BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
BÀI 1
Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10bi,trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ,1 bi trắng.
Hộp II gồm 6 bi đỏ 4 bi trắng.Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi:
a, Tính xác suất để được 4 bi đỏ
b, Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng
c,Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng
BÀI 2
Một máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80% và một máy khác cũng sản xuất loại sản
phẩm này với tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 60%. Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất 100 sản
phẩm.Tính xác suất để:
a , Có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
b, Có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
c, Có không ít hơn 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
BÀI 3
Để nghiên cứu nhu cầu của 1 loại hàng ở 1 khu vực,người ta khảo sát 400 hộ gia đình.Kết quả như sau :
Nhucầu(kg/thg/hộ)
0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8
Số hộ 10 35 86 132 78 31 18 10
Cho biết trong khu vục có 4000 hộ
a, ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong 1 năm với độ tin cậy 95%.
b, Khi ước lượng trung bình về nhu cầu mặt hàng này của toàn khu vực trong 1 năm,nếu ta muốn đạt được độ
tin cậy 99% và độ chính xác là 4,8 tấn thì cần khảo sát ở ít nhất bao nhiêu hộ gia đình.
BÀI 4
Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm xí nghiệp I,người taa quan sát 1 mẫu trong kho và có k.quả sau :
X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
Số s.phẩm
8 9 20 16 16 13 18
a, Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được gọi là những sản phẩm loại B.Hãy ước lượng tỷ lệ sản
phẩm loại B với độ tin cậy 92%.
b, Gỉa sử trong kho có 1000 sản phẩm loại B.hảy ước lượng số sản phẩm trong kho với độ tin cậy 92%.

1
P(A
1
) = = 9 ∕ 45
C
2
10
C
2
9
C
0
1
P(A
1
) = = 36/45
C
2
10
C
0
6
C
2
4
•
B
0
, B
1

C
2
10
 A
i
và B
j
độc lập
 Tổng số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra phụ thuộc vào các biến cố A
i
và B
j
theo bảng sau :
B
0
B
1
B
2
A
0
0 1 2
A
1
1 2 3
A
2
2 3 4
a) Gọi A là biến cố được chọn 4 bi đỏ. Ta có: A = A
2

B
1
, A
2
B
0
, công thức cộng xác suất cho ta:
P(B) = P(A
0
B
2
+ A
1
B
1
+ A
2
B
0
) = P(A
0
B
2
)+ P(A
1
B
1
)+ P(A
2
B

) + P(A
2
)P(B
1
) = 0.4933
BÀI 2
Một máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80% và một máy khác cũng sản xuất
loại sản phẩm này với tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 60%. Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất
100 sản phẩm.Tính xác suất để:
a , Có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
b, Có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
c, Có không ít hơn 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
Bài Giải
Gọi X là ĐLNN chỉ số sản phẩm đạt tiêu chuẩn 100 sản phẩm A
1
, A
2
lần lượt là các biến cố chọn
được máy1, máy 2.
Khi đó A
1
, A
2
là một hệ thống đầy đủ, xung khắc từng đôi, ta có :
P(A
1
) = P(A
2
) = 0.5
Theo công thức xác suất đầy đủ, với mỗi 0 ≤ k ≤ 100 , ta có :

1
= k) +
1
2
P(X
2
= k)

X
1
có phân phối nhị thức X
1

:
B(n
1
p
1
) với n
1
= 100 , p
1
= 80% = 0.8
Vì n
1
= 100 khá lớn và p
1
= 0.8 không qua gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể
xem X
1

có phân phối nhị thức X
2

:
B(n
2
p
2
) với n
2
= 100 , p
2
= 60% = 0.60
Vì n
2
= 100 khá lớn và p
2
= 0.60 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X
2
có
phân phối chuẩn như sau : X
2
:
N(
2
2 2
,
µ δ
)


2
.
1
1 1
701
f
µ
δ δ
 
−
 ÷
 
+
1
2
.
2
2 2
701
f
µ
δ δ
 
−
 ÷
 
=
1
2
.

2
≤ 90)
=
1 1 2 2
1 1 2 2
90 70 90 701 1
2 2
µ µ µ µ
ϕ ϕ ϕ ϕ
δ δ δ δ
   
       
− − − −
− + −
   
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
   
=
1 90 80 70 80 1 90 60 70 60
2 4 4 2 4.8990 4.8990
ϕ ϕ ϕ ϕ
 − −   − − 
       
− + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
   
       
   
=

X
i
13 17 21 25 29 33 37
n
i
8 9 20 16 16 13 18
Ta có:
n = 100 ;
2636
i i
X n∑ =
;
2
75028
i i
X n∑ =
 Kỳ vọng mẫu của X là:

X
−
=
1
26.36
i i
X n
n
∑ =
(cm)
X
−−

^
2 2
(7.4827)
1
n
S
n
S
= =
−
(cm)
2
a)
Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được gọi là những sản phẩm loại B.Hãy ước
lượng tỷ lệ sản phẩm loại B với độ tin cậy 92%.
Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng
B
µ
= M (X
B
) của chỉ tiêu X = X
B
của những sản phẩm loại
Bvowis độ tin cậy
γ = 1
−
α
= 92% = 0.92 (γ = 1
−
α : gama bằng 1

X X n
n
−
= ∑ =
(cm)

Phương sai mẫu của X
B
là:
2
^
S
=
2
2 2
1
(1.9965)
i i
X n X
n
−
∑ − =
(cm)
2


Phương sai mẫu đã hiệu chỉnh của X
B
là :
2

;
k k
B B
B
B B
S S
X t X t
n n
α α
−
−
 
− +
 ÷
 ÷
 
(trung bình X trừ t anpha
bình k )
Trong đó
k
t
α
được xác định từ bảng phân phối Student với
k = n
B
– 1 = 16 và
1
α γ
= −
= 1 - 0.92 = 0.08

;
n n n n
n n
F F F F
F z F z
n n
α α
 
− −
− +
 ÷
 ÷
 

trong đó:
( )
0.92
0.46
2 2
z
α
γ
ϕ
= = =
tra bảng giá trị hàm Laplace , ta có :
z
α
= 1.75
mặt khác: trong n = 1000 sản phẩm có m = 17 sản phẩm loại B nên tỉ lệ mẫu sản phẩm
loại b là F


100.1000 100.1000
11.61 9.55
N≤ ≤
⇔
8613.26
≤
N
≤
10471.20
⇔
8613
≤
N
≤
10471
Với độ tin cậy 92% ta ước lượng trong kho có từ 8613 đến 10471 sản phẩm.
c) Giả sử trong kho có 10.000 sản phẩm loại B.hảy ước lượng số sản phẩm trong kho với độ tin cậy
92%.
(tương tự câu b)