HỆ THỐNG KIẾN THỨC TỐN THPT
DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Chú ý: 1.Nội dung có chút nâng cao và mở rộng với mục đích dùng cho ơn luyện thi ĐH-CĐ
2.Các nội dung ở phần hệ thống là những nội dung trọng tâm
của thi TNTHPT
VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM
• 
•  !"#
o Phương trình tiếp tuyến: tại M
0;
đi qua một điểm M
1
ho$ hệ số góc k
o Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
o Cực trị hàm số
o %& '(&)
o *+,#-##+./012+.30
o Cách xác đònh tiệm cận :
o 456-#789:;75<7=81>7-#2>&?@#AB
C=81!"#A!"#&6D@$DA
o Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
o Bài tốn tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
o C¸c d¹ng ®å thÞ cã chøa gi¸ trÞ tut ®èi thêng gỈp:
……
VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT
• ;7(E(&FG(H0>"EIE#J( #&( "KL#(H

β
∫
α
đặt x = asint ;x = atant ;………
o Tìm tích phân bằng phương pháp từng phần:
b b
b
a
a a
u.dv u.v v.du= −
∫ ∫

o Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
o Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ

o Tìm tích phân của các hàm số vơ tỷ:
o Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối. Tính
b
f (x) dx
a
∫

• 456-#789
o Tính diện tích hình phẳng
o Tính thể tích vật thể tròn xoay :
NOPQ:*RSE
• Tìm số phức z;
;z
biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;…
• ;<+T8U82&L(9(#8E0

• ;=="-#2> 2$81$010
o Tìm hình chiếu H của M lên (α)
o Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d).
• Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
o Đối xứng qua mp(α)
o Đối xứng quađường thẳng (d).

• Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp (β)
PHẦN A.GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Nhắc lại 1 số công hức về đạo hàm cơ bản:
Bài toán
1:
Khảo sát hàm số
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1.Tìm tập xác định: D=…
2. Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm
3.Tính giới hạn:
lim lim
o
x x
x
y y
±
→
→±∞
= =
với x


.4
3
2
.1
v
vC
v
C
v
v
uvvu
v
u
vCvC
vuvuvu
vuvu
−
=






≠
−
=



aaa
x
x
x
x
xx
x
C
a
xx
xx
2
/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
2
/
1
/
/
/
sin
1

=
−
=






=
=
=
−
αα
α
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

sin
cot
cos
tan

2
/
/
/1
/
u
u
u
u
u
u
uuu
uuu
u
u
u
au
u
u
uee
uaaa
u
u
u
v
v
v
uxu
a
uu

2
/
)( dcx
bcad
y
+
−
=
22
2
2
11
2
1
.20
cxbxa
cxbxa
y
++
++
=
ta coù

( )
2
22
2
2
22
11

= 3ax
2
+ 2bx + c với ∆
/
= b
2
− 3ac
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên?
(giảm trên?)
y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: •
)(lim
23
dcxbxax

+ Bảng biến thiên:
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
+ y
/
+ 0 − 0 +
y +
∞

-
∞
y CĐ +
∞
-
∞
CT
x −
∞

• ; điểm đặc biệt
a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 4ax
3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0
•KL: tăng? Giảm
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±
a
b
2


a > 0
a < 0
Điểm uốn I(−
a
b
3
;f(−
a
b
3
))
a > 0

+ Bảng biến thiên :
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
− 0 + y

−
∞
−
∞
y
CĐ CĐ
-
∞
CT -
∞
+ Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương

3.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\






−
c
d
+ Đạo hàm : y
/

+
+
= ∞
• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
lim
x
ax b
cx d
→±∞
+
+
=
c
a
+Bảng biến thiên :
x −
∞
−d/c +
∞
x −
∞
−d/c +
∞
y
/
− || −
y

fex
cbxax
2
+
++
(đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu )
+ TXĐ: D = R\






−
e
f

+ Đạo hàm : y
/
=
2
2
).(
)(.2.
fxe
cebfxafxae
+
−++
có ∆
/

= ∞
• Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x);
)]()([lim BAxxf
x
+−
∞→
=
(x)ε
∞→x
lim
=0 => y =
e
a
x + (
e
b
−
2
e
af
) là t/c xiên
+ Bảng biến thiên :
x −
∞
−f/e +
∞
x −
∞
x
1

−f/e +
∞
x
−
∞
x
1
−f/e x
2
+
∞
y
/
− || −
y
/
− 0 + || + 0 −
y +
∞
||+
∞

−
∞
−
∞

y
+
∞

a.e < 0
đứng
Xiên
Xiên
Xiên
Xiên
đứng
đứng

• Từ x
0
tính f(x
0
) ; Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0
) = ?
• P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f
/
(x
0
)(x− x
0
) + f(x
0

• Giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f
/
(x
0
).
• Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? −> f(x
0
) = ?
• Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x
0
)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k
1
.k
2
= −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k
1

Đònh lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Tính y
CĐ
; y
CT
; kết luận cực trị ?
Chú ý:

1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y

+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y
CT
= ?
Nếu y
//
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
0
, y
CĐ
= ?
• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x
o
:

=

>

+ x
o
là điểm cực tiểu <=>
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

=

<

• Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
khi


Và y
/
=
u v v u
2
v
′ ′
−
=
g(x)
2
v
dấu của y
/
là dấu của g(x)
Nếu h/s đạt cực trò tại x
0
thì y
/
(x
0
)= 0 => g(x
0
) = 0 <=> u
/
v−v
/
u = 0
=>
u u

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung
. 0
CD CT
y y⇔ <
- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CD CT
x x⇔ <
đổi dấu qua x
0

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm trên trục hồnh
0
. 0
CD CT
CD CT
y y
y y
+ >

⇔

/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
… . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
• Tính f(x
1
) ; f(x
2
) ………. So sánh → KL
f(a) ; f(b)
• Kết luận:
max y
[a;b]
=
?
min y
[a;b]
=
?
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :
• Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
• Đạo hàm : y
/
= ?
cho y

2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt
f (x) g(x)
f (x) g (x)
=
′ ′
=


tiệm cận ngang
• Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng có phần này):
Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)

lim
x→±∞
[f(x) –(ax + b)] =
(x)
lim
x
ε
→±∞
= 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;
f (x)
a
lim
x
x
=
→±∞
;
[ ]
b f (x) ax
lim
x
= −
→±∞
⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Bài tốn 9: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh

C
1
2
1 2
1 2
d
c
2 2
( ) và ( )
( )
, (c )
S x
C
d
Oy C C
c
C C
H
y c y d d
x dy
V x x dy
π


= = <

= −
= −
∫
∫

<
≥
0xf nÕuxf-
0xf nÕuxf
• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Đồ thị (C
1
) gồm 2 phần:
° Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hồnh (f(x) ≥ 0)
° Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hồnh qua Ox.
b) Dạng đồ thị (C
2
) của hàm số: y =
( )
xf

Ta có y =
( )
xf
=
( )
( )



<
≥
0 x nÕux-f
0x nÕuxf
• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)

) gồm hai phần:
° Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.
d) Dạng đồ thị của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Ta có: y =
( )
( )
xg
xf
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )







<
≥
0xf nÕu

Ta có: y =
( ) ( )
xgxf +
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )



<+
≥+
0xf u nÕxgxf-
0xf u nÕxgxf
• đồ thị (C
6
) gồm hai phần:
° Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) ≥ 0
° Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0
• Mở rộng:
Vẽ đồ thị hàm số: y =
( ) ( ) ( ) ( )
xgxfxfxf
k
++++
21
° Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu.
g) Dạng đồ thị (C
7
) của hàm số: y =
( )

; a
0
= 1 0 ;
m
m
n
n
a a=
( m; n nguyên dương , n > 1)
• Các quy tắc:
a
x
.a
y
= a
x+y
(a.b)
x
=a
x
.b
x
x
a
x y
a
y
a
−
=

x
a
>
2
x
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
<
2
x
a
* Hàm số logarit: α = log
a
N ⇔ a
α
= N log
a
x = b ⇔ x= a
b
• Đặc biệt :
x
a
a

B
β
=
β
α
log
a
B
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log
c
a.log
a
b =
log
c
b ⇔
log b
c
log b
a
log a
c
=
0 < a, b ≠ 1 : log
a
b =
1
log a
b

<log
a
x
2

Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
(e
x
)
/
= e
x
−> ( e
u
)
/
= u
/
.e
u
( a
x
)
/
= a
x
.lna −> ( a
u
)
/

u. ln a
′
Bài tốn 3: Giải phương trình mũ: 6 cách
 1. S ^56_#
a a
log
x x x
a = b <=> x=log (a = b <=>a = a <=> x=log )
a
b
b b

W . S ^56 88 +#`,
f (x) g(x)
f (x) g(x)
a a
0 a 1
=
= <=>
< ≠



a . S ^56 88 +#`, $b86
α.
2f (x)
a
+β.
f (x)
a

b
α.
2f (x)
a
+β.
( )
f (x)
a.b
+ γ.
2f (x)
b
= 0 ; Đặt t =
f (x)
a
b
 
 ÷
 
Q . S ử dụng pp logarit hố 2 vế :
c . S ử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)
d . S ử dụng pp đồ thị
Chú ý: Dạng
f (x)
u(x)
= 1 ⇔ [u(x) −1].f(x) = 0 ( trong đó u(x) và f(x) có chứa biến )
Bài tốn 4: Giải phương trình logarit : 6 cách
 1. S ^56_#
a
f(x) 0
log f(x)=b<=> 0 1

Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các
cách giải đó
Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cơ bản sau:
• Bất phương trình mũ dạng:
f (x) g(x)
u(x) u(x)≥
f (x) g(x)
TH1: 0 < u(x) <1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)
f (x) g(x)
TH1: u(x) > 1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)
0 < u(
f (x) g(x)
TQuat : u(x) u(x)
≥ <=> ≤
≥ <=> ≥
≥ <=>
x) 1
[ u(x) -1][f (x) g(x)] 0

≠


− ≥


• Bất phương trình logarit dạng:
a a
log f(x) log g(x)≥

u(x) u(x)

≥
Lưu ý:
*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dàng
hơn.
1.
f (x)
a
>
g(x)
a
 (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
2. log
a
f(x) > log
a
g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
*) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai
hàm số trên.
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô bản)
Thông thường giải bằng PP thế
PHầN 3: NGUYÊN HÀM.
Bài toán 1:Tìm nguyên hàm cơ bản(dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản).
dx x C= +
∫
x .dx
α
=
∫
1

∫
α +
(α ≠-1)
dx
ax b
∫
+
=
1
a
lnax+ b + C
1
ax b
e .dx
a
+
=
∫
e
ax+b
+ C
x
a .dx
α +β
∫
=
x b
1 a
C
ln a

=
1
a
Sin(ax+ b) + C
Sin(ax b).dx+
∫
= −
1
a
Cos(ax+ b) + C
dx
2
Cos (ax b)
∫
+
=
1
a
tan(ax+ b) + C
dx
2
Sin (ax b)
∫
+
= −
1
a
Cot(ax+ b) + C
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I =

thì đặt x = atant.
CHÚ Ý:
1.
∫
)().(
/)(
dxxuef
xu
Đặt
)(xut =
2.
∫

1
).(ln dx
x
xf
Đặt
)ln(xt =
3.
∫
+ ).( dxbaxf
n
Đặt
n
baxt +=
4.
∫
dxxxf )cos,(sin


6.
∫
+ ).(
22
dxxaf
Đặt
tax tan=
7.
∫
− ).(
22
dxaxf
Đặt
t
a
x
cos
=
8.
∫
±
).
1
(
22
dx
ax
f
Đặt
22

⇒
= =
∫
 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 2:
( ) ln( )+
∫
f x ax b dx
Đặt
.
ln( )

ax
ax
e dx
cosax
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e
ax

Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1:
sin(ax+b).sin(cx+d)dx
∫
;
sin(ax+b).cos(cx+d)dx
∫

cos(ax+b).cos(cx+d)dx
∫
.
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:
n m
sin ax.cos axdx
∫
(n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một
trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.

∫
ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn
phải tính
r(x)
dx
g(x)
∫
theo trường hợp sau.
Trường hợp 2: tính
r(x)
dx
g(x)
∫
với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x) r(x) A B C
2 2
g(x) (x x ) (x x )
a(x ).(x x ) (x x )
1 2
1 2 2
= = + +
− −
− α − −
(*) ( x
1
; x
2
là nghiệm của g(x).

∫
− ).(
22
dxaxf
Đặt
t
a
x
cos
=

o
∫
±
).
1
(
22
dx
ax
f
Đặt
22
axxt ±+=
PHầN 4: TÍCH PHÂN.
( ). ( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a

∫
α
Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các
hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
1
2 2
a x ;
2 2
a x
−
−
thì đặt x = asint
1
2 2
a x ;
2 2
a x
+
+
thì đặt x = atant.
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có
đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I =
b b
b
udv u.v vdu
a
a a
= −
∫ ∫

   
 
   
 
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 2:
( ) ln( )+
∫
f x ax b dx
β
α
Đặt
.
ln( )
( )
( )
= + =
⇒
+
=
=
∫

Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1:
sin(ax+b)sin(cx+d)dx
β
∫
α
;
sin(ax+b).cos(cx+d)dx
β
∫
α

cos(ax+b).cos(cx+d)dx
β
∫
α
.
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.

Dạng 2:
n m
sin ax.cos ax.dx
β
α
∫
(n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một
trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).

Nên
f (x) r(x)
dx h(x)dx dx
g(x) h(x)
β β β
= +
∫ ∫ ∫
α α α
.
Như vậy
h(x)dx
β
∫
α
ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính
r(x)
dx
g(x)
β
∫
α
theo trường hợp sau.
Trường hợp 2: tính
r(x)
dx
g(x)
β
∫
α
với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).

các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
o
∫
− ).(
22
dxxaf
Đặt
tax sin=
o
∫
+ ).(
22
dxxaf
Đặt
tax tan=
o
∫
− ).(
22
dxaxf
Đặt
t
a
x
cos
=

o
∫
±

f (x) dx
a
∫
=
c b
f (x)dx f (x)dx
a c
+
∫ ∫
*Chú ý 1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dùng cơng thức trên tùy theo trường hợp
nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x)).
2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân.
PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG − THể TÍCH VậT THể TRỊN XOAY.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y f (x)
x a;x b
=


= = =

hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
Diện tích : S =
b
| f (x)| .dx
a
∫
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0

Diện tích : S =
b
| f (x) g(x)| .dx
a
−
∫
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thơng qua tổng
hoặc hiệu của nhiều hình.
• Hình phẳng giới hạn bởi :
f (y)
g(y)
y b
=


=


= =

hàm số x liên tục trên [a;b]
hàm số x liên tục trên [a;b]
a;y
Diện tích : S =
b
| f (y) g(y) | .dy
a
−
∫

quay quanh trục Oy và g(y) ≥ 0 trên [a;b] thì V =
b
2
g(y) .dy
a
π
 
∫
 
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y f(x);y g(x)
x a;x b
= =


= =

hàm số liên tục trên [a;b]
quay quanh trục Ox thì V =
b
2 2
f (x) g(x) .dx
a
π −
   
∫
   
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
f (y);x g(y)
y a;y b

Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di  a = c và b = d. 2) môđun số phức
2 2
z a bi a b= + = +
3) số phức liên hợp của z = a+bi là
z
= a − bi.
* z+
z
= 2a; z.
z
=
2
2 2
z a b= +
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i
7)
c di 1
z [(ac+bd)+(ad-bc)i]
2 2
a bi
a b
+
= =
+
+
(để thực hiện phép chia:ta nhân tử và mẫu cho số phức liên
hợp của số phức ở mẫu)

o Giải hệ tìm x;y Kết luận
Bài toán 3: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0. với ∆ = b
2
− 4ac.
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệp kép
b
x x
1 2
2a
= = −
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm:
b
x
2a
− ± ∆
=
Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm:
b i
x
2a
− ± ∆
=
Bài toán 4:Cách tìm dạng lượng giác của 1 số phức: z=a+bi ; a,b là số thực
Cách 1: 1.Tìm r:
2 2
r>0r z a b= = +
2. Tìm 1 Acgumen

ϕ ϕ
+
CỦNG CỐ :Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng (Không có ở ban cơ bản )

Cho số phức z=ax+b; a,b∈ R.được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng phức
f"g-#8Eh: số đo (radian) của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một
acgumen của số phức z.
• Nếu ϕ là một acgumen của z, thì mọi acgumen của z có dạng ϕ+k2π, k∈Z
• Kí hiệu r là môdun của z thì r = |z| =
2 2
a b+
, r > 0.
a=rcosϕ , b=rsinϕ.
Từ đó suy ra dạng lượng giác của số phức z = r(cosϕ+isinϕ)
• Dạng lượng giác của số đối của số phức z là -z = - r(cosϕ+isinϕ)
hay –z = r[cos(π+ϕ)+íin(π+ϕ)].
• Số phức liên hợp z của số phức z có dạng lượng giác là :
z =a – bi = r(cosϕ - isinϕ)
hay z = r[cos(-ϕ) + isin(-ϕ)]
*Các phép tính với số phức ở dạng lượng giác:
Kí hiệu z
1
=r
1
(cosϕ
1
+isinϕ
1
) ; z
2

[cos(ϕ
1
-ϕ
2
)+isin(ϕ
1
-ϕ
2
)]
Từ đó suy ra dạng lượng giác của số phức z
-1
(nghịch đảo của z) là: z
-1
=
)]sin(.)[cos(
11
ϕϕ
−+−= i
rz
•
[ ]
)sin.(cos)sin.(cos
ϕϕϕϕ
ninrir
n
n
+=+
•
[ ]
)sin.(cos)sin.(cos

*Căn bậc n của số phức z có n giá trị khác nhau z
k
:
z
k
=
2 2
sin
n
k k
r cos i
n n n n
j p j p
é ù
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
ê ú
÷ ÷
+ + +
ç ç
÷ ÷
ê ú
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
ê ú
ë û
với k = 0,1,2…,n-1.

.
o thể tích khối cầu V =
3
4
r
3
π
• Khối trụ:
o Tính diện tích xung quanh hình trụ S
xq
= 2πrl;
o diện tích toàn phần hình trụ S
tp
= 2πr(r + l).
o thể tích khối trụ V = πr
2
h
• Khối nón:
o Tính diện tích xung quanh hình nón S
xq
= πrl;
o diện tích toàn phần hình nón S
tp
= πr(r + l).
o thể tích khối khối nón V =
2
1
r h
3
π

.
.
. .

. .
S AMD
S ABD
V
SA SM SD
V SA SB SD
=
Phần 2: Phương pháp tọa độ trong không gian
a
→
= (x;y;z) ⇔
a
→
= x.
i
→
+ y.
j
→
+ z.
k
→

Tính chaát : Cho
a
→

; a
3
± b
3
)
• k.
a
→
= (ka
1
;ka
2
;ka
3
) k ∈ R
Tích voâ höôùng :
a . b
→ →
= a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+a
3
.b
3

= 0

a
→
cùng phương
b
→
;
a
→
≠
0
→
⇔
b
→
= k.
a
→
⇔ [
a
→
,
b
→
] =
0
→
Toạ độ điểm:
M = (x;y;z) ⇔

•
M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1 (
MA
→
= k
MB
→
) Thì M có toạ độ là :
M
M
A B
A B
M
A B
x k.x
x
1 k
y k.y
y
1 k
z k.z
z
1 k
−


=
−

z
2
+


=


+

=


 +

=


•
G là trọng tâm tam giác ABC thì G:
G A B C
G A B C
G A B C
1
x (x x x )
3
1
y (y y y )
3
1

→
] =
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
; ;
b b b b b b
 
 ÷
 ÷
 
* [
a
→
,
b
→
] ⊥
a
→
; [
a
→
,
b
→
] ⊥
b
→

AB
→
,
AC
→
].
AD
→
≠ 0
• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( khơng tạo thành tứ diện ) là:
( )A mp BCD∉
• Diện tích tam giác ABC : S
ABC
=
2
1
2 2
AB AC (AB.AC)
2
→ →
−
Hoặc S
ABC
=
2
1
.[
AB
→
,

′

Bài tốn 1:Xác đònh điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học
Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối
chóp,hộp:
Phần 3: Mặt cầu (S)
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là : (x −a)
2
+ (y − b)
2
+ (z−c )
2
= R
2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):

x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+ C
2

B
A
2
−
;
z z
B
A
2
−
)
+ Bán kính R = IA
• Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α) bán kính R = d(I; (α))
Bài tốn 3: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho (d) :
o o o
x - x y - y z - z
a b c
= =
; mc(S): (x −a)

0
} ;
Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M
0
nhận
→
IM
0
làm VTPT
• d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có tâm H; bán kính r
* P.t đ.tròn(C ) A x + B y + Cz +D = 0
(x −a)
2
+ (y−b)
2
+ (z−c)
2
= R
2

+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp (α)
+ bán kính r =
2 2
R [ ; )]− α d(I
Cách xác đònh Hình chiếu H của tâm I lên mp(α) :
+ Lập pt đ.thẳng (d) qua I nhận
→
α
n
làmVTCP Giả sử (d)

(S) và mặt phẳng(α). /;+.#AG +.&?&Z]#3
+ bán kính r =
2 2
R [ ; )]− α d(I
+Cách xác đònh tâm H:
Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận
→
α
n
làmVTCP
Giải hệ: (d)
x a At
y b Bt
z c Ct
= +


= +


= +

thay vào pt mp(α) => giải tìm t = ? => toạ độ điểm H
Kết luận
Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.
Bài tốn 1: Cáchviết phương trình mặt phẳng:
Cách 1:Viết dưới dạng cơ bản:
i/R3!"#[

/@

n [u ,AB]=
r uur uuur
với A∈ a; B ∈ b.
Nếu a cắt b thì
a b
n [u ,u ]=
r uur uur
*(A;a) thì VTPT
a
n [u ,AB]=
r uur uuur
với B∈ a.
* (α) //(β) thì VTPT
n n
α β
=
uur uur
* (α) ⊥a thì VTPT
a
n u
α
=
uur uur

* (α) có hai vectơ chỉ phương
a,b
r r
thì
n [a,b]
α

uuur
.
Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT
AB
uuur
.
* (α) song song đường thẳng và vng góc với một mặt phẳng thì
a
n [n ,u ]
α β
=
uur uur uur
.
* (α) chứa đ.thẳng (D) và ⊥(β) .
+) chọn M trên đ.thẳng (D).