát có dạng như sau:

)
ˆ
(
ˆˆ
yyLBuxAx −++=
&
(4.100)
hoặc
LyBuxLCAx ++−=
ˆ
)(