1
KẾ HOẠCH BÀI GIẢNG
MÔN: HÌNH GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Cơ sở của kế hoạch: Đề cương môn học, Giáo án (3tiết lên lớp/1 G.án)
Giáo viên: PGS, TS Nguyễn Xuân Viên
Bài 1.
I.1. Logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số
I.1.1. Logic mệnh đề và vị từ:
Định nghĩa mệnh đề, các phép toán trên mệnh đề: ∨;∧;⇒;
⇔;
̅
.
Mệnh đề hằng đúng và định lý, 7 định lý quan trọng nhất của logic mệnh đề:
tự đọc mục d) Giáo trình 1 (GTr1).
Mệnh đề lượng tử (vị từ), phủ định của vị từ: tự đọc GTr1, tr.13-14.
Ví dụ: (Hàm () xác định trong lân cận điểm = là hàm liên tục tại x =
a) ⇔∀
(
> 0
)
∃(> 0) ∀
(
|
−
|
<
)
⇒
|
−()
|
≥
I.1.2. Tập hợp và ánh xạ:
Khái niệm tập hợp: tập hợp và phần tử. Các phép toán trên tập hợp, 6 tính
chất cơ bản c1- c6 của các phép toán trên tập hợp: tự đọc GTr1, tr.17-18.
Quan hệ thứ tự từng phần.
Qui nạp toán học: có chứng minh (tr.18-21):
Khẳng định () phụ thuộc số tự nhiên n đúng cho mọi ≥
khi và chỉ
khi thỏa mãn 2 điều kiện:
i) (
) đúng.
ii) Từ () đúng với ≥
suy ra Từ (+1) đúng.
Ánh xạ: định nghĩa ánh xạ, các ví dụ.
Toàn ánh, đơn ánh, song ánh. Tập tương đương; tập đếm được, tập
continum.
Định lý tồn tại ánh xạ ngược: có chứng minh.
I.1.3. Sơ lược về cấu trúc đại số:
Định nghĩa phép toán trong∘ của tập A. Định nghĩa phép toán ∘ của tập A có
tính kết hợp. Phần tử trung hòa ; phần tử nghịch đảo
của một phần tử a trong
A. Tính duy nhất của , của
– vành tất cả các đa thức P(x)
hệ số thực có bậc
(
)
≤.
2
Khái niệm trường
〈
;+,0;.,1
〉
. Các trường số quan trọng: trường số thực ℝ,
trường số hữu tỷ ℚ.
Trường số phức ℂ : Định nghĩa số phức, các phép toán trên số phức. Mặt
phẳng phức, dạng lượng giác của số phức. Công thức Mauvra. Căn bậc n của số
phức: phát biểu và chứng minh định lý về căn bậc n của số phức: Căn bậc n của
số phức =
(
+
)
có đúng n giá trị
,= 0,1,2,…,−1 cho bởi
công thức
=
√
.
Trong HGT & ĐSTT trường là một trong hai trường cố định: trường số
thực ℝ hoặc trường số phức ℂ.
I.2. Ma trận
I.2.1. Khái niệm ma trận: Định nghĩa ma trận cấp (m,n) trên trường
=
×
=
…
…
…
…
,
(
)
– tập tất cả các ma trận cấp (m,n) trên trường
(
)
– tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường
Ma trận đường chéo
=
0 … 0
0
… 0
…
0 0 …
,
còn ký hiệu là: = (
,
,…,
)
Ma trận tam giác trên là ma trân vuông mà tất cả các phần tử ở phía dưới đường
…
Ma trận đơn vị =
=
(
1,1,…,1
)
; trong đó
=
1ế=
0ế≠
là ký
hiệu Kroneker.
Ma trận block, block-tam giác.
I.2.2. Vành ma trận
(
)
Các phép toán trên ma trận: cộng hai ma trận; Nhóm Abel
〈
…
)
=
…
4
Bài 2.
Bài tập: Giáo trình2 (GTr2):
Phương pháp qui nạp toán học: 1.1.11d,e
Gợi ý: sử dụng nguyên lý qui nạp: 1. Kiểm tra cơ sở qui nạp (công thức đúng với
n =1). 2. chứng minh qui nạp : giả sử công thức đúng cho n = m, chứng minh nó
đúng cho n = m+1.
Tập hợp: 1.1.18; 1.1.21
Gợi ý: 1.1.18: dùng đại số tập hợp biến đổi từ vế phức tạp hơn ra vế đơn
giản; Ý a) biến đổi vế phải ra vế trái; ý b) biến đổi vế trái ra vế phải.
Ánh xạ: 1.1.24; 1.1.25; 1.1.28 (ý d không bắt buộc (kbb)); Không bắt buộc:
|
=
−
|
∪
∪…∪
|
, sử dụng bài 1.1.26 ta nhận được số
T như trong đáp số.
Số phức: 1.2.10 (kbb) ; 1.2.14; 1.2.17; 1.2.19; 1.2.21;
1.2.14
a) 1 +18
b) 10−11
c) i
2
1
d) 1 +
1.2.19
=
1
+
√
−
1
=
1
+
−
1
(
=
0
,
1
,
−
1
(
=
0
,
1
,
2
,
…
,
−
1
)
;
=
√
−
c)
2
1
+
√
3
d)
2
√
5
Thêm 2 bài về hình học số phức:
1. Tìm miền biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức (VT351)
a)
|
+ 1
,
thỏa mãn
+
+
= 0
|
|
=
|
|
=
|
|
(VT347)
Gợi ý: Bài 1.a) Theo định nghĩa là Elip
2,0
)
, đường chuẩn = −2
1.d) Hình tròn
(
+ 3
)
+
(
+ 4
)
≤25
Bài 2. Các đỉnh của tam giác đều ABC trên đường tròn tâm O(0,0) bán kinh
=
|
|
.
Đa thức và phân thức: 1.3.3a,b; 1.3.4a; 1.3.5a,c; 1.3.6a,b;
Gợi ý: Sử dụng lược đồ Hoocner GTr1, tr12-13 cho các bài 1.3.3a,b; 1.3.4a
1.3.5 Tìm tất cả các nghiệm phức
1.3.6 Tìm tất cả các nghiệm thực, cặp các nghiệm phức liên hợp =+
và̅= − cho ta thừa số
(
−
)(
−̅
=
(
−2
)
−18
(
−2
)
+ 38
1.3.5
a)
(
−
1
)
(
−
2
)
(
−
3
)c)
+
√
1.3.6
a)
(
+ 3
)(
+ 3+ 3
)(
−3+3
)
;
6
b)
−2
+ 1
+ 2
+ 1
b)
⎣
⎢
⎢
⎡
(
−1
)
(
−1
)
(
−1
)
(
−1
)
(
−1
)
+
(
)
(
−1
)
+
(
−1
)
(
)
⎦
⎥
⎥
⎤
,
Gợi ý: Viết =−;trongđó=
0
1 0 0
−1 0 −1
,
= trở thành hệ phương trình, giải ra
được hai loại ma trận
=
0 0
0
,
=
−
−
(≠0)
2.1.42 có thể chứng minh trực tiếp rằng ma trận A thỏa mãn phương trình
−+ = 0 ; trong đó =
,=
)
:
=
…
(
,
,…,
)
;
Trong đó tổng được lấy theo tất cả n! các hoán vị khác nhau
(
,
,…,
)
của
0 2 0 0 0
= −8
1 −1 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 −1 −1 0
0 1 0 −1 0
0 1 1 −1 1
= −8
1 −1 1 1 1
0 1 0 0 0
0 0 −1 −1 0
0 0 0 −1 0
0 0 1 −1 1
= −8
1 −1 1 1 1
0 1 0 0 0
0 0 −1 −1 0
I.3.2. Khai triển định thức theo một hàng (một cột): chứng minh công thức
khai triển theo một hàng. Môi trường ứng dụng các khai triển định thức theo
hàng, cột. Cho ví dụ. Khai triển định thức theo k hàng (k cột): Định lý Laplace
(tự đọc chứng minh: GTr1, tr61). Định thức của tích hai ma trận (tự đọc chứng
minh: GTr1, tr62). Định thức ma trận block-tam giác
I.3.3. Cách tính định thức: tự đọc GTr1, tr.65-69. Cho ví dụ minh họa phương
pháp tổng hợp: vừa sử dụng pp Gauss vừa pp phân tích theo hàng, cột. Ở ví dụ
trên sau bước thứ ba ta được:
= −8
1 −1
0 1
.
−1 −1
0 −1
.1 =
(
−8
)
.1.1.1 = −8, đó chính là hệ quả của
định lý Laplace: định thức ma trận block tam giác bằng tích các định thức block
trên đường chéo.
I.4. Ma trận nghịch đảo
I.4.1. Hạng của ma trận:
i) Định nghĩa hạng của ma trận: , tính chất.
ii) Phương pháp Gauss đưa ma trận vuông về dạng đường chéo (bằng biến
đổi sơ cấp hàng và cột):
- Các ma trận biến đổi sơ cấp
,
(
)
.
- Phân tích ma trận vuông = ; trong đó D là ma trận đường chéo; B,
C là các ma trận khả nghịch và là tích các ma trận biển đổi sơ cấp (tự đọc, GTr1,
tr.74-76).
Thuật toán tìm hạng của ma trận
Vì hạng của ma trận không thay đổi qua các biến đổi sơ cấp, dễ dàng chứng
minh được tính đúng đắn của thuật toán tìm hạng của ma trận bằng biến đổi sơ
cấp (hay còn gọi là phương pháp Gauss tìm hạng của ma trận) sau đây:
Bằng các biến đổi sơ cấp hàng và cột của ma trận có thể đưa ma trận về dạng
có một số phần tử khác 0 nằm ở khác hàng, khác cột. Số các phần tử khác không
này bằng hạng của ma trận. Trong khi thực hiện phương pháp Gauss nếu trên một
hàng nào đó chỉ có một phần tử khác 0 thì tự động khoanh 0 các phần tử khác
trên cột của phần tử khác không này. Tương tự cho cột: nếu trên một cột nào đó
chỉ có một phần tử khác 0 thì tự động khoanh 0 các phần tử khác trên hàng của
phần tử khác không này. Trường hợp ma trận A phụ thuộc tham số ta thực hiện
phương pháp Gauss đến khi gặp trường hợp mà trên một hàng hoặc một cột nào
đó có thừa số chung phụ thuộc tham số thì dừng lại biện luận hai trường hợp:
9
- Trường hợp thứ nhất: thừa số chung này bằng 0, khi đó tham số có giá trị
cụ thể, bài toán được giải quyết.
- Trường hợp thứ hai: thừa số chung này khác 0, ta tiến hành giản ước nó đi
và tiếp tục phương pháp Gauss.
Như vậy là nhu cầu biện luận tham số chỉ cần thiết khi xuất hiện thừa số
chung trên một hàng hay một cột nào đó của ma trận. Biến đổi: lấy hàng thứ i của
⊙ ⊙ 0 ⊙ 1
2− 2 −1 −1 0
−1 1 2 0
1 2 −1 0 0
0 0 0 0 1
−3+ 4 0 −2−1 −5 0
⊙ 1 ⊙ ⊙ 0
3 −2 0 −2−1 −4 0
.
Cột thứ ba có thừa số chung −2−1, ta dừng lại biện luận
- TH1: = −
: ta nhận được ma trận
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
⇒= 3.
- TH2: ≠−
: Giản ước cột thứ ba cho −2−1 ta nhận được
0 0 0 0 1
- Đưa ma trận khả nghịch A về ma trận đơn vị E chỉ bằng các biến đổi sơ
cấp hàng: = ; trong đó T là tích các ma trận biển đổi sơ cấp.
- Cơ sở toán học của thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng PP Gauss:
= ⇔
= .
Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp và giải hệ phương trình tuyến
tính
Ma trận sơ cấp∈
() là ma trận nhận được từ ma trận đơn vị
∈
() bằng một biến đổi sơ cấp hàng (hoặc cột). Mỗi biến đổi sơ cấp hàng
của ma trận A tương đương với nhân về phía bên trái A với một trong ba loại ma
trận sơ cấp thích hợp tương ứng với các biến đổi sơ cấp của ma trận : đổi chỗ hai
hàng, lấy một hàng nhân với một số rồi cộng vào hàng khác, nhân một hàng với
một số khác 0. Thuật toán tìm
bằng biến đổi sơ cấp hàng của ma trận A được
mô tả như sau:
(
|
)
→
(
|
1 0 1
0 1 1
0 0 1
−1 0 0
−1 1 0
−2 0 −1
11
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
1 1 1
−2 0 −1
vậylà
=
1 0 1
1 1 1
−2 0 −1
.□
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
Xét hệ n phương trình tuyến tính không thuần nhất n ẩn có vế phải bằng chữ
[
,
,…,
)
.
Ví dụ : Tìm
nếu =
1 0 0
2 1 0
−1 0 1
.
Ứng với A ta có hệ phương trình
=
2
+
=
=
1
1
= 2
(
−1
)
= 2
;
(
)
= 2
2.2.6:
(0) chính là hệ số của x trong
(
1 +
)(
1 +
2.2.14 f): 1 - Biến đổi sơ cấp: theo thứ tự
(
−0,1
)
ℎ
+ ℎ
,
(
−0,1
)
ℎ
+ ℎ
,
(
−0,1
)
ℎ
+ ℎ
,
(
−0,1
)
ℎ
,−ℎ
+ ℎ
,…,−ℎ
+ ℎ
sau đó phân tích theo cột
thứ nhất được
=
(
−1
)
+
.
2.2.15 a) lấy hàng thứ n nhân với (-1) rồi cộng lên tất cả các hàng trên.
2.2.23
Gợi ý: Sử dụng tính cộng tính của định thức viết mỗi hàng của A+x thành tổng
hay dưới dạng vectơ hàng là
(
+ ,
[
+
(
−1
)
]
nếu= ;
=
(
−
)
−
(
−
)
−
nếu≠.
Cách1: −ℎ
+ ℎ
,−ℎ
+ ℎ
,…,−ℎ
,
(2)
Nếu ≠ thì nhân hai vế (1) với b, hai vế (2) với (- c) rồi cộng lại ta nhận
được kết quả như trên. Khi b = c sử dụng bài 2.2.23. ta có
=
(
−
)
= −
,
= −
,
=
−
(
−
)
và có kết quả như trên.□
Ma trận (tiếp theo): Hạng của ma trận, ma trận nghịch đảo: GT2: 2.1.45a,b;
2.1.46b,c,e;
2.1.47a,b,d,j,k; 2.1.53a,f,g
0 1 −2 1 0 … 0 0 0
0 0 1 −2 1 … 0 0 0
…
0 0 0 0 0 … 1 −2 1
0 0 0 0 0 … 0 1 −2
0 0 0 0 0 … 0 0 1
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
14
Gợi ý: −ℎ
+ ℎ
,−ℎ
+ ℎ
,…,−ℎ
+ ℎ
và lặp lại lần hai.
k)
0 1
→
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−1 −1
0 3
1 −1
Vậy là =
−1 −1
0 3
1 −1
Ý g) đưa về ý f) bằng cách chuyển vị
=
⇔
=
(
)
; thực hiện vế phải theo ý f) sau đó chuyển vị
được ma trận X cần tìm.
Công thức nghiệm của hệ (1) dưới dạng ma trận:
[
]
=
[
]
(2)
và công thức Cramer (có chứng minh):
=
|
|
|
|
,= 1,2,…,;
trong đó
là ma trận nhận được từ A bằng cách gạch bỏ cột thứ k thay bằng cột
hệ số tự do.
I.5.2. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát: Hệ m pttt tổng quát n ẩn
[
= có = < thì theo định lý Croneker- Capelly sẽ có
số ẩn tự do bằng −≥1. Cho một ẩn tự do giá trị khác 0 được nghiệm khác
không.
Hệ nghiệm cơ bản, cách tìm hệ nghiệm cơ bản.
I.5.4. PP Gauss giải hệ PTTT: mô tả phương pháp, ý nghĩa thực hành của
phương pháp Gauss giải hệ pttt tổng quát.
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát
16
Phương pháp Gauss là phương pháp thực hành giải hệ m phương trình tuyến
tính tổng quát n ẩn; trong đó m, n là hai số nguyên dương tùy ý.
Thực chất của phương pháp Gauss là phương pháp loại trừ ẩn số bằng biến đổi
tương đương hệ phương trình. Ba phép biến đổi tương đương hệ phương trình đó
là:
(i) Đổi chỗ hai phương trình
(ii) Lấy hai vế của một phương trình nhân với một số ∈ rồi cộng tương
ứng vào phương trình khác
(iii) Nhân hai vế của một phương trình với một số ∈,≠0.
Rõ ràng là các phép biến đổi tương đương trên chỉ tác động đến các hệ số của các
phương trình mà không tác động đến các ẩn số, vì thế khi thực hiện phương pháp
Gauss giải hệ phương trình tuyến tính người ta không viết các ẩn số mà chỉ viết
ma trận hệ số của các phương trình. Ma trận đầu tiên của phương pháp Gauss giải
hệ m phương trình tuyến tính tổng quát n ẩn
[
]
=
[
.
Nếu hệ không thuần nhất thì các ma trận của phương pháp Gauss có gạch sọc
ngăn cách với cột hệ số tự do. Hàng thứ i của ma trận là hàng hệ số của phương
trình thứ i được viết theo thứ tự các ẩn số
,
,…,
. Nếu không có gạch sọc
ngăn cách người ta hiểu hệ là hệ thuần nhất. Ba biến đổi tương đương hệ phương
trình nói trên tương ứng với ba biến đổi sơ cấp của ma trận
(
|
)
.
Giả sử
≠0, khi đó ta thực hiện
Bước1: Lấy hàng thứ nhất nhân với −
. Kết quả sau bước1 ta nhận được ma trận của phương pháp Gauss là
…
0 ′
… ′
…
0 ′
… ′
′
…
′
Phương trình có chứa
≠0 mà ta đã dùng để loại trừ ẩn
trường hợp như trong thuật toán tìm hạng của ma trận đã mô tả cặn kẽ ở mục c).
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m. Tìm hệ nghiệm
cơ bản.
+
−6
+ 3
= 0
+
+ 2
−
= 0
−
+ 2
+
+
−
=
−
,
,
tùyý
hay
= 3
TH2: ≠−2 giản ước hàng thứ ba cho m+2 ta được hệ tương đương
1 1 −6 3
0 3 −6 4
0 1 1 0
,1ẩntựdo
,
cóNTQ
= 4
= (3+1)
= −4
= (9 −)
;∈tùyý,(2)
hệ nghiệm cơ bản
{
}
ớ=
(
3+1,−4,4,9−
)
−2
11
,
=
−5
+
+ 10
11
(
,
tùyý
)
;
(
0,1,−1,1
)
;
b) NTQ:
=
1 −13
= 1/8,
= 1/2khi= 3,
(ii)
= 0,
= 1/3,
= 2/3khi= 1,
(iii)Vônghiệmkhi≠1/3,≠2/3;
b)
(i) NTQ:
= 1−
−
−
(
,
,
tùyý
(
+3
)
,
=
+ 2
−−1
(
+3
)
e)
(i) Khi = 6 có NTQ:
= 3
−2
,
= 11
+ 3
−4
Gợi ý: Ma trận cuối cùng của phương pháp Gauss là
4 −1 3 −1 4
−1 3 0 0 −2
0 0 −6 0 0
0 0 0 0 −6
2.3.9
a)
2 −1 1
+4 0 5
2−2 0 0
−3 0 −−2
(i) Khi = 1, hệ có NTQ:
=
,
= −
(
tùyý
)
(
,
tùyý
)
,
hệ nghiệm cơ bản
{(
1,1,−1,0
)
,
(
0,0,−1,1
)}
(ii)
2 −1 1 1
2 1 0 0
−−8 0 0 0
Khi = −8, hệ có
NTQ:
= −2
,
tùyý
)
, hệ nghiệm cơ
bản
{(
0,0,−1,1
)}
c)
1 −2 1
−−1 1 + 2 0
+ 1 + 1 0 0
1 −3 −2 0 0
(i) Khi = −1,
hệ có NTQ:
= 2
,
= −2
,
= −5
. Hệ nghiệm cơ bản
{(
1,−1,1,2
)}
.
21
(iii) Khi = −2
hệ có NTQ:
=
= 0,
= 2
(
tùyý
)
. Hệ nghiệm cơ bản
{(
0,0,1,2
)}
.
(iv) Khi ≠−2,≠−1,≠1 hệ có nghiệm duy nhất
(= 1,2) − là ma trận
cột thứ j của ma trận B. Giải bằng phương pháp Gauss hai hệ phương trình
này ta được tất cả các ma trận
=
−+2 −2 −
3−1 4 +3
2 1+2
(,∈ℝ);
c) Ma trận =
×
có vectơ cột thứ j là
(
,
,
,
)
thỏa mãn hệ
phương trình tuyến tính
[
]
= 2−
−2
+
−là số nguyên khi và chỉ khi
= và
= − là các số nguyên.
b)
{(
,0,22−11,8 −16
)}
(
∈ℤ
)
= ∈ℤ ta có nghiệm nguyên như đáp số.
{(
−16−8,6+3,1,
)
(
∈ℤ
)}
22
Bài 7.
Bài tập: Kiểm tra chương 1 (2tiết)
Lý thuyết (1 tiết)
II.1. Không gian vectơ và không gian vectơ con
II.1.1. Khái niệm không gian véctơ và không gian véctơ con
Định nghĩa không gian vectơ
〈
,
〉
trên trường , các ví dụ về các không gian
vectơ thường gặp:
,
– Không gian các vectơ bán kính ⃗=
(
)
- Không gian các ma trận cấp (m,n) trên trường ;
ℝ
[
]
- Không gian các đa thức hệ số thực;
(
0,1
)
- Không gian các hàm số số thực xác định trên khoảng
(
0,1
)
.
Định nghĩa không gian vectơ con . Các ví dụ về các không gian vectơ con quan
trọng.
ℝ
[
]
- Không gian các đa thức hệ số thực có bậc ≤;
Không gian con sinh bởi hệ vectơ
(
Bổ đề: Trong không gian vectơ
〈
,
〉
có hai hệ vectơ
{
,
,…,
}
(1)
,
,…,
(2)
Hệ (1) độc lập tuyến tính, còn hệ (2) biểu diễn tuyến tính qua hệ (1) và có số
vectơ > . Khi đó hệ (2) là hệ pttt. (có cm)
Định lý cơ bản về cơ sở (không chứng minh)
Các cơ sở trong một không gian vectơ (khác
{
= n- rankA, hệ cơ sở của N
0
tìm từ công
thức NTQ mỗi lần cho một ẩn tự do bằng 1, các ẩn tự do khác bằng 0 (hệ có r ẩn
tự do).
Cơ sở và chiều của không gian sinh bởi hệ vectơ: Không gian
=
(
,
,…,
)
sinh bởi hệ vectơ
{
,
,…,
}
có cơ sở là một hệ con đltt
lớn nhất trong đó.
II.1.3. Toạ độ véctơ khi đổi cơ sở
Ma trận chuyển cơ sở C là ma trận khả nghịch, công thức tọa độ của véctơ khi
đổi cơ sở:
Giả sử
]
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
.
.
⎦
⎥
⎥
⎥
⎤Đương nhiên khi này
[
]
=
, tức là
=
+
+ +
hay có thể viết dưới dạng ma trận
=
[
]
[
]Giả sử
{
=
[
]
(
2
)
.
Ma trận =
xác định theo hệ thức (1) hoặc (2) được gọi là ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở
{
}
sang cơ sở
{
}
;trong đó tọa độ của
là cột thứ k
của ma trận C. Dễ dàng thấy, nếu
,
, ,
)
là các tọa độ của cùng một vectơ a trong
các cơ sở
{
}
,
{
}
tương ứng. Ta có
[
]
=
[
,
, ,
}
=
(
,
, ,
)
.
Giả sử =
×
là ma trận có m hàng, n cột với
∈. Khi đó ta gọi
ℎ
=
(
,
,…,
}
.
Hạng của hệ vectơ
Hạng của hệ vectơ
{
,
, ,
}
bằng số vectơ trong hệ con độc lập tuyến
tính lớn nhất trong
{
,
, ,
}
. Có thể lấy một hệ con độc lập tuyến tính lớn
25
nhất tùy ý trong
{
,
, ,
)
được đưa
về bài toán tìm hạng của ma trận A thành lập từ các hàng (hoặc các cột) tọa độ
của các vectơ
. Khi thực hiện phương pháp Gauss tìm hạng của ma trận A có
liên quan đến tìm cơ sở và chiều của không gian vectơ ta không được đổi chỗ
các hàng (cột). Số phần tử khác không trong ma trận cuối cùng của phương
pháp Gauss nằm ở khác hàng, khác cột mà trên các hàng có số thứ tự
,
,…,
thì các vectơ
,
, ,
có thể lấy làm cơ sở của
(
,
=
(
,,2,2
)
,
=
(
2,+ 1,4,4
)
là các vectơ trong ℝ
. Ta hãy tìm cơ sở của
=
(
,
,
,
)
tùy theo các giá trị khác nhau của tham số .
Trước hết ta thành lập ma trận từ các hàng tọa độ của các vectơ theo thứ
tự
0 0 0 1
−1 1 0 0
0 0 0 0
−1 1 0 0
~
0 0 0 1
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
cho ta cơ sở của L là
{
=
(
2,−1,1,1
)
,
=
(
−1,2,1,1
)}
.
Trường hợp 2: ≠1, sau khi giản ước hàng 3 cho −1 và dùng nó làm gốc
ta nhận được
Copyright: Tài liệu đại học ©