BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Bài 1:
Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình. Tìm xác suất để:
a) Một Học sinh bắt một đề gặp được đề trung bình.
b) Một Học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình.
Giải
a) Gọi A là biến cố Học sinh bắt được đề trung bình:
1
20
1
30
C 20 2
P(A)
C 30 3
= = =
b) Gọi B là biến cố học sinh bắt được 1 đề trung bình và một đề khó
Gọi C là biến cố học sinh bắt được 2 đề trung bình.
Gọi D là biến cố học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình.
Khi đó:
1 1 2
20 10 20
2
30
C .C C 200 190
P(D) 0,896
C 435
+ +
= = =
Bài 2:
Có hai lớp 10A và 10 B mỗi lớp có 45 học sinh, số học sinh giỏi văn và số học sinh
giỏi toán được cho trong bảng sau. Có một đoàn thanh tra. Hiệu trưởng nên mời vào lớp

Gọi B là biến cố Sinh viên giỏi Pháp Văn.
Gọi C là biến cố Sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ.
50 45 10
P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0,85
100 100 100
= + = + − = + − =

b) Gọi D là biến cố Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.
P(D) 1 P(C) 1 0,85 0,15
= − = − =
c)
50 45 10
P(AB AB) P(A) P(B) 2P(AB) 2. 0,75
100 100 100
+ = + − = + − =
d)
50 10
P(AB) P(A) P(AB) 0,4
100 100
= − = − =
Bài 4:
Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên không
hoàn lại ba bóng để dùng. Tính xác suất để:
a) Cả ba bóng đều hỏng.
b) Cả ba bóng đều không hỏng?
c) Có ít nhất một bóng không hỏng?
d) Chỉ có bóng thứ hai hỏng?
Giải
Gọi F là biến cố mà xác suất cần tìm và A
i

= = = =
Bài 5:
Một sọt Cam có 10 trái trong đó có 4 trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra ba trái.
a) Tính xác suất lấy được 3 trái hư.
b) Tính xác suất lấy được 1 trái hư.
c) Tính xác suất lấy được ít nhất một trái hư.
d) Tính xác suất lấy được nhiều nhất 2 trái hư.
Giải
Gọi X là số trái hư trong ba trái lấy ra.
( )
X H 10,4,3:
2
a)
3
4
3
10
C 4
P(X 3) 0,03
C 120
= = = =
b)
1 2
4 6
3
10
C C 60
P(X 1) 0,5
C 120
= = = =

1 1 1
P(X 0) C
2 2 1024
   
= = =
 ÷  ÷
   
b)
5 5
5
10
1 1 63
P(X 5) C 0,25
2 2 256
   
= = = =
 ÷  ÷
   
c)
5 5 6 4 7 3
5 6 7
10 10 10
1 1 1 1 1 1
P(5 X 7) C C C
2 2 2 2 2 2
           
≤ ≤ = + +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
           
582

2,0325
1,48
⇒ σ = =
Vậy
( )
1008 1012
P(X 1008) 0,5 0,5 1,97
2,0325
−
 
< = + φ = − φ =
 ÷
 
=
0,5 0,4756 0,0244 2,44%− = =
Do đó trong 1000 gói đường sẽ có khoảng
1000x0,0244 24,4=
gói đường có trọng lượng
ít hơn 1008 g.
Bài 8: Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án năm 2000 được coi như là một đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có
xác suất 0,1587, và lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228. Vậy khả năng đầu tư mà
không bị thua lỗ là bao nhiêu?
Giải
Gọi X là lãi suất đầu tư vào dự án.
( )
2
X N ,
µ σ
:

20
0,3413 1
1
15
20 5
25
2
0,4772 2
 − µ
 
− µ

φ = = φ
=
 ÷


µ =
σ

   
σ
⇔ ⇔ ⇔
  
− µ σ =
− µ
 

 
=

Nên ta xấp xỉ theo chuẩn:
X N(150;105):

a)
( )
155 150 145 150
P 145 X 155
105 105
− −
   
≤ ≤ = φ − φ =
 ÷  ÷
   
=
( ) ( )
4,87 4,87 0,5 0,5 1φ +φ = + =
b)
( ) ( )
150 150 0 150
P 0 X 150 0 14,6 0,5
105 105
− −
   
≤ ≤ = φ − φ = + φ =
 ÷  ÷
   
Trường hợp chọn lặp:
X H(100.000;30.000;500):
X có phân phối siêu bội.
Do N = 100.000 >> n = 500 nên ta xấp xỉ theo nhị thức.

2
100
a x t 1000 1,96. 980,4
n 100
100
a x t 1000 1,96. 1019,6
n 100
α
α
σ
= − = − =
σ
= + = + =
Vậy với độ tin cậy là 95% thì tuổi thọ trung bình của bóng đèn mà xí nghiệp sản xuất ở
vào khoảng (980,4 ; 1019,6) giờ.
2)
15,n 100ε = =
( )
( )
15 100
t 1,5 t 1,5 0,4332
100
α α
= = ⇒ φ = φ =
(bảng F)
Vậy độ tin cậy
( )
1 2 t 0,8664 86,64%
α
γ = − α = φ = =

 

Bài 11:
Trọng lượng các bao bột mì tại một cửa hàng lương thực là một đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn. Kiểm tra 20 bao, thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao bột
mì là: 48 kg, và phương sai mẫu điều chỉnh là
( )
2
2
s 0,5kg=
.
1) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một bao bột mì
thuộc cửa hàng.
2) Với độ chính xác 0,26 kg, xác định độ tin cậy.
3) Với độ chính xác 160 g, độ tin cậy là 95% . Tính cở mẫu n?
Giải
1) Áp dụng trường hợp:
2
n 30,< σ
chưa biết
n = 20,
x 48, 95%,s 0,5= γ = =
19
0,95 t 2,093
α
γ = ⇒ =
(tra bảng H)
n 1
1
n 1

0,16kg, 95% t 1,96
α
ε = γ = ⇒ =
Do
95%γ =
nên
t 1,96
α
=
( ) ( )
( )
[ ]
2 2
2 2
2
2
t s
1,96 . 0,5
n 1 1 37,51 1 37 1 38
0,16
α
 
 
= + = + = + = + =
 
 
ε
 
 
 

= − =
−
= + =
Với độ tin cậy 94%, tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp vào khoảng (0,051; 0,169)
5,1% p 16,9%⇒ < <
2)
3% 0,03ε = =
( )
n 0,03 100
t 0,96
f (1 f)
0,11 1 0,11
α
ε
= = =
−
−
( )
( )
0,96 0,3315 2 t 2.0,3315 0,663 66,3%
α
φ = ⇒ γ = φ = = =
Bài 13:
8
Giám đốc một xí nghiệp cho biết lương trung bình của một công nhân thuộc xí
nghiệp là 380 nghìn đồng/ tháng. Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân thấy lương trung bình là
350 nghìn đồng/ tháng, với độ lệch chuẩn
40σ =
nghìn. Lời báo cáo của giám đốc có tin
cậy được không, với mức ý nghĩa là 5%.

Một cửa hàng thực phẩm nhận thấy thời gian vừa qua trung bình một khách hàng
mua 25 nghìn đồng thực phẩm trong ngày. Nay cửa hàng chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng
thấy trung bình một khách hàng mua 24 nghìn đồng trong ngày và phương sai mẫu điều
chỉnh là s
2
= (2 nghìn đồng)
2
. Với mức ý nghĩa là 5% , thử xem có phải sức mua của
khách hàng hiện nay thực sự giảm sút.
Giải
Giả thiết: H
0
: a=25
a là sức mua của khách hàng hiện nay.
a
0
= 25 là sức mua của khách hàng trước đây.
n 15,x 24,s 2, 5%= = = α =
Do
n 1 14
0,05
5% 0,95 t t 2,1448
−
α
α = ⇒ γ = ⇒ = =
( tra bảng H)
0
n 1
x a n
24 25 15

= = = α =
5% 0,95 t 1,96
α
α = ⇒ γ = ⇒ =
0
0 0
f p n 0,69 0,8 36
t 1,65 t 1,96
p q 0,2.0,8
α
− −
= = = < =
Chấp nhận H
0
.
Kết luận: Với mức ý nghĩa là 5%, nguồn tin này là đáng tin cậy.
10