1
2
22
22
( ): 2 9 0
( ): 2 4 0
ó: 12 8 52 6 4
A d x y
B d x y
Ta c a a b b a b AM
22
2 2 2 2
22
22
22
4 8 20 2 4
2 2 2 3 3 3
2 2 2
3 3 3
22
3 3 3
33
3
, , 0
3
1 1 1
1
3
ó:
ì:
.
ó: 3
84
x
y
z
a
abc
b ab bc ca abc
abc
c
a b c a b c
Tac VT
a bc b ca c ab a abc b abc c abc
3
33
3
64 4
33
;
44
3
2 ( )
8 4 4
a
bc
bc
b c b a c a c b
a b a c b c a b c
VT a b c VT VP dpcm
Bài 15.
Page 101 of 130
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
, , 0
2010
ó:
2( ); 2( ); 2( )
2( ) 2( ) 2( )
à : ; ;
2 2 2
1
22
a x y
abc
b y z
abc
c z x
Theo Bunhiacopxki ta c
x y x y y z y z z x z x
xyz
H
y z z x x y
a b c a b c a b c
V x y z
a b c
H
b
33
2 2 2 2
2010 1005 2
2
2 2 2 2
a b c a b c
ca
abc
a b c a b c V a b c n n
abc
a b c a b c
H a b c a b c a b c
abc
abc
2
2
22
2
22
22
2
2
2
2
22
1
ó: . :
3 1 1 12
1 1 12
1
1
1 3 12
1 3 1 1 12
3 1 1 12
1 1 12 1 1
. : 1 12 ( 1) 3 ( )
11
3) ax .
6 18
à : lim ( ) 0 0
u
MA
V P t f t f t t
M P f
Qua BBT ta c
MinP f
Bài 18: Cho 2 số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min của:
41
4
A
xy
Giải:
Ta có:
Page 103 of 130
A
xy y y
yy
a y a b
ab
Coi V A f a
b y a b
ab b a a a
a
f a MinA f
a
a
a
Ta thấy y’ đồng biến và ta có: y > 0. Vậy ta có:
2
cos 1
2
x
x
Áp dụng cho các góc A/2, B/2 , C/2 ta có:
2 2 2
cos 1 ;cos 1 ;cos 1
2 8 2 8 2 8
A A B B C C
2
1 1 1 1 9
2 ( ) 2.
88
18 144
33
88
A B C
VT A B C
2
( ) ( ) 2 2
.
1 1 ( ) 1 2
( ) 1 1 2 2 6
à : 0 . : 0; à 2 ( )
4 4 4 2 2
12
inS ( )
6
'0
43
( 2)
ax (0) 1
x y x y x y xy
S
y x xy x y xy
x y t
M xy Coi t xy t v S f t
tt
Mf
S
t
M S f
qua M và cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA+OB đạt giá
trị nhỏ nhất.
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;2),
đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình lần lượt là:
2x+y+1=0 và x+y-1=0. Viết phương trình đường thẳng BC.
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho đường thẳng d có phương trình:
2x+3y+1=02x+3y+1=0 và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua
M tạo với d một góc 45
0
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0) và 2
đường thẳng lần lượt chứa đường cao kẽ từ B và C có phương trình: x-2y+1=0;
3x+y+1=0. Tính diện tích tam giác ABC .
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC,
góc BAC = 90
0
. Biết M(1;-1) là trung điểm của BC và G(2/3;0) là trọng tâm
tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh ABC.
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A.
Có trọng tâm là G(4/3;1/3), Phương trình đường thẳng BC là: x-2y-4=0, phương
trình đường thẳng BG là: 7x-4y-8=0. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật có tâm I(1/2;0). Phương trình
đường thẳng AB là: x-2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D. Biết
rằng A có hoành độ âm.
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0;2) và đường thẳng d: x-2y+2=0.
Tìm trên d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB=2BC.
Câu 11. Cho
ó (5;3); ( 1;2); ( 4;5)ABC c A B C
viết phương trình đường thẳng
2
:4x+3y-45=0
Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: 5x+3y-22=0
Và tiếp xúc với cả d
1
và d
2
.
………………….Hết…………………
Page 107 of 130 HDG ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 09
Các bài toán về hình học giải tích phẳng thực sự cũng không khó khăn gì đâu các
bạn ah!, Để học tốt phần này các bạn cần chuẩn bị cho mình những kiến thức từ
trung học cơ sở như các yếu tố về điểm, đường thẳng trong tam giác và tứ giác, kỹ
năng phát hiện các yếu tố làm cơ sở để tìm ra hướng giải cho bài toán. Bài 1: Một hình thoi có một đường chéo có phương trình: x+2y-7=0, một cạnh
có phương trình: x+3y-3=0. Một đỉnh là (0;1). Viết phương trình 3 cạnh và
đường chéo thứ 2 của hình thoi.
Giải:
Giả sử A(0;1) và tọa độ B là nghiệm của hệ PT:
3 3 0
(15; 4)
2 7 0
xy
B
Thế (2) vào (1) ta có: b=-9 hay b=5
-9 (30; 9) (15; 4) ( ) (2;5) (1;3) ( 13;10)
:( 2) 3( 5) 0 : 3 17 0
(2;4) (2; 1) :2 ( 1) 0 2 1 0
( 13;9) (9;13)
:9 13( 1) 0
:9( 2) 1
AB CD
AC
AD BC
b C D B loai C O D
Do n n CD x y hay x y
AC n AC x y x y
AD n n
AD x y
BC x
26
2 6 0 ' 2
1
0
2
':
20
20 21 162 0
21
kx y k
kx y k d M
k
k
y
xy
k
a
b
Min OA OB a b b a
ab
xy
PT
Mà trung điểm M của AC có tọa độ là:
1 1 1 1
( ; ) 2. 1 0 2 6 0
2 2 2 2
a b a b
M BM a b
Tọa độ C là nghiệm của hệ PT:
10
( 7;8) ' ( 6;8) (4;3)
2 6 0
:4( 1) 3 0 4 3 4 0
BC
ab
C A C n
ab
BC x y hay x y
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho đường thẳng d có phương trình:
xy
k
k
cd
xy
k
k
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0) và 2 đường
thẳng lần lượt chứa đường cao kẽ từ B và C có phương trình: x-2y+1=0;
3x+y+1=0. Tính diện tích tam giác ABC .
Giải:
Ta có:
22
2 2 0
( 3;8) 4 8 4 5
3 1 0
14 1 1 14
. .4 5. 28
22
55
ABC
xy
C AC
y
d B AC BH S AC BH
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, góc
BAC = 90
0
. Biết M(1;-1) là trung điểm của BC và G(2/3;0) là trọng tâm tam giác
ABC. Tìm tọa độ các đỉnh ABC.
Giải:
Gọi
;2
2 ; 4
( ; ) (2 ; 2 )
2 2 ; 2 2
(1; 3)
(2 ) 2 4 0
0 (4;0); ( 2; 2)
ì:
2 ( 2; 2); (4;0)
2 2 3(2 2 ) 0
AB a b
AC a b
Goi B a b C a b
BC a b
AM
a a b b
AB AC b B C
V
AM BC b B C
ab
Page 111 of 130
Hoàng độ giao điểm B là nghiệm của hệ PT:
7 4 8 0
(0; 2)
2 4 0
xy
B
xy
Do C thuộc BC nên:
4 2(3 ) 4 0 2 6a b a b
Nhưng do tam giác ABC cân nên:
41
;
33
. 0. à: 2 3 0
2;1
BC
Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật có tâm I(1/2;0). Phương trình
đường thẳng AB là: x-2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D. Biết
rằng A có hoành độ âm.
Giải:
Phương trình đường thẳng qua I vuông góc với AB là d:2x+y-1=0
Tọa độ giao điểm M của d và B là nghiệm của hệ:
2 1 0
5
(0;1) 2 5
2 2 0
2
xy
M MI AD MI AM
xy
Gọi A(a;b) với a<0 ta có:
22
( 1) 5AM a b
Do A thuộc AB nên a-2b+2=0 => a=2(b-1)
Page 112 of 130
Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với d là: 2x+y-2=0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 0
26
( ; )
2 2 0
55
xy
B
xy
Ta có:
2
()
5
d A d
Gọi C(a;b) là điểm trên d, ta có: a-2b+2=0 (1) và:
22
Do
11
1
21
( 2;3) ( 7;0)
3
2 ( 3;4)
12
( 8;1)
3
22
: 3 0
: 8 29 0
x
BM BC
y
M AM
M
x
AM
BM BC
y
dy
d x y
Bài 12:Cho tam giác ABC nhọn, viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC Biết
tọa độ chân các đường cao hạ từ A,B,C lần lượt là: A’(-1;-2) , B’(2;2), C(-1;2).
Giải:
Sử dụng các tứ giác nội tiếp ta hoàn toàn chứng minh được AA’, BB’, CC’ lần
lượt là các đường phân giác trong của tam giác A’B’C’.
Page 113 of 130
Ta có:
1 1 1 1 1
1 1 2 1 1
( 3;0) (0;1) : 2 0
( 3; 4) (4; 3) :4( 2) 3( 2) 0 :4 3 2 0
BC n BC y
B A n B A x y hay x y
22
0 (0;4)
1 5 2 1 1
50
1 ( 1; 3)
2 2 2 2 4
BD x y x y
Coi B a a BD BI a a
aB
AC
BI a a
aB
Bài 15: Cho tam giác ABC với A(8;0), B(0;6) và C(9;3).
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Page 114 of 130
Giải:
Trung điểm của AB là:
(4;3) à 8;6 4; 3M v AB
Ta có phương trình đường trung trực của AB là:
4( 4) 3( 3) 0 4 3 7 0x y x y
Trung điểm của BC là:
99
( ; ) à 9; 3 3; 1
22
N v BC
Ta có phương trình đường trung trực của BC là:
Tâm O sẽ là giao điểm của đường trung trực của AB và d.
Trung điểm của AB là:
53
( ; ), (3; 1)
22
M AB
Ta có phương trình đường trung trực của AB là:
53
3( ) ( ) 0 3 6 0
22
x y x y
Vậy tọa độ tâm O là nghiệm của hệ:
3 6 0
(1; 3)
2 5 0
xy
O
xy
Bán kính: R=5 nên ta có:
Bài 18: Trên mặt phẳng Oxyz cho 2 đường thẳng:
d
1
:3x+4y-47=0 và d
2
:4x+3y-45=0
Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: 5x+3y-22=0
Và tiếp xúc với cả d
1
và d
2
.
Giải:
Các phương trình đường phân giác tạo bởi d
1
và d
2
là:
xy
TH O d l ng cua HPT O
vR
22
2
4 / 2sin5 3 os3 sin3 0
5/ 2sin 4 3cos2 16sin cos 5 0
6 / inx 4sin cos 0
7 / tan xsin 2sin 3 os2 sin x cos
8/ 2 2tan 3
9
x x c
x c x
x x x x x
x c x x
x x x x
s x x
x x c x x
sin x x
22
4 2 2 4
0
3 3 5 5
/ os 3sin 2 1 sin
10 / 3cos 4sin cos sin 0
11/ inx cos 7sin 2 1
12 / 2 2 sin 1
22
33
1
16 / 2cos2 8cos 7 (1)
cos
17 / 4cos 3tan 4 3cos 2 3 tanx 4 0
18/ 3 cos cos 1 2
19 / in os os2 .tan .tan
44
xx
x
x x x
xx
s x c x c x x x
Bài II: Tìm các nghiệm thuộc khoảng (2π/5; 6π/7) của phương trình:
3sin7 cos7 2xx
log log 0
xx
x
xx
x x x x
Log
Log
Log x x x
xy
xy
xy
xy
8/ log ( 2) log ( 5) log 8 0
9/ :2 15.2 2
10/ :log (2 1).log (2 2) 2log 2 0
11/ ( 5 2) 5 2
4
12 / 2 3 2 3
23
13/
x y x x y
x x x x
xx
x
x
x
x x x x
x y y y x y x
xx
Log
………………….Hết…………………
Page 119 of 130 HDG ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 10
Các bài toán về phương trình, bất phương trình lượng giác và phương trình siêu việt
(hàm số mũ và logarit) xuất hiện trong các kỳ thi ĐH rất nhiều. Để học tốt các loại bài tập
này các em cần chuẩn bị cho mình một vốn kiến thức về các công thức rất kỹ, đó là các
công thức lượng giác và các phép biến đổi, đổi cơ số trong hàm số mũ và hàm số
logarit.
Là đề luyện tập cuối cùng rồi!
Chia tay nhau ở đây, Anh chúc các em có một kỳ thi thành công! Goodluck!
3
2
2
22
2
3
tan 1
63
Page 120 of 130
3 3 2
3
32
3/ 4sin 3cos 3sin sin cos 0(1)
* ét sinx 0 3cos 3 0
(1) 4 3cot 3(cot 1) cot 0
cot 1
1
4
cot
3
3
1
cot
3
x x x x x
Xx
x x x
x
xk
x
xk
x
4 / 2sin5 3 os3 sin3 0
31
3 os3 sin3 2sin5 os3 sin3 sin5
22
5
os 3 sin5 os( 5 )
62
5
3 5 2
62
24 4
2
5
3 5 2
3
62
5/ 2sin 4 3cos2 16sin cos 5 0
2sin4
x c x x
c x x x c x x x
c x x c x
k
x x k
x
xk
x x k
x x x x
2
3cos2 8sin 2 .2sin 5 0
1 os2
2sin4 3cos2 8sin2 . 5 0
2
2sin4 3cos2 4sin 2 2sin 4 5 0
34
3cos2 4sin2 5 cos2 sin 2 1
55
3
cos
5
os(2 ) 1 ;( );
4
2
sin
5
x x x x
cx
x x x
x x x x
x x x x
C x x k k
2
6 / inx 4sin cos 0(1)
ê' :cos 0 inx 4sin 3 0
(1) t anx(1 tan ) 4tan 1 tan 0
tanx
tanx
tanx 1
1 3 2 1 0
4
3 1 0
7 / tan xsin 2sin 3 os2 sin xcos
, os
S x x
N u x S x
x x x
t
t
xk
t t t
t t t
x x c x x
Chia VT VP cho c x
4
1 3 0
tanx 3
3
8/ 2 2tan 3
, os ó:
2tan 2t
ta c
c x x x
xx
cx
t
x x x
t t t
xk
t
tt
xk
Sin x x
Chia VT VP cho c x ta c
x
2
tan
an (tan 1) 3(tan 1)
2 3 4 3 0
tan
tanx 1
1 2 3 0
4
tx
x x x
t t t
tx
xk
t t t
tt
x x x x
Chia VT VP cho c x ta c x x
t
tt
22
11/ inx cos 7sin 2 1
: sinx cos ;( 2)
sinx cos 1
7(1 ) 1 7 6 0
6
sinx cos
7
2
2
1
sin
2
4
2
32
;sin
7
2
32
sin
4
47
2
4
S x x
Coi t x t
x
Page 123 of 130
3 3 5 5
3 2 3 2
22
2
1
sin
2
4
2
2
15/ os 2(sin os )
1 2sin os 2cos 1 0
os2 sinx cos sin sin xcos os 0
os2 0
42
k
xx
k
Sin x c x x c x
Sin x x c x x
c x x x x c x
k
c x x
cos 1 2
cos ( )
: (1) ;
1
2
cos 2
4 8 5 1 0
23
17 / 4cos 3tan 4 3 cos 2 3 tanx 4 0(2)
: ;(2) 2cos 3 3 t anx 1 0
2
3
cos 2
26
tanx
xx
x
x x k
t x t
DK x k k
x x k
t t t
x x x
DK x k x
x x k
3 cos cos 1 2 4 cos 1 2(cos 1)
2(cos 1) 0;
: cos 1 0 cos 1 2
4 cos 1;
x k k
xk
xx
x x x x
xx
Do x x x k k
xx
01
4
4
2;
1
2
sin
2
4
2
t
xk
xk
x k k
x
xk
Bài II:
Tìm các nghiệm thuộc khoảng (2π/5; 6π/7) của phương trình:
Page 125 of 130
Copyright: Tài liệu đại học ©