Cơ sở lý thuyết hàm biến phức Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 565 Tr.

Từ khoá: Mặt phẳng phức, Hàm số phức, số phức, Hàm biến phức, Điểm tụ,
Biên của tập hợp, Tập hợp compact, Hàm phức biến thực, Miền đơn liên, Đa
liên, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Nguyên lý thác triển
giải tích, tập hợp mờ, Hàm đa trị, Diện đa liên, Lý thuyết thặng dư, Hàm đơn
diệp, Phiến hàm liên tục, Diện Riemann.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
NGUY
ˆ
E
˜
N THUY
’
THANH

’
NDA
.
IHO
.
CQU
ˆ
O
´
C GIA H
`
AN
ˆ
O
.
I
H`a Nˆo
.
i – 2006
Mu
.
clu
.
c
L`o
.
in´oid
ˆa
`
u 8

.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 12
1.1.2 Da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 16
1.1.3 Ph´ep tr`u
.
v`a ph´ep chia sˆo
´
ph´u
.
c 18
1.1.4 M˘a
.
t ph˘a

m˘a
.
t ph˘a
’
ng mo
.
’
rˆo
.
ng 30
1.1.9 Khoa
’
ng c´ach trˆen C 33
1.2 C´ac kh´ai niˆe
.
m tˆopˆo co
.
ba
’
n trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 35
1.2.1 Tˆopˆo trˆen C 36
1.2.2 Phˆa
`
n trong v`a phˆa

pliˆenthˆong 42
1.2.7 H`am ph´u
.
cbiˆe
´
n thu
.
.
c. Tuyˆe
´
nv`adu
.
`o
.
ng cong . . . . . . 46
1.2.8 Ph´ep d
ˆo
`
ngluˆan 53
1.2.9 Miˆe
`
nd
o
.
n liˆen v`a daliˆen 56
2MU
.
CLU
.
C

ncu
’
ah`am 64
1.3.4 T´ınh liˆen tu
.
c v`a liˆen tu
.
cd
ˆe
`
u 67
1.4 L ´y thuyˆe
´
t d˜ay v`a chuˆo
˜
i trong miˆe
`
nph´u
.
c 72
1.4.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay diˆe
’
m 72
1.4.2 Chuˆo

d
ˆe
`
u trˆen t`u
.
ng comp˘a
´
c 92
1.5 H`am arg z 95
1.5.1 T´ınh liˆen tu
.
ccu
’
a h`am arg z 95
1.5.2 Sˆo
´
gia cu
’
a acgumen do
.
c theo du
.
`o
.
ng cong . . . . . . . . 96
1.5.3 Nh´anh d
o
.
n tri
.

vi 110
2.1.4 Mˆo
´
i liˆen hˆe
.
gi˜u
.
a C - kha
’
vi v`a R
2
- kha
’
vi . . . . . . . 114
2.1.5 H`am chı
’
nhh`ınh 115
2.1.6 Khˆong gian c´ac h`am chı
’
nhh`ınh 121
2.2 Mˆo
.
tsˆo
´
h`am chı
’
nh h`ınh so
.
cˆa
´

MU
.
CLU
.
C3
2.2.7 Nh´anh chı
’
nh h`ınh cu
’
a h`am da tri
.
134
2.3 H`am chı
’
nh h`ınh v`a ´anh xa
.
ba
’
ogi´ac 138
2.3.1
´
Y ngh˜ıa h`ınh ho
.
ccu
’
a acgumen cu
’
ad
a
.

’
ng cˆa
´
uso
.
cˆa
´
p 146
2.4.1 D
-
˘a
’
ng cˆa
´
u phˆan tuyˆe
´
nt´ınh 147
2.4.2
´
Anh xa
.
w = e
z
v`a z = log w 160
2.4.3 H`am Jukovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.4.4 C´ac d
˘a
’
ng cˆa
´

3.1.2 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ngt´ıchphˆan 193
3.1.3 T´ınh t´ıch phˆan b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap qua gi´o
.
iha
.
n 194
3.1.4 Da
.
ng vi phˆan d
´ung v`a da
.
ng vi phˆan d´ong . . . . . . . 200
3.1.5 T´ıch phˆan du
.
`o

3.2.3 T´ınh bˆa
´
tbiˆe
´
ncu
’
a t´ıch phˆan d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac tuyˆe
´
nd
ˆo
`
ng luˆan227
3.2.4 Cˆong th´u
.
c t´ıch phˆan co
.
ba
’
nth´u
.
nhˆa
´
tcu
’
a Cauchy . . . 231

o h`am cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh241
3.2.8 D
-
iˆe
`
ukiˆe
.
nd
u
’
dˆe
’
h`am f chı
’
nh h`ınh . . . . . . . . . . . . 250
3.2.9 H`am d
iˆe
`
u h`oa v`a mˆo
´
i liˆen hˆe
.
v´o
.
i h`am chı
’

a h`am chı
’
nh h`ınh 278
4.1 C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy . . . 279
4.1.1 D
-
i
.
nh l´y gi´a tri
.
trung b`ınh 279
4.1.2 D
-
i
.
nh l´y Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
4.1.3 D
-
i
.

’
m kh´ac nhau trong viˆe
.
c xˆay du
.
.
ng l´y
thuyˆe
´
t h`am chı
’
nhh`ınh 305
4.2 T´ınh chˆa
´
t duy nhˆa
´
tcu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh . . . . . . . . . . . . 310
4.2.1 Khˆong d
iˆe
’
m (0-diˆe
’
m) cu
’
a h`am chı
’

.
ng cˆo lˆa
.
p 326
4.3.1 Chuˆo
˜
iLaurent 326
4.3.2 D
-
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng cˆo lˆa
.
pdo
.
n tri
.
337
4.3.3 D´ang diˆe
.
ucu
’
a h`am ta
.

´
tbiˆe
´
ncu
’
atˆa
.
pho
.
.
pmo
.
’
363
4.5 B`ai tˆa
.
p 365
5 H`am d
a tri
.
v`a diˆe
.
n Riemann 369
5.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap th´ac triˆe
’
ncu

.
’
ch´ınh t˘a
´
c 372
5.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap th´ac triˆe
’
ncu
’
a Weierstrass . . . . . . . . 373
5.1.4 H`am khˆong cho ph´ep th´ac triˆe
’
n gia
’
i t´ıch . . . . . . . . 378
5.2 C´ac phu
.
o
.
ngph´apkh´ac 380
5.2.1 Th´ac triˆe
’
n gia
’
i t´ıch theo tuyˆe
´

.
v`a d
a tri
.
.
D
-
i
.
nh l´y d
o
.
n tri
.
(monodromie) . . . . . . . . . . . . . . 396
5.3.4 Nh´anh v`a phu
.
o
.
ng ph´ap t´ach nh´anh chı
’
nh h`ınh . . . . 399
5.3.5 Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
d
iˆe
’
mbˆa

.
.
ng diˆe
.
n Riemann . . . . . . . . . . . . 419
5.5 B`ai tˆa
.
p 420
6 L´y thuyˆe
´
t th˘a
.
ng du
.
v`a ´u
.
ng du
.
ng 422
6.1 Co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t th˘a
.
ng du
.

´
t th˘a
.
ng du
.
436
6.1.4 T´ınh t´ıch phˆan theo chu tuyˆe
´
nd´ong . . . . . . . . . . 444
6.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
al´ythuyˆe
´
t th˘a
.
ng du
.
448
6.2.1 Phu
.
o
.

ng I =

R
+
R(x)x
α
dx 463
6.2.6 Mˆo
.
tsˆo
´
v´ıdu
.
kh´ac 478
6.2.7 T`ım tˆo
’
ng cu
’
a chuˆo
˜
i 490
6.3 H`am nguyˆen v`a h`am phˆan h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
6.3.1 H`am phˆan h`ınh. B`ai to´an Cousin th´u
.
nhˆa
´
t trong m˘a
.
t
ph˘a

ndiˆe
.
p 517
7.1.2 D
-
iˆe
`
ukiˆe
.
nd
u
’
dˆe
’
h`am do
.
ndiˆe
.
p 522
7.1.3 Su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay h`am do
.

.
ba
’
o gi´ac . . . . . . . . . . 527
7.1.6 D
-
˘a
’
ng cˆa
´
u v`a tu
.
.
d
˘a
’
ng cˆa
´
u 528
7.1.7 D
-
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
ndˆe
’
tˆo

.
ba
’
o gi´ac . . . . . . . . . 537
7.2.1 Tˆa
.
pho
.
.
pbi
.
ch˘a
.
n trong H(D) 538
7.2.2 Tˆa
.
pho
.
.
p liˆen tu
.
cdˆo
`
ng bˆa
.
c 539
7.2.3 Nguyˆen l´y comp˘a
´
c 540
7.2.4 Phiˆe

’
o gi´ac . . . . . . . . . . 553
MU
.
CLU
.
C7
7.2.8 Su
.
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng gi˜u
.
a c´ac biˆen v`a cˆong th´u
.
c Christoffel-
Schwarz 554
7.3 B`ai tˆa
.
p 560
T`ai liˆe
.
u tham kha
’
o 563

athˆe
´
ky
’
XVIII bo
.
’
i c´ac cˆong tr`ınh cu
’
a L. Euler. V´o
.
itu
.
c´ach mˆo
.
t nh´anh dˆo
.
clˆa
.
p,
LTHBP du
.
o
.
.
c h`ınh th`anh v`ao gi˜u
.
athˆe
´
ky

iˆe
’
nv`u
.
ahiˆe
.
nd
a
.
i, v`u
.
ag˘a
´
n b´o mˆa
.
t thiˆe
´
tv´o
.
i
c´ac nh´anh hiˆe
.
nd
a
.
i nhˆa
´
tcu
’
a to´an ho

’
ng v`a kˆe
´
t qua
’
cu
’
an´od˜a thˆam nhˆa
.
p sˆau
v`ao nhiˆe
`
u phˆa
`
n kh´ac nhau cu
’
a to´an ho
.
c. C´ac phu
.
o
.
ng ph´ap cu
’
a LTHBP d˜a
tro
.
’
th`anh quen thuˆo
.

´
t buˆo
.
c, l`a mˆo
.
t phˆa
`
ntˆa
´
tyˆe
´
ucu
’
a gi´ao du
.
c to´an ho
.
cdˆo
´
iv´o
.
i c´ac hˆe
.
d`ao ta
.
o:
To´an, To´an - Co
.
, To´an - Tin ´u
.

’
l´y thuyˆe
´
t h`am biˆe
´
nph´u
.
c” n`ay du
.
o
.
.
c biˆen soa
.
n theo
s´at chu
.
o
.
ng tr`ınh H`am biˆe
´
nph´u
.
cdu
.
o
.
.
cDa
.

i
dung v`a cˆa
´
utr´uc cu
’
a chu
.
o
.
ng tr`ınh hiˆe
.
n h`anh cu
’
aDa
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
i.
N´o du
.
o
.
.
cbiˆen soa
.
ndu

’
tru
.
`o
.
ng Da
.
i
ho
.
cTˆo
’
ng ho
.
.
pH`aNˆo
.
i tru
.
´o
.
cd
ˆay v`a Da
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.

uv´ıdu
.
minh
L`o
.
i n´oi d
ˆa
`
u 9
ho
.
adu
.
o
.
.
ccho
.
nlo
.
ck˜y c`ang v`a d
u
.
o
.
.
c gia
’
imˆo
.

iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
i, 2003)
cu
’
ach´ung tˆoi s˜el`abˆo
.
s´ach d´ap ´u
.
ng du
.
o
.
.
cnh˜u
.
ng yˆeu cˆa
`
uco
.
ba
’
nvˆe
`
LTHBP
cu

cTˆo
’
ng ho
.
.
pH`aNˆo
.
i tru
.
´o
.
cdˆay v`a tru
.
`o
.
ng
D
a
.
iho
.
c Khoa ho
.
cTu
.
.
nhiˆen ng`ay nay d
˜a t a
.
odiˆe

´
n qu´y b´au
cho t´ac gia
’
khi chuˆa
’
nbi
.
ba
’
n tha
’
o gi´ao tr`ınh n`ay.
T´ac gia
’
chˆan th`anh mong nhˆa
.
ndu
.
o
.
.
csu
.
.
quan tˆam v`a g´op ´y cu
’
aba
.
ndo

o
.
ng 1
M˘a
.
tph˘a
’
ng ph´u
.
cv`ah`am biˆe
´
n
ph´u
.
c
1.1 Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.

c 18
1.1.4 M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 19
1.1.5 Mˆod
un v`a acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 20
1.1.6 Ph´ep khai c˘an sˆo
´
ph´u
.
c 28
1.1.7 Da
.
ng m˜u cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 29

1.2.1 Tˆopˆo trˆen C 36
1.2.2 Phˆa
`
n trong v`a phˆa
`
nngo`ai 38
1.2.3 D
-
iˆe
’
mtu
.
39
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 11
1.2.4 Biˆen cu

nv`ad
u
.
`o
.
ng cong . . . . 46
1.2.8 Ph´ep d
ˆo
`
ngluˆan 53
1.2.9 Miˆe
`
nd
o
.
n liˆen v`a daliˆen 56
1.3 H`am biˆe
´
nph´u
.
c 59
1.3.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa h`am biˆe
´
nph´u
.
c 59

˜
i trong miˆe
`
nph´u
.
c 72
1.4.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
ad˜aydiˆe
’
m 72
1.4.2 Chuˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c v`a su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’

´
gia cu
’
a acgumen do
.
c theo d
u
.
`o
.
ng cong . . . . . 96
1.5.3 Nh´anh d
o
.
n tri
.
liˆen tu
.
ccu
’
a h`am arg z 98
1.6 B`ai tˆa
.
p 100
1.1 Tˆa
.
pho
.
.
psˆo

.
t tru
.
`o
.
ng v`a dˆo
`
ng
th`o
.
i n´o c´o cˆa
´
utr´uc tˆopˆo cu
’
amˆo
.
t khˆong gian (khˆong gian Euclide hai chiˆe
`
u,
12 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe

˜
n
t´ınh chˆa
´
t tˆopˆo. Trong mu
.
c n`ay ta s˜e nghiˆen c´u
.
u c´ac t´ınh chˆa
´
td
a
.
isˆo
´
cu
’
atˆa
.
p
ho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c.
1.1.1 D
-

ndˆe
`
tu
.
.
nhiˆen d˘a
.
t ra l`a t`ım mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p (ta k´yhiˆe
.
ul`aC) tho
’
a
m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
n sau dˆay:
1. C l`a mˆo
.
t tru
.
`o

’
a C nˆen khi x´ac di
.
nh c´ac
ph´ep t´ınh sˆo
´
ho
.
cco
.
ba
’
n trˆen c´ac sˆo
´
ph´u
.
ctacˆa
`
nd
`oi ho
’
ir˘a
`
ng khi ´ap du
.
ng cho
c´ac sˆo
´
thu
.

.
c. M˘a
.
t kh´ac, nˆe
´
u ta mong muˆo
´
n c´ac sˆo
´
ph´u
.
c c´o nh˜u
.
ng ´u
.
ng
du
.
ng trong c´ac vˆa
´
ndˆe
`
cu
’
a gia
’
i t´ıch th`ı ta cˆa
`
nd`oi ho
’

sˆo
´
thu
.
.
c.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.1. Mˆo
˜
ic˘a
.
psˆo
´
thu
.
.
c c´o th´u
.
tu
.
.
(a, b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R du
.
o
.
.
c

cd
u
.
a v`ao theo c´ac d
i
.
nh ngh˜ıa (tiˆen dˆe
`
) sau dˆay:
I. (a, b)=(c, b) ⇔



a = c
b = d.
II. Ph´ep cˆo
.
ng: (a, b)+(c, d)
def
=(a + c, b + d)
1
v`a c˘a
.
p(a + c, b + d)du
.
o
.
.
c
go

.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 13
III. Ph´ep nhˆan: (a, b)(c, d)
def
=(ac − bd, ad + bc) v`a c˘a
.
p(ac −bd, ad + bc)
du
.
o
.
.
cgo
.
il`at´ıch cu
’
a c´ac c˘a
.
p(a, b)v`a(c, d).
IV. C˘a
.
p(a, 0) d
u
.

.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aC.
Nhu
.
vˆa
.
ymo
.
i phˆa
`
ncu
’
adi
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
cdˆe
`
udu
.
o
.
.
c ph´at biˆe
’

.
nh ngh˜ıa kh´ai niˆe
.
mb˘a
`
ng nhau, tˆo
’
ng v`a t´ıch c´ac sˆo
´
ph´u
.
c.
Do d
´oviˆe
.
cdˆo
´
i chiˆe
´
u c´ac tiˆen dˆe
`
d´ov´o
.
i nhau s˜e khˆong dˆa
˜
ndˆe
´
nbˆa
´
tc´u

ng nhau, tˆo
’
ng v`a t´ıch c´ac sˆo
´
thu
.
.
cc´o´y
ngh˜ıa ho`an to`an x´ac d
i
.
nh v`a do d´onˆe
´
u c´ac kh´ai niˆe
.
m n`ay khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch
v´o
.
inh˜u
.
ng kh´ai niˆe
.
md
u
.
o

c pha
’
i loa
.
itr`u
.
tiˆen dˆe
`
IV.
Do d´o ta cˆa
`
ndˆo
´
i chiˆe
´
u tiˆen dˆe
`
IV v´o
.
i c´ac tiˆen dˆe
`
I, II v`a III.
1) I - IV. Gia
’
su
.
’
hai sˆo
´
thu

cl`anˆe
´
uch´ung b˘a
`
ng nhau theo ngh˜ıa thˆong thu
.
`o
.
ng.
2) I I - IV. Theo tiˆen dˆe
`
II, tˆo
’
ng hai sˆo
´
thu
.
.
c a v`a c d
u
.
o
.
.
cx´et nhu
.
nh˜u
.
ng
c˘a

3) II I - IV. Theo tiˆen d
ˆe
`
III, t´ıch c´ac sˆo
´
thu
.
.
c a v`a b du
.
o
.
.
cx´et nhu
.
nh˜u
.
ng
c˘a
.
p(a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a
`
ng c˘a
.
p
(ac − 0 · 0,a·0+0· c)=(ac, 0)
14 Chu
.
o
.

tb˘a
`
ng t´ıch a v´o
.
i c theo ngh˜ıa thˆong thu
.
`o
.
ng.
Nhu
.
vˆa
.
y tiˆen dˆe
`
IV tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i c´ac tiˆen dˆe
`
I, II v`a III.
Ta c˜ung lu
.
u ´y cˆong th´u
.
csaudˆay du
.

t qua
’
cu
’
a ph´ep cˆo
.
ng liˆen tiˆe
´
p m sˆo
´
ha
.
ng b˘a
`
ng ( a, b).
Diˆe
`
ud´oph`uho
.
.
pv´o
.
ibiˆe
’
utu
.
o
.
.
ng thˆong thu

d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng c´ac tiˆen dˆe
`
II v`a III l`a tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i nhau v`a c´ac
quy luˆa
.
t thˆong thu
.
`o
.
ng cu
’
a c´ac ph´ep t´ınh thu
.
.
chiˆe
.
n trˆen c´ac sˆo
´
vˆa
˜

quan hˆe
.
t´o
.
idˆa
´
u >).
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.2. Gia
’
su
.
’
z =(a, b) ∈ C. Khi d´o s ˆo
´
ph´u
.
c(a, −b)du
.
o
.
.
cgo
.
i
l`a sˆo
´

´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 15
D
-
i
.
nh l´y 1.1.1. Tˆa
.
pho
.
.
p C lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng tho
’
a m˜an c´ac d

.
il`a
do
.
nvi
.
a
’
o.
Ch´u
.
ng minh. 1. C l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng.Hiˆe
’
n nhiˆen, phˆa
`
ntu
.
’
d
o
.
nvi
.
cu

`o
.
ng ta chı
’
cˆa
`
nkiˆe
’
m nghiˆe
.
msu
.
tˆo
`
nta
.
i phˆa
`
ntu
.
’
nghi
.
ch d
a
’
o (viˆe
.
ckiˆe
’

> 0). Ta s˜e t`ım z

=(a

,b

)
sao cho
(a, b)(a

,b

)=(1, 0).
T`u
.
I v`a III suy ra
aa

− bb

=1,
ba

+ ab

=0.

T`u
.
d´or´ut ra a

b
a
2
+ b
2

,
v`a r˜o r`ang l`a
z · z

=(a, b)

a
a
2
+ b
2
, −
b
a
2
+ b
2

=

a
2
+ b
2

.
ng du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`az
−1
.
2. R ⊂ C. X´et c´ac c˘a
.
pda
.
ng (a, 0). Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng tˆa
.
pho
.
.
p R

=
{(a, 0),a∈ R} lˆa

c
Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng nˆe
´
u(a, 0) = (a

, 0) th`ı a = a

v`a ngu
.
o
.
.
cla
.
i, d
ˆo
`
ng th`o
.
i
a + b → (a + b, 0)=(a, 0)+(b, 0),
ab → (ab, 0) = (a, 0)(b, 0).
Do d
´o ´anh xa
.
v`u

.
ng tr`ınh x
2
+ 1 = 0 c´o nghiˆe
.
m trong C,t´u
.
cl`aC ch´u
.
a phˆa
`
ntu
.
’
i
m`a i
2
= −1.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
x =(a, b) ∈ C. Khi d
´o trong C phu
.

cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c
Ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay
D
-
i
.
nh l´y 1.1.2. Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b) ∈ C dˆe
`
u c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.

o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng da
.
i
sˆo
´
hay da
.
ng Descartes cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c. Sˆo
´
a d
u
.
o
.
.
cgo
.

ul`aa =Re[z], sˆo
´
b du
.
o
.
.
cgo
.
il`aphˆa
`
na
’
o cu
’
an´ov`ak´yhiˆe
.
ul`a
b =Im[z].
2
Nˆe
´
u z =Re[z]th`ız l`a mˆo
.
tsˆo
´
thu
.
.
c. Nˆe

hiˆe
’
unhu
.
l`a t´ıch cu
’
asˆo
´
thu
.
.
c b v´o
.
id
o
.
nvi
.
a
’
o i v`a mˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c
a + ib nhu
.
l`a tˆo

.
uc´o
mˆo
.
t ´y ngh˜ıa ho`an to`an cu
.
thˆe
’
v`a v`ı thˆe
´
tr´anh du
.
o
.
.
c t´ınh h`ınh th´u
.
cdok´y
hiˆe
.
ud
o
.
nvi
.
a
’
o i mang la
.
i.

’
nt`u
.
sˆo
´
ph´u
.
cd
˜a cho sang sˆo
´
ph´u
.
cliˆen ho
.
.
pv´o
.
in´od
u
.
o
.
.
cgo
.
il`a
ph´ep lˆa
´
y liˆen ho
.

= z
1
· z
2
, αz = αz, ∀α ∈ R;
3. z = z.
Ch´u
.
ng minh. 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o

ng tu
.
.
z
1
z
1
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
) − i(a
1
b
2
+ a
2
b
1
)
=(a
1
− ib
1
)(a
2

c) v`a
Imaginaire (a
’
o)
18 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
Mˆo
.
tsˆo
´
ph´u
.
ctr`ung v´o
.
isˆo
´
liˆen ho

´
ph´u
.
c v`ao tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
ph´u
.
c
liˆen ho
.
.
pv´o
.
ich´ung:
C  z → z ∈ C
l`a mˆo
.
ttu
.
.
d
˘a
’
ng cˆa
´

nh ngh˜ıa nhu
.
c´ac ph´ep to´an ngu
.
o
.
.
cv´o
.
i
ph´ep cˆo
.
ng v`a nhˆan. D
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep tr`u
.
ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 1.1.4. Gia
’
su
.
’
z

.
Ch´u
.
ng minh. 1. Ta c´o z
1
+((−z
1
)+z
2
)=(z
1
+(−z
1
)) + z
2
=0+z
2
= z
2
v`a nhu
.
vˆa
.
y z =(−z
1
)+z
2
tho
’
am˜and`oi ho

z =(−z
1
)+z
2
v`a nhu
.
vˆa
.
yd
i
.
nhl´ydu
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh.
Sˆo
´
ph´u
.
c z =(−z
1
)+z
2
du
.
o

ul`a
z = z
2
− z
1
,
v`a nˆe
´
u z
1
= a
1
+ ib
1
, c`on z
2
= a
2
+ ib
2
th`ı
z = z
2
− z
1
=(a
2
− a
1
)+i(b

t v`a chı
’
mˆo
.
t
sˆo
´
ph´u
.
c z sao cho z
2
z = z
1
,cu
.
thˆe
’
l`a: z = z
−1
2
z
1
.
Ch´u
.
ng minh. 1. Nˆe
´
u z = z
−1
2

.
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 19
Nhu
.
vˆa
.
ysˆo
´
z
−1
2
z
1
l`a thu
.

z
2
ho˘a
.
c z
1
/z
2
.
Gia
’
su
.
’
z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o ta c´o thˆe
’
viˆe
´

2
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
2
+ b
2
2
+ i
a
2
b
1
− a
1
b
2
a +2
2
+ b
2
2

a
2
2
+ b
2
2
·
V`a t`u
.
d´o suy ra r˘a
`
ng ph´ep chia cho sˆo
´
ph´u
.
c z =0bˆa
´
tk`y l`a luˆon luˆon thu
.
.
c
hiˆe
.
ndu
.
o
.
.
c.
1.1.4 M˘a

’
mdu
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh bo
.
’
i c´ac to
.
ad
ˆo
.
Descartes vuˆong g´oc tr`ung nhau
khi v`a chı
’
khi ch´ung c´o ho`anh dˆo
.
b˘a
`
ng nhau v`a tung dˆo
.
b˘a
`
ng nhau. Do d´o
ta c´o thˆe

ng R
2
v´o
.
i c´ac sˆo
´
ph´u
.
ccu
’
a C, trong d´omˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c z = x+iy ∈ C s˜e
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v`o
.
id
iˆe
’
m ho`an to`an x´ac di
.

.
nh z = x + iy ∈ R
2
.
Nhu
.
vˆa
.
y ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng
R
2
 (x, y) → x + iy ∈ C
l`a d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t. T `u
.
d

’
ng v`a nhu
.
vˆa
.
y c´ac thuˆa
.
tng˜u
.
“sˆo
´
ph´u
.
c z”v`a“diˆe
’
m z”
du
.
o
.
.
cd`ung nhu
.
nh˜u
.
ng t`u
.
dˆo
`
ng ngh˜ıa.

.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
nhu
.
d
˜a m ˆo t a
’
o
.
’
trˆen d
u
.
o
.
.
cgo
.

o
.
.
c d`ung
d
ˆe
’
mˆo ta
’
sˆo
´
ph´u
.
cgo
.
i l`a m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c. C´ac sˆo
´
thu
.
.
cd
u
.
o

`
na
’
odu
.
o
.
.
c
mˆo ta
’
bo
.
’
i c´ac diˆe
’
m trˆen tru
.
c Oy nˆen tru
.
c Oy du
.
o
.
.
cgo
.
il`atru
.
ca

cv´o
.
i c´ac to
.
adˆo
.
cu
’
a vecto
.
v´o
.
igˆo
´
c, ch˘a
’
ng ha
.
n, ta
.
igˆo
´
cto
.
adˆo
.
.Su
.
.
tu

o
.
ng ´u
.
ng d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t. Do d
´o s ˆo
´
ph´u
.
c z c`on c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
nbo
.
’
imˆo
.
t vecto

z”nhu
.
nh˜u
.
ng thuˆa
.
tng˜u
.
dˆo
`
ng ngh˜ıa.
Nh`o
.
c´ach minh ho
.
a vecto
.
dˆo
´
iv´o
.
i c´ac sˆo
´
ph´u
.
c, vˆe
`
m˘a
.
th`ınh ho

ph´u
.
c
Bˆay gi`o
.
ta x´et c´ac to
.
adˆo
.
cu
.
.
ccu
’
adiˆe
’
mbiˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c z b˘a
`
ng c´ach cho
.
n
gˆo

.
ta biˆe
´
t, c´ac to
.
adˆo
.
cu
.
.
ccu
’
adiˆe
’
mgˆo
`
m c´o b´an k´ınh vecto
.
cu
’
a n´o (b˘a
`
ng
khoa
’
ng c´ach t `u
.
d
iˆe
’

.
c v`a vecto
.
dit`u
.
cu
.
.
cdˆe
´
ndiˆe
’
m z.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.4. Dˆo
.
d`ai cu
’
a b´an k´ınh-vecto
.
cu
’
adiˆe
’
mbiˆe
’
udiˆe

2
)
1/2
.
D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z ∈ C bˆa
´
tk`y mˆodun cu
’
a n´o x´ac di
.
nh mˆo
.
tc´achdo
.
n tri
.
.
Trong tru
.
`o
.

ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 21
D
-
i
.
nh l´y 1.1.6. Mˆodun cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t sau d
ˆay:
1. |z|  0, |z| =0⇔ z =0;
2. |z
1
z
2
| = |z
1

2. Ta c´o |z
1
z
2
|
2
= z
1
z
2
· z
1
z
2
= z
1
z
1
· z
2
z
2
= |z
1
|
2
|z
2
|
2

2
|
2
+ 2Re(z
1
z
2
).
Do d
´o, dˆe
’
´ydˆe
´
nbˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c
−|z
1
z
2
|  Re(z
1
z
2
)  |z
1

)
2
th`anh thu
.
’
|z
1
+ z
2
|  |z
1
| + |z
2
|
Nhˆa
.
n x´et. T`u
.
di
.
nh l´y v`u
.
ach´u
.
ng minh suy ra r˘a
`
ng
|z
1
− z

k´ınh-vecto
.
z.
Hˆe
.
qua
’
a) |z
1
−z
2
|  |z
1
| + |z
2
|;
b) |z
1
+ z
2
|  |z
1
|−|z
2
|;
c) |z
1
− z
2
|  |z

|


.
22 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
Ch´u
.
ng minh. a) Thˆa
.
tvˆa
.
y, v`ı |z
2
| = |−z
2
| nˆen

) − z
2
.
Ta c´o
|z
1
|  |z
1
+ z
2
| + |z
2
|⇒|z
1
+ z
2
|  |z
1
|−|z
2
|.
c) |z
1
− z
2
| = |z
1
+(−z
2
)|  |z

1
|−|z
2
|  |z
1
+ z
2
|⇔


|z
1
|−|z
2
|


 |z
1
+ z
2
|.
e) Bˆa
´
td
˘a
’
ng th ´u
.
c e) thu du


n

k=1
z
k




n

k=1
|z
k
|. (1.1)
T`u
.
bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c n`ay v`a a) suy ra
|z
1
+ z
2
+ ···+ z

´
td
˘a
’
ng th ´u
.
c
tˆo
’
ng qu´at d
ˆo
´
iv´o
.
ibˆa
´
td˘a
’
ng th ´u
.
c tam gi´ac v`a bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c a).
Bˆay gi`o
.
ta chuyˆe


a
r



 1v`a



b
r



 1.
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u

.
d
´o suy r˘a
`
ng tˆo
`
nta
.
isˆo
´
α
0
sao cho
a) 0  α
0

π
2
, b) sin α
0
=



b
r



.

.Nˆe
´
u a<0 th`ı thay α b˘a
`
ng π − α.Nˆe
´
u b<0 th`ı thay α
b˘a
`
ng −α.Dod
´o ta thu du
.
o
.
.
csˆo
´
α tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n
a
r
= cos α,
b
r

.
c z v`a du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
u l`a Arg z.
T`u
.
di
.
nh ngh˜ıa n`ay dˆe
˜
d`ang nhˆa
.
n thˆa
´
yr˘a
`
ng acgumen cu
’
a z l`a g´oc ta
.
onˆen
gi˜u
.
ahu
.

u kim
d
ˆo
`
ng hˆo
`
l`am hu
.
´o
.
ng biˆe
´
n thiˆen du
.
o
.
ng.
D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
z = 0 acgumen khˆong c´o gi´a tri
.
x´ac d
i
.
nh v`a d´oc˜ung l`a diˆe

.
n tri
.
. Ta s˜e n´oi r˜o d˘a
.
cdiˆe
’
m
cu
’
a t´ınh d
a tri
.
cu
’
a acgumen.
Gia
’
su
.
’
ϕ
0
l`a gi´a tri
.
b´e nhˆa
´
tcu
’
a acgumen cu

.
.
c theo hu
.
´o
.
ng du
.
o
.
ng ta s˜e didˆe
´
n gi´a tri
.
acgumen l`a ϕ
0
+ k · 2π, trong d´o
k ∈ Z, k  0 l`a sˆo
´
v`ong quay vecto
.
z.Sˆo
´
d
odo
.
n gia
’
n nhˆa
´