Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc


Toán học là một môn khoa học tự nhiên mang tính chất trừu tượng cao, môn
toán còn là bộ môn công cụ hỗ trợ cho các môn khoa học khác. Với môn đại số
là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng tinh toán, suy luận logic, phát
triển tư duy sáng tạo. Đặc biệt là rèn luyện cho các em học sinh khá,giỏi nâng
cao năng lực tư duy, tính sáng tạo, linh hoạt trong cách tìm lời giải bài toán nhất
là bộ môn đại số càng có ý nghĩa quan trọng.
Việc dạy học sinh giải toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số
kiến thức cơ bản thông qua việc giải các bài tập mà giáo viên cần phải biết rèn
luyện khả năng sáng tạo cho từng học sinh, giúp học sinh biết phân loại ra từng
dạng toán. Vì vậy nhiệm vụ của người thầy không phải là giải bài tập cho học
sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy học sinh cách suy nghĩ để tìm ra
phương pháp giải cho từng dạng toán đó.

Trong quá trình giảng dạy toán ở các trường THCS và qua các năm công tác
giảng dạy tại trường THCS Trần Quang Khải thuộc phòng Giáo dục và đào tạo
huyện Hòa Vang, thành phố Đà Nẵng. Được sự trao đổi học hỏi kinh nghiệm
của các đồng nghiệp và được sự động viên giúp đỡ của lãnh đạo trường, tôi đã
mạnh dạn viết sáng kiến này với suy nghĩ và mong muốn được trao đổi với đồng
nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về “ Mt s phương php
gii cc bài ton cha căn thc” trong chương trình đại số lớp 9. Với mục đích
thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo của từng học sinh trước mỗi bài toán,
đồng thời giáo viên sẽ có thêm kinh nghiệm trong quá trình áp dụng phương
pháp giảng dạy cho từng dạng bài toán. Trên cơ sở đó đối với mỗi bài toán cụ
thể các em học sinh có thể khái quát hóa thành bài toán tổng quát và xây dựng
các bài toán tương tự. Mục đích thứ hai là kích thích sự ham học hỏi của học
sinh giúp các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình ở mọi
lúc, mọi nơi.
Nguyễn Đc Toàn: T trư!ng chuyên môn – Trư&ng THCS Tr*n Quang Khi 1

Nguyễn Đc Toàn: T trư!ng chuyên môn – Trư&ng THCS Tr*n Quang Khi 2
Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc
đối tượng học sinh, nhất là các em học sinh ở vùng nông thôn để các em có
những tài liệu học tập tốt hơn.
./0&'#$%
Qua thời gian nghiên cứu và tham khảo ý kiến của các bạn đồng nghiệp, đồng
thời trực tiếp khảo sát trắc nghiệm sự hứng thú học toán của học sinh lớp 9. 9 tôi
đang dạy thì chỉ có 20% các em thực sự có hứng thú học toán; 40% học sinh
thích học toán nhưng chưa có hứng thú, 30% học sinh nữa thích nữa không,
10% còn lại không thích học toán, các em cho rằng học toán khó quá.
.#10*+2
34.40
a) Hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải cho mỗi bài toán, định hướng cách
giải bài toán, từ đó hướng dẫn học sinh tìm được lời giải ngắn nhất phù hợp nhất.
b) Hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức cơ bản đã học để giải quyết
các vấn đề liên quan đến bài toán.
c) Hình thành các tình huống có vấn đề liên quan đến cách giải bài toán.
d) Khai thác bài toán để tìm ra nhiều cách giải.
e) Hình thành phương pháp giải chung cho từng dạng toán.
56-7#8+*$
Để rèn luyện được khả năng sáng tạo, tư duy logic tìm ra phương pháp giải
các bài toán về căn thức bậc hai cho từng đối tượng học sinh. Điều trước tiên
người thầy phải tìm ra nhiều cách giải và hướng dẫn học sinh tìm được lời giải
cho bài toán.
Do khuôn khổ và giới hạn của đề tài nên tôi chỉ đưa ra một số dạng toán cơ
bản thường gặp và một số bài tập điển hình cho từng dạng toán.
9:; +<0*=>=-?%@'
9:;AB./
9:;C0.4D4E(+F->'
9:;G HI%J#KE%.#L&'MN>=-

2
4 4x x− +
=
2
( 2)x −
có nghĩa với mọi x ( .
 Ecd: (dành cho học sinh khá, giỏi)
Tìm điều kiện của x để y xác định
a)
2
5 7y x x= − +
; b)
2 3 2 5y x x= + + −
Lời giải:
a)
2
5 7y x x= − +
=
2
5 3
2 4
x
 
− +
 ÷
 
có nghĩa
.x R∀ ∈
Vì
2

a)
3
1x −
; b)
2
2
1x
−
−
; c)
2
16
4 4x x− +
Lời giải:
a) có nghĩa khi x 1 > 0  x > 1
b) có nghĩa khi
2 2
1 0 1 1x x x− > ⇔ > ⇔ >
 x > 1 và x < -1
c)
2 2
16 16 16
2
4 4 ( 2)
x
x x x
= =
−
− + −
có nghĩa khi

x
y
x x x x
−
= +
+ + − +
=
( ) ( )
2 2
1 2
2 1 1
x
x x
−
+
+ −
Do đó y xác định khi:
1
2 1 0
2
1 0
1
x
x
x
x

+ ≠
≠ −


1 0 1
x x
x
x
x x
≥ ≥
 
≥

 
⇔ ⇔
  
≠
− ≠ ≠
 

 
 :; So sánh hai số
#Se%f4/%8,(PF-
 Ecd : So sánh hai số sau: (Không dùng máy tính)
a) 3 và
2 2
; b) 4 và ; c)
10
và 3
Lời giải:
a) Ta có
2 2
3 (2 2) 9 8> ⇔ >
(BĐT đúng)

; c)
7
- 2 và 3 -
5
Lời giải:
a) Giả sử: 3 +
2
> 2 +  >
3
-
2
 1 >
3
-
2
 1
2
>
( )
2
3 2−
 1 > 3 + 2 -
2 6
 > 4 
6
> 2
Nguyễn Đc Toàn: T trư!ng chuyên môn – Trư&ng THCS Tr*n Quang Khi 6
Phương php: Có thể bình phương cả hai số.
Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc


 > 4 
15
> 2

( )
2
2
15 2>
 15 > 4 (BĐT đúng)
Vậy 6 -
5 4 3> −
c) Giả sử
5327 −>−

2357 +>+⇔
( )
2
2
557 >+⇔
2535257 >++⇔
13352 >⇔
( )
2
2
13352 >⇔
169140 >⇔
(BĐT sai)
Vậy
5327 −<−
 :;C0.4D4E(+F->'

222
+−+=
51555254 −−+=
510−=
#Se%f4.Mj2X%'80&'./%8,(PF-
* Ecd Tính.
a)
27
3
27
3
+
−
+
−
=A
b)
325
1
325
1
−
−
+
=B
c)
110
9
25
5225

B
− − −
= − =
+ − + −
13
34
1225
34 −
=
−
−
=
Nguyễn Đc Toàn: T trư!ng chuyên môn – Trư&ng THCS Tr*n Quang Khi 8
Phương php: Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân tử và mẫu với
lượng liên hợp của mẫu.
Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc
c)
)110)(110(
)110(9
25
)25(2.5
110
9
25
5225
−+
−
−
−
−

( ) ( )
2 2
1 3 2 3 1 3 2 3A = − + − = − + −
3213 −+−=
=1 (vì
013 <−
và
032 >−
)
b)
( ) ( )
2 2
2 7 3 7 2 7 3 7B = − − + = − − +
)73(27 +−−=
(vì
072 <−
và
073 >−
)
57327 −=−−−=
c)
( ) ( )
5727357273
22
−+−=−+−=C
57273 −+−=
(vì
073 >−
và
0572 >−

( )
2
2
33.2.2233.2.24347 ++=++=+=B
( )
323232
2
+=+=+=
(vì
032 >+
)
c)
58215821 −++=C
55.4.21655.4.216 +−+++=
( ) ( )
2
2
2
2
55.4.2455.4.24 +−+++=
( ) ( )
54545454
22
−++=−++=
85454 =−++=
(vì
054 >+
và
054 >−
)

* Ecd: Phân tích thành nhân tử (Đặt thành tích)
a)
22
yxyx −−+
(với
0≥≥ yx
)
b)
xxyx +−.
(với
0;0 ≥≥ yx
)
c)
bybxaxay +++
(với a,b,x,y không âm)
Lời giải:
a)
))((
22
yxyxyxyxyx +−−+=−−+

( )
)(1)()(.)( yxyxyxyxyx −−+=+−−+=
b)
( ) ( )
1
2
−+=+−=+− xyxxxyxxxyx
c)
( ) ( )

3
ba
abB =
với
0
≠
a
;
0≠b
c)
2
4 4
16
x x
C
− +
=

Lời giải:
a)
2
2
2 2
.
2
A x x
x x


= = =

2
2
2
2
2
4 4
4
2
16 4 4
4
x
x
x
x x
C
x
−

≥

−
−
− +

= = = =

−




= −

vôùi
Lời giải:
a)
( )
2
2
2 1 2 1 1 2 1A x x x x x= + + + + = + + +

1 2 1x x= + + +
2 1 2.2 1 3 4 1 8A⇒ = + + + = + + =Vôùi x=2
Nguyễn Đc Toàn: T trư!ng chuyên môn – Trư&ng THCS Tr*n Quang Khi 12
Phương php: Sau khi rút gọn biểu thức ta thay đổi giá trị của các
biến để tính số trị của biểu thức
Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc
b)
4 2 4 2
4. 4 1 6 9B a a a a= − + − − +
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1 3
2 1 3
a a
a a
= − − −
= − − −


x y
y x y y
+
= −
− − +
= − ≠
− −
−
= = ≠
−
vôùi x -1
vôùi x 2y

( ) ( )
1 3 3 3 1 3
3
1 3 2 2
3
3 3
C
+
⇒ = = = = = −
− −
1+ 1+ 1+
Vôùi y=1-
1-
1- 1+
 :;O 1M%.#LP)TkW(2%.#LQ)TW
&'MN>=-
* Ecd

B x x= + − −
có nghĩa
2
1 2 0x x⇔ − − ≥

1
( 1)(1 2 ) 0 1
2
x x x⇔ + − ≥ ⇔ − ≤ ≤
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm 1 và (1-x-2x
2
) ta có:
2 2
2
1 (1 2 ) 2 2
1.(1 2 )
2 2
x x x x
x x
+ − − − −
− − ≤ =
Suy ra
2 2
2
2 2 2(1 )
1 1
2 2 2
x x x x
B x
− − −


− ≥


Ta có
0C
≥
và
( )
2
2
1 3 4 2 (1 )(3 ) 4C x x x x= + + − = + + − ≥
Suy ra
2C
≥
Vậy GTNN C=2
(1 )(3 ) 0 1x x x⇔ + − = ⇔ = − hoaëc x=3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm ta có:
2 (1 )(3 ) 1 3 4x x x x+ − ≤ + + − =
2
8 2 2C C⇒ ≤ ⇒ ≤
Vậy GTLN
2 2 1 3 1C x x x= ⇔ + = − ⇔ =
 :;R 34S%#1-'F-T4S%#1(UVW
Nguyễn Đc Toàn: T trư!ng chuyên môn – Trư&ng THCS Tr*n Quang Khi 14
Phương pháp: + Sử dụng phép bình phương
+ Sử dụng phép đặt ẩn số phụ
+ Sử dụng phép nhân với biểu thức liên hợp
Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc
 Ecd Giải các phương trình sau:


⇔ ⇔ ≤ ≤

≤

Ta có:
2 2
( 1 3 ) 2x x− + − =
1 3 2 ( 1)(3 ) 4x x x x⇔ − + − + − − =
⇔

( 1)(3 ) 1x x− − =
⇔

( 1)(3 ) 1x x− − =
⇔

2
4 4 0x x− + =
⇔

2
( 2) 0 2 0 2x x x− = ⇔ − = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm
x
=2
b) Pt:
2
3 2 2 6 1 0x x x x+ + − − − − + + =
(1)

2
t
t t
t
=

⇔ − + = ⇔

= −

'
Với
3 3 2 3t x x= ⇒ + + − =
Nguyễn Đc Toàn: T trư!ng chuyên môn – Trư&ng THCS Tr*n Quang Khi 15
(Chọn)
(loại)
1 2
32 162 72
2 3
B
= − +
Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc
Bình phương 2 vế và rút gọn ta được:
2 2
6 2 6 4x x x x− − + = ⇔ − − + =
1
2
2
1
2 0

⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
− ≥ ≤


Phương trình có thể viết thành:
( )
2
( 3 2) (1 2 ) 4 3 0x x x x+ − + − − − − + =
( 3) 4 1 (2 )
( 1)( 3) 0
3 2 1 2
x x
x x
x x
+ − − −
⇔ + − − − =
+ + + −
1 1
( 1)( 3 ) 0
3 2 1 2
x x
x x
⇔ − + + − =
+ + + −
Với điều kiện
3 2x− ≤ ≤
thì biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai dương nên
phương trình có nghiệm duy nhất
1x

c)
( ) ( )
5 3 2 5 3 2C = + − + +
* `2G Trục căn thức ở mẫu:
a)
3
3 2 3+
; b)
3 1
3 1
+
−
; c)
2 2 3
3 2
+
−
Nguyễn Đc Toàn: T trư!ng chuyên môn – Trư&ng THCS Tr*n Quang Khi 16
Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc
9`2O : Tính:
a)
6 2 5 6 2 5A = − − +
b)
28 10 3 3 5B = + − −
c)
1
12 6 3
3 2
C = − +
−

1
1 2 1
x x y
C
x y y
− +
= +
− + +
với x=2; y=3
* `2m Tính (dành cho học sinh khá, giỏi)
a)
8 2 15 8 2 15A = − − +
b)
2
15 8 15 16B a a= − +
với
3 5
5 3
a = +
c)
2
( 1) 3
2 1
x
C
x x
−
=
− +
với

Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc
c)
8 4
4 2
4 2
3 4
2
2
x x
C x x
x x
+ +
= − + −
+ +
Hướng dẫn: Tử của C có thể viết:
( ) ( )
2 2
8 4 8 4 4 4 2
3 4 4 4 2x x x x x x x+ + = + + − = + −
9`2: (Dành cho học sinh khá giỏi)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2 2 7 6 2y x x x x= − − − + + − −
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
2 3
Q
x x
=
− +
c) Cho biểu thức:

rồi dùng phương pháp bình phương 2
vế của phương trình
Câu c) Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm
(2 3) 1 (5 2 ) 1
2 3 5 2 2 (1)
2 2
x x
x x
− + − +
− + − ≤ + =
Mặt khác:
2 2
3 12 14 3( 2) 2 2 (2)x x x x− + = − + ≥ ∀
Nguyễn Đc Toàn: T trư!ng chuyên môn – Trư&ng THCS Tr*n Quang Khi 18
Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc
Từ (1) và (2) ta thấy x thoả mãn pt khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời trở
thành đẳng thức tức là:
2
2 3 5 2 3 12 14 2x x x x− + − = − + =
(2) trở thành đẳng thức khi: x-2=0
⇔
x=2
Thay x=2 vào (1) cũng trở thành đẳng thức. Do đó pt có 1 nghiệm x=2
Trên đây là 6 dạng toán về giải các bài tập chứa căn thức thường gặp trong
chương trình đại số lớp 9. Mỗi dạng toán tôi mới chọn một số bài toán điển hình
để giới thiệu về cách phân loại và phương pháp giải cho mỗi dạng toán đó để
học sinh có thể nhận dạng các bài toán mới thuộc dạng nào, từ đó sẽ có cách giải
hợp lý, nhanh gọn và chính xác hơn.
Nguyễn Đc Toàn: T trư!ng chuyên môn – Trư&ng THCS Tr*n Quang Khi 19
Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc

Nguyễn Đc Toàn: T trư!ng chuyên môn – Trư&ng THCS Tr*n Quang Khi 20
Đề tài: Mt s phương php gii cc bài ton cha căn thc
lên, năm sau luôn cao hơn năm trước. Hơn thế nữa qua cách làm này, các em
học sinh rất hứng thú và yêu thích môn toán hơn. Kết quả cụ thể như sau:
FM
J
X%
/\A
TP4nW
)Sf%>NMU 56r3J
%Q)4
[
Q 5. `1 !6 5DM
SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL
2009-2010 72 10 13,9% 15 20,8% 41 56,9% 6 8,4% / /
3 giải
(1 nhì+ 2 KK)
2010-2011 71 14 19,7% 17 23,9% 36 50,7% 4 5,7% / /
4 giải
(1 nhì + 3 KK)
2011-2012 71 15 21,1% 20 28,2% 34 47,9% 2 2,8% / /
6 giải
(1 nhì+ 1 ba
+ 4 KK)
GZN/*+s)i<6%L
Để thực hiện đề tài này có hiệu quả tôi xin kiến nghị những vấn đề sau:
- Nhà trường cần tiến hành khảo sát chất lượng đầu năm để xác định rõ đối
tượng học sinh.
- Xây dựng kế hoạch phụ đạo học sinh yếu và bồi dưỡng học sinh giỏi ngay
từ đầu năm và kể cả thời gian nghỉ hè.

akt \uZ5\b
STT Tên tài liệu Tác giả
1 SGK đại số 9 Phan Đức Chính (Tổng chủ biên)
Tôn Thân (Chủ biên) và nhóm tác
giả
2 SGV đại số 9 Phan Đức Chính ( Tổng chủ biên)
Tôn Thân (Chủ biên)
Phạm Gia Đức
Trương Công Thành
Nguyễn Duy Thuận
Nguyễn Huy Đoàn
3 Bài tập toán 9 Tôn Thân ( Chủ biên)
Phạm Gia Đức
Trương Công Thành
Nguyễn Duy Thuận
4 Sách Nâng cao và
phát triển toán 9 (Tập
I,II)
Vũ Hữu Bình
5 Toán nâng cao và
các chuyên đề đại số 9
Vũ Dương Thụy ( Chủ biên)
Nguyễn Ngọc Đạm
6 Toán cơ bản và
nâng cao đại số 9
Vũ Hữu Bình
7 Các bài toán có
nhiều cách giải lớp 9
Nguyễn Đức Tấn
8 Các bộ đề thi tuyển