CƠ SỞ ĐỂ NGHIÊN CỨU SỰ VẬN ĐỘNG CỦA VẬT CHẤT
TRONG THẾ GIỚI VI MÔ
Th.s ĐỖ CUNG TRĂNG – Khoa: Tự nhiên.
Trong những năm gần đây sinh viên ngành Vật lý được học phần Vật lý
lượng tử, đó là môn thuộc phần vật lý hiện đại. Hai cuốn sách viết về phần này rất
sơ lược, do vậy việc nghiên cứu và học tập của sinh viên gặp rất nhiều khó khăn.
Để cho sinh viên và độc giả có cái nhìn ban đầu cũng như cách tiếp cận được dễ
dàng về môn học này tôi xin trình bày một số kiến thức cơ bản làm nền tảng cho
sinh viên học tập và nghiên cứu môn Vật lý lượng tử.
I/. Toán tử: Toán tử là phép biến đổi, tác dụng lên hàm
K∈Ψ
( K là không gian
tuyến tính) biến thành một hàm khác
K
∈
ϕ
. Toán tử thường được kí hiệu bằng
dấu mũ “ ^ “ ở trên đầu.
Thí dụ: a/.
)()(
ˆ
xxA
ϕ
=Ψ
b/. Nếu
dx
d
A
=
ˆ
thì

.
Qua thí dụ trên ta thấy toán tử vừa mang tính chất đạo hàm, vừa mang tính
chất véc tơ.
- Toán tử Laplax:
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∆
- Toán tử Hamintơn (Toán tử năng lượng):
)
ˆ
(
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
rU

−+






∂
∂
−=++=
z
i
y
i
x
iPPPP
zyx


∆−=








∂
∂






ˆˆˆ
ˆ
++=








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=∇−=
Với:
x
ip
x
∂










∂
∂
−
∂
∂
−=−=
y
z
z
yipzpyL
yzx
.
ˆ
ˆ
ˆ
.
ˆ
ˆ

,


∂
∂
−
∂
∂
−=−=
x
y
y
xipypxL
xyz
.
ˆˆˆ
.
ˆ
ˆ

1
II/ Cơ học lượng tử: Môn cơ học nghiên cứu sự vận động của vật chất trong thế
giới vi mô gọi là môn cơ học lượng tử.
1/. Tính chất hạt của vật chất trong thế giới vi mô:
a/. Tính chất hạt của ánh sáng:
- Ta đã biết ánh sáng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt. Tính chất sóng
thể hiện ở hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ v.v…, còn tính chất hạt thể hiện trong
các hiện tượng quang điện, compton v.v…
- Lưỡng tính sóng hạt được Einstein nêu lên trong thuyết lượng tử ánh sáng. Theo
thuyết này ánh sáng được cấu tạo bởi các hạt photon.
Mỗi hạt có năng lượng:
hfE
=

P

của vi hạt liên hệ với bước sóng
λ
theo hệ thức:

λ
h
p
=
,
n
h
nkP





λλ
π
===
2
(4)
Trong đó:
)(10.6256,62
34
Jsh
−
== 

−−
−−
Ψ=Ψ=Ψ
ω
(5)
Hay
)().(),( tfrtr

ϕ
=Ψ
Trong đó:
rp
i
er



0
)(
Ψ=
ϕ
,
Et
i
etf

−
=
)(
và biên độ

Ψ
phải thỏa mãn điều kiện:
- Liên tục (Đôi khi đạo hàm cấp 1 theo không gian cũng phải liên tục).
- Đơn giá, hữu hạn.
- Chuẩn hóa:
∫
=Ψ
V
dV 1
2
(6)
c/. Hệ thức bất định Heisenberg:
- Giả thuyết De Broglie về sự tồn tại tính chất sóng của các hạt có đặc trưng
chung sau: Các hạt electron, proton, nơtron, nguyên tử, phân tử và bất kỳ vật
chuyển động nào đều có tính chất sóng. Tuy nhiên các vật có kích thước lớn,
chuyển động với vận tốc thông thường, thì theo công thức (4) có bước sóng rất nhỏ
so với kích thước của chúng.
- Các tính chất sóng của bất kỳ đối tượng chuyển động nào được đặc trưng bởi
hàm sóng
Ψ
. Đại lượng
2
Ψ
được dùng để xác định khả năng tìm thấy hạt ở điểm
xác định nào đó trong không gian và được gọi là mật độ xác suất ( xác suất tìm
thấy hạt trong một đơn vị thể tích).
- Mặt khác: hàm sóng
0
≠Ψ
trong cả một khoảng không gian nào đó, vì thế hạt

cho vật vĩ mô.
Xét một vi hạt có năng lượng E và động lượng
P

xác định (Trạng thái dừng)
và chuyển động trong trường thế
)(rU

hàm sóng có dạng:
3

Et
i
ertr


−
=Ψ
)(),(
ϕ
(8)
Trong đó: E là năng lượng của vi hạt

)(r

ϕ
là phần phụ thuộc vào tọa độ không gian của hàm sóng.
Hàm sóng
),( tr



2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∆
là toán tử Laplax.
Phương trình (9) gọi là phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian.
Thay (8) vào (9) ta được:
)()(
ˆ
rErH

ϕϕ
=
⇒

0)()()(
2

Phương trình (10) gọi là phương trình Schrodinger không phụ thuộc vào thời
gian.
- Nếu biết cụ thể dạng
)(rU

, giải phương trình (10) ta tìm được
Ψ
và E, nghĩa là
xác định được trạng thái và năng lượng của vi hạt.
Nếu hạt chuyển động tự do (
)(rU

= 0). Phương trình Schrodinger có dạng:

0)(
2
)(
2
=+∆
r
mE
r
n
n
n



ϕϕ


=
(11)
Phương trình (11) gọi là phương trình trị riêng của toán tử
H
ˆ
hay phương trình
Schdinger không phụ thuộc vào thời gian.
Trong đó:
)(r
n

ϕ
là hàm riêng hay véc tơ riêng, E
n
là trị riêng của toán tử
H
ˆ
.
4/. Thí dụ áp dụng phương trình Schrodinger:
Xét hạt chuyển động trên trục Ox trong trường thế
có dạng:
0 : khi 0 < x < a
U(x) =

∞
: khi
0
≤
x
và

dx
d
m
nnn
ϕϕ
=−


Hay
0)(
2
)(
2
//
=+
x
mE
x
n
n
n
ϕϕ

(*) Với:
2
2
2

n
mE


KxBKxAx
n
cossin)( +=
ϕ
Với: A = (C
2
– C
1
)i
B = (C
2
+ C
1
) là các hằng số.
Vì hạt chỉ chuyển động trong giếng thế nên
2
)(xn
ϕ
ở ngoài giếng thế bằng 0,
nghĩa là
)(x
n
ϕ
ở ngoài giếng thế bằng 0.
+ Áp dụng điều kiện liên tục của hàm sóng (ĐK biên):
• Tại: x = 0:
00.cos0.sin)0( =+= KBKA
n
ϕ

( n = 1,2,3 )
Vậy nghiệm riêng của toán tử là:
x
a
n
Ax
n
π
ϕ
sin)( =
.
+ Áp dụng điều kiện chuẩn hóa:
∫
=
a
n
dxx
0
2
1)(
ϕ⇒

∫
=
a
xdx
a

a
n
a
ectx
Et
i
n
n
π
sin
2
),(
1

−
∞
=
∑
=Ψ

- Từ biểu thức:
2
2
2

n
mE
K =
và
a

=

Vậy năng lượng của hạt trong giếng thế phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là
năng lượng của hạt biến thiên một cách gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng bị
lượng tử hóa.
5
III/. Vật lí nguyên tử: Phần vật lý nguyên tử vận dụng những kết quả của cơ học
lượng tử để nghiên cứu phổ và đặc tính của các nguyên tử.
1/. Mômen động lượng và mômen từ của electron chuyển động xung quanh
hạt nhân:
- Theo cơ học lượng tử: electron chuyển động xung quanh hạt nhân có mômen
động lượng
L

. Nhưng vì electron chuyển động xung quanh hạt nhân không có quỹ
đạo xác định, do đó ở mỗi trạng thái véc tơ
L

không có hướng xác định.
+ Tuy nhiên véc tơ mômen động lượng quỹ đạo
L

có độ lớn được xác định theo
công thức:
)1(
+=
llL 
(12)
Trong đó:
1 3,2,1,0 −= nl

. Hàm sóng phụ thuộc vào các
số lượng tử n, l, m, tức là
nlm
Ψ
.
• Ví dụ: với l = 2
⇒

6)12(2  =+=L 2,,0,,2 −−=
z
L Các cách định hướng có thể của véc tơ mômen
động lượng quỹ đạo
L

.
Điều đó chứng tỏ rằng hình chiếu của véc tơ
mômen động lượng cũng bị lượng tử hóa.

- Khi electron chuyển động xung quanh hạt nhân tạo thành dòng điện kín được đặc
trưng bởi mômen từ quỹ đạo
LP
m

↑↓

; với
223
.10
2
mA
m
e
P
B
−
≈=

: gọi là manhêtôn Bo.
Vậy hình chiếu véc tơ mômen từ quỹ đạo của electron chuyển động xung quanh
hạt nhân lên một phương bất kỳ bằng số nguyên lần manhêtôn Bo, nghĩa là bị
lượng tử hóa.
6
2/. Spin của electron:
- Qua nhiều thí nghiệm chứng tỏ rằng: electron tự nó có mômen động lượng
riêng: gọi là mômen spin.
+ Mômen spin
S

có độ lớn cũng được xác định bởi công thức:


2
3
)1
2


m
e
PP
Bms
2

 ==
(18)
Từ (16), (17), (18) suy ra :

S
m
e
P
ms


−=
(19)
- Do có mômen spin, nên mômen động lượng toàn phần
J

của electron là:

SLJ


+=
(20)

mối liên hệ:
n = 1, 2, 3 ….:gọi là số lượng tử chính (là các số tự nhiên nguyên dương và khác 0)
1 3,2,1,0 −= nl
:gọi là số lượng tử quỹ đạo.
lm ±±±±= 3,2,1,0
:gọi là số lượng tử từ.
2
1
±=
s
m
: gọi là số lượng tử hình chiếu spin.
3/. Khái niệm về hệ thống tuần hoàn:
- Để giải thích được qui luật phân bố electron trong bảng hệ thống tuần hoàn
Menđêlêép cần chú ý tới một nguyên lý gọi là nguyên lý loại trừ pauli:
Ở mỗi trạng thái lượng tử xác định bởi 4 số lượng tử n , l, m, m
s
chỉ có thể có
tối đa 1 electron.
- Ta đã biết, với giá trị của n ta có n
2
bộ 3 số n, l, m khác nhau và vì nên cứ mỗi
giá trị của n cho trước các số trạng thái khác nhau là 2n
2
trạng thái lượng tử, nghĩa
là số electron tối đa có 2n
2
.
- Tùy theo số lượng tử n ta chia thành từng lớp electron quanh hạt nhân như sau:
Lớp K (n = 1): sẽ có tối đa là 2 electron.

2P
6
3S
2
3P
1
.
+ Cấu hình nguyên tử Si là: 1S
2
2S
2
2P
6
3S
2
3P
2
.
+ Cấu hình nguyên tử Cl là: 1S
2
2S
2
2P
6
3S
2
3P
5
.
……………………………………………….

Mev/c
2
.
1/. Những đặc trưng cơ bản của hạt sơ cấp:
8
- Thời gian sống: có một số ít hạt:
νγ
,,,, pee
+=
có thời gian sống rất lớn, còn các
hạt sơ cấp khác chỉ sống trong thời gian phân rã thành các hạt khác.
- Điện tích: Một số hạt sơ cấp
,,,
0
πνγ
n
: trung hòa về điện. Một số hạt khác mang
điện tích (+) hay (-).
- Spin: Các hạt sơ cấp đều có mômen spin đặc trưng cho chuyển động nội tại của
chúng ( spin s là nguyên hay bán nguyên).
- Đối hạt: Mọi hạt sơ cấp đều có đối hạt tương ứng. Đối hạt có cùng khối lượng,
thời gian sống, spin nhưng có điện tích, mômen từ trái dấu với hạt.
Ví dụ: e
-
có đối hạt là e
+
.
p có đối hạt là
P
.
0
KKp ++→+
+−−
ξπ

- Số Bariôn: Các hạt sơ cấp có khối lượng lớn hơn hay bằng proton (p): có tên
chung là Bariôn. Vậy các Bariôn gồm các nuclêon và các hypêrôn.
- Spin đồng vị: Spin đồng vị của 1 hạt được xác định bằng giá trị hình chiếu véc tơ
spin lên trục oz. Các hạt trong cùng một nhóm đồng vị thì có cùng spin đồng vị và
khác nhau ở giá trị hình chiếu spin đồng vị.
2/. Phân loại hạt sơ cấp:
Các hạt sơ cấp được chia thành 4 loại sau:
- Photon:
γ
( và phản hạt) có khối lượng nghỉ bằng không, spin s = 1.
- Leptôn gồm: e
-
, mêdôn
−
µ
, nơtrinô
ν
+ Nơtrinô có 2 loại: một luôn đi đôi electron (
e
ν
), và một loại luôn đi đôi với
mêdôn
µ

+
) và các phản
hạt của chúng.
+ Họ hạt mêzôn có: khối lượng lớn hơn trăm lần khối lượng m
e
, spin s = 0.
Chúng là những hạt Boson.
- Họ hạt Bariôn:
9
+ Có 2 nhóm Bariôn là: Nuclêon (p,n) và Hyperôn (
−
Ω∑Λ ,,,
ξ
) và các phản hạt
của chúng.
+ Có khối lượng cỡ hàng nghìn lần m
e
, spin s =1/2 hoặc 3/2.
Các mêzôn và các Bariôn có tên chung là các adrôn.
3/. Tương tác của các hạt sơ cấp:
Các hạt sơ cấp luôn biến đổi. Trong quá trình biến đổi có thể là quá trình tán xạ
của hạt này lên hạt khác hoặc quá trình sinh một hạt, quá trình hủy một hạt
v.v Nói chung giữa các hạt sơ cấp có tương tác. Có 4 loại tương tác giữa các hạt
sơ cấp.
- Tương tác mạnh: là tương tác giữa các adrôn trừ các phân rã của chúng.
Ví dụ:
pnnnnp +→++→+
+
π


γππ
2→+
−+

−−
→+ ee
γ
(quang điện)
Sơ đồ tương tác của hiện tượng quang điện:

Nói chung hạt tương tác với đối hạt sẽ cho 2 photon.
- Tương tác yếu: Bao gồm các quá trình phân rã các adrôn hấp thụ mêzôn
µ
bởi
các chất và các quá trình nơtrinô.
Ví dụ:
e
enp
ν
++→
+

e
epn
ν
++→
−

µ
νµπ

2
±=
, quark
esd
3
1
, ±=
Điện tích của các adrôn bằng tổng điện tích của các quark thành phần.
- Các Mêzôn được cấu tạo từ 1 hạt quark và 1 phản quark.
Ví dụ:
du
=
+
π
,
ud=
−
π( )
dduu −=
2
1
0
π
- Các Bariôn được cấu tạo từ 3 quark: p = uud, n = ddu
- Các hạt lạ được cấu tạo có 6 quark s:

suK =


- Tương tác mạnh: có hạt trường là: gluon.
- Tương tác yếu: có hạt trường là:
0
,, zww
−+
là các boson trung gian.
- Tương tác hấp dẫn: có hạt trường là graviton.
Tóm lại: Vật chất cấu tạo lên vũ trụ tồn tại dưới 2 dạng:
+ Hạt: với dạng hạt là các hạt cơ bản.
+ Trường: với dạng trường có các hạt truyền tương tác.
11