Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRONG SGK
Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 1,2,3 trang 7 SGK Toán 9 tập 2: Phương trình
bậc nhất hai ẩn – Chương 3 Đại số 9: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
A. Tóm tắt lý thuyết bài phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Khái niệm:
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng:
ax + by = c
(1)
Trong đó a, b và cc là các số đã biết (a ≠ b hoặc b ≠ 0).
2. Tập hợp nghiệm của phương trình:
a) Một nghiệm của phương trình (1) là một cặp số
(x0, y0) sao cho ax0 + by0 = c.
b) Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm
của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c,
kí hiệu là (d).
– Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

hoặc

Khi đó đường thẳng (d) cắt cả hai trục

tọa độ.
– Nếu a = 0, b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:
và (d) // Ox

– Nếu a ≠ 0, b = 0 thì công thức nghiệm là:

và (d) // Oy.


Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường
thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
a) 3x – y = 2;
b) x + 5y = 3;
c) 4x – 3y = -1;
d) x +5y = 0;
e) 4x + 0y = -2;
f) 0x + 2y = 5.
Đáp án bài 2:
a) 3x – y = 2

Nghiệm tổng quát:

Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình:
Với y = 3x – 2
Cho x = 0 => y = -2 được A(0; -2).
Cho x= 1 => y = 1 được B(1;1)
Biều diễn cặp số A(0; -2) và B(1;1) trên hệ trục tọa độ và đường thẳng AB chính
là tập nghiệm của phương trình 3x – y = 2.
Tương tự các em làm các câu sau như câu a)
b) x + 5y = 3

Tham khảo thêm tại facebook.com


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

Nghiệm tổng quát:
hay
Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình:


f) 0x + 2y = 5.
Nghiệm tổng quát:
trình:

Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương

Bài 3 trang 7 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Cho hai phương trình x + 2y = 4 và x – y = 1. Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập
nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ
giao điểm của hai đường thẳng và cho biết tọa độ của nó là nghiệm của các
phương trình nào.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:

Vẽ đường thẳng x + 2y = 4.
– Cho x = 0 => y = 2 được A(0; 2).
Tham khảo thêm tại facebook.com


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

– Cho y = 0 => x = 4 được B(4; 0).
Đường thẳng cần vẽ là đường thẳng (d1) đi qua A, B.
Vẽ đường thẳng x – y = 1.
– Cho x = 0 => y = -1 được C(0; -1).
– Cho y = 0 => x = 1 được D(1; 0).
Đường thẳng cần vẽ là đường thẳng (d2) đi qua C, D.
Giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ là M (2; 1).
Ta có (2; 1) cùng thuộc hai đường thẳng nên nó là nghiệm của cả hai phương
trình đã cho.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:

a)
Ta có a = -2, a’ = 3 nên a ≠ a’ => Hai đường thẳng cắt nhau.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho
trong hệ là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một
điểm duy nhất).
b)
Có a =-1/2, a’ =-1/2, b = 3, b’ = 1 nên a = a’, b ≠ b’.
⇒ Hai đường thẳng song song.
Vậy hệ phương trình vô nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho
trong hệ là hai đường khác nhau và cso cùng hệ số góc nên chúng song song với
nhau).
c)
Có a =-3/2, a’ =2/3 nên a ≠ a’ => Hai đường thẳng cắt nhau.
Vậy hệ phương trình có một nghiêm.
d)
Có a = 3, a’ = 3, b = -3, b’ = -3 nên a = a’, b = b’.
⇒ Hai đường thẳng trùng nhau.
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã
cho trong hệ trùng nhau).
Bài 5 trang 11 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:

Tham khảo thêm tại facebook.com


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu


Tham khảo thêm tại facebook.com


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai ? Vì sao ? (có thể cho một ví dụ hoặc minh
họa bằng đồ thị).
Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:
Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là
chũng cùng có tập nghiệm bằng Φ.
Bạn Phương nhân xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình:

đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ thứ nhất được biểu diễn bởi
đường thẳng y = x, còn tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diện bởi
đường thẳng y = -x. Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét
không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm).

Giải bài 7,8,9,10,11 trang 12 Luyện tập Hệ hai phương trình bậc nhất hai
ẩn
Bài 7 trang 12 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một
hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 7:
a) 2x + y = 4 ⇔ y = -2x + 4 ⇔ x = -1/2y + 2. Do đó phương trình có nghiệm
dạng tổng quát như sau:

b) Vẽ (d1): 2x + y = 4

– Cho y = 1 => x = 2 được B(2;1)
Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại M(2; 1).
Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1).
b)

Tham khảo thêm tại facebook.com


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng y =-x/3 +2/3 cắt hai trục
tọa độ, còn một đồ thị là đường thẳng y = 2 song song vơi trục hoành.

Vẽ (d1): x + 3y = 2
– Cho x = 2 => y = 0 được A(2;0)
– Cho y = 1 => x = -1 được B(-1; 1).
Vẽ (d2): y = 2
Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại M(-4; 2).
Thay x = -4, y = 2 vào phương trình x + 3y = 2 ta được -4 + 3 . 2 = 2 (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2).
Bài 9 trang 12 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

Đáp án và hướng dẫn giải bài 9:

a)
Ta có: a = -1, a’ = -1, b = 2, b’ = 2/3 nên a = a’, b ≠ b’ => Hai đường thẳng song
song nhau.
Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm
của hai phương trình trong hệ song song với nhau.

Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì
ta có thể kết luận hệ phương trình có vô số nghiệm, vì hệ có hai nghiệm phân
biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của chúng có hai điểm chung
phân biệt, suy ra chúng trùng nhau.
Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 12,13,14, 15 trang 15; Bài 16,17, 18,19 trang
16 SGK Toán 9 tập 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế –
Chương 3 Đại 9.
A. Tóm tắt lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
1. Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình
tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta
biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một
phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ
(và giữ nguyên phương trình thứ nhất).
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Tham khảo thêm tại facebook.com


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ
phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
3. Chú ý: Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đểu bằng 0 thì
hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.
B. Đáp án và hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 9 tập 2 bài: Giải hệ
phương trình bằng phương pháp thế trang 15,16.
Bài 12 trang 15 SGK Toán 9 tập 2 – Phần Đại số

Đáp án và hướng dẫn giải bài 13:

Từ phương trình (1) ⇒ 2y = 3x -11 ⇔
Thế (3) vào y trong phương trình (2):
⇔ 8x -15x + 55 = 6 (Quy đồng mẫu số 2 vế)
⇔ -7x = -49 ⇔ x = 7.
Thế x = 7 vào (3) ta được
trình đã cho là (7; 5)

⇔ y = 5. Nghiệm của hệ phương

Từ phương trình (1) ⇒
Thế (3) vào x trong phương trình (2):
⇔ 10y + 30 – 24y = 9 (Quy đồng mẫu số 2 vế)
⇔ -14y = -21 ⇔ y =3/2
Thế y = 3/2 vào (3) ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;3/2).
Bài 14 trang 15 SGK Toán 9 tập 2 – Phần Đại số
Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Đáp án và hướng dẫn giải bài 14:
a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = -y√5.
Thế vào x trong phương trình thứ hai ta được:
-y√5.√5+ 3y = 1 – √5
⇔ -2y = 1 – √5
⇔
Từ đó:
Tham khảo thêm tại facebook.com


c) Khi a = 1, ta có hệ
Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 16 trang 16 SGK Toán 9 tập 2 – Phần Đại số

Đáp án và hướng dẫn giải bài 16:
a)
Từ phương trình (1) ⇔ y = 3x – 5 (3)
Thế (3) vào y trong phương trình (2): 5x + 2(3x – 5) = 23
⇔ 5x + 6x – 10 = 23 ⇔ 11x = 33 ⇔x = 3
Thay x = 3 vào (3) ta có y = 3.3 – 5 = 4.
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 4).

Tham khảo thêm tại facebook.com


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

b)
Từ phương trình (2) ⇔ 2x – y = -8 ⇔ y = 2x + 8 (3)
Thế (3) vào y trong phương trình (1): 3x + 5(2x + 8) = 1
⇔ 3x + 10x + 40 = 1 ⇔ 13x = -39
⇔ x = -3
Thay x = 3 vào (3) ta có y = 2(-3) + 8 = 2.
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (-3; 2).

c)
Phương trình (1) ⇔ x = 2/3y
(3)
Thế (3) vào x trong phương trình (2): 2/3y + y = 10 ⇔ 5/3y = 10
⇔ y = 6.

Thế (3) vào (1): (√2 – 1)[1 – (√2 + 1)y] – y = √2 ⇔ -2y = 1 ⇔ y = -1/2
Từ đó x = 1 – (√2 + 1)(-1/2) = (3+ √2)/2
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = ( (3+ √2)/2; -1/2)
Bài 18 trang 16 SGK Toán 9 tập 2 – Phần Đại số
a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình

Có nghiệm là (1; -2)
b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là (√2 – 1; √2).
Đáp án và hướng dãn giải bài 18:
a) Hệ phương trình có nghiệm là (1; -2) có nghĩa là xảy ra

b) Hệ phương trình có nghiệm là (√2 – 1; √2),

Tham khảo thêm tại facebook.com


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

Bài 19 trang 16 SGK Toán 9 tập 2 – Phần Đại số
Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a khi và chỉ khi P(a) = 0.
Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1
và x – 3:
P(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n.
Đáp án và hướng dãn giải bài 19:
P(x) chia hết cho x + 1 ⇔ P(-1) = -m + (m – 2) + (3n – 5) – 4n = 0 hay -7 -n =
0 (1)
P(x) chia hết cho x – 3 ⇔ P(3) = 27m + 9(m – 2) – 3(3n – 5) – 4n = 0 hay 36m
-13m = 3 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.


Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 20:
a)

b)

c)

Tham khảo thêm tại facebook.com


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

d)

e)
Bài 21 trang 19 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 21:
Nhân cả hai vế của (1) với -√2, ta có hệ tương đương

Từ hệ này giải ra ta có x =1/8(√2 -6); y =-1/4(√2 +1)

b)
Nhân cả hai vế của (1) với √2 rồi cộng từng vế hai phương trình ta được:

Từ đây ta tính ra được x=1/√6; y
=-1/√2

⇔ (1 + √2)x + (-√2/2 )+ 1 = 5
Tham khảo thêm tại facebook.com


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

Hệ có nghiệm là:

Nghiệm gần đúng (chính xác đến ba chữ số thập phân) là:
Bài 24 trang 19 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số

Giải hệ các phương trình:
Đáp án và hướng dẫn giải bài 24:
a) Đặt x + y = u, x – y = v, ta có hệ phương trình (ẩn u, v):

Suy ra hệ đã cho tương đương với:

Tham khảo thêm tại facebook.com


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

b) Thu gọn vế trái của hai phương trình:

Bài 25 trang 19 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó
bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa
thức 0:
P(x) = (3m – 5n + 1)x + (4m – n -10).
Đáp án và hướng dẫn giải bài 25:

Vì B(0; 2) thuộc đồ thị nên 0 . a + b = 2.
Ta có hệ phương trình ẩn là a, b.

Bài 27 trang 19 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng
hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:

Đáp án và hướng dẫn giải bài 27:
a) Điền kiện x ≠ 0, y ≠ 0.
Đặt u = 1/x, v = 1/y
ta được hệ phương trình ẩn u, v:
Thế (3) vào (2): 3(1 + v) +4v = 5
⇔ 3 + 3v + 4v = 5 ⇔ 7v =2 ⇔ v =2/7
Từ đó u = 1 + v = 1 + 2/7 = 9/7

Tham khảo thêm tại facebook.com

(1) ⇔ u = 1 + v (3)


Tri Thức Trẻ xin cảm ơn các bạn đã download tài liệu

Suy ra hệ đã cho tương đương với:

b) Điều kiện x – 2 ≠ 0, y – 1 ≠ 0 hay x ≠ 2, y ≠ 1.

ta được hệ đã cho tương đương với:
(1) ⇔ v = 2 – u (3)
Thế (3) vào (2): 2u – 3(2 – u) = 1
⇔ 2u – 6 + 3u = 1 ⇔ 5u = 7 ⇔ u =7/5

x = 2y + 124
Điều kiện y > 124.

Ta có hệ phương trình:
hai số tự nhiên phải tìm là 712 và 294.

Vậy

Bài 29 trang 22 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Giải bài toán cổ sau:
Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho mọt trăm người cùng vui.
Chia ba mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.
Trăm người, trăm miếng ngọt lành.
Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao ?
Đáp án và hướng dẫn giải bài 29:
Gọi số cam là x, số quýt là y. Điều kiện x, y là số nguyên dương.

Theo đề bài ta có hệ:
(3)
Thế (3) vào (2): 10x + 3(17 – x) = 100
⇔ 10x + 51 – 3x = 100 ⇔ 7x = 49 ⇔ x = 7
Từ đó y = 17 – 7 = 10
Vậy có 7 quả cam và 10 quả quýt.

Từ (1) ⇔ y = 17 – x

Bài 30 trang 22 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35