Page 1

BỘ ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ
1
1. Đường kính của một loại trục máy là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

ĐỀ SỐ 1
22
( 250 ; 25 )N mm mm
µσ
= =
. Trục máy được gọi là hợp quy cách nếu đường kính từ
245mm đến 255mm. Cho máy sản xuất 100 trục. Tính xác suất để:
a. Có 50 trục hợp quy cách.
b. Có không quá 80 trục hợp quy cách.
2. Quan sát một mẫu (người) , ta có bảng thống kê chiều cao X(cm), trọng lượng Y(kg):
X
Y
150-155
155-160
160-165
165-170
170-175
50
5

55
2

γ
=
.
b. Những người cao từ 170cm trở lên gọi là quá cao. Ước lượng trọng lượng trung bình
những người quá cao với độ tin cậy 99%.
c. Một tài liệu thống kê cũ cho biết tỷ lệ những người quá nặng (
70kg≥
) là 30%. Cho
kết luận về tài liệu đó, với mức ý nghĩa
10%
α
=
.
d. Lập phương trình tương quan tuyến tính của Y theo X.
BÀI GIẢI
1. Gọi D là đường kính trục máy thì
22
( 250 ; 25 )D N mm mm
µσ
∈= =
.
Xác suất trục hợp quy cách là:

1
Đề thi:GS Đặng Hấn. Lời giải:Th.S Lê Lễ.
Tài liệu dùng cho sinh viên đại học, học viên thi Th.s, NCS.
Page 2 255 250 245 250

= = =b.
80 68,26 0 68,26
[0 80] ( ) ( ) (2.52) ( 14,66)
21,67 21,67
pE
−−
≤ ≤ =Φ −Φ =Φ −Φ −

(2.52) (14,66) 1 0,9941 1 1 0,9941=Φ +Φ −= +−=

2.
a. n=100,
5,76
x
S =
,
164,35X =

1 1 0,95 0,05
αγ
=−=− =

(0,05;99)
1, 96t =
4
1,96.5,76 1,96.5,76
164,35 164,35

n
t uu
α
α
=Φ=−
.
Page 3

b.
19
qc
n =
,
73,16
qc
Y =
,
2,48
qc
S =

1 1 0,99 0,01
αγ
=−=− =

(0,01;18)
2,878t =

2,878.2,48 2,878.2,48
73,16 73,16

(1 ) 0,3.0,7
100
tn
fp
U
pp
n
−
−
= = =
−

0,05, ( ) 1 0,975 1,96
2
UU
α
α
= Φ =−= ⇒=
9 (hoặc
(0,05)
1, 96t =
)
||
tn
UU<
, chấp nhận
0
H
:tài liệu đúng.
d.

20-22
22-24
24-26
26-28
28-30
3
2

4
5
3
5

11
8
4

6 15
17

7

5
Kỳ vọng của U và phương sai của U
Page 5

( ) 50.0,6.0,4 12D X npq= = =(250;100)YN∈
nên
( ) 250MY
µ
= =

2
( ) 100DY
σ
= =

[ 0] 0,4.0,3 0,12pZ= = =

[ 1] 0,6.0,3 0,4.0,7 0,46pZ==+=

[ 2] 1 (0,12 0,46) 0,42pZ==−+ =

Z
0
1
2
p
0,12

r
ss
−−
=
⇒

4,98 0,43yx=−+
.
b.
0
H
: đường kính cây có phân phối chuẩn
Page 6

1
H
: đường kính cây không có phân phối chuẩn
X
20-22
22-24
24-26
26-28
28-30
i
n

7
14
33
27

2,30 2,3
,74
( ) ( ) (0,11) ( 0,76
0
)p
−−
=Φ −Φ =Φ −Φ −

(0,11) (0,76) 1 0,5438 0,7764 1 0,3203=Φ +Φ −= + −=

4
28 25,74 26 25
2,30 2,30
,74
( ) ( ) (0,98) (0,11)p
−−
=Φ −Φ =Φ −Φ

0,8365 0,5438 0,2927=−=

5
30 25,74 28 25,74
( ) ( ) (1,85) (0,98) 0,
2,30 2,
14
30
63p
−−
=Φ −Φ =Φ −Φ =


29,27
16,34
,2
22
2
()
(7 5,16) (19 16,34)
1,8899
5,16 16,34
ii
i
nn
n
−
−−
Χ = Σ = +…+ =

Page 7

22
(0,05;5 2 1) (0,05;2)
5,991
−−
Χ =Χ=
6
22
(0,05;2)
Χ <Χ

nên chấp nhận

( ) 81, 3
0,5
n
≥=
.
82n⇒≥

Đã điều tra 100 cây , vậy không cần điều tra thêm nữa.
d.
(1 ) (1 )
aa aa
aa
ff ff
ft pft
nn
−−
− ≤≤ +

35
0,35
100
a
f = =

1 1 0,99 0,01
αγ
=−=− =

(0,01)
2,58t =

a. Tính xác suất để A được thưởng.
b. Giả sử A dự thi 200 lần, số lần A được thưởng tin chắc nhất là bao nhiêu?
c. A phải dự thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần được thưởng không
dưới 90%?
2. Theo dõi số kẹo X (kg) bán trong 1 tuần, ta có:
i
x

0-50
50-100
100-150
150-200
200-250
250-300
300-350
i
n

9
23
27
30
25
20
5
a. Để ước lượng số kẹo trung bình bán được trong 1 tuần với độ chính xác 10kg và độ
tin cậy 99% thì cần điều tra thêm bao nhiêu tuần nữa?
b. Bằng cách thay đổi mẫu mã, người ta thầy số kẹo trung bình bán được trong 1 tuần là
200kg. Việc thay đổi này có hiệu quả gì vể bản chất không? (mức ý nghĩa 5%)
c. Những tuần bán từ 250kg trở lên là những tuần hiệu quả. Ước lượng tỷ lệ những tuần

( ) (6,55) (0) 1 0,5 0,5pY
−−
≤ ≤ =Φ −Φ =Φ −Φ = − =

Vậy
1
( ) (0,0207 0,5) 0,26
2
PT = +=

b. Gọi Z là số lần được thưởng trong 200 lần A tham gia thi ,
(200;0,26)ZB∈

( ) 1 200.0,26 0,74 ( ) 200.0,26 0,74 1np q Mod Z np q Mod Z−≤≤−+⇒ −≤≤ −+

51,26 ( ) 52,56Mod Z≤≤
. Mod(Z)=52. Số lần A được thưởng tin chắc nhất là 52.
c. Gọi n là số lần dự thi.
M: Biến cố ít nhất một lần A được thưởng
1
()1 ()10,74
n
n
i
PM PT
=
= −Π = −
.
0,74
1 0,74 0,9 0,74 0,1 log 0,1 7,6

()
2,58.79,3
10
418,6 419nn≥ = →≥
. Vậy điều tra ít nhất 419-139=280 tuần nữa.
b.
0
: 200H
µ
=

1
: 200H
µ
≠

139, 167,8, 79,3
x
nx s= = =

Page 10

0
()
(167,8 200)
4,78
139
79,
73
3

− ≤≤ +

25
0,18
139
hq
f = =

1 1 0,9 0,1
αγ
=−=− =
,
(0,1)
1, 65t =
.
0,18.0,82 0,18.0,82
139
0,18 1,65 0,18 1, 5
9
6
13
p− ≤≤ +

0,1262 0,2338p≤≤

Tỷ lệ những tuần có hiệu quả chiếm từ 12,62% đến 23,38%
d.
25
hq
n =

274,83 295,17kg kg
µ
≤≤
. Trung bình mỗi tuần hiệu quả bán từ 274,83 kg đến
295,17kg kẹo.
Page 11 ĐỀ SỐ 4
1. Có 3 giống lúa, sản lượng của chúng (đơn vị tấn/ha) là 3 đại lượng ngẫu nhiên
12 3
(8;0,8), (10;0,6), (10;0,5)XN XN XN∈∈ ∈
. Cần chọn một trong 3 giống để trồng,
theo bạn cần chọn giống nào?Tại sao?
2. Số kw giờ điện sử dụng trong 1 tháng của hộ loại A là
(90;100)XN∈
. Một tổ dân phố
gồm 50 hộ loại A. Giá điện là 2000 đ/kw giờ, tiền phí dịch vụ là 10 000 đ một tháng. Dự
đoán số tiền điện phải trả trong 1 tháng của tổ với độ tin cậy 95%.
3. X( %) và Y(cm) là 2 chỉ tiêu của một sản phẩm. Kiểm tra một số sản phẩm ta có:
X
Y
0-2
2-4
4-8
8-10
10-12
100-105
5


15
11
9
130-135
14
6
135-140

5
a. Để ước lượng trung bình X với độ chính xác 0,2% thì đảm bảo độ tin cậy bao
nhiêu?
b. Những sản phẩm có X dưới 2% là loại II. Ước lượng trung bình Y của sản phẩm
loại II với độ tin cậy 95%.
c. Các sản phẩm có Y
≥
125cm là loại I. Để ước lượng trung bình X các sản phẩm
loại I cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa , nếu muốn độ chính xác là 0,3%
và độ tin cậy 95%?
d. Giả sử Y của sản phẩm loại II có phân phối chuẩn, ước lượng phương sai của Y
những sản phẩm loại II với độ tin cậy 90%.
BÀI GIẢI
1. Chọn giống
3
X

µ
− ≤≤ +
70,4 109,6
µ
→ ≤≤

Vậy hộ loại A dùng từ 70,4 kw giờ đến 109,6 kg giờ điện trong 1 tháng
Trong 1 tháng cả tổ phải trả số tiền từ
50(70,4.2000 10000)+
đồng đến
50(109,6.2000 10000)+
đồng , tức là khoảng từ 7 540 000 đ đến 11 460 000 đồng .
3. a. n=213,
6,545x =
,
3,01
x
s =
.
0,2=x
ts
n
= →

.
x
t

(0,05;14)
2,145t =

22
2
2
2
2
106,83 2,145. 106,83 2,145.
15
3,72 3, 2
5
7
1
yt yt
nn
ss
µµ
− ≤≤ + ⇒ − ≤≤ +

Vậy
104,77 108,89cm cm
µ
≤≤
, trung bình chỉ tiêu Y của sản phẩm loại II
từ 104,77 cm đến 108,89 cm.
c.
1
1, 91s =
,

d. Khoảng ước lượng phương sai
22
2
22
( ; 1) (1 ; 1)
22
( 1) ( 1)
]
yy
nn
ns ns
αα
σ
− −−
−−
≤≤
ΧΧ

n=15,
2
13,81
y
s =
,
2
(0,025;14)
6,4Χ=
,
2
(0,95;14)

400-450
450-500
500-550
550-600

i
n

5
20
25
30
30
23
14
a. Biết chiều cao trung bình của bạch đàn sau một năm trồng trên đất không phèn là
4,5m. Với mức ý nghĩa 0,05 có cần tiến hành biện pháp kháng phèn cho bạch đàn
không?
b. Để ước lượng chiều cao trung bình bạch đàn một năm tuổi với độ chính xác 0,2m thì
đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu?
c. Những cây cao không quá 3,5m là chậm lớn. Ước lượng chiều cao trung bình các cây
chậm lớn với độ tin cậy 98%.
d. Có tài liệu cho biết phương sai chiều cao bạch đàn chậm lớn là 400. Với mức ý nghĩa
5%, có chấp nhận điều này không?
BÀI GIẢI
1.
a.
0,9.0,8.0,7 0,504p = =

b.

s
n
µ
−
=

438, 147, 81,53xns= = =

1(438 450 47
8
)
1
3
,78
1, 5
tn
T
−
= =

(0,05)
1, 96t =

(0,05)
||
tn
Tt<
: chấp nhận
0
H


Độ tin cậy
1 0,997 99,7%
γα
=−= =
.
c.
25, 315
cl cl
nx==
,
20,41
cl
s =

1 1 0,98 0,02
αγ
=−=− =

(0,02;24)
2,492t =

315 2,492.
2
315 2,4
0,41 20,41
2
.
2
2

: 400H
σ
≠

Page 16

2
2
2
0
( 1)
cl
n
s
σ
−
Χ=
→

2
2
(25 1)20,4
400
1
24,994
−
Χ= =

22
(0,975;24)

phế phẩm 30%. Cho máy sản xuất 3 sản phẩm và từ lô lấy thêm 3 sản phẩm. X là số sản
phẩm tốt trong 6 sản phẩm này.
a. Lập bảng phân phối của X.
b. Không dùng bảng phân phối của X, tính M(X) và D(X).
2. Tiến hành quan sát độ bền
2
(/ )X kg mm
của một loại thép, ta có:
i
x
(cm)
95-115
115-135
135-155
155-175
175-195
195-215
215-235

i
n

15
19
23
31
29
21
6
a. Sẽ đạt độ tin cậy bao nhiêu khi ước lượng độ bền trung bình X với độ chính xác

−
= =

1
X

0
1
2
3
i
p

0,000125
0,007125
0,135375
0,857375
2
X
: số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra từ lô 10 sản phẩm.
Page 18

2
X
thuộc phân phối siêu bội
3
73
2
3
10

120

12
XXX
= +
: số sản phẩm tốt trong 6 sản phẩm
12
1
[ 0] [ 0]. [ 0] 0,000125. 0,000001
120
pX pX pX= = = = = =

1 2 12
21 1
[ 1] [ 0, 1] [ 1, 0] 0,000125. 0,007125. 0,000081
120 120
pX pX X pX X====+=== + =
Tương tự , ta có :
[ 2] 0,002441pX= =
.
1 2 12 1 2
[ 3] [ 0, 3] [ 1, 2] [ 2, 1]
pX pX X pX X pX X====+==+==

12
[ 3, 0]pX X
+= =
.
1 2 12 1 2
[ 4] [ 0, 4] [ 1, 3] [ 2, 2]

= +

Page 19

12
( ) 2,85, ( ) 2,025
ii
MX xp MX=Σ= =
.
→

( ) 4,875MX=
.
12
() ( ) ( )DX DX DX= +

22 2
11 1
( ) ( ) ( ) 8,265 2,85 0,1425DX MX M X= − =−=

22 2
22 2
( ) ( ) ( ) 4,9 2,025 0,7994DX MX M X= − =−=
.
→

( ) 0,9419DX =
.
2.
a. n=144,

(1 0,8599)2 0,2802
α
→=− =

Độ tin cậy
1 0,7198 71,98%
γα
=−= =
.
b.
0
H
:
170
µ
=

1
: 170H
µ
≠

162,64, 144, 33,41x ns= = =

0
()
tn
x
T
s

1 1 0,98 0,02
αγ
=−=− =

(0,02;26)
2,479t =

Page 20

tb tb
tb t
b
b
t tb
xt xt
nn
ss
µ
+− ≤≤

8,473 8,473
2
209,444 2,479. 2
7
09,444 2
2
,479.
7
µ
⇒− ≤≤+

−
= = = −
−

(0,01)
2,58t =

||
tn
UU
>
, bác bỏ
0
H
:tài liệu cho tỷ lệ quá cao so với thực tế.
Page 21 ĐỀ SỐ 7
1. Ở một xí nghiệp may mặc, sau khi may quần áo, người ta đóng thành từng kiện , mỗi kiện
3 bộ (3 quần, 3 áo). Khi đóng kiện thường có hiện tượng xếp nhầm số. Xác suất xếp quần
đúng số là 0,8. Xác suất xếp áo đúng số là 0,7. Mỗi kiện gọi là được chấp nhận nếu số
quần xếp đúng số và số áo xếp đúng số là bằng nhau.
a. Kiểm tra 100 kiện. Tìm xác suất có 40 kiện được chấp nhận.
b. Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu kiện để xác suất có ít nhất một kiện được chấp nhận
không dưới 90%?
2. X( %) và Y(
2
/kg mm
) là 2 chỉ tiêu của một sản phẩm. Kiểm tra một số sản phẩm ta có:

5
155-165
8
3
a. Giả sử trung bình tiêu chuẩn của Y là
2
120 /kg mm
. Cho nhận xét về tình hình sản
xuất với mức ý nghĩa 1%.
b. Sản phẩm có chỉ tiêu
15%X ≥
là sản phẩm loại A. Ước lượng trung bình chỉ tiêu X
của sản phẩm loại A với độ tin cậy 99% . Ước lượng điểm tỷ lệ sản phẩm loại A .
c. Để ước lượng trung bình chỉ tiêu Y với độ chính xác
2
0,6 /kg mm
thì đảm bảo độ tin
cậy là bao nhiêu?
d. Lập phương trình tương quan tuyến tính của X theo Y. Biết
2
145 /Y kg mm=
dự đoán
X.
BÀI GIẢI
1.
a. p(A): xác suất một kiện được chấp nhận
1

3 3 03 3 0
33
0,8 .0,2 . 0,7 .0,3CC+
=0,36332
X: số kiện được chấp nhận trong 100 kiện,
(100;0,36332) (36,332;23,132)XB N∈≈

1
[ 40] ( )
k np
pX
npq npq
ϕ
−
= =
1 40 36,332 1 0,2898
( ) (0,76) 0,062
4,81 4,4,81 4, 181 8
ϕϕ
−
= = = =

b. Gọi n là số kiện phải kiểm tra.
M: ít nhất một kiện được chấp nhận.
1
( ) 1 ( ) 1 0,63668 0,9
n
n
i
PM PA

()
tn
y
yn
T
s
µ
−
=

Page 23

(142,01 120) 134
10,46
24,358
tn
T
−
= =

(0,01)
2,58t =

(0,01)
||
tn
Tt>
: bác bỏ
0
H

.
Vậy
17,74% 20,22%
µ
≤≤

27
0,2
134
A
f = =
→

20%
A
p
≈

c.
134, 142,0149, 10,4615
y
ny s= = =
,
0,6=

y
y
ts
n
= 

=−= =

d.
xy
xy
xx yy
r
ss
−−
=
→

37,2088 0,3369xy=−+
.
145
37,2088 0,3369.145 11,641x =−+ =
(%) .
Page 24 ĐỀ SỐ 8
1. Sản phẩm được đóng thành hộp. Mỗi hộp có 10 sản phẩm trong đó có 7 sản phẩm loại A.
Người mua hàng quy định cách kiểm tra như sau: Từ hộp lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm, nếu
cả 3 sản phẩm loại A thì nhận hộp đó, ngược lại thì loại. Giả sử kiểm tra 100 hộp.
a. Tính xác suất có 25 hộp được nhận.
b. Tính xác suất không quá 30 hộp được nhận.
c. Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu hộp để xác suất có ít nhất 1 hộp được nhận
95%≥
?
2. Tiến hành khảo sát số gạo bán hàng ngày tại một cửa hàng, ta có

d. Để ước lượng tỷ lệ ngày cao điểm với độ chính xác 5% thì đảm bảo độ tin cậy bao
nhiêu?
BÀI GIẢI
1.
a. A: biến cố 1 hộp được nhận.
3
7
3
10
( ) 0,29
C
pA
C
= =

X: số hộp được nhận trong 100 hộp.
(100;0,29) (29;20,59)XB N∈≈

1
[ 25] ( )
k np
pX
npq npq
ϕ
−
= =
1 25 29 1 0,2709
( ) ( 0,88) 0,0597
20,59 20,59 20,59 20,59
ϕϕ

140
µ
=

1
: 140H
µ
≠

115, 174,11, 23,8466
x
nx s= = =

0
()
tn
x
xn
T
s
µ
−
=

1(174,11 140 15
23,8
)
15,34
466
tn