Trường Đại Học Kiến Trúc Hà Nội
Bộ môn Toán Cao Cấp

Toán Cao Cấp Phần 1
Hệ vừa học vừa làm
•
Giảng viên : Hoàng Xuân Hải

Nội dung cơ bản của Toán 2.
Số phức
Ma trận
Định thức
Hệ phương trình tuyến tính
Hàm số-giới hạn hàm số
Đạo hàm-vi phân
Tích phân bất định
Trị riêng và vectơ riêng
Bài 1: Số Phức

-
0.1 – Dạng đại số của số phức
0.2 – Dạng lượng giác của số phức
0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa
0.5 – Khai căn số phức
0.3 – Dạng mũ của số phức
0.1 Dạng đại số của số phức

Không tồn tại một số thực nào mà bình phương của nó là một
số âm. Hay, không tồn tại số thực x sao cho x
2
= -1.

= 2 + 3i; z
2
= m + 3i.
Tìm tất cả các số thực m để z
1
= z
2
.
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và
phần ảo tương ứng bằng nhau.
Nói cách khác, hai số phức z
1
= a
1
+ ib
1
và z
2
= a
2
+ib
2
bằng
nhau khi và chỉ khi a
1
= a
2
và b
1
= b

0.1 Dạng Đại số của số phức

Định nghĩa phép nhân hai số phức.
Cho z
1
= a + bi và z
2
= c + di là hai số phức, khi đó
z
1
.z
2
= (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)i
Ví dụ
Tìm dạng đại số của số phức
z = (2 + 5i).(3+ 2i)
Giải
z = (2 + 5i)(3 + 2i)
= 6 + 4i + 15i + 10 i
2
Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i.
= 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i
= 6 + 19i + 10(-1)= -4 + 19i
0.1 Dạng Đại số của số phức

Cộng, trừ, nhân hai số phức:
Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực
và phần ảo tương ứng.
Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai
biểu thức đại số với chú ý i

3. khi và chỉ khi z là một số thực.
z z=
4.
z w z w+ = +
5.
z w z w× = ×
6.
z z=
7. với mọi số tự nhiên n
( )
n n
z z=
Tính chất của số phức liên hợp
0.1 Dạng Đại số của số phức

Phép chia hai số phức.
1 1 1
2 2 2
z a ib
z a ib
+
=
+
1 1 1 2 2
2 2 2 2 2
( )( )
( )( )
z a ib a ib
z a ib a ib
+ −

23
Giải.
)5)(5(
)5)(23(
5
23
ii
ii
i
i
+−
++
=
−
+
125
210315
2
+
+++
=
iii
i
i
2
1
2
1
26
1313

1
không có nghĩa trong trường số phức C ngoại trừ chúng ta
định nghĩa khái niệm so sánh một cách khác.
0.1 Dạng Đại số của số phức

0.2 Dạng lượng giác của số phức

-
( , )• ≡ = +M a b z a bi
ϕ
r
b
a
o
x
y
2 2
mod( )= + =r a b z
cos
:
sin
ϕ
ϕ
ϕ

=



=

là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d).
2 2
| | ( ) ( )z w a c b d− = − + −
0.3 Dạng mũ của số phức

Ví dụ
Tìm tất cả các số phức z thỏa
| 2 3 | 5− + =z i
Giải
| 2 3 | 5z i− + =
| (2 3 )| 5z i⇔ − − =
đường tròn tâm (2,-3) bán kính bằng 5.
0.2 Dạng lượng giác của số phức

Định nghĩa argument của số phức
Góc được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu
là
ϕ
arg( ) .
ϕ
=z
Góc được giới hạn trong khoảng
ϕ
Lưu ý.
0 2
ϕ π
≤ <
hoặc
π ϕ π
− < ≤

0.2 Dạng lượng giác của số phức

Giải
Ví dụ
Tìm argument của số phức
3 .= +z i
3; 1= =a b
. Ta tìm góc thỏa:
ϕ
3 3
os =
2
3 1
ϕ
= =
+
a
c
r
1 1
sin =
2
3 1
ϕ
= =
+
b
r
Suy ra
6

1 3.= − +z i
1; 3.= − =a b
1 1
os =
2
3 1
ϕ
− −
= =
+
a
c
r
3 3
sin =
2
3 1
ϕ
= =
+
b
r
Suy ra
2
3
π
ϕ
=
Dạng lượng giác:
2 2

(cos( ) sin( ))z z r r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
× = + + +
Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau
và argument cộng lại.
0.2 Dạng lượng giác của số phức

Giải
(1 )(1 3)= + −z i i
Dạng lượng giác:
Ví dụ
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức
(1 )(1 3).= + −z i i
2( os in ) 2( os in )
4 4 3 3
π π π π
− −
= + × +z c is c is
2 2[ os( ) in( )]
4 3 4 3
π π π π
− −
= + + +z c is
2 2( os in ).
12 12
π π
− −
= +z c is