Câu 1. L n I rút 2 lá bài trong b bài 52 lá đ trên bàn. L n II rút thêm 2 lá n aầ ộ ể ầ ữ
đ ể
trên bàn. Sau đó khoanh NN 2 lá. X là s lá c có trong 2 lá khoanh sauố ơ
cùng.
a/ Tìm phân ph i XS c a Xố ủ
b/ Tính XS trong 2 lá đó ch có 1 con c .ỉ ơ
Gi iả
Th c ch t rút 2 l n (2 lá, 2 lá) thì t ng đ ng v i rút 1 l n 4 lá.ự ấ ầ ươ ươ ớ ầ
G i Aọ
j
là bi n c trong 4 lá có j lá c . Aế ố ơ
j
= 0,1,2,3,4 j=0,1,2,3,4, h Aệ
j
là 1 h đ y đệ ầ ủ
ngoài.Tính P(A
j
)
( )
20825
6327
270725
82251
4
52
4
39
0
13
0
===

2
13
2
===
C
CC
AP
,
( )
20825
858
270725
11154
4
52
1
39
3
13
3
===
C
CC
AP
,
( )
20825
55
270725
715

AP
=1
a/ Tìm phân ph i XS c a X= 0, 1, 2. Bây gi có 4 lá bài trên bàn, rút 2 trong 4 lá.ố ủ ờ
V i X= k= 0,ớ
( ) ( )






=
==
0
0
0
0
A
X
PAPXP
+
( )






=
1

3
0
A
X
PAP
+
( )






=
4
4
0
A
X
PAP
1
0
2
4
2
4
0
==



C
A
X
P
,
6
1
0
2
4
2
2
2
==






=
C
C
A
X
P
,
0
0
3

i
(4 lá) = (4- i, i lá c ) ơ
4
4
2
4
C
CC
A
kX
P
k
i
k
i
i
−
−
=






=
Suy ra
P(X=1) = 0 + 0.2194 + 0.1423 + 0.0206 + 0 = 0.3824
P(X=2) = 0 + 0.0356 + 0.0206 + 0.0206 + 0.0026 = 0.0588
P(X=3) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0= 0.0

13
C
CC
=
1326
507
P(A
2
)=
2
52
0
39
2
13
C
CC
=
1326
78

G i B là bi n c l n II rút đ c lá c khi l n I rút 2 lá cọ ế ố ầ ượ ơ ầ ơ
P(
2
A
A
)=
1
50
1

0
A
B
) + P(
1
A
)P(
1
A
B
) + P(
2
A
)P(
2
A
B
)
Trong đó P(
0
A
B
) =
1
50
1
13
C
C
=

11
P(B)=
50
13
1326
741
×
+
50
12
1326
507
×
+
50
11
1326
78
×
=
4
1
= 0.25
c/ Ta tính XS đ y đ trongầ ủ
P(
B
A
0
) =
)(

25.0
50
11
1326
78
)(
2
=
×
=
B
A
P
Kì v ng Mọ
x
=
413.0052.05367.02581.0)1(
=×+×+×−
V y trong trò ch i tôi có l i.ậ ơ ợ
Bài 4: M t h p đ ng 5 chai thu c trong đó có 1 chai gi . ng i ta l n l t ki mộ ộ ự ố ả ườ ầ ượ ể
tra t ng chai cho t i khi phát hi n đ c chai thu c gi thì thôi( gi thi t cácừ ớ ệ ượ ố ả ả ế
chai ph i qua ki m tra m i xác đ nh đ c là thu c gi hay th t). L p lu t phânả ể ớ ị ượ ố ả ậ ậ ậ
ph i xác su t c a s chai đ c ki m tra.ố ấ ủ ố ượ ể
Bài gi i:ả
X 1 2 3 4 5
P
X
0.2 0.16 0.128 0.1024 0.4096
P[X=1] =
2,0

)(
P
)(
P
)(
P
CBACBACBAD ∩∩∩∩∩∩
++=
Vì A, B, C đ c l p nên:ộ ậ
)(
.P
)(
.P
)(
P
)(
.P
)(
.P
)(
P
)(
.P
)(
.P
)(
P
)(
P
CBACBACBAD

1
∩A
2
)
2 1
2 1
6 3
4 2
3 3
9 6
. .1
C C
C C
C C
= =
15.3.6.2 9
84.20 28
=
.
Bài 7:
M t trò ch i có xác su t th ng m i ván là 1/50. N u m tng i ch i 50 ván thìộ ơ ấ ắ ỗ ế ộ ườ ơ
xác su t đ ng i này tháng ít nh t m t ván. ấ ể ườ ấ ộ
Bài gi iả
Xác su t th ng m i ván: p ấ ắ ỗ
02.0
50
1
==
Ta có xác su t đ ng i y ch i 50 ván mà không th ng ván nào:ấ ể ườ ấ ơ ắ
Goi X là s l n thành công trong dãy phép th Becnuli: ố ầ ử

Bài 9
Trong h p I có 4 bi tr ng và 2 bi đen ,h p II có 3 bi tr ng và 3 bi đen .Các bi cóộ ắ ộ ắ
kích c nh nhau chuy n 1 bi t h p II sang h p I ,sau đó l y ng u nhiên 1 bi tỡ ư ể ừ ộ ộ ấ ẫ ừ
h p I .Xác su t đ l y ra bi tr ngộ ấ ể ấ ắ .
Gi i ả
G iọ
A
1:
là bi tr ng l y t h p II sang h p Iắ ấ ừ ộ ộ
A
2 :
là bi đen l y t h p II sang h p Iấ ừ ộ ộ
C : l y viên bi cu i cùng là bi xanhấ ố
Áp d ng cong th c xác su t đ y đ ụ ứ ấ ầ ủ
P(C)= P(A
1
).P( C/A
1
)+P(A
2
).P(C/A
2
)
P(A
1
)=
2
1
P(A
2

G i Aọ
i
la ph n i có 1 bi đ . A là bc m i ph n có 1 bi đ ầ ỏ ỗ ầ ỏ
A=A
1
A
2
A
3
==> P(A
1
A
2
A
3
) = P(A
1
)P(
1
2
A
A
)P(
21
3
AA
A
)=
1
4

1
, B
2
, B
3
} là m t h đ y đ . Theo g iộ ệ ầ ủ ả
thi t ta có: ế P(B
1
) =
10
3
P(B
2
) =
10
2
P(B
3
) =
10
5
Áp d ng công th c xác su t toàn ph n ta đ c:ụ ứ ấ ầ ượ
P(A) =
)/().(
3
1
∑
=i
ii
BAPBP

A
2
2
∩
=
Trong đó:
+
)(
.P
)(
P
)(
P
2
22
A
B
ABA
=
∩
=
4
3
.
2
1
=
15
4
.

P
)(
.P
)(
P
(
P
3
3
2
2
1
1
A
B
A
A
B
A
A
B
AB)
++=
=







15
4
=
⋅
37
14
V y xác su t đ ng thu c đ c l y ra thu c h p II là: ậ ấ ể ố ố ượ ấ ộ ộ
⋅
37
14
Câu 13.
Trong m t lô hàng có 800 s n ph m lo i 1 và 200 s n ph m lo i 2. L y ng uộ ả ẩ ạ ả ẩ ạ ấ ẫ
nhiên ra 5 s n ph m có hoàn l i. G i X là s s n ph m lo i 1 l y đ c.ả ẩ ạ ọ ố ả ẩ ạ ấ ượ
a) X tuân theo quy lu t nào? Vi t bi u th c xác su t t ng quát c a quy lu t.ậ ế ể ứ ấ ổ ủ ậ
b) Tính kỳ v ng và ph ng sai cua X.ọ ươ
c) Tìm s s n ph m trung bình đ c l y ra và tính kh năng đ x y ra đi uố ả ẩ ượ ấ ả ể ả ề
đó.
Bài Gi iả
a) X tuân theo lu t phân ph i nh th c.ậ ố ị ứ
Bi u th c t ng quát ể ứ ổ
X đ c g i là có phân ph i nh th c ký hi u là Xượ ọ ố ị ứ ệ
β(:
n,p)
Có hàm xác su t: ấ

( ) . .
k k n k
n
P X k C p q
−

P
0,0062
7
0,0508
8
0,2050
6
0,4106
3
0,32686
2
E(X )= 1.0,00627+4.0,05088+9.0,20506+16.0,41063+25.0,32686
=16,79691

2 2 2
( ) ( ) ( ( )) 16,79691 (4,00003) 0,79667D X E X E X= − = − =
Bài 14: Ba công nhân cùng làm ra m t lo i s n ph m, xác su t đ ng i th 1, 2, 3ộ ạ ả ẩ ấ ề ườ ứ
làm ra chính ph m t ng ng là 0.9, 0.9, 0.8. Có m t ng i trong đó làm ra 8 s n ph mẩ ư ứ ộ ườ ả ẩ
th y có 2 ph ph m. Tìm XS đ trong 8 s n ph m ti p theo cũng do ng i đó làm raấ ế ẩ ể ả ẩ ế ườ
s có 6 chính ph m.ẽ ẩ
Bài gi iả
G i Aọ
i
là các s n ph m do công nhân th i s n xu t, i = 1, 2, 3ả ẩ ứ ả ấ
P(A)= P(A
1
)P





=
3
1
266
8
)1.0()9.0(C
+
3
1
266
8
)1.0()9.0(C
+
3
1
266
8
)2.0()8.0(C
= 0.2 (*)
Sau khi A x y ra, xác su t c a nhóm đ y đ đã phân b l i nh sau, bi u th c (*) choả ấ ủ ầ ủ ố ạ ư ể ứ
ta P






1
A

ph m.ẩ
P(B) =












11
AA
B
P
A
A
P
+









P

=
( ) ( )
26
6
8
1.09.025.0 C×
+
( ) ( )
26
6
8
1.09.025.0 C×
+
( ) ( )
26
6
8
2.08.025.0 C×
= 0.23
Câu 15 : Lu t phân ph i c a bi n (X, Y) cho b i b ng:ậ ố ủ ế ở ả

Y
X
20 40 60
10 λ λ 0
20 2λ λ λ
30 3λ λ λ
Xác đ nh λ và các phân ph i X, Y?ị ố

X 10 20 30
P
X
2 λ 4 λ 5 λ
Gi i:ả
Hàm m t đ phân ph i l c a Xậ ộ ố ề ủ
( ) ( )





−
=








−−=
−−
==
<<
∫ ∫
=
=
=






−
=








−−=
−−
==
<<
∫ ∫
=
=
=
=
2
0
2
0
2
0

( )
( )
( )
( )
42,20,
32
6
4
3
8
6
,
<<<<
−
−−
=
−
−−
==






yx
x
yx
x
yx

2
3
2
=








−=
−
=
−
−−
=
====<<==<<
∫∫
∫
=
=
=
=
=
=
=
y
y




−∞−
−






−
=<+<−∞
ϕϕϕ
YXP
b/ Tìm
[ ]
YXP
<
M(X-Y)=M(X)-M(Y)= 2
D(X-Y)=D(X)+D(Y)= 2.25=
2
5.1
0918.04082.05.05.0)333.1(
5.1
2
5.1
20
)0()(
=−=+−=







+
−






+∞
=∞<−<=>
ϕϕϕ
YXPYXP
d/ Tìm
[ ]
2832
<+
YXP
M(2X+3Y)=2M(X)+3M(Y)=29
D(2X+3Y)=4D(X)+9D(Y)=13.032=
2
61.3
394.0106.05.0
61.3
28

c/ P( X < 1
∩
Y < 1)
Bài gi i:ả
a/
e
x
x
x
2
2
2
1
−
∫
∞=
−∞=
π
dx








−
∞=
=








−
−
∞=
−∞=
∫
dx
x
erfe
x
x
x
π
b/
Hình a

2
1
4
1
.2
22
1
2

=
−∞=
−
∞=
−∞=
−
dx
x
erfe
dyedxe
x
x
x
xy
y
y
x
x
x
π
ππ
c/

707,08314,0
2
1
2
1
2
1

=
−∞=
−
=
−∞=
−
=
−∞=
−
y
y
y
y
y
y
x
x
x
dye
dyedxe
π
ππ
Hình c
Câu 20: Gi s trái cây c a nông tr ng dã đ c đóng thành s t, m i s t 10ả ử ủ ườ ượ ọ ỗ ọ
trái. Ki m tra 50 s t đ c k t qu nh sau:ể ọ ượ ế ả ư
S tráiố
h ngỏ
trong s t:ọ
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

L y xấ
0
= 40, h = 10, x
i’ =
h
xx
oi
−
.
Ta có b ng sau:ả
x
i
(%) n
i
x
i’
x
i’
n
i
2
i'
x
n
i
0
10
20
30
40

0
0
18
12
7
0
6
16
63
0
90
100
0
1
5
6
0
6
0
36
n=50
22.nx'
ii
=
∑
158.nx'
i
2
i
=

22
n
2
2
x'
=−==
296,64.2,9664.10.hs
ˆ
s
ˆ
222
x'
2
===
s
2
=
303.
150
296,64.50
1n
.ns
ˆ
2
≈
−
=
−
V y ta d đoán đ bi n đ ng c a t l h ng gi a các s t là vào kho ng 303.ậ ự ộ ế ộ ủ ỉ ệ ỏ ữ ọ ả
Câu 21.

a) Hãy k t lu n v tình hình xác su t v i m c αế ộ ề ấ ớ ứ
5%=
b) Hãy tìm m t c l ng cho giá tr trung bình th c t s n xu t v i đ tin c yộ ướ ượ ị ự ế ả ấ ớ ộ ậ
99%.
Bài Gi iả
T b ng s li u trên ta đ a v b ngừ ả ố ệ ư ề ả
i
x
i
n
i i
x n
2
i i
x n
1 4 4 4
2 6 12 24
3 7 21 63
4 17 68 272
5 17 85 425
6 23 138 828
7 15 105 735
8 12 96 768
9 9 81 729
1
0
8 80 800
1
1
3 33 363




−
−
xx
i
2






−
−
xx
i
(x
i
-
−
x
)
(×
y
i
-
−
y

39 37 1521 30.7520661 8.640037 16.30028
39 36 1521 30.7520661 3.761249 10.75482
39 45 1521 30.7520661 119.6703 60.66391
40 39 1600 42.8429752 24.39761 32.33058
41 41 1681 56.9338843 48.15519 52.36088
42 40 1764 73.0247934 35.2764 5075482
42 44 1764 73.0247934 98.79155 84.93664
43 37 1849 91.1157025 8.640037 28.05785
44 44 1936 111.206612 98.79155 104.8154
45 46 2025 133.297521 142.5491 137.8457
46 46 2116 157.38843 142.5491 149.7851
47 49 2209 183.479339 223.1855 202.3609
50 51 2500 273.752066 286.9431 280.27
n = 33
Σ
41086 4152.18182 3713.879 3752.091
n/Σ
125.823691 112.5418 113.6997
b/
4545.33=
−
x

0606.34=
−
y
0955479
54.11282.125
699.113
22

−
=
∑ ∑
∑
−−
−−
yyxx
yyxx
r
ii
ii
XY
Ph ng trình h i quy y theo xươ ồ :
829.39036.0 +=+=
−
xbaxy
Câu 23:
a/ Ta l p b ng tính m t s đăc tr ng s c n:ậ ả ộ ố ư ẽ ầ
X
0
= 1.75 h = 0.5
S l ngố ượ
(kg )
Đi m gi aể ữ
i
x
n
,
i
x

n
x
= 0.4125 x 0.5 + 1.75 = 1.95625
∧
2,
n
x
=
400
5.927
= 2.31875
∧
2
,
x
s
= 2.31875 -
2
4125.0
= 2.1486
⇒
∧
2
s
= 2.1486 x 400 = 859.44
2
s

=
399

µ
= 1.725656 x 600000 = 1,035,396 (kg)

2
µ
= 2.186844 x 600000 = 1,312,106 (kg)
CÂU 24
X(Kg)là ch tiêu c a m t lo i s n ph m. Di u tra m t s s n ph m ta có k tỉ ủ ộ ạ ả ẩ ề ộ ố ả ẩ ế
quả
x 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80
n
t
5 10 25 30 18 12
a. c l ng trung bình ch tiêu v i đ tin c y 98%ướ ượ ỉ ớ ộ ậ
b. có tài li u nói r ng trung bình X là 70% cho nh n xét v i m c ý nghĩa 5%ệ ằ ậ ớ ứ
c. c l ng trung bình ch tiêu X c a các s n ph m có ch tiêu X không qáuướ ượ ỉ ủ ả ẩ ỉ
60kg v i d tin c y 99%. G a thi t ch tiêu này có phân ph i chu nớ ộ ậ ỉ ế ỉ ố ẩ
gi iả
ta có b ng đ c tr ng m u xả ặ ư ẫ
0
=67,5 h=5
x
i
n
i
x
i
n
i
x

x =
-0,18.5+67,5= 66,6
2
176
'
100
x
n
=
= 1,76
2 2
'
1,76 ( 0,18)
x
s = − − =
1,7276
2
s =
$
1,7276
×
100=172.76
s
2
=
µ
2
100
(172,76) 174,5
1 99

⇒
1
s
x t
n
n
µ
α
= −
= 63,52
2
s
x t
n
n
µ
α
= +
=69,68
V y trung bình ch tiêu ki m tra là 63,52 đ n 69.68 kgậ ỉ ể ế
b)ta có b ng phân ph i ả ố
x 52,5 57,5 62,5 67,5
n
i
5 10 25 30
60
'
70
x
n

2
70
(58,59) 59,43
1 69
n s
n
×
= =
−
s⇒ =
7,7
0
70
µ µ
= =
5% 0,05
α
= =
n = 70 > 30
T b ng phân ph i student vói n - 1 = 69 b c t do ta có ừ ả ố ậ ự
Ta tính ki m đ nh ể ị
0
68,357 70
7,7
70
n
x
t
s
n

=5,96 =>s = 2,44 n=15<30
Khi đó
n
x
s
n
µ
−
có phân ph i student (n-1) b c t do ố ậ ự
Bi t 1-ế
α
=>
1C n
t
α
α
−
→
=> 99% =>1-
99% 0,01
α α
= => =
=>
14
2,976t
α
=

Sao cho
1

1
2
n
s
x t
n
n
α
µ
−
= +
= 55,8 + 2,976
2,44
57,7
15
=
V y kho ng tin c y (53,9; 57,7)ậ ả ậ