MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông đặc
biệt trong dạy học toán. Trong môn toán, có nhiều dạng toán được giải quyết
nhờ thuật giải. Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán có
thuật giải, có qui tắc giải, có sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh
dễ tiếp thu lĩnh hội. Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu bài toán được
giảm dần phù hợp với khả năng của học sinh, nó là định hướng để học sinh
giải quyết bài toán đó.
Qua việc tìm tòi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán,
từng dạng toán, nó thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học
sinh như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá,…Hơn
nữa, nó còn hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn
thận chi tiết, tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốn
khám phá,…các phẩm chất tốt đẹp của người lao động như: Tính ngăn nắp
cẩn thận, tính kỷ luật, ý thức tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc…
Mặt khác qua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được yêu cầu của xã hội,
của đất nước đang trên con đường công nghiệp hoá hiện đại hoá, đáp ứng yêu
cầu của con người mới trong nền sản xuất tự động hoá và bối cảnh công nghệ
thông tin, tin học đang có ảnh hưởng mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực của
cuộc sống.
Tuy nhiên ở trường phổ thông hiện nay, vấn đề rèn luyện và phát triển
TDTG chưa được quan tâm đúng mức, nó chỉ diễn ra một cách tự phát, chưa
có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn GV thực hiện. Do đó, GV chưa biết cách
khai thác các tình huống, các nội dung dạy học nhằm rèn luyện và phát triển
TDTG cho học sinh.
1
Khi dạy một nội dung toán học, ngoài việc giúp học sinh nắm vững nội
dung đó, ta cần giúp học sinh biết vận dụng nó để học và giải quyết các bài
tập, các nội dung khác có liên quan.
BĐT được giảng dạy cho học sinh THPT ở lớp 10. Tuy thời gian có ít

5.2. Phương pháp quan sát điều tra:
+ Điều tra chất lượng học sinh trước và sau thử nghiệm
+ Quan sát giờ dạy để tìm hiểu thực trạng về rèn luyện tư duy thuật giải
của giáo viên và học sinh.
+ Sưu tầm các bài toán, các vấn đề có liên quan. Những kinh nghiệm
của bản thân và của các đồng nghiệp.
+ Chọn lọc phân loại các vấn đề sưu tầm được.
5.3. Thực nghiệm sư phạm:
Tác giả trực tiếp dạy và phối hợp với đồng nghiệp dạy và kiểm tra học
sinh ở trường THPT Yên Dũng số I và THPT Yên Dũng số II.
6. CẤU TRÚC LUẬN VĂN:
Ngoài phần mở đầu, mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba
chương:
Chưong 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải toán có ứng dụng bất đẳng thức.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. TƯ DUY THUẬT GIẢI TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
1.1.1. Một số vấn đề về tư duy
* Khái niệm
“Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mối
quan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa
biết” [13, tr.1].
Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính ở
góc độ trực quan, cụ thể, bề ngoài, các mối quan hệ về mặt không gian, thời
gian và trạng thái vận động của sự vật hiện tượng, phản ánh trực tiếp bằng

1.1.2.1.1. Thuật giải
Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến
phức tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả
quá trình giải. Từ việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trực
giác về thuật giải.
Theo [10, tr. 378 ]: “Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một
dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một
số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của
một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài
toán đó”
Theo [9, tr. 51] thì: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy
định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên
những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được
kết quả mong muốn”
5
Những khái niệm trên đều thống nhất rằng mỗi thuật giải đều có những
tính chất cơ bản và quan trọng sau:
* Tính đơn trị
Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phải
đơn trị. Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trên
cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả. Tính chất này nói lên tính
hình thức hoá của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự
động thực hiện thuật giải thay thế con người.
Ví dụ: Thuật giải hệ phương trình bậc nhất:



=+
=+
''' cybxa

Bước 3:
Kiểm tra xem trong số thứ hai xem thừa số nào bằng thừa số nhỏ nhất
của số thứ nhất không?
Nếu có chuyển sang bước 4.
Nếu không chuyển sang bước 5.
Bước 4:
Viết riêng thừa số đó, xoá thừa số đó trong cả hai số.
Bước 5:
Xóa thừa số nhỏ nhất ra khỏi số thứ nhất.
Bước 6:
Kiểm tra trong thừa số thứ nhất còn lại thừa số nào chưa xoá không?
Nếu còn thì trở lại: Bước 1 Bước 2 Bước 3 Bước 4
Bước 5 Bước 6.
Nếu không chuyển sang bước 7.
Bước 7:
Nhân tất cả các thừa số đã viết riêng. Tích của các số đó chính là ƯCLN
của hai số x và y.
7
Trong thuật giải trên mỗi số x, y chỉ phân tích được thành tích của một
số hữu hạn các thừa số nguyên tố.
Với các thao tác xóa dần các số nguyên tố trong số x, đảm bảo sau một
số hữu hạn bước trong x, không còn số nguyên tố nào. Khi đó thuật giải thu
được kết quả mong muốn.
* Tính đúng đắn
Thuật giải phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn
đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn. Thuật giải không cho phép
kết quả sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp.
Ví dụ:
Giải phương trình ax + b = 0.
Bước 1: Xác định các số a, b.

+ Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn. Đặc biệt trong điều kiện hiện
nay khi mà có nhiều phương tiện, kĩ thuật trợ giúp thực hiện các thuật giải.
* Các hình thức biểu diễn thuật giải
Thuật giải tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau. Trong môn toán và
trong thực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau:
Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng
trình và các ngôn ngữ lập trình.
Ta lấy ví dụ giải phương trình bậc hai: ax
2
+ bx +c = 0 (a
≠
0) để minh
hoạ cho các hình thức biểu diễn thuật giải.
Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.
Bước 1: Bắt đầu (Xác định a, b, c).
Bước 2: Tính
∆
= b
2
- 4ac.
Bước 3:
+ Nếu
∆
= 0 thì kết luận phương trình có nghiệm kép x =
a
b
2
−
.
+ Nếu

: thực; y: văn bản;
Bắt đầu
D: = b
2
- 4ac;
Nếu D < 0 thì y := “phương trình vô nghiệm”
Còn nếu D = 0 thì bắt đầu
y := “phương trình có một nghiệm kép”;
x
1
:= -b/(2a); x
2
:= x
1
; kết thúc
Còn bắt đầu
y:= “pt có hai nghiệm phân biệt”;
x
1
:= (-b +
D
)/(2a); x
2
:= (-b -
D
)/(2a); kết thúc
Kết thúc.
Dạng 4: Ngôn ngữ PASCAL
Sau khi biểu diễn thuật giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng
trình như trên, ta mới viết chương trình trong ngôn ngữ cấp cao, chẳng hạn

phân biệt :
x =(-b -)/(2a)
x= (-b+)/(2a)
Kết thúc
+
_
+
-
then wreti (
’
nghiem kep
’
, -b/(2*a) :8 : 2)
else
begin
write (
’
x
1
=
’
, (-b+sqrt(d))/(2*a) :9 :2);
write (
’
x
2
=
’
, (-b-sqrt(d))/(2*a) :9 :2)
end;

lim
→
x
y
∆
∆
.
11
Giới hạn (nếu có) của tỉ số trên gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại
điểm x. Trong quy tắc này, học sinh dễ hình dung và nắm được quy tắc, các
bước tiến hành để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x. Tuy nhiên có những
chỉ dẫn chưa mô tả một cách xác định công việc, chẳng hạn: chỉ dẫn ở bước 3
về việc tìm lim
Δx 0
lim
→
x
y
∆
∆
. Do vậy, có học sinh mặc dù áp dụng đúng trình tự
trên nhưng vẫn không tìm được đạo hàm của hàm số cụ thể, mặc dù giới hạn
này tồn tại.
Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:
+ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc đó có thể chưa mô tả hành động một cách
xác định.
+ Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị.
+ Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì
đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán.
Mặc dù có một số hạn chế trên so với thuật giải song quy tắc tựa thuật

T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc.
Hoạt động T1 thể hiện năng lực thực hiện thuật giải.
Các hoạt động từ T2 đến T5 thể hiện năng lực xây dựng thuật giải. Cả 5
hoạt động trên đươc gọi là các hoạt động của TDTG.
13
Như vậy có thể phát biểu rằng: “TDTG là phương thức tư duy biểu thị
khả năng tiến hành các hoạt động thực hiện và xây dựng thuật giải”.
1.2. MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TDTG TRONG MÔN TOÁN
TDTG được rèn luyện ở trường phổ thông thông qua dạy học thực hiện,
xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải. Qua các tình huống điển
hình trong dạy học toán. TDTG có mặt ở các cấp học, các môn trong bộ môn
toán: Khi học môn số học, HS được biết các thuật giải tìm ƯCLN , BCNN …
Khi học các Hệ thống số, các quy tắc tính toán, so sánh thường mang tính
thuật giải. Trong Đại số, HS được học các thuật giải phương trình bậc nhất,
phương trình bậc 2, thuật giải hệ phương trình bậc nhất…Trong dạy học giải
toán có ứng dụng BĐT có thể rèn luyện TDTG cho HS thông qua việc hướng
dẫn HS phát hiện , xây dựng các thuật giải và quy tắc tựa thuật giải để giải
một số bài toán, dạng toán (Các dạng toán này sẽ được trình bày ở chương 2).
* Thực hiện thuật giải
Trong chương trình toán phổ thông, HS được học, thực hiện nhiều thuật
giải như: Thuật giải tìm ƯCLN, BCNN, thuật giải phương trình, hệ phương
trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc nhất với sinx và cosx:
asinx + bcosx = c,…
Ví dụ:
Áp dụng thuật giải phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) để giải
phương trình: x

3
2
+
=
Khi dạy học thực hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cần lưu ý:
+ Cho HS biết nhiều hình thức thể hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật giải
tạo điều kiện cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự các bước của
thuật giải đó.
+ Mặc dù các bước của thuật giải đã được trình bày rõ theo một trình tự
xác định tuy nhiên, cần luyện tập cho HS thực hiện tốt các chỉ dẫn đã nêu.
Nếu HS không biết thực hiện những chỉ dẫn như vậy thì dù có học thuộc các
quy tắc tổng quát cũng không thể áp dụng nó vào trường hợp cụ thể, vẫn
không giải quyết được yêu cầu của công việc.
* Xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải
Bên cạnh việc học và thực hiện các thuật giải có sẵn, HS cũng cần được
rèn luyện cách xây dựng các thuật giải, quy tắc tựa thuật giải. Đặc biệt, trong
giải toán nếu ta xây dựng được nhiều các thuật giải và các quy tắc tựa thuật
giải sẽ giúp HS sử dụng chúng thực hiện tốt , nhanh gọn , chính xác yêu cầu
của bài toán.
Ví dụ: Hướng dẫn HS xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho dạng toán:
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Bài toán: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là hai điểm lần lượt trên AB và AC
sao cho MN cắt BC. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng
(BCD).
Phân tích :
Gọi K là giao điểm của MN và (BCD)
15
⇒
K
∈

* Từ phân tích trong ví dụ trên, GV giúp học sinh xây dựng quy tắc tựa
thuật giải cho bài toán: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Bài toán:
Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Quy tắc tựa thuật giải:
Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa a.
Bước 2: Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).
Bước 3: Tìm giao điểm M của a và b.
Bước 4: Kết luận M là giao điểm cần tìm.

1.3. VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN TDTG TRONG MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG
PHỔ THÔNG
1.3.1. Vai trò TDTG trong dạy học môn toán
TDTG là một trong số các loại hình tư duy cần được rèn luyện và phát
triển cho học sinh phổ thông. Phát triển TDTG của HS là góp phần nâng cao
16
chất lượng toàn diện của quá trình dạy học toán. Trong dạy học toán, vai trò
của TDTG được thể hiện ở các mặt sau:
+ TDTG tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các
kĩ năng toán học.
+ TDTG cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung như:
Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…cũng như
những phẩm chất trí tuệ như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo,…
+ TDTG góp phần hình thành ở học sinh một số phẩm chất tốt đẹp của
người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như tính ngăn nắp, tính kỉ luật,
ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu trong khi giải quyết công việc,…
+ TDTG giúp HS hình dung được quá trình tự động hóa diễn ra trong
các lĩnh vực họat động khác nhau của con người trong đó có lĩnh vực sử lí
thông tin. Điều này giúp HS thích nghi với xã hội tự động hóa, góp phần xóa
bỏ sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội.

:
Với mỗi phần tử x
∈
R thì phần tử tương ứng y là duy nhất.
Ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng thuật giải sau để nhận dạng khái
niệm hàm số:
Quy tắc đang xét là
một hàm số
P
2
Quy tắc đang xét không
là một hàm số
Kết thúc
Bắt đầu
P
1
+
+
18
Trường hợp tổng quát
Khi tính chất đặc trưng của khái niệm là hội của n điều kiện thì định
nghĩa có cấu trúc:
x
∈
A(x)
⇔
B
1
(x)
Λ

Một trong những yêu cầu của việc dạy học định lí là giúp HS nắm được
hệ thống các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó HS có khả năng
vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong
thực tiễn.
Trong quá trình dạy học định lí, nếu giúp HS xây dựng được các thuật
giải, quy tắc tựa thuật giải để chứng minh, thể hiện định lí sẽ tạo điều kiện tốt
để HS tiếp thu, lĩnh hội, và vận dụng chúng vào trong các hoạt động giải toán.
Ví dụ :
Khi dạy học định lí dấu tam thức bậc hai ta có thể hướng dẫn, giúp HS
xây dựng quy tắc thuật giải thể hiện định lí để xét dấu của tam thức bậc hai
f(x) = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) như sau:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c và dấu của a.
Bước 2: Tính biệt số
∆
= b
2
– 4ac.
Bước 3: Áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai:
•
Nếu a > 0
∆
< 0 thì kết luận f(x) > 0 với
∀
x
∈
R.


; f(x) < 0 với: x
1
< x < x
2
.
•
Nếu a < 0
∆
< 0 thì kết luận f(x) < 0 với
∀
x
∈
R.
∆
= 0 thì kết luận f(x) < 0 với
∀
x
≠
2
b
a
−
.
20
∆
> 0 thì:
+ Tìm hai nghiệm x
1
, x

thức và giúp HS có những tri thức phương pháp trong giải toán.
Ví dụ:
Hướng dẫn HS xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho bài toán: Xác định
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD từ bài toán cụ thể sau:
Cho hình chóp đều S.ABCD: AB = a, SA = 2a. Xác định tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.
* Phân tích:
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Do IA = IB = IC = ID nên
I
∈
d trong đó, d là đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại tâm O của đường
tròn ngoại tiếp đáy ABCD (d gọi là trục của đường tròn tâm O). Tứ giác
ABCD là hình vuông nên O là giao của AC và BD.
Mặt khác: IA = IB = IC = ID = IS nên I
∈
(P) trong đó (P) là mặt phẳng
trung trực của một cạnh bên. Từ đó ta có I là giao của (P) và d
Như vậy ta cần:
21
•
Tìm tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD.
•
Tìm d là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy.
•
Tìm (P) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
•
Tìm giao điểm I của d và (P).
* Từ bài toán trên giáo viên có thể hướng dẫn xây dựng qui tắc tựa
thuật giải cho bài toán:
Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

•
Tìm giao điểm I
0
của A’B với (P).
Bước 4: Tính A’B.
Bước 5: Kết luận: minQ = A’B đạt được khi M trùng I
0
.
1.4. TÌNH HÌNH DẠY HỌC ỨNG DỤNG BĐT ĐỂ GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG THPT
Nội dung BĐT được trình bày cho học sinh THPT ở SGK Đại số 10 với
thời lượng 4 tiết (2 tiết lí thuyết và 2 tiết bài tập). Thời gian có ít tuy nhiên,
nội dung BĐT rất phong phú, đa dạng và có nhiều ứng dụng trong các hoạt
động giải toán. Qua tìm hiểu tình hình dạy học BĐT và các ứng dụng của
BĐT ở một số trường THPT chúng tôi có một số nhận xét sau:
•
Về phía giáo viên:
+ Đa số GV chưa thực sự quan tâm việc dạy học giải toán có ứng dụng
BĐT. Nhiều GV cho rằng BĐT và việc ứng dụng BĐT trong giải toán là vấn
đề khó đối với GV và HS. Mặt khác do sức ép của thời gian đứng lớp ít mà
vẫn phải hoàn thành chương trình SGK, do thói quen bảo thủ, ỷ lại vào các
công cụ khác để giải quyết vấn đề nên họ ít quan tâm nghiên cứu …Trong khi
vẫn biết có nhiều bài toán, nhiều vấn đề nếu biết ứng dụng BĐT sẽ đem lại lời
giải hay, ngắn gọn, dễ hiểu, tiết kiệm thời gian, tránh được sự tính toán phức
tạp, dài dòng…
+ Có một số ít GV phải bồi dưỡng HS giỏi đã quan tâm, nghiên cứu ứng
dụng BĐT để giải toán.
+ Đa số các GV thiếu định hướng, hệ thống các bài toán có ứng dụng
BĐT.
+ Nhiều GV chưa chú trọng quan tâm đến việc dạy tri thức phương
pháp và rèn luyện TDTG cho HS.

nhiều em rất lúng túng trong việc lập bảng biến thiên hoặc tính toán sai. Có
một số ít biết sử dụng BĐT Côsi để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Như vậy, tình hình dạy học nội dung: Giải toán có ứng dụng BĐT ở
trường phổ thông còn có những bất cập, cả về phía GV và HS, dẫn đến chất
lượng dạy học giải toán chưa cao. HS còn gặp nhiều khó khăn khi giải những
bái toán có ứng dụng BĐT, mà nguyên nhân chủ yếu là do HS yếu cả về kiến
thức và phương pháp tư duy, chưa biết cách tìm ra những thuật giải, qui tắc
tựa thuật giải để giải quyết các bài toán đó.
1.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
TDTG là một trong những thành phần quan trọng của tư duy toán học.
TDTG có vị trí và tầm quan trọng trong môn toán của nhà trường phổ thông,
được thể hiện ở các cấp học, các môn học trong bộ môn toán.
24
Rèn luyện và phát triển TDTG góp phần phát triển tư duy toán học cho
HS, góp phần nâng cao chất lượng toàn diện của quá trình dạy học toán và
thực hiện một phương hướng giáo dục tin học trong nhà trường phổ thông.
TDTG được khai thác, rèn luyện, phát triển trong các nội dung dạy học của
quá trình dạy học. Tuy nhiên, trong dạy học toán ở trường THPT, vấn đề rèn
luyện TDTG còn có những khó khăn, tồn tại.
Vấn đề đặt ra là: Với mỗi nội dung, tình huống dạy học cụ thể việc khai
thác chúng như thế nào để rèn luyện và phát triển TDTG cho HS? Vấn đề này
sẽ được đề cập trong chương 2 khi vận dụng vào nội dung dạy học: Ứng dụng
BĐT trong giải toán.
25