Xác định biến ngẫu nhiên.
Bài 1. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
a)
[
]
[ ]
Ax khi x 0,1
f (x)
0 khi x 0,1

∈

=

∉



b)
[
]
[ ]
A sin x khi x 0,
f (x)
0 khi x 0,

∈ π

=

∉ π


≥

=


<


Hãy xác định A. Tìm hàm phân phối xác suất của X. Tính
µ
X
,
σ
2
X
, nếu có.
Bài 2. Tuổi thọ của một loại bóng đèn nào đó là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với
hàm mật độ như sau

2
kx (4 x) khi 0 x 4
f (x)
0 khi x [0, 4]

− ≤ ≤
=

∉


π π

∈ −
 

 
=

∉ −
 

 


a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F(x) của X.
b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng
,
4
π
 
π
 
 
.
Bài 5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối

π

< −


4
π
 
>
 
 
.
Vectơ ngẫu nhiên.
Bài 6. Số trẻ em sinh ra trong một tuần ở một làng A nào đó là một đại lượng ngẫu
nhiên có phân bố xác suất là
X 0 1 2 3
P 0,4 0,3 0,2 0,1
Số người chết trong một tuần ở làng A là một đại lượng ngẫu nhiên Y có phân
bố xác suất là
Y 0 1 2 3 4
P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05
Giả sử rằng X và Y độc lập.
a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
b) Tính P(X > Y).
Bài 7. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y như sau :

Y

X
4 5
1 0,1 0,06
2 0,3 0,18
3 0,2 0,16
a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y.
b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y.

0
1
6

1
8

1
1
6

1
8Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) và
(X, Y)
ρ
.
Bài 10. Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau
Y

X
-1 0 1
-1
4
15

1
15

b) X và Y có độc lập không ?
Bài 11. Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2 bi mang
số 2, 3 bi mang số 3. Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số
3. Rút từ mỗi hộp 1 bi. Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp một, Y là số ghi trên bi rút
ra từ hộp hai.
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của
(
)
V X, Y
=
.
b) Bảng phân phối xác suất lề của X , Y.
c) Kỳ vọng, phương sai của X , Y.
d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan.
Bài 12. Tung ba lần độc lập một con xúc xắc. Gọi X là số lần mặt chẵn xuất hiện và Y
là số lần mặt lẻ xuất hiện.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y.
b) Tính hệ số tương quan
(X, Y)
ρ
. Nhận xét?
Đáp án
Bài 1.
a)
=
A 2
,
µ =
X
2

π
σ = −
2
2
X
2
4
,
( )
( )

− ≤ ≤ π


= <


> π


1
1 cos x khi 0 x
2
F x 0 khi x 0
1 k hi x
.
c)
= π
A
,

1
1 khi x
2
.
d)
=
A 3
,
µ =
X
3
2
,
σ =
2
X
3
4
,
( )

− ≥

=


<

3
1

20
.
b) (i)
µ =
X
2.4
kg.
(ii)
( )

− +
≤ ≤



= <


>



3
x 3x 2
khi 1 x 3
20
F x 0 khi x 1
1 khi x 3
.
(iii)

2
1 khi x
2
.
b)
0.1465
.

Bài 5.
a)
=
1
a
2
,
=
1
b
2
.
b)
[
]
=
Mod x 0
,
[
]
=
Me x 0

f x
0 khi x ,
2 2
.
Vectơ ngẫu nhiên.
Bài 6.
a)
Y

X
0 1 2 3 4
0 0.04 0.12 0.16 0.06 0.02
1 0.03 0.09 0.12 0.045

0.015

2 0.02 0.06 0.08 0.03 0.01
3 0.01 0.03 0.04 0.015

0.005

b)
0.19
.

Bài 7.
a)
X 1 2 3
P
X

=
cov(X, Y) 0.02
,
ρ =
(X, Y) 0.059
.

Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Bài 8.
b)
Z 1 2 3 4 6
P 0.12 0.43 0.03 0.35 0.07
(
)
=
E Z 2.89
,
(
)
=
E X 1.7
,
(
)
=
E Y 1.7
.

Bài 9.
µ = −

.
b) X và Y độc lập.

Bài 11.
a)
Y

X
1 2 3
1
2
36

3
36

1
36

2
4
36

6
36

2
36

3

36

1
36

c)
µ =
X
2.33
,
µ =
Y
1.83
,
σ =
2
X
0.555
,
σ =
2
Y
0.472
.
d)
=
cov(X, Y) 0.0139
,
ρ =
(X, Y) 0.027