Ts t« v¨n ban

Bµi gi¶ng

X¸c suÊt thèng kª

Vµ

Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn

(Dành cho các lớp cao học kỹ thuật - HVKTQS)

PHIªn B¶N 09/05 - 12/05 - 08/06 - 11/06 - 20/03/07 - 15/05/07 - 10/7/2007 - 05/09/07
(Ch−a hoµn thiÖn)

Chơng II
Chơng III
Đ3.5.Sự hội tụ của dãy các BNN
3.5.1. Các dạng hội tụ
3.5.2. Các định lý giới hạn
23
23
25
Chơng IV Lý thuyết ớc lợng
Phần II Quá trình ngẫu nhiên 32
Chơng V Những khái niệm tổng quát 32

Đ5.1. Mở đầu
5.1.1. Các định nghĩa
5.1.2. Phân loại sơ bộ
5.1.3. Ví dụ về QTNN
5.1.4. Họ các phân bố hữu hạn chiều
32
32
33
34
35

Đ5.2. Một số lớp các quá trình ngẫu nhiên
5.2.1. Quá trình cấp II
5.2.2. Quá trình số gia độc lập
5.2.3. Quá trình dừng (QT dừng theo nghĩa hẹp, dừng
theo nghĩa rộng, dừng đồng thời)
5.2.4. Quá trình Gauss
36


Đ5.5.Hai QTNN quan trọng
5.5.1. QT Poisson (định nghĩa, xác suất đồng thời n
chiều, hàm tự tơng quan, dãy thời điểm đến, xác
định cờng độ dòng đến, các biến thể, nhiễu bắn,
sinh các quỹ đạo)
5.5.2. QT Wiener (đ. nghĩa, các tính chất, sinh quỹ đạo)
5.5.3. Giới thiệu về các QTNN khác
65
65 75
74
77

Đ5.6. Quá trình ngẫu nhiên phức
Câu hỏi lý thuyết và bài tập chơng V
77
79
Chơng VI Xử lý các QTNN 86

Đ6.1.Mật độ phổ công suất
6.1.1. Vấn đề nghiên cứu QTNN trong miền tần số
6.1.2. Mật độ phổ công suất
6.1.3. Mật độ phổ công suất chéo
6.1.4. Mật độ phổ công suất cho QT thực không dừng
6.1.5. Mật độ phổ công suất cho dãy ngẫu nhiên
6.1.6. Một số mô hình nhiễu (nhiễu trắng, nhiễu nhiệt,
nhiễu trắng thông dải, nhiễu màu, nhiễu bắn)

trợt, Phổ của QT đạo hàm)
115
115
117
120
122

Đ6.4. Quá trình tự hồi quy trung bình động
6.4.1. Quá trình tự hồi quy AR
4.4.2. Quá trình trung bình động MA
6.4.3. Quá trình ARMA
124
124
128
130

Đ6.5. Quá trình thông dải và điều chế
6.5.1. Quá trình thông dải
6.5.2. Nhiễu trong hệ thông tin điều biên AM
6.5.3. Nhiễu trong hệ thông tin điều tần FM
133
133
138
142
Đ6.6. Lọc phối hợp
6.6.1. Trờng hợp tổng quát
6.6.2. Lọc phối hợp cho nhiễu màu

171
171
172
Tài liệu tham khảo
173 4

Chơng 1. kiến thức bổ Sung về xác suất
Đ1.1.Các biến ngẫu nhiên quan trọng

1.1.1.Biến ngẫu nhiên rời rạc
Tên Kí hiệu
Xác suất P
{
}
Xk
=

Kì vọng Phơng sai
Nhị thức B(n,p)
kk nk
n
C p (1 p) ;k 0,1, ,n

=

np np(1-p)
Poisson

H(N,n,p)
knk
Np N Np
n
N
CC
;k 0,1, ,n
C


=

Các luật phân bố rời rạc khác: đều rời rạc, nhị thức âm,
1.1.2Biến ngẫu nhiên liên tục
Tên Kí hiệu Mật độ Kì vọng Phơng sai
Đều U([a;b])
1
;axb
b
a




ab
2
+

2
(b a)

Chuẩn
N(m,
2

)
2
2
2
1(xm)
exp ( 0)
2
2




>






m
2


Gamma
(r, )


((n 1) / 2))
n(n/2)
+

2
(n 1)/2
x
(1 )
n
+
+
0
n
n2


Fisher-
Snecdecor
F(n,m)
n2 nm
2
Bx (m nx) ;
+

+
2
m, n, x > 0

Weibul
W(




>





exp
2
m
2



+


Rayleigh
2
(x a) /b
2
(x a)e , x a
b



.
Các luật phân bố liên tục khác: Bê ta, tam giác,
Biến ngẫu nhiên chuẩn rất quan trọng ta dành ra 1 phần riêng.

Đ.1.2. Biến ngẫu nhiên chuẩn
1.2.1.Tính chất hàm mật độ . f(x) =
2
2
2
1(xm)
exp ( 0)
2
2




>






+Hàm mật độ xác định trên
Ă
;
+f(x) > 0: Đồ thị nằm trên trục hoành;
+Trục Ox là tiệm cận ngang;
+Giá trị cực đại

mật độ f(x) và do đó hoàn toàn biết về phân bố chuẩn. Còn có thể tính đợc
+Độ chệch Skew(X) =
3
3
E[(X EX) ]

= 0;
+Độ nhọn Kurt(X) =
4
4
E[(X EX) ]

- 3 = 0. (1.2)
1.2. 3.Bnn chuẩn hoá (chuẩn tắc).
X đợc gọi là biến nn chuẩn tắc nếu X N(0,1).Hàm mật độ của nó cho bởi

8


2
x
2
1
(x) e
2

=

. (1.3)
Đặc điểm : -Giá trị của

2

=


x

[0; 3]. (1.5)
Với x > 3, coi
(x)

1
2
. Hình 1.2. Đồ thị hàm mật độ chuẩn hoá (a) và đồ thị hàm Laplace (b).

Khi cần tính F(x) qua
(x) hay ngợc lại, dùng công thức :
F(x) =
1
2
+

(x). (1,6)
Công thức sau rất có ích để tính xác suất X nằm trên đoạn nào đó:

[]
{

{
}
PX [a;b]

:
[]
{
}
PX a;b =P
amXmbm





b
mam
()().


=

(1.9)
1.2.5.Phân vị .Phân vị chuẩn mức

, kí hiệu
U

, là giá trị xác định bởi
{


=

. (1.11)
Một số giá trị đặc biệt: (1.12)
0,10 0,025
0,05 0,01
U 1,280; U 1,960;
U 1,645; U 2,326.
==



==


Lu ý: Nhiều tài liệu không lập bảng của
U

mà lập bảng của hoặc p

u


với

{
}
PU p


fx e
L

2

=

. (1.14)
Rõ ràng là , nếu m = 0 thì

{}
5,0LXLP
=
<
< . (1.15)

10

Nh vậy nếu quan sát BNN chuẩn quy tâm nhiều lần thì có khoảng 50% số
lần BNN đó rơi vào khoảng (-L;L). Chính vì thế, L đợc gọi là sai số trung gian,
nó tỉ lệ với độ lệch chuẩn. Dạng mật độ (1.14) của phân bố chuẩn hay đợc dùng
trong pháo binh.
1.2.7.Quy tắc 2, 3 .
Cho X
N(m, ), theo công thức (1.9) ta có
2


{}
Xm

Quy tắc.Nếu BNN có phân bố chuẩn thì hầu nh chắc chắn (độ tin cậy trên
95%(trên 99%)), BNN chỉ sai lệch với giá trị trung bình cuả nó một lợng không
quá 2
). (3 )
1.2.8.Tính phổ cập của phân bố chuẩn. Thực tế chúng ta rất hay gặp phân bố
chuẩn. Sở dĩ nh vậy vì xảy ra Định lí giới hạn trung tâm sau đây (xem mục
3.5.2d):
Nếu bnn X là kết quả của rất nhiều nguyên nhân, mỗi nguyên nhân chỉ có
vai trò không đáng kể đến kết quả cuối cùng thì X có phân bố rất gần phân bố
chuẩn.
Đ1.3.Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn.
1.3.1.Véc tơ kì vọng, ma trận tơng quan, ma trận hệ số tơng quan

a)Trờng hợp 2 biến. Xét 2 BNN X, Y bình phơng khả tích. Mô men tơng
quan (gốc) của X và Y, kí hiệu
, xác định theo công thức
XY
RXY
RE[XY= ].
Hiệp phơng sai của X và Y, kí hiệu Cov(X,Y) xác định bởi

. Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)]=
Hai BNN X và Y đợc gọi là không tơng quan nếu

. Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)] 0= =
Điều này tơng đơng với




11
nn
E[X ] m
m E[X]
E[X ] m


== =



- véc tơ kì vọng;
Ma trận tơng quan của X cho bởi

(
)
ij i j
R(R) E[XX]==
.
Rõ ràng
.
2
ii i
RE[X
=
]

Ma trận hiệp phơng sai của X cho bởi

= =
- hệ số tơng quan của .
ij
X,X
R
-ma trận các hệ số tơng quan.
ij
()
=
c)Tính chất 1)
ij
1, i, j. (1.19)
2) Nếu các thành phần X
1
độc lập thì không tơng
quan và R=
ma trận chéo,
n j
, ,X
i
X,X
ij
(R )
ij
()

-ma trận đơn vị . Ngợc lại không đúng.
3)
và R đối xứng , xác định không âm.


Hệ quả. Từng thành phần của VTNN chuẩn là

BNN chuẩn.
Lu ý: Điều ngợc lại nói chung không đúng: Từng thành phần của VTNN

là chuẩn chuẩn.
T
1n
X (X , ,X )
=
T
1n
X (X , ,X )
=
Bây giờ gọi m = E[X] là véc tơ kì vọng và

= Cov(X) là ma trận hiệp
phơng sai của X (dễ thấy tồn tại ), phân bố chuẩn đợc kí hiệu bởi N(m,

).
VTNN chuẩn X có véc tơ kì vọng m và ma trận hiệp phơng sai đợc kí hiệu
bởi

X
N(m, ).
+ Nếu định thức của
bằng 0 thì VTNN chuẩn X đợc gọi là suy biến. Đặt
(hạnh của ), tồn tại không gian con k chiều của kRang()=
n
Ă

. (1.20)
Nh vậy, véc tơ giá trị trung bình m và ma trận hiệp phơng sai
hoàn toàn
xác định phân bố chuẩn; các thông tin về mô men cấp cao hơn là không cần thiết.

Đặt
1
n
G.



=





Dễ thấy
1
G

=
1
n
1/
.
1/



R
det(R)
D D



=




trong đó
là phần phụ đại số của trong ma trận R. Thay vào (1.20) ta đợc
ij
D
ij
R

13

f(x) =
n
jj
ii
ij
n/2 1/2
ij
i,j 1
1n
xm

X , ,X
n
n1
X , ,X
(
là ma trận chéo:
2
1
2
n
.



=





)

1.3.3.Biến đổi tuyến tính VTNN chuẩn.
Mệnh đề. Cho X N(m,

), A- ma trận cấp k
ì
n tuỳ ý còn
k
b

) thì các phần tử trên đờng chéo chính của
D dơng.
Chứng minh. Ta chứng minh cho trờng hợp det
0

. Khi đó, đối xứng,
xác định dơng, vậy tồn tại ma trận trực giao F có các véc tơ cột e
i
là các véc tơ
riêng của
với các giá trị riêng
i

tơng ứng sao cho
D =
1
1T
n
FF .




=





(1.22)

Hình 1.4.Đờng đồng mức của mật độ chuần 2 chiều.
O
x
y1.3.4. Một số BNN liên quan đến VTNN chuẩn.

Mệnh đề. độc lập cùng phân bố chuẩn N(0,1) thì
1
X , ,X
n
222
1n
YX X (n)=++ :

. (1.24)
Mệnh đề. U N(0,1) , V , U, V độc lập thì :
2
(n):


1
SX
n
X
=
=

là hai BNN độc lập;
b)
2
2
2
n
2
i
2
i1
XN(m, );
n
XX
nS
(n 1).
=








=




:
T =
T(n-1). (1.27)
1.3.5.Một số phân vị khác.

a)
. Phân vị mức

của phân bố Khi bình phơng với n bậc tự do, kí
hiệu là

, là giá trị xác định từ biểu thức:
2
(n)


2
(n)


15


{
}

T(n):
Tính chất: *
1
t (n) t (n)

=

;
*

t(n)

U


với n > 30.
Ngời ta lập bảng giá trị của
2
(n)


và
t(n)

với những giá trị khác nhau
của
và n.

Theo công thức (1.21),
mật độ đồng thời của Z cho bởi
f(x,y) =

22
112
2
2
1122
12
1 1 xm xmxm xm
exp 2
2(1 )
21

2







+







= 0 (

X và Y không tơng quan), mật độ
đồng thời cho bởi

16

f(x,y) =
22
2
12 1 2
11xym
exp
22










+






D 1 0,25 1
H10,25 2
L U 0,6745 ;
L U 0,6745 .
= =



= =


Định luật tản mát khẳng định rằng, toạ độ điểm đạn rơi (X, Y) tuân theo luật
chuẩn với hàm mật độ (1.30), m
1
= m
2
= 0. Có thể viết lại mật độ này dới dạng
22
2
22
DH
DH
xy
f(x,y) exp
LL
LL
2




, 4L
H
(có tài liệu ghi là L
D
, L
H
).
Xác suất để điểm đạn rơi (X,Y) nằm ngoài elip tản mát rất nhỏ, có thể bỏ qua:
()()
{}
()
22
2
0,25
XY
XY
PX,Y E P 4U 0,025



= +






. (1.34)
Ngời ta chia (E) thành các vùng với tỉ lệ % xấp xỉ đạn rơi vào (Hình 1.5);
nhờ đó có thể tính dễ dàng xác suất đạn rơi vào miền G cho trớc nào đó.

= Ă
=
;
0.
; (1.35)
*
; (1.36)
f(x) 0; f(x)dx 1




*
. (1.37)
{}
b
a
Pa X b f(x)dx< =

+Để mở rộng khái niệm hàm mật độ cho BNN rời rạc trớc hết ta đa ra
hàm bớc nhảy đơn vị, đó là hàm:

1khix0
u(x)
0khix


=

<


b
0
0
0o
a
1khiaxb;
(x x )dx
0khixahayx
<

=

b.
<



(1.40)

O x
1
y


Hàm delta đợc thể hiện bằng véc tơ đơn vị //Oy (Hình 1.7.). Nó có thể coi
là đạo hàm của hàm bớc nhảy đơn vị:

du(x)
(x)
dx
=

k0h;h,k 0
u(h) u(k)
lim
hk
<<

=

(1.42)
Khi đó, nếu X là BNN rời rạc tập trung tại
{
}
i
x,i 1,2, =
với
{
}
ii
pPXx,==
i
i1
p1

(x a)dx 1



=

. (1.44)
Ngời ta cũng hay xét hàm khối lợng xác suất của BNN X

{
}
p(x) P X x , x .== Ă

Ví dụ.
Cho X là BNN với bảng xác suất

Hàm mật độ (suy rộng) và hàm khối lợng xác suất thể hiện ở Hình 1.8.
Hình 1.8. Hàm mật độ (a) và hàm khối lợng xác suất (b) của BNN rời rạc.

X 1 2 4
P 0,5 0,3 0,2


1.1 Nờu mt s hiu bit v bin ngu nhiờn ri rc.
1.2 Nờu mt s hiu bit v BNN liờn tc, 4 lut phõn b liờn tc.
1.3 BNN chun: nh ngha, tớnh cht hm mt , cỏc tham s c trng, BNN
chun tc, bin i tuyn tớnh, phõn v U

.
1.4 BNN chun: nh ngha, sai s trung gian, dng mt BNN chun dựng
cho phỏo binh, qui tc 2
,3 .
1.5 Vộc t k vng, ma trn tng quan, ma trn hip phng sai ca vộc t
ngu nhiờn n chiu; vi tớnh cht.
1.6 Vộc t ngu nhiờn chun: nh ngha, tớnh cht.
1.7 Bin i tuyn tớnh VTNN chun.
1.8 Mt s bin ngu nhiờn liờn quan n VTNN chun.
1.9 Phõn v
, vộc t ngu nhiờn chun 2 chiu.
2
(n);t (n)


1.10 Mt chun 2 chiu dựng trong phỏo binh, elip tn mỏt.
1.11 Khỏi nim mt vi BNN ri rc.

Bài tập chơng I.
1.1. Chứng tỏ rằng nếu
a) X
thì E[X] = np; D[X] =np(1-p).
B(n, p):
b) X

}
{
}
P0

X 1; b)P1 X 4.<
1.5. Cho X
. Tìm mật độ của Y = 2X 3. Tính E[Y], D[Y].
N(0,1):
1.6. Cho X
.Tính
N(0,1):
{
}
{
}
{
}
P X 1,645 ; P X 1,960 ; P X 1,960 .>> >

1.7. Viết mật độ của phân bố chuẩn, biết rằng nó có kì vọng 0 và sai số trung
gian 2. Tính
{
}
{
}
P2X2; P0X2
.
1.8. Đờng kính của viên bi có phân bố chuẩn với trung bình 20 và độ lệch
chuẩn 0,5. Quy tắc

a)
; b) ; c) ; d) .
20
01









21
11



21
01



11
11




1.11. Cho U=(X,Y,Z)

:
10,5
0,5 1



=


10
2
10
.
Tìm VTNN dạng sao cho 2 thành phần của V, tức là
aX+bY và cX+dY là 2 BNN độc lập.
aX bY
V
cX dY
+

=

+


1.13. Cho
là những BNN độc lập cùng phân bố chuẩn N(0,1).Đặt
. Tìm a, b để
1
X , ,X

25
L
H
25
167

x Hình 1.9 . Xe tăng trong hệ thống elip tản mát .

21

1.17
. Cho , tính
XU[a;b: ] P{ X EX 2 }
−
<σ,
P{ X EX 3 }
−<σ với
DX
σ= ; so sánh với công thức (1.17).
1.18.
Giả sử . Chứng tỏ rằng X là BNN “không có trí nhớ” theo
nghĩa
XE()λ:
P{X s t | X t} P{X s}, t,s 0>+ > = > ∀ ≥

2
E[X], E[X ], D[X].
c)Tìm mật độ của BNN
X
.
ĐS.
;
2
k 1; Mod(X) 1; E[X] 2; E[X ] 6====
2
3x
X
x)2xe .
−
=f(
1.21
. VTNN (X,
Y) c
ó mật độ
(x y)
e khi x 0, y 0
f(x,y)
0trailai
−+
⎧
≥≥
⎪
=
⎨
⎪

−
)
=
≥
.

22

Chương 3
VÉC TƠ NGẪU NHIÊN

§3.5. SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
Mục này trình bày bốn dạng hội tụ thông dụng nhất của dãy các BNN cũng
như những định lý hạt nhân của lý thuyết xác suất về sự hội tụ của dãy các BNN
độc lập: luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm. Sự hội tụ của dãy các BNN dạng
khác như xích Markov, martilgal… được trình bày ở chuyên khảo khác.
3.5.1. Các dạng hội tụ
a)Định nghĩa. Giả sử X và , n = 1, 2, … là các BNN cùng xác định trên
không gian xác suất
(
n
X
)
,,PΩℑ
.
(i) Ta nói dãy các BNN
{
}
n
X

⎯⎯→
n
X
→
X A
⊂Ω
n
n
lim X ( ) X( ), A
→∞
ζ
=
ζ
∀
ζ
∈
.
(ii) Ta nói dãy các BNN
{
}
n
X hội tụ theo xác suất tới BNN X và viết
nếu
P
n
XX
⎯⎯→
{
}
n

(4i) Ta nói dãy các BNN
{
}
n
X hội tụ theo luật đến BNN X và ta viết
hay ⇒ nếu
L
n
X⎯⎯→X
X
n
F
X
F
XX
n
n
lim F (x) F (x)
→∞
=

tại mọi điểm liên tục của hàm phân bố

X
F(x).
Từ bất đẳng thức Liapunov (xem 5.2.1), hội tụ trung bình cấp p sẽ suy ra hội
tụ trung bình cấp q với 0 < q < p. Tuy nhiên trong thực tế ứng dụng thì hội tụ trung
bình cấp hai là quan trọng nhất; hội tụ trung bình cấp hai còn gọi là hội tụ bình
phương trung bình hay MS - hội tụ (mean square convergence), ký hiệu
MS

X(),n 1,2,
ζ
= là dãy Cauchy với hầu hết
ζ
∈Ω
;
+
,
0∀ε >
{
}
nm
PX X 0
−≥ε→
khi n,m
→∞
;
+
2
nm
E X X 0 khi n,m .
−→ →∞

Định lý (tiêu chuẩn Cauchy). Dãy các BNN
{
}
n
Xhội tụ đến BNN X nào đó:
(i) hầu chắc chắn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy hầu chắc chắn.
(ii) theo xác suất khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy theo xác suất;

nn
XXX
⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→
X.
(iii) Dãy
{
}
n
X hội tụ theo xác suất thì cũng hội tụ theo luật:

XX
PL
nn
XX.
⎯⎯→⇒ ⎯⎯→
Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ thể hiện ở giản đồ sau
hầu chắc chắn Theo xác suất
Theo trung bình
Theo luậtChắc chắn
Ngoài ra, quan hệ sau đây cũng hay được sử dụng:
Định lý. Nếu dãy các BNN {X hội tụ theo xác suất đến X thì có thể tích ra
một dãy con
{ hội tụ hầu chắc chắn đến X.
n

D[X] (x E[X]) f (x)dx (x E[X]) f(x)dx
−ε
+∞
−∞ −∞
=− ≥ −
∫∫{}
22
E[X]
(x E[X]) f(x)dx P X E[X] .
+
∞
+ε
+
−≥ε−
∫
≥ε
Nhận được đpcm. 

Đôi khi dạng sau đây của (3.5.1) cũng rất tiện lợi:
{}
2
D[X]
PX E[X] 1 .−<ε≥−
ε

Đặc biệt, khi
ε


b. Luật yếu số lớn
Cho dãy BNN
{
}
n
X độc lập, cùng phân bố với kỳ vọng
i
E[X ] m
=
và
phương sai
hữu hạn. Khi đó, với mọi
2
i
D[X ] =σ 0
ε
>
cố định,
1n
n
X X
lim P 1.
n
→∞
⎧⎫++
−µ <ε =
⎨
⎩⎭
⎬

ε
⎩⎭

Chuyển qua giới hạn khi nhận được đpcm.  n →∞
Theo các dạng hội tụ xét đến ở mục 3.5.1, luật yêu số lớn chính là:
Đối với dãy BNN độc lập, cùng phân bố với phương sai hữu hạn, dãy trung
bình cộng hội tụ theo xác suất đến kỳ vọng chung của dãy.
Định lý này được nêu ra bởi Bernoulli ở cuối thế kỷ 17 như là thành công
đầu tiên của lý thuyết xác suất non trẻ. Thực ra, v
ới cùng giả thiết, chúng ta còn
thu được sự hội tụ hầu chắc chắn, dạng hội tụ mạnh hơn hội tụ theo xác suất. Đó là
nội dung của luật mạnh số lớn, công trình thuộc về Kolmogorov.
c.Luật mạnh số lớn
Cho dãy BNN
{
}
n
X độc lập, cùng phần bố với kỳ vọng
i
E[X ]
=
µ và
phương sai
D[ hữu hạn. Khi đó
2
i
X ] =σ
1n
n
X X

⎧
=
⎨
⎩
Trung bình cộng
()
1n
n
X X
X
n
+
+
= bằng
- tần suất xuất hiện biến cố
A trong n phép thử đầu tiên. Với P = P(A) ta có
n
f
ii
E[X] p;D[X] p(1 p).
=
=−
nếu biến cố A xảy ra ở phép thử thứ i
nếu trái lại
Theo luật mạnh số lớn, tần suất hội tụ hầu chắc chắn đến
E[
i
X ] p P(A).==
Như vậy, luật mạnh số lớn là cơ sở toán học của định nghĩa thống kê về xác
suất, đưa ra ở giai đoạn đầu của lý thuyết này.

(
)
n
X
1
n
10 30 50400
1000
200
•
n
6
•
•
•
(a)
(
b
)

Hình 3. . Trung bình cộng của dãy BNN mũ kỳ vọng 1.

Nhận xét:
Sự hội tụ của dãy
n
{(X) } thường là chậm hơn rất nhiều so với sự
hội tụ của dãy tất định hay gặp thông thường.
Ví dụ, nếu chúng ta cần một ngưỡng xác suất (độ tin cậy) 95%, đối với
BNN có , theo bất đẳng thức Chebychev chúng ta có thể đưa ra bảng sau đây
về số phép thử cần thiết để trung bình cộng

E[T ] 0=
n
=
Như vậy, kỳ vọng và phương sai của
BNN giới hạn (nếu có) vẫn là 0 và 1 tương ứng. Câu hỏi đặt ra là: Hàm phân bố
hay hàm mật độ (nếu có) của BNN giới hạn sẽ ra sao?
Định lý sau đây trả lời cho câu hỏi này.
Định lý
(Định lý giới hạn trung tâm). Cho dãy BNN
{
}
n
X độc lập, cùng
phân bố với kỳ vọng
i
E[X ]
=
µ và phương sai
2
i
D[X ]
=
σ hữu hạn. Khi đó đối
với dãy
{
}
i
T xác định theo (3.5.5) xảy ra đẳng thức:
{}
2