MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
Ma trận cấp
m n
là một bảng số hình chữ nhật với
m
dòng,
n
cột,
m n
phần tử
11 12 1
21 22 2
1 2

n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 

 
 
 

0 0
0n n nn
a
a a
a a a
 
 
 
 
 
 

- Ma trận đường chéo:
11
22
0 0
0 0

0 0
nn
a
a
a
 
 
 
 

mxn
= [a
ij
+b
ij
]
mxn

-Nhân ma trận với 1 số: Nhân từng phần tử của ma trận với số đó. : k x [a
ij
]
mxn
= [k x a
ij
]
mxn

-Tích của 2 ma trận:
Chỉ có thể nhân 2 ma trận khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ 2.
[ ] ; [ ]
ij m n ij n p
A a B b
 
 
thì
[ ]
ij m p
AB C c

 

t
3.Định thức:
Kí hiệu là
det A
hoặc
A

3.1: Định thức cấp 2, cấp 3:
1 2
1 4 2 3
3 4
a a
a a a a
a a
 
 
 
 
;
1 1 1
2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 3 1
3 3 3
a b c
a b c a b c b c a a b c c b a b a c a b c
a b c
 
 
     
 
 


Xét phần tử
ij
a
( giao của dòng
i
và cột
j
). Xóa đi dòng
i
và cột
j
ta được một ma trận bậc
1n 
, có
định thức là
ij
M
. Phần bù đại số của phần tử
ij
a
là
( 1)
i j
ij ij
A M

 

Ví dụ: Xét ma trận

( 1) . 3
A M

    
.
Phần tử
12
2
a

. Xóa đi dòng 1 và cột 2 được ma trận
4 6
7 9
 
 
 
, định thức
12
4.9 6.7 6
M
   

1 2
12 12
( 1) . 6
A M

   

Công thức khai triển định thức: det A= d

Lưu ý chọn cột hoặc hàng có nhiều số 0 để sử dụng công thức dễ hơn.
3.2.2: Cách 2: Đưa về ma trận tam giác ( Phổ biến nhất )
Với ma trận tam giác, có công thức định thức:
11 12 1
22 2
11 22

0
.

0 0
n
n
nn
nn
a a a
a a
a a a
a


Ta sẽ biến đổi ma trận đã cho về dạng tam giác.Biến đổi dựa vào 2 tính chất sau:
Nếu đổi chỗ 2 dòng thì định thức đổi dấu.
Nếu nhân một dòng với một số
k
bất kì rồi cộng vào dòng khác thì định thức không đổi
Ta biến đổi ngược từ dưới lên, từ trái sang phải, lần lượt chuyển định thức về dạng tam giác.
4. Ma trận nghịch đảo
Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông
A

11 21 1
12 22 2
*
1 2

n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A A A

(
ij
A
phần bù đại số của
ij
a
)
3. Dùng công thức:
1 *
1
.A A
A



1 2 30 4
3 1 2 3 7
1 3 43 1
 
 
 
 
 
 

 

Biến đổi giống như khi tính định thức, biến đổi các dòng về các số 0 theo thứ tự từ dưới lên trên, từ trái
qua phải. Ở đây, cộng dòng 1 với dòng 3, nhân dòng 1 với 3 rồi cộng với dòng 2 ta được:
12 304
0 5 7 35
0 5 7 35
 
 
 

 
 

 
. Biến đổi tiếp ta có
12 304
0 5 7 35
0 0 0 00
 

1 3 4 1 3 3 1 3 1
   
     
     
      
     
     

     

2
r
 
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm điều kiện để tồn tại A
-1
(  A là ma trận vuông)
Phương pháp: A khả nghịch  det A # 0
VD1: Tìm x để A khả nghịch
A = = (x
2
– 2x – 3)
A khả nghịch det A # 0 x
2
– 2x – 3 # 0 
VD 2: Tìm m để A khả nghịch
A =

= 3
A
31
=-2 A
32
= 9 A
33
= -1
 Angang = => A
-1
= =
Chú ý: Tính chất của A
-1
(A
-1
)
-1
= A
(A
T
)
-1
= (A
-1
)
T

(AB)
-1
= B

-1

PP2: giải hệ pttt
Tìm cấp của X => tìm phần tử của X
Chú ý: nếu A, B là MT vuông
Det A=0, det B # 0 thì pt AX = B vô nghiệm
VD 4: Tìm X để AX = B
A = ; B =
Det A= 0, det B = 20 # 0 => Pt vô nghiệm
VD 5: Tìm X để AX = B
A= ; B=
Cách 1: det A = 5
A
-1
= =
X = A
-1
B =
Cách 2: X là MT 2x2. Giả sử X =