Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM
2009
CHUỖI
CHUỖI SỐ.
+
=1
=
=1
CÁC LOẠI BÀI TOÁN VỀ CHUỖI.
1.1 Tìm số hạng tổng quát.
Dựa vào các số hạng ban đầu, phân tích để tìm ra quy luật và từ đó tìm ra số hạng tổng quát
của chuỗi.
Ví dụ 1: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi sau:
a,
1
2
+
3
4
+
5
6
=
21
2
, ớ = 1,2,3,
b, Tử số lập thành cấp số cộng với công sai là d = 3, do đó số hạng tổng quát của nó là
=
1
+
1
= 1 + 3
1
= 32, còn mẫu số lập thành cấp số nhân với công
bội q = 2,
= 2
. Vậy số hạng tổng quát là:
=
32
2
Giải.
Xét tổng riêng thứ n:
=
1
23
21
=2
=
1
2
1
23
1
21
=2
=
=
1
2
Vậy tổng của chuỗi đã cho là: =
1
2
.
Ví dụ 3:
1
(+ 1)
+
=4
Giải.
Xét tổng riêng thứ n:
=
1
(+ 1)
=4
=
1
1
+ 1
Nên
lim
+
=
1
4
Vậy tổng của chuỗi đã cho là: =
1
4
Ví dụ 4:
1
2
2+ 2
(2+ 4)
+
=1
Giải.
1
2
=
1
8
1
2
+ 1
+
1
+ 2
=
1
16
((
1
1
+ 1
) (
1
+ 1
1
+ 2
))
=
1
16
(
1
1
+ 1
)
=1
1
16
(
1
+ 1
1
+ 2
)
=1
=
1
16
Ví dụ 5:
3
2
+ 3+ 1
3
(+ 1)
3
+
=1
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM
2009
Giải.
Bằng phương pháp phân tích như ví dụ 4 ta có thể tách
ra hoặc có thể thực hiện:
3
2
+ 3+ 1
3
(+ 1)
3
=
=1
= 1
1
(+ 1)
3
lim
+
= 1
Xét sự hội tụ của chuỗi số:
Các chuỗi
+
=1
và
+
=1
, (0) luôn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Khi xét sự hội tụ của chuỗi số, ta cần lưu ý đến điều kiên cần để chuỗi số hội tụ, tức là
từ điều kiện lim
,
+
=1
.Nếu
,
0
thì:
Chuỗi
+
=1
phân kỳ thì
+
=1
phân kỳ.
Chuỗi
+
=1
,
+
=1
luôn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Chú ý một số nhận xét:
Khi 0
+
thì:
tg(x)~ sin
~;ln
1 +
~;(1 + )
1~;
1~; 1 cos()~
, () là các đa thức theo n thì ta đánh giá
~
1
với = deg
deg().
Có thể áp dụng khai triển Mac Laurin vào để dánh giá các số hạng. Đặc biệt chú ý các khai
triển
1 +
= 1 +
1!
+
1
2
2!
4
4
+
sin
=
3
3!
+
5
5!
cos
= 1
2
2!
+
4
4!
, đặt = lim
+
+1
, nếu :
< 1 chuỗi đã cho hội tụ.
> 1 chuỗi đã cho phân kỳ.
Tiêu chuẩn 4.
Cho chuỗi số dương
+
=1
, đặt = lim
+
, nếu :
< 1 chuỗi đã cho hội tụ.
> 1 chuỗi đã cho phân kỳ.
Chú ý :
Nếu lim
+
+1
+
=1
, nếu tồn tại hàm () sao cho
=
,
0
và
() liên tục, đơn điệu giảm trên (
0
, +) thì
f
x
dx
+
0
và
=1
hội tụ còn nếu chuỗi
+
=1
phân kỳ thì ta chưa kết luận mà phải
dùng các tiêu chuẩn khác.
Khi xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu
(1)
1
+
=1
, ta xét tiêu chuẩn Leibnitz.
Tiêu chuẩn Leibnitz.
Chuỗi đan dấu
(1)
1
+
=1
hội tụ nếu
=1
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM
2009
Giải.
Xét
2
=
1
2
=+1
1
2
2
=+1
=
1
2
lim
3
+
2
+2
1
2
mà chuỗi
1
2
+
=1
hội
tụ nên theo chuẩn 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
Ví dụ 9:
2
1
+
=1
Giải.
Ta có:
|
1
3
|
+
=1
nên ta đánh giá:
Do
1
3
~
1
3
=
1
3
hội tụ và suy ra
(
1
3
)
+
=1
hội tụ.
Ví dụ 11:
(!)
2
2
!
+
=1
Giải.
Áp dụng tiêu chuẩn D’Alembert ta xét:
lim
+
+1
lim
+
+1
= lim
+
(+ 1)
2
2+ 1
(2+ 2)
=
1
4
< 1
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
Ví dụ 12:
(1 +
1
)
2
1
2
1
)
1
2
=
2
> 1
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.
Ví dụ 13:
(1)
!
+
=1
Giải.
Xét chuỗi chuỗi dương :
|
1
= 1 chưa thể kết luận nhưng ta có thể dánh giá :
+1
= .(
+ 1
)
=
(1 +
1
)
Nhưng do dãy (1 +
1
)
đơn điệu tăng dần đến e nên
+1
=
+
=1
=
(1)
+
=1
phân kỳ.
Ví dụ 14:
(1)
sin(
3
)
+
=1
Giải.
Do sin(
3
)~
)
+
=1
| hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối.
Ví dụ 15:
(1)
+
=1
Giải.
Xét hàm số
=
,
=
1
2
+
=1
>
1
+
=1
phân kỳ nên chuỗi đã cho bán hội tụ.
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM
2009
CHUỖI HÀM
()
+
=1
Có tổng riêng thứ n.
() =
()
< .
Điều kiện trên tương đương với điều kiện sup
0, (+).
Chú ý: Phủ định của định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm là:
Dãy hàm số {
()} không hội tụ đều trên X tới hàm số () nếu với tồn tại > 0, tìm
được
0
trên X thì
liên tục trên X.
Từ đó suy ra phủ định của tính chất trên là: nếu
liên tục trên X và
trên X và
thì
0
0
< . Điều kiện trên tương đương với sup
0, (,+)
Vậy, nếu ta chỉ ra rằng
, và chuỗi số
+
=1
hội tụ thì chuỗi
hàm
+
=1
hội tụ đều trên X.
Ví dụ : Cho chuỗi hàm:
1
+
=1
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM
2009
=
1, 0 < 1
0, = 1
, (+)
Do
=
1
là các hàm liên tục và
=
(1
1
+1
)
+1
1
0() nên chuỗi đã cho hội tụ đều.
Nếu
0,
, 0 < < 1 thì
=
2+1
+1
,
0,1
=
2+ 1
2
+ 1
=
+1
2+ 1
Bảng biến thiên:
x
0
+ 1
2+ 1
1
1
() 0 ()
0
1
4
, (+)
Ví dụ: Xét tính hội tụ đều của chuỗi hàm sau trên R.
2
+
=1
Giải.
Do
=
2
1
2
, [1,1], chuỗi Riemann
sin
2
2
+ 1
+
=1
Giải.
Với mỗi x cố định, để chuỗi đang xét là chuỗi đan dấu thì sin
2
2
+1
0. Do vậy ta xét:
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM
2009
Với
0,
, > 0 thì đây là chuỗi đan dấu có sin
2
2
+1
đơn điệu giảm (do
=+1
= sin
2
2
+ 1
2
2
+ 1
2
2
=
2
= sin
2
2
2
+ 1
1 0,(+)
Với
, 0
, > 0 thì ta biến đổi
1
sin
2
2
+1
+
=1
=
1
()
- Tìm lim
+
|
+1
()
()
| = |
|(lim
+
|
()|
= |
|)
- Giải bất phương trình
,0 < < +
0 = +
+ = 0
ớ = lim
+
+1
, (= lim
+
)
- Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 điểm biên = ±
- Kết luận miền hội tụ chuỗi là khoảng (,) hợp với các điểm biên hội tụ.
Chú ý:
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM
2009
Nếu chuỗi hàm dạng
Ta xét lim
+
|
+1
| = lim
+
|
1
(+1)()
+1
()
1
| =
1
||
< 1
>
0 < <
1
Tại = chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa
1
=1
= lim
+
|
+1
| = lim
+
|
1
+ 1
1
| = 1Suy ra bán kính hội tụ của chuỗi là R = 1.
Xét với y = 1 ta có chuỗi điều hòa
1
+
=1
nên phân kỳ.
Xét với y = -1 ta có chuỗi
(1)
+
=1
2
sin(+ )
Giải.
Với = thì
= 0 nên chuỗi đã cho hội tụ.
Với , chuỗi có dạng:
(1)
4
+
=1
2
sin()
lim
+
+1
1
2
)
(1)
1
+
=1
, đây là chuỗi đan dấu hội tụ ( do
1
đơn điệu
giảm và dần về 0).
Vậy chuỗi đã cho hội tụ trên đoạn [-1,1] và các điểm = ,
2.3 Tìm tổng của một chuỗi hàm va áp dụng tìm tổng của một chuỗi số.
a, Tổng của một chuỗi hàm.
Tổng của chuỗi hàm chỉ có nghĩa trên miền hội tụ nên trước khi đi tìm tổng, ta phải xác định
được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Ta thường sử dụng các phương pháp sau:
- Phân tích thành những chuỗi dễ tìm tổng.
Chú ý về việc đổi chỉ số của chuỗi:
+
=1
=
1
+
=0
= lim
+
|
1
1
4
| = 0 nên miền hội tụ của chuỗi đã cho là R.
đặt:
=
1
2
+1
+
=1
=
1
2
!
+1
+
=1
=
2
2
1
1
!
2
1
+
=1
1
!
2
+
=
1 + , chuỗi được biến đổi về dạng :
1
+
=1
=
(
)
+
()
()
+
=1
=
()
+
=1
=
()
+
=1
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM
2009 Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm:
2+5
3
2
và tại
= ±
1
3
chuỗi phân kỳ nên miền hội tụ của chuỗi đã cho là (
1
3
,
1
3
). (
1
3
,
1
3
) đặt:
=
2+5
3
2
(2+ 1)
+
=0
=
=
+
=0
1
1
2
9
=
9
9
2
nên
=
0
=
3
2
ln|
+
=2
Giải.
Dễ thấy miền hội tụ của chuỗi đã cho lũy thừa là (-1,1)
Với 0, (1,1) ta có:
=
+ 1
2
+
=2
=
+ 1
1
+
=2
= (
+ 1
3
1
= 2
2
3+ 3
(1 )
3
Với = 0
= 6 vậy:
=
2
2
1
(
1 + 2
+
2
)
+
=1
=
1
1
(
1
+
1
+ 1
)
+
=1
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM
2009
=
1
1
1
+
=1
+
1
1
1
1
+ 1
+1
+
=1
=
1
1
1
+
=1
0
+
1
1
1
+
=1
0
=
1
1 +
0
1
(
1
1 +
1)
0
= ln
1 +
+ (
1
1 +
)
0
=
+
=1
=
0
+
=1
=
+
=1
0
= (
)
1
0
= ln(
1)
- Đưa về nghiệm của phương trình vi phân:
Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm:
+1
2
+
=0
Giải.
Miền hội tụ của chuỗi hàm này là
, +
2
1
2
1
1
!
+
=1
=
1
2
2
!
+
=0
=
1
2
=
1
2
+
Do
=
2
!
+
=0
nên
0
= 1 ln
0
= 0 =
Suy ra:
ln
2
!
+
=0
=
(
2
)
!
+
=0
=
2
Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm:
+
=0
, ớ
0
=
+
=0
=
0
+
+
=1
=
0
+ (+ 1)
+1
+
=1
1
+
=1
=
+
0
+
1
0
1
+
=1
+
=0
=
0
+
1 +
= (1 + )
=
(1+)
=
+
2
2
Copyright: Tài liệu đại học ©