Chương 2: ðiều khiển tối ưu
Trang 125

Chương 2

ðIỀU KHIỂN TỐI ƯU

2.1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU
2.1.1 ðặc ñiểm của bài toán tối ưu
1. Khái niệm
Một hệ ñiều khiển ñược thiết kế ở chế ñộ làm việc tốt nhất là hệ luôn ở trạng
thái tối ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào ñó ( ñạt ñược giá trị cực trị ) .
Trạng thái tối ưu có ñạt ñược hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lượng
ñặt ra , vào sự hiểu biết về ñối tượng và các tác ñộng lên ñối tượng , vào
ñiều kiện làm việc của hệ ñiều khiển …
Một số ký hiệu sử dụng trong chương 2.

Hình 2.1: Sơ ñồ hệ thống ñiều khiển .

Hệ thống ñiều khiển như hình trên bao gồm các phần tử chủ yếu : ñối tượng
ñiều khiển ( ðTðK ) , cơ cấu ñiều khiển ( CCðK ) và vòng hồi tiếp ( K ) .
Với các ký hiệu :
r : tín hiệu ñầu vào, mục tiêu ñiều khiển, ñáp ứng mong muốn của hệ thống.
u : tín hiệu ñiều khiển, luật ñiều khiển.
x : tín hiệu ñầu ra, ñáp ứng ra của hệ thống.
ε
= r – x : sai lệch của hệ thống.
f : tín hiệu nhiễu
Chỉ tiêu chất lượng J của một hệ thống có thể ñược ñánh giá theo sai lệch
của ñại lượng ñược ñiều khiển x so với trị ñáp ứng mong muốn r , lượng quá
ñiều khiển ( trị số cực ñại x

∗
.
Khi tín hiệu ñiều khiển u không bị ràng buộc bởi ñiều kiện
1 2
u u u≤ ≤ , ta
có ñược giá trị tối ưu
2 1
J J
∗ ∗
> ứng với
2
u
∗
. Như vậy giá trị tối ưu thực sự
bây giờ là
2
J
∗
.
Tổng quát hơn , khi ta xét bài toán trong một miền
[ ]
,
m n
u u nào ñó và tìm
ñược giá trị tối ưu
i
J
∗
thì ñó là giá trị tối ưu cục bộ . Nhưng khi bài toán
không có ñiều kiện ràng buộc ñối với u thì giá trị tối ưu là

ủ
a J theo u t
ạ
i
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
:
0
2
2
>
∂
∂
u
J
:
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
là c
ự

lượng J . Nhiệm vụ cơ bản ở ñây là bảo ñảm cực trị của chỉ tiêu chất lượng
J . Ví dụ như khi xây dựng hệ tối ưu tác ñộng nhanh thì yêu cầu ñối với hệ
là nhanh chóng chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác với thời gian
quá ñộ nhỏ nhất , nghĩa là cực tiểu hóa thời gian quá ñộ . Hay khi tính toán
ñộng cơ tên lửa thì chỉ tiêu chất lượng là vượt ñược khoảng cách lớn nhất
với lượng nhiên liệu ñã cho .
Chỉ tiêu chất lượng J phụ thuộc vào tín hiệu ra x(t) , tín hiệu ñiều khiển u(t)
và thời gian t . Bài toán ñiều khiển tối ưu là xác ñịnh tín hiệu ñiều khiển u(t)
làm cho chỉ tiêu chất lượng J ñạt cực trị với những ñiều kiện hạn chế nhất
ñịnh của u và x .
Chỉ tiêu chất lượng J thường có dạng sau :
0
[ ( ), ( ), ]
T
J L x t u t t dt=
∫

Trong ñó L là một phiếm hàm ñối với tín hiệu x , tín hiệu ñiều khiển u và
thời gian t .
Lấy ví dụ về bài toán ñiều khiển ñộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập
kt
constΦ = với tín hiệu ñiều khiển u là dòng ñiện phần ứng i
u
và tín hiệu ra
x là góc quay
ϕ
của trục ñộng cơ .

là moment quán tính ;
ω
là tốc ñộ góc ;
ϕ
là
góc quay . Giả sử bỏ qua phụ tải trên trục ñộng cơ (
0
c
M =
) thì :

2
2
M u q
d
k i M
dt
ϕ
=
(3)
Nếu xét theo thời gian tương ñối bằng cách ñặt :

/
M q
t k M
τ
=

thì (3) có dạng :


Bài toán t
ố
i
ư
u tác
ñộ
ng nhanh ( th
ờ
i gian t
ố
i thi
ể
u )
:
Tìm luật ñiều khiển
u
(
t
) với ñiều kiện hạn chế 1u ≤ ñể ñộng cơ quay từ vị
trí ban ñầu có góc quay và tốc ñộ ñều bằng 0 ñến vị trí cuối cùng có góc
quay bằng
0
ϕ
và tốc ñộ bằng 0 với một khoảng thời gian ngắn nhất .
Vì cần thời gian ngắn nhất nên chỉ tiêu chất lượng
J
sẽ là :

0
[ ( ), ( ), ]

T
nhất ñịnh . Khi ñó chỉ tiêu chất lượng
J
có dạng :

0
0 0
[ ( ), ( ), ] ( )
T T
T
J L x t u t t dt t dt
ϕ ϕ ϕ
= = − =
∫ ∫
&

Do ñó
[ ( ), ( ), ] ( ) ( )L x t u t t t x t
ϕ
= =
&
&
và ta sẽ có chỉ tiêu chất lượng
J
ñối với
bài toán năng suất tối ưu như sau :

( )
0
T


u u u e
U i R k
ω
= +

và phương trình cân bằng moment :
M u c q
d
k i M M
dt
ω
− =

Ta tính ñược :

2
0
0 0
( )
T T
e c
u u T u u
M
k M
Q U i dt R i dt
k
ϕ ϕ
= = − +
∫ ∫

Chúng ta cần phân biệt hai dạng bài toán tối ưu hoá tĩnh và tối ưu hóa ñộng .
Tối ưu hóa tĩnh là bài toán không phụ thuộc vào thời gian . Còn ñối với tối
ưu hóa ñộng thì thời gian cũng là một biến mà chúng ta cần phải xem xét
ñến .

2.1.2 Xây dụng bài toán tối ưu
1. Tối ưu hóa không có ñiều kiện ràng buộc
Một hàm chỉ tiêu chất lượng vô hướng
( )
L u ñược cho trước là một hàm
của một vector ñiều khiển hay một vector quyết ñịnh
m
Ru ∈

. Chúng ta cần
chọn giá trị của u sao cho L(u) ñạt giá trị nhỏ nhất .
ðể giải bài toán tối ưu , ta viết chuỗi Taylor mở rộng cho ñộ biến thiên của
L(u) như sau :

)3(
2
1
OduLduduLdL
uu
TT
u
++= (2.1)
V
ớ
i O(3) là s

∂∂
=
∂
∂
∆
m
u
uL
uL
uL
u
L
L
/
/
/
2
1
M
(2.2)
và ñạo hàm cấp 2 của L theo u là một ma trận m x m ( còn gọi là ma trận
Hessian ) :









thành ñiểm cực tiểu , chúng ta cần có :

)3(
2
1
OduLdudL
uu
T
+= (2.5)
là xác
ñị
nh d
ươ
ng v
ớ
i m
ọ
i s
ự
bi
ế
n thiên du .
ð
i
ề
u này
ñượ
c
ñả
m b

c tr
ị
chính là
ñ
i
ể
m c
ự
c
ñạ
i ; còn n
ế
u L
uu

là không xác
ñị
nh thì
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
chính là
ñ
i
ể
m yên ng

i
ể
m c
ự
c tr
ị
.

Nh
ắ
c l
ạ
i : L
uu
là xác
ñị
nh d
ươ
ng ( ho
ặ
c âm ) n
ế
u nh
ư
các giá tr
ị
riêng c
ủ
a nó
là d

i giá tr
ị

riêng b
ằ
ng 0 . Vì th
ế
n
ế
u
0=
uu
L
, thì thành ph
ầ
n th
ứ
hai s
ẽ
không hoàn
toàn ch
ỉ
ra
ñượ
c lo
ạ
i c
ủ
a
ñ

.
ðể tìm ñiều kiện cần và ñủ của giá trị cực tiểu , ñồng thời thỏa mãn
( )
0, =uxf
, ta cần làm chính xác như trong phần trước . ðầu tiên ta khai
triển dL dưới dạng chuỗi Taylor , sau ñó xác ñịnh số hạng thứ nhất và thứ
hai là L
u
& L
uu
.

Thừa số Lagrange và hàm Hamilton .
Tại ñiểm cực trị , dL với giá trị thứ nhất bằng 0 với mọi sự biến thiên của
du khi df bằng 0 . Như vậy chúng ta cần có:

0=+= dxLduLdL
T
x
T
u
(2.8)
0=+= dxfdufdf
xu
(2.9)
Từ (2.7) ta xác ñịnh ñược x từ giá trị u ñã có, ñộ biến thiên dx ñược xác ñịnh
bởi (2.9) từ giá trị biến thiên du với ñiều kiện ma trận Jacobi là không kỳ dị
0≠
x
f . Như vậy , ma trận Jacobi f

T
u
df
LffLffLL
u
L
−−
=
−=−=
∂
∂
1
0
(2.12)
với
( )
T
x
T
x
ff
1−−
=
. Lưu ý rằng :

u
dx
L
u
L




=






du
dx
ff
LL
df
dL
ux
T
u
T
x
(2.15)
Chương 2: ðiều khiển tối ưu
Trang 132
Hệ phương trình tuyến tính này xác ñịnh một ñiểm dừng , và phải có một
kết quả
[ ]
T
TT
dudx . ðiều này chỉ xảy ra nếu ma trận hệ số

x
fL
λ
(2.17)

0=+
u
TT
u
fL
λ
(2.18)
Giải (2.17) ta ñược
λ
:

1−
−=
x
T
x
T
fL
λ
(2.19)
và thay vào (2.18) ñể có ñược (2.14) .
Vector
n
R∈
λ

Do ñó
-
λ
là ñạo hàm riêng của L với biến ñiều khiển u là hằng số . ðiều này
nói lên tác dụng của hàm chỉ tiêu chất lượng với biến ñiều khiển không ñổi
khi ñiều kiện ràng buộc thay ñổi .
Như là một cách thứ ba ñể tìm ñược (2.14), ta phát triển thêm ñể sử dụng
cho các phân tích trong những phần sau. Kết hợp ñiều kiện ràng buộc và
hàm chỉ tiêu chất lượng ñể thành lập hàm Hamilton .

( ) ( ) ( )
uxfuxLuxH
T
,,,,
λλ
+= (2.22)
Với
n
R∈
λ
là thừa số Lagrange chưa xác ñịnh . Muốn chọn x , u ,
λ
ñể có
ñược ñiểm dừng , ta tiến hành các bước sau .
ðộ biến thiên của
H theo các ñộ biến thiên của x , u ,
λ
ñược viết như sau :

λ

0=
λ
H (2.25)
Ch
ươ
ng 2:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư
u
Trang 133
Sau
ñ
ó ta xác
ñị
nh x v
ớ
i giá tr
ị
c
ủ
a u
ñ
ã có b

t l
ượ
ng:

LH
f
=
=0
(2.26)
Nh
ắ
c l
ạ
i : n
ế
u f = 0 , ta s
ẽ
tìm
ñượ
c dx theo du t
ừ
(2.10) . Ta không nên xét
m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a du và dx
ñể

x
T
x
T
fL
λ
.
N
ế
u gi
ữ
nguyên (2.25) và (2.27) t
ừ
(2.23):

duHdHdL
T
u
==
(2.29)
Vì H = L,
ñể
có
ñượ
c
ñ
i
ể
m d
ừ

i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a L(x,u) th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u
ki
ệ
n ràng bu
ộ
c f(x,u) = 0 g
ồ
m có :

0==
∂
∂
f
H
λ
(2.31a)

nh b
ở
i (2.22) . Cách th
ườ
ng dùng là t
ừ
3 ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho xác
ñị
nh x ,
λ
, và u theo th
ứ
t
ự
t
ươ
ng
ứ
ng . So sánh 2 ph
ươ
ng trình
(2.31b) và (2.31c) ta th
ấ
y chúng t
ươ
ng

c
ủ
a nó vì
ñ
ó là m
ộ
t bi
ế
n trung gian cho phép
chúng ta xác
ñị
nh các
ñạ
i l
ượ
ng c
ầ
n tìm là u , x và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a L .
Ư
u
ñ
i

n thiên
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau ,
theo (2.10) . B
ằ
ng cách
ñư
a ra m
ộ
t th
ừ
a s
ố
b
ấ
t
ñị
nh
λ
, chúng ta ch
ọ
n
λ
sao
cho dx và du có th
ể

ư
th
ế
ta
s
ẽ
có
ñượ
c
ñ
i
ể
m d
ừ
ng .
Ch
ươ
ng 2:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư
u
Trang 134
Khi

ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm Hamilton H(x,u,
λ
) không có
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c .
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñ
ã (2.31) xác
ñị
nh m
ộ
t

c hi
ệ
n trong ph
ầ
n tr
ướ
c .
Vi
ế
t chu
ỗ
i Taylor m
ở
r
ộ
ng cho
ñộ
bi
ế
n thiên c
ủ
a L và f nh
ư
sau :

[ ] [ ]
)3(
2
1
O





=
(2.32)

[ ]
[ ]
)3(
2
1
O
du
dx
ff
ff
dudx
du
dx
ffdf
uuux
xuxx
TT
ux
+






ðể

ñư
a ra hàm Hamilton , ta s
ử
d
ụ
ng các ph
ươ
ng trình sau :

[ ] [ ] [ ]
)3(
2
1
1 O
du
dx
HH
HH
dudx
du
dx
HH
df
dL
uuux
xuxx
TTT


λ

(2.34)
Bây gi
ờ
,
ñể
có
ñượ
c
ñ
i
ể
m d
ừ
ng ta c
ầ
n có
0
=f
, và
ñồ
ng th
ờ
i thành ph
ầ
n
th
ứ

ỏ
i 0=
x
H và 0=
u
H nh
ư
trong (2.31) .
ðể
tìm
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñủ
cho
ñ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u , chúng ta xét
ñế
n thành ph
ầ
n th

nên 0=
x
H , 0=
u
H và
0
=df
. T
ừ
(2.10)
suy ra:

)2(
1
Oduffdx
ux
+−=
−
(2.35)
Thay vào (2.34) ta
ñượ
c :

[ ]
)3(
2
1
1
Odu
I

ðể

ñả
m b
ả
o
ñ
ây là
ñ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u , dL trong (2.36) ph
ả
i d
ươ
ng v
ớ
i m
ọ
i s
ự

bi
ế
n thiên c
ủ

uxxx
T
x
T
uuxuxxu
T
x
T
uuu
ux
uuux
xuxx
T
x
T
u
f
uu
f
uu
ffHffffHHffH
I
ff
HH
HH
IffLL
11
1
−−−−
−


Trang 135
L
ư
u ý r
ằ
ng n
ế
u
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c
( )
0, =uxf
v
ớ
i m
ọ
i
x
và
u
thì (2.37)
ñượ
c rút l

c
ự
c
ñạ
i ( ho
ặ
c
ñ
i
ể
m yên ng
ự
a ) .

2.1.3 Ví dụ
Tối ưu hóa không có ñiều kiện ràng buộc
Ví dụ 2.1 : Không gian toàn phương .
Cho
2
Ru ∈ và :

[ ]
ussu
qq
qq
uuL
T
21
2212
1211

nh b
ở
i :

0
=+= SQuL
u
(3)

SQu
1−∗
−=
(4)
v
ớ
i
u*
dùng
ñể
ch
ỉ
bi
ế
n
ñ
i
ề
u khi
ể
n t

(5)
ð
i
ể
m
u*
là c
ự
c ti
ể
u n
ế
u
L
uu
> 0 (
0
11
>q
và 0
2
122211
>− qqq
) . Là
ñ
i
ể
m c
ự
c

0=Q
, thì
u
* là
ñ
i
ể
m k
ỳ
d
ị
, chúng ta không th
ể
xác
ñị
nh
ñượ
c
ñ
ó là c
ự
c ti
ể
u hay c
ự
c
ñạ
i t
ừ


∆
−== SQS
T 1
2
1
−
−=
(6)
Gi
ả
s
ử
cho
L
nh
ư
sau:

[ ]
uuuL
T
10
21
11
2
1
+












−
−=
1
1
1
0
11
12
*
u
(8)
Chương 2
:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư

ñồ
ng m
ứ
c c
ủ
a
L
(
u
) trong (7)
ñượ
c v
ẽ
trong Hình 2.4 , v
ớ
i
u
= [
u
1

u
2
]
T
. Các m
ũ
i tên là gradient .



ướ
ng là h
ướ
ng t
ă
ng
L
(
u
) .
Chúng ta dùng d
ấ
u “*”
ñể
ch
ỉ
giá tr
ị
t
ố
i
ư
u c
ủ
a
u
và
L
c
ầ

ñồ
ng m
ứ
c và vector gradient .

Ví dụ 2.2 : Tối ưu hóa bằng tính toán vô hướng .
Phần trên chúng ta ñã ñề cập phương pháp giải bài toán tối ưu bằng cách sử
dụng các vector và gradient . Sau ñây ta sẽ tiếp cận bài toán với một cách
nhìn khác , xem chúng như là những ñại lượng vô hướng .
ðể chứng minh , ta xét (7) ở dạng:

2
2
221
2
121
2
1
),( uuuuuuuL +++= (1)
V
ớ
i
21
,uu
là các
ñạ
i l
ượ
ng vô h
ướ

ằ
ng 0 :

0
21
1
=+=
∂
∂
uu
u
L
(2a)
Ch
ương 2: ðiều khiển tối ưu
Trang 137

012
21
2
=++=
∂
∂
uu
u
L
(2b)
Gi
ả
i h

ở
r
ộ
ng c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c (7) trong ví d
ụ
2.1 , nh
ư

v
ậ
y chúng ta v
ừ
a tìm
ñượ
c m
ộ
t k
ế
t qu
ả
t
ươ
ng t
ự







=
u
x
u
x
uxuxL 10
21
11
2
1
),( (1)
Với ñiều kiện ràng buộc :

( )
03, =−= xuxf
(2)
Hàm Hamilton sẽ là :

)3(
2
1
22
−++++=+= xuuxuxfLH
T

λ
(4)
0=++=
λ
uxH
x
(5)
012 =++= uxH
u
(6)
Gi
ả
i (4) , (5) , (6) ta
ñượ
c : x = 3 , u = -2 ,
λ
= -1 .
ð
i
ể
m d
ừ
ng là :

( ) ( )
2,3, −=
∗
ux
(7)
ðể

∗
ux
là
ñ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u .
Các
ñườ
ng
ñồ
ng m
ứ
c c
ủ
a L(x,u) và
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c (2)
ñượ
c v



0
1
u
x
f
f
(9)
ñượ
c v
ẽ
trong Hình 2.5 . Và grad c
ủ
a L(x,u) :
Ch
ươ
ng 2:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư
u
Trang 138


c ti
ể
u (3,-2) , grad L(x,u) s
ẽ
có giá tr
ị
:







=






0
1
u
x
L
L
(11)
C
ầ

ấ
t hi
ệ
n khi
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c (2) là
ñườ
ng ti
ế
p
tuy
ế
n c
ủ
a các
ñườ
ng
ñồ
ng m
ứ
c c
ủ
a L. Di chuy
ể

m c
ự
c ti
ể
u b
ằ
ng cách thay x = 3, u = -2 vào
(1) , ta
ñượ
c L*=0,5 .
Vì
λ
= -1 , gi
ữ
nguyên giá tr
ị
u = -2 , thay
ñổ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c df ( d
ị
ch
chuy



+=
2
2
2
2
2
1
),(
b
y
a
x
uxL
(1)
Với ñiều kiện ràng buộc tuyến tính :

( )
cmuxuxf −+=,
(2)
Các ñường ñồng mức của L(x,u) là những ellip; nếu L(x,u) = l
2
/2, thì bán
kính trục chính và bán kính trục phụ là al và bl . ðiều kiện ràng buộc f(x,u)
là một họ các ñường thẳng chứa thông số c . Xem Hình 2.6 ( lưu ý rằng u là
biến ñộc lập , với x ñược xác ñịnh bởi f(x,u) = 0 ) .
Hàm Hamilton là :

)(

2
=+=
λ
a
x
H
x
(5)

0
2
=+= m
b
u
H
u
λ
(6)
Ch
ươ
ng 2:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư

ứ
c c
ủ
a L(x,u) và
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c f(x,u).

ðể
gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình này , tr
ướ
c h
ế
t ta s
ử
d
ụ
ng ph
ươ

thay ph
ươ
ng trình (7) vào (4)
ñể
kh
ử
u , k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (5) và
ñượ
c
vi
ế
t l
ạ
i :







=



c
ủ
a
ñ
i
ể
m d
ừ
ng :

222
2
mba
ca
x
+
= (9)
Ch
ươ
ng 2:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư
u

ñ
i
ể
m d
ừ
ng là c
ự
c ti
ể
u , dùng (2.37)
ñể
tìm ra ma tr
ậ
n u
ố
n :

2
2
2
1
a
m
b
L
f
uu
+= (12)
0>
f

ấ
t l
ượ
ng :

222
2
*
2
1
mba
c
L
+
= (13)
ðể
ki
ể
m ch
ứ
ng (2.21) , l
ư
u ý r
ằ
ng:

λ
−=
∂
∂

1
m
f
f
x
u
(15)
ñượ
c bi
ể
u di
ễ
n trong Hình 2.6 . GradL là :











=






c
m
L
L
x
u
+






=






(17)
ð
i
ề
u này t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ

a L(x,u) .

Ví dụ 2.5 : Hàm chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương với ñiều kiện ràng
buộc tuyến tính .
Bây giờ ta tổng quát hóa ví dụ 2.4 với vector
n
Rx ∈ ,
m
Ru ∈ ,
n
Rf ∈ ,
n
R∈
λ
.
Xét hàm chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương:
Chương 2: ðiều khiển tối ưu
Trang 141

RuuQxxL
TT
2
1
2
1
+= (1)
v
ớ
i
ñ

ứ
ng ) . Các
ñườ
ng
ñồ
ng m
ứ
c c
ủ
a L(x,u) là các
ñườ
ng ellip trong không gian , và f(x,u)=0 là m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ắ
t ngang qua
chúng .
ð
i
ể
m d
ừ
ng xu
ấ
t hi
ệ
n khi gradf và gradL song song v
ớ

cBuxH
λ
(4)
0
=+=
λ
QxH
x
(5)

0=+=
λ
T
u
BRuH
(6)
ðể
gi
ả
i các ph
ươ
ng trình trên ,
ñầ
u tiên ta dùng
ñ
i
ề
u ki
ệ
n (6)

(9)
dùng k
ế
t qu
ả
này thay vào (7) cho ta :
)(
1
QcQBuBRu
T
+−=
−
(10)
( )
QcBRuQBBRI
TT
11 −−
−=+( )
QcBuQBBR
TT
−=+
(11)
Vì R > 0 và B
T
QB
≥
0 , chúng ta có th

này v
ớ
i (11) trong ví d
ụ
2.4 .
Thay (12) vào (4) và (9) cho ta giá tr
ị
tr
ạ
ng thái t
ố
i
ư
u và th
ừ
a s
ố
Lagrange
t
ố
i
ư
u :

( )
(
)
1
T T
x I B R B QB B Q c


Ch
ươ
ng 2:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư
u
Trang 142

( )
cBBRQ
T
1
11
−
−−
+=
λ
(15)
n
ế
u
0≠Q

ñ
i
ề
u khi
ể
n (12) là m
ộ
t c
ự
c ti
ể
u , ta s
ử
d
ụ
ng (2.37)
ñể
xác
ñị
nh ma tr
ậ
n u
ố
n là xác
ñị
nh d
ươ
ng v
ớ
i giá tr

u :

( )
[ ]
cQBQBBRQBQcL
TTT
1
2
1
*
−
+−=
(17)
λ
T
cL
2
1
*
=
(18)
λ
=
∂
∂
c
L *
(19)

Ví dụ 2.6 : Bài toán với nhiều ñiều kiện ràng buộc .

cách giữa 2 ñiểm này .

2
21
2
212121
)(
2
1
)(
2
1
),,,( yyxxyyxxL −+−= (5)
ðể
gi
ả
i bài toán này , ta x
ử
lý b
ằ
ng cách
ñặ
t :








f
f
(6)
và sử dụng cách tiếp cận vector ; tuy nhiên , sự kết hợp giữa một ñiều kiện
ràng buộc tuyến tính và một ñiều kiện phi tuyến sẽ làm phức tạp thêm bài
toán . Thay vào ñó ta sẽ sử dụng các ñại lượng vô hướng .

Vì thế:

Chương 2: ðiều khiển tối ưu
Trang 143

Hình 2.7 : Bài toán với nhiều ñiều kiện ràng buộc .

ðưa ra một thừa số Lagrange cho mỗi ñiều kiện ràng buộc , hàm Hamilton
là :
)()()(
2
1
)(
2
1
2221
2
111
2
21
2
21
cxydbxaxyyyxxH −−+−−−+−+−=

xxH
x
(9)

0
121
1
=+−=
λ
yyH
y
(10)

0
221
2
=++−=
λ
yyH
y
(11)

0
1
2
11
1
=−−−= dbxaxyH
λ
(12)

yyxx −=−=
λ
(15)
và s
ử
d
ụ
ng (14) v
ớ
i
cxy +=
22
t
ừ
(13) có
ñượ
c k
ế
t qu
ả
sau :
Ch
ươ
ng 2:
ð
i
ề
u khi
ể
n t

2
, v
ậ
y t
ừ
(15) và (17) ta có :

211
xx −=
λ( )
cdxbax
−+−+−=
1
2
11
)1(
2
1
λ
(18)
Cu
ố
i cùng , chú ý r
ằ
ng (8) là :

( )( )

i
ư
u
*
1
x t
ừ
giá tr
ị
a, b, c, d
cho tr
ướ
c . N
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng c
ắ
t ngang qua parabol thì giao
đ
i
ể
m s
ẽ
là k
ế
t
qu

(x
1
,x
2
) , (y
1
,y
2
) . M
ộ
t khi tìm
đượ
c x
1
thì ta s
ẽ
tìm
đượ
c x
2
, y
1
và y
2
l
ầ
n l
ượ
t
theo các ph

gần nhất trên phương di chuyển ban đầu mà con tàu
cần trở về để đi tới hòn đảo. Tìm khoảng cách từ hòn
đảo đến điểm gần nhất và thời gian đến được điểm đó.
Giải:

Cách 1:
giải bằng phương pháp hình học:
Trong
∆
MM
x
O:
0
3.565.1
20
30
=∠⇒===∠
x
x
x
x
MOM
OM
MM
MOMtg

0555.363020
2222
=+=+=
xx


Cách 2:
dùng phương pháp Euler_Lagrange:
Yêu cầu: tìm khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(20, 30) đến đường
thẳng 3y x=
ðiều kiện ràng buộc :
( )
, 3 0f x y y x= − =
Trong đó (x, y) là một điểm thuộc đường thẳng.
Chọn hàm chỉ tiêu chất lượng là bình phương khoảng cách giữa 2
điểm trong mặt phẳng:
( ) ( ) ( )
2 2
, 20 30L x y x y= − + −

Hàm Hamilton là :
( ) ( ) ( )
( )
2 2
, , 20 30 3H x y x y y x
λ λ
= − + − + −
Xác đònh điểm dừng :
( )
( )
3 0
2 20 3 0
2 30 0
x
y

18, 31.177N .
Khoảng cách ngắn nhất : Gọi D là khoảng cách từ hòn đảo tới điểm N. Khi đó : Gọi t là thời gian tàu đi từ điểm M tới điểm gần nhất N.
min
2.32
0.232 ( )
10
= = =
d
t hours
v32.2)30177.31()2018(
22
min
≈−+−==
N
Ld
36)177.31()18(
2222
≈+=+=
NN
yxD
)(mile

Giải:

Cách 1
: dùng phương pháp hình học giải tích:
•
u : vector chỉ phương của đường thẳng d:
( )
4,10,8
21
23
,
13
31
,
32
12
−=








−−
=u

• Gọi A là điểm thuộc d, có tọa độ:
)

OHOA =

Khi đó:
0697.1
180
206
410)8(
)7()6()11(
min)(
222
222
==
++−
−+−+−
=
OAd

Cách 2:
dùng phương pháp Euler_Lagrange:
Theo đề bài ta có hình vẽ:

H
O
A
u
d
[ ]
)7,6,11()
108
8


Quan sát trên hình vẽ ta thấy khoảng cách ta muốn tối ưu hoá đó là đoạn
OA, trong đó A chạy trên đường thẳng d.
⇒ OA
2
= (x
2
– x
1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2
+ (z
2
– z
1
)
2

Vì O là gốc toạ độ ⇒ O(0,0,0).
⇒ OA
2
= (x
2
)

(1)
Bài toán với 2 điều kiện ràng buộc là:
f
1
(x
2
,y
2
,z
2
)=3x
2
+ 2y
2
+ z
2
-1= 0 (2)
f
2
(x
2
,y
2
,z
2
)=x
2
+ 2y
2
– 3z

,z
2
) + λ
2
f
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
Xác đònh phiếm
hàm L(x
2
,y
2
,z
2
)
Thành lập hàm Hamilton để biến
bài toán có điều kiện ràng buộc
trở thành không ràng buộc
Tính đạo hàm H
x2
, H
y2
H
z2

+ z
2
2
+ λ
1
(3x
2
+ 2y
2
+ z
2
-1) +
λ
2
(x
2
+ 2y
2
-3z
2
- 4) (4)
Điều kiện cần để có điểm cực tiểu của L(x
2
,y
2
,z
2
) thoả mãn điều kiện
ràng buộc f(x
2

λ
T
zz
T
yu
T
xx
fL
z
H
fL
y
H
fL
x
H
f
H

Xác đònh điểm dừng:
032
212
2
2
=++=
∂
∂
=
λλ
x

z
H
H
z
(7)
0123
222
1
1
=−++=
∂
∂
= zyx
H
H
λ
λ
(8)
0432
222
2
2
=−−+=
∂
∂
= zyx
H
H
λ
λ

013
2
1
23
2
3
212121
=−+−+−−+−−
λλλλλλ
(13)
( ) ( ) ( )
043
2
3
23
2
1
212121
=−+−−−−+−−
λλλλλλ
(14)
Ch
ươ
ng 2:
ð
i
ề
u khi
ể
n t

Thay giá trò
λ
1
,
λ
2
vào (10), (11), (12) ta có

90
23
2
=x
;
9
5
2
=y
;
90
79
2
=z
.
x
2
= 0.255; y
2
= 0.555, z
2
= -0.877.

=++
2
2
2
2
2
2
zyx
1.069.
Kiểm tra lại:
Có nhiều phương pháp kiểm tra lại kết quả trên là cực tiểu:
- phương pháp kiểm tra ma trận uốn L
uu,
tuy nhiên ở bài tập trên
phiếm hàm tối ưu L theo 3 biến nên việc xác đònh ma trận uốn
phức tạp.
- Phương pháp thử sai:
• So sánh giá trò tọa độ, khoảng cách tính được bằng phng pháp
thử sai với giá trò mà ta dùng phương pháp biến phân cổ điển
Euler_Lagrange.
• Để kiểm tra đây là cực tiểu cục bộ hay toàn phần ta cho phạm vi
thay đổi của điểm A rộng hơn.

Ví dụ 2.9 :
a. Chứng tỏ giá trò min của hàm x
2
y
2
z
2

3
là r
2

Giải:

a.Dùng phương pháp Euler Lagrange:
Chọn phiếm hàm tối ưu là : L(x,y,z) = x
2
y
2
z
2
(*)
Điều kiện ràng buộc là: f(x,y,z) = x
2
+y
2
+z
2
- r
2
= 0
Thành lập hàm Hamilton :
H(x,y,z) = x
2
y
2
z
2