BÀI TẬP HÀM SỐ
1. Cho hàm số
3 2
ax 4y x= − + −
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a=3
Tìm a để phương trình
3 2
x - ax +m+4=0
luôn có 3 nghiệm phân biệt với mọi
giá trị của m thỏa mãn điều kiện
4 0m− < <
Hướng dẫn a≥3
2. Cho hàm số
3 2
y=x -(4m+1)x +(7m+1)x-3m-1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=-1
b. Tìm m để hàm số có cực trị đồng thời các giá trị cực đại và cực tiểu trái
dấu nhau
m>1; m¹2
1
m<-
4





c. Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành
m=-1;2;4
Bài giải
a.


∆ =


2
CD CT
' 16m -13m-2>0
y y <0

∆ =


Nhận thấy ∆’ luôn dương với mọi m nên ta chỉ cần tìm điều kiện thứ hai.
Tìm phương trình qua điểm cực đại cực tiểu bằng cách lấy y chia cho y’
3 2
x -(4m+1)x +(7m+1)x-3m-1

2
3x -2(4m+1)x+(7m+1)

2
2 1
- (4m+1)x + (7m+1)x
3 3
-3m-1
1
3
x
1
- (4m+1)

mọi m
c. Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm có hoành đột tạo
thành cấp số cộng
Hướng dẫn giải:
b. (1;0),(2;0)
3
c. m= ;3;0
2
4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
3 2y x x= − +
Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng phân biệt thuộc C, tiếp tuyến với C tại
A, B, C tương ứng cắt A’, B’, C’, chứng minh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng.
5. Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Gọi d
k
là đường thẳng đi qua M(0;-1) và có hệ số góc k, tìm k để đường
thẳng d
k
cắt C tại 3 điểm phân biệt
Hướng dẫn giải
9
k>- ; 0
8
≠
6.Cho hàm số
3 2

m
) và họ đường thẳng (D
k
) lần lượt có
phương trình là
y = −x
3
+ mx
2
− m và y = kx + k + 1.
(I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên
cung AB với M khác A , B . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm
tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).
2) Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C)
vẽ từ E ∈ ∆ với (C).
3) Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc
với nhau.
4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này
chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.
5) Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).
(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định của (C
m
). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này
vuông góc nhau.
7) Định m để (C
m
) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm

2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x
2
+ 6x ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k
1
= – 3n
2
+
6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ
số góc là k
2
=
1
k
1
−
(với 0 < k
1
≤ 3). Hoành độ của tiếp tuyến vuông góc với
tiếp tuyến M là nghiệm của – 3x
2
+ 6x =
1
k
1
−
(= k
2
) ⇔ 3x
2
– 6x

2
+ 6x)(x – e)+ 1 (1)
⇔ – x
3
+ 3x
2
– 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
⇔ (x – 2)(x
2
– x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
⇔ x = 2 hay x
2
– x – 2 = 3x
2
– 3ex
⇔ x = 2 hay 2x
2
– (3e – 1)x + 2 = 0 (2)
(2) có ∆ = (3e – 1)
2
– 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) có nghiệm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2
Ta có ∆ > 0 ⇔ e < – 1 hay e >
3
5
.
Biện luận :
i) Nếu e < – 1 hay
3
5



=++
><
1)x6x3)(x6x3(
)2(cuỷanghieọmlaứx,x
3
5
e1e
2
2
21
2
1
21










=
=

=+
><




1,
27
55
4) Tip im ca tip tuyn (vi (C)) cú h s gúc bng p l nghim ca :
y' = p 3x
2
6x + p = 0 (3)
Ta cú ' = 9 3p > 0 p < 3
Vy khi p < 3 thỡ cú 2 tip tuyn song song v cú h s gúc bng p.
Gi x
3
, x
4
l nghim ca (3).
Gi M
3
(x
3
, y
3
); M
4
(x
4
, y
4
) l 2 tip im. Ta cú :

4
.
5) Cỏch 1 : i vi hm bc 3 (a 0) ta d dng chng minh c rng :
M (C), ta cú :
i) Nu M khỏc im un, ta cú ỳng 2 tip tuyn qua M.
ii) Nu M l im un, ta cú ỳng 1 tip tuyn qua M.
Cỏch 2 : Gi M(x
0
, y
0
) (C). Phng trỡnh tip tuyn qua M cú dng :
y = k(x x
0
)
3x3x
2
0
3
0
+
(D)
Phng trỡnh honh tip im ca (D) v (C) l :
3 2 2 3 2
0 0 0
3 3 ( 3 6 )( ) 3 3x x x x x x x x + = + +
( 5 )

0)x6x3)(xx()xx(3xx
2
0

xhayxx
0
0
−
==
Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x
0
, y
0
) ∈ (C)
⇔
1x
2
x3
x
0
0
0
=⇔
−
=
Suy ra, y
0
= 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn).
Nhận xét : vì x
0
là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép là
x
0
Phần II : Tham số m thay đổi. y' = – 3x

1y
1x
0xy
01x
3
2
Vậy (C
m
) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1).
Vì y' = – 3x
2
+ 2mx nên tiếp tuyến với (C
m
) tại H và K có hệ số góc lần lượt
là :
a
1
= y'(1) = – 3 + 2m và a
2
= y'(–1) = –3 – 2m.
2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau.
⇔ a
1
.a
2
= – 1 ⇔ 9 – 4m
2
= – 1 ⇔ m =
2
10±





−=
và phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là :
mxm
9
2
y
2
−=
(với m ≠ 0)
8) Khi m ≠ 0, gọi x
1
, x
2
là nghiệm của y' = 0, ta có :
x
1
.x
2
= 0 và x
1
+ x
2
=
3
m2
⇒ y(x

2
m)xx(m
9
2
++−
=
24
mm
27
4
+−
Với m ≠ 0, ta có y(x
1
).y(x
2
) < 0
⇔
2
4
1 0
27
m− + <
⇔
2
33
m
4
27
m
2

2
+ 2mx ≥ 0, ∀x ∈ (1,2). Nếu m ≠ 0 ta có
hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và
3
m2
.
i) Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên






0,
3
m2
. Vậy loại trường hợp m < 0
ii) Nếu m = 0 ⇒ hàm luôn nghịch biến (loại).
iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên






3
m2
,0
Do đó, ycbt ⇔ m > 0 và


10) y" = – 6x + 2m , y" = 0 ⇔ x =
m
3
(C
m
) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau.
⇔ y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành.
⇔














=−+−
>
⇔
=





=−
>
2
63
m
01
27
m2
2
33
m
2
11) Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và (D
k
) là
– x
3
+ mx
2
– m = kx + k + 1
⇔ m(x
2
– 1) = k(x + 1) + 1 + x
3
⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = k + 1 – x + x
2
⇔ x = – 1 hay x
2

b) Vì (D
k
) qua điểm K(–1,1) ∈ (C
m
) nên ta có :
(D
k
) cắt (C
m
) thành 2 đoạn bằng nhau.
⇒ (D
k
) qua điểm uốn








− m
27
m2
;
3
m
3
của (C
m

y = k(x + 1) + 1 (D
k
)
Vậy, phương trình hoành độ tiếp điểm của (D
k
) và (C
m
) là :
– x
3
+ mx
2
– m = (– 3x
2
+ 2mx)(x + 1) + 1 (12)
⇔ m(x
2
– 1) = (– 3x
2
+ 2mx)(x + 1) + 1 + x
3
⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = – 3x
2
+ 2mx + 1 – x + x
2
⇔ x = – 1 hay 2x
2
+ (1 – m)x – m – 1 = 0 (13)
⇔ x = – 1 ∨
2

m2
2
1m
3
2
1m
'y
2
=
4
1
(m
2
– 2m – 3)
Vậy phương trình của 2 tiếp tuyến qua (–1, 1) là :
y = – (2m + 3)(x + 1) + 1
y =
4
1
(m
2
– 2m – 3)(x + 1) + 1
Nhận xét : Có 1 tiếp tuyến tại tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắc chắn
có nghiệm kép là x = – 1 và phương trình (13) chắc chắn có nghiệm là x = – 1.
13) Các tiếp tuyến với (C
m
) tại tiếp điểm của hoành độ x có hệ số góc là :
h = – 3x
2
+ 2mx

+ bx
2
+ cx + d, ta có :
i) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
ii) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
11. Cho hàm số
3 2
y=x +mx -m
, khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Xác định m sao cho
x 1 y 1≤ ⇒ ≤

3 3
m
2
>
;
m 1≤
12. Cho hàm số
3 2
y=2x +3x -12x-1
có đồ thị (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao
cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc toạ độ M(-1 ;12)
13. Cho hàm số
3
1 2
y= x -x+
3 3
có đồ thị (C) . Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó
tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng

.Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được
đúng 3 tiếp tuyến của đồ thị (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
1
M( ;0)
27
17. Cho hàm số có đồ thị (C)
3 2
3 2y x x= − +
1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó qua
23
A( ;-2)
9
y=-2
y=9x-25
5 61
y=- x+
3 27







2.Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị (C) 2 tiếp tuyến
vuông góc
55
A( ;-2)
27
18. Cho hàm số

m=± 5
22. Cho đường cong
3 2
y= - x +mx - m
và đường thẳng y=k(x+1)+1, tìm điều kiện
giữa k và m để đường thẳng cắt C tại 3 điểm phân biệt, tìm k để đường thẳng cắt d
thành 2 đoạn bằng nhau.
3
4m 2(m+1)
k= -
27(m+1) m+2
23. Cho hàm số y = x
3
+3x
2
+mx +1 ; có đồ thị là (Cm)
a. Chứng minh rằng với mọi m thì (Cm) luôn cắt đồ thị (C) : y = x
3
+ 2x
2
+ 7 tại hai
điểm phân biệt A và B . Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
b. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1); D và E .
Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau
c. Tìm a để mọi x : f(x) = (x -2)
2
+ 2|x-a|≥3
Hướng dẫn: Xét phương trình hoành độ giao điểm rồi tính tọa độ trung điểm có
mối quan hệ với m sau đó tìm quỹ tích trung điểm I :
3 2

1
m=±
2