Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Bài 61:
Đầu vào có phân phối đều trên khoảng [ -4d; 4d ] nên ta có:
f
X
( x)=
{
1
8d
n ế u x∈
[
−4d ;4d
]
0nế u khác
Biến cố Z = X – q(X) có hàm phân bố xác suất trên khoảng [ -4d; 4d ] là:
F
Z
(z)=P[
{
X −q( X )
}
≤ z∨X ∈
[
−4d ;4d
]
]
Trong đó q(X) có phân phối đều trên mọi khoảng thuộc
[
−4d ;4d
]
theo ví dụ 3.19

¿ P [
−d
2
≤ z<
d
2
]
¿
1
8
.
z+
d
2
d
=
1
8
.
2z+d
2d
• Tương tự với các khoảng còn lại
[
−3d ;−2d
)
,…,
[
2d ;3d
)
,

2d
Suy ra trên toàn khoảng
[
−4d ;4d
]
ta có:
F
Z
(z)=
2z+d
2d
Từ đó, hàm mật độ
f
Z
( z)
trên toàn khoảng
[
−4d ;4d
]
được xác định:
f
Z
( z)=
d F
Z
(z)
dz
=
1
d

P
1
)( ==
Kỳ vọng của bnn rời rạc:
E(X)=
2
1
2
)1(
.)......321()(
1
+
=
+
==++++=
∑∑
n
p
nn
pipnxx
n
k
X
n
k
k
P
Phương sai của bnn rời rạc:
VAR(X)=
)((

)1(
4
(
6
)12)(1(
2
2
)1
−
=
+
−
++
=−
++
+
n
n
nnnnn
Bài 66.
a. Tìm kỳ vọng và phương sai cảu biến ngẫu nhiên nhị thức
Gọi X là biến ngẫu nhiên nhị thức S
X
= {0,1,2,…,n}
( 1 )
k k n k
k n
p C p q q p
−
= = −

n k
k n k k
k k
n
n k
k
k
E X kC p q
np n
kn
p q p q
k n k
n k
n
np p q
n k
−
=
− − −
− −
= =
− − −
−
−
= =
−
= =
−
− − −
−

= =
−
= = = +
− −
∑ ∑
mặt khác ta có q = 1- p
Vậy E(X) = np.
b.Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên nhị thức
Ta có VAR(X)=
[ ]
( )
2 2
2 2
E X E X E X np
   
− = −
   
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
0 0
1 1
1
1
!
! !
1 !

( )
( )
( )
1 1 1
2 1 1 1
1 1
0 0 0
1 !
1
! 1 !
n n n
j n j j j n j j j n j
n n
j j j
n
E X np j p q np jC p q C p q
j n j
− − −
− − − − − −
− −
= = =
 
−
 
= + = +
 
 
− −
 
∑ ∑ ∑

 
− + − = − + − = − = − =
 
b, Nếu X là số lần suất hiện mặt ngửa trong n lần tung đồng xu. Ta có nếu ta đặt
j
I
là hàm chỉ
tiêu của biến cố A(xuất hiện mặt ngửa) trong phép thử thứ j, thì khi đó ta có:
1 2
...
n
X I I I
= + + +
Nghĩa là X là tổng của các biến ngẫu nhiên Bernoulli tương ứng với mỗi phép thử trong n phép
thử độc lập. Vậy suy ra
E(X) = E(I
1
) + E(I
2
)+…+E(I
n
) = p + p + … + p = np.
Vậy giá trị E(X) chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhị thức. X là số lần xuất hiện thành công
trong n phép thử Bernoulli và là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, cùng phân phối.
Bài 67.
3
Trang
3
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
a, Biến ngẫu nhiên poisson: P

Mà
∑
∞
=1x
P
k
=1=
∑
∞
=
−
0
!
.
x
x
x
e
α
α
(1)
Vậy E(x) =
∑
∞
=
−
−
1
)!1(
.

=
−−
−
1
1
)!1(
.
x
x
x
e
α
α
=
1
α
E(x
2
) =
∑
∞
=
−
0
2
!
.
x
x
x

x
x
xx
ex
α
α
=
∑
∞
=
−
−−
+
0
)!2.(
.
).
1
1
1(
x
x
x
e
x
α
α
=
∑
∞

2
Vậy theo tính chất V(x) = E(x
2
) – [E(x)]
2
=
αααα
=−+
22
b, Khi
t.
λα
=
=> P
k
=
!
.)(
.
x
et
tx
α
λ
−
=> E(x) =
∑
∞
=
−

dttt
f
x
)(
Mà
x
F
f
F
f
xxtt
x
x
x
x
2
1
)(
'
)()(
'
)( ==⇒=
4
Trang
4
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
⇒
E[X] =
∫ ∫ ∫
+∞

Ta có X là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất Gauss có TB m và độ lệch tiêu chuẩn
σ
F
x
(x) =
1
2
πσ
.
2
2
2.
( )x m
e
σ
− −

(
x−∞ < < +∞
)
Mà giá trị kỳ vọng E[X] =
( )
x
x dx
F
+∞
−∞
∫
→
E[x] =

+∞
−∞
− −
∫
Đặt
x m
z
σ
−
=
→
x z m
σ
= +
;
dx dz
σ
=
→
2
2
1
( ) ( )
2
z
E x z m dz
e
σ
π
+∞

=
2
π
(Tích phân Poison)
5
Trang
5
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
→
[ ]=0+ 2
2
m
E x
π
π
= m
→
[ ]=mE x
+ Phương sai
2
2
2
2
( )
1
[x]= .
2
( )
x m
V dx

z
V dz
e
z
π
σ
+∞
−
−∞
→
∫
Đặt
2
2
' .
u z
z
v z
e
−
=




=


→


→ +
−∞
∫
=
2
2
2
0
2
π
π
σ
σ
+ =
→
σ
x
=
[x]=V
σ
Bài 71
Bài 73
Chứng minh các hệ thức (3.68),(3.69)và (3.70)
+ hệ thức (3.68)
VAR[c] = 0
Ta có E[c] = 0
E[cX] = cE[X]
Mà VAR[X] = E[X
2
] – E[X]

2
2
2
2 ++
] - (aE[X] + b)
2
=
)][2][(][2][
2
2
22
2
2
bbaabba
X
a
XEXEXEE ++−++
= E[X
2
] – E[X]
2
= VAR[X]
Thay Y = X + c vào ta được
VAR[X + c] = VAR[X] (dpcm)
+ hệ thức (3.70)
VAR[cX] =
c
2
VAR[X]
Đặt Y = cX

(dpcm)
Bài 74:
Cho
Y Acosωt c
, ở đây A có kỳ vọng m và phương sai
σ
2
, và
ω
và c là các hằng
số. Tìm kỳ vọng và phương sai của Y.
E
(
Y
)
=¿
¿ E
(
Acosωt c
)
7
Trang
)][][(
22
2
XEXE
c
−
7
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324

)
¿
(
cosωt
)
2
VAR
(
A
)
¿σ
2
(
cos ωt
)
2
Bài 75
Chi phí cho n lần tung là : nd $
Chi phí cho X lần ngửa là
bXaX +
2

Chi phí cho n-X lần xấp là nd – (
bXaX +
2
)
 Kì vọng cho tổng chi phí :
E(X) =
∫∫
−

34
342
34
XnbXnaXnnd
bXaX
−
−
−
−
−
++
=
3
])([
4
])([
2
)(
33442
XnXbXnXaXnnd −−
+
−−
+
−
8
Trang
8
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Nếu chi phí cho việc nhận đc X lần ngửa là
X

−=⇒
0
0
0
ln
|
ln
..
=
X
tt
a
a
a
a
t
0
2
|)
ln
ln
.(
−
=
)
ln
1
(
ln a
X

E(Y) =
ωab
∑
0
∝
ω
k
k !

e
−ω
=
ωab
Bài 77:
Giới hạn tử Y = g(X) được xác định :
Y = g(X) =
{
−a nế u X <−a
X nế u−a ≤ X ≤
a n ế u X >a
a
Hàm mật độ của Y theo hàm mật độ của X :
f
Y
(y)=
{
f
X
(−a)n ế u X <−a
f

xE [Y ]
]
2
. f
X
(a) dx+

a
a
[
xE[Y ]
]
2
. f
X
( x) dx+

a
+
[
xE [Y ]
]
2
.
[
1 f
X
(a)
]
dx

với y 0
+ X a
Biến cố
{ }
y

xảy ra khi
{ }
yaX

hay
{ }
ayX
+
với y 0
Vậy
( )
( )



>

=
0y nếu
-a x với0ynếu
0
ayF
yF
X

0y ,
ayfyf
ayfyf
x
x


Khi đó giá trị kỳ vọng của hàm thống nhất đợc xác định.
[ ]
( ) ( )


+=
0
dyayfayE
X

với X - a
[ ]
( ) ( )
dyayfayE
x

+
+=
0

với x a
Phơng sai:
[ ]


Bi 79:
Ly kt qu bi 65:
[ ]
1
2
n
E X
+
=
[ ]
2
1
12
n
U X

=
Ta cú:
[ ] [ ]
1
. .( )
2
n
E Y K L E X K L

= + = +
[ ] [ ]
2
2 2

n
dx =
x
n+1
n+1


0
1
=
1
n+1
Với khoảng bất kỳ [a,b] ta có
E[
X
n
] =

0
1
x
n
dx =
x
n+1
n+1


a
b

+
=1+
F
X
(
mc +
)-
) ( mc
F
X
+
a : X l bin ngu nhiờn trờn khong (-b,b)
Ta cú hm mt xỏc sut l
11
Trang
11
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324





=
−−
=
0
2
1
)(
1

≤≤−
−<
Xác suất chính xác của biến ngẫu nhiên đều trên khoảng (-b,b)
P({|X-m|
c≥
}) =1+
F
X
(
mc +−
)-
) ( mc
F
X
+
=1+
b
bmc
b
bmc
22
++
−
++−
=1-
b
c
Cận chebyshev
VAR{X]=
dx

≤
b: X là biến ngẫu nhiên laplace với tham số a
Nghiệm chính xác
P({|X-m|
c≥
}) =1+
F
X
(
mc +−
)-
) ( mc
F
X
+
Ta có:
x
tt
x
tt
x x
t
X
X
eeeee
f
F
dtdtdtdxxx
0
.

1
2
1
.
+−
−
e
x
α
=1-
e
x.
2
1
α
−
P({|X-m|
c≥
}) =1+
F
X
(
mc +−
)-
) ( mc
F
X
+
12
Trang

})=1+
ee
cα.c .
2
1
2
1
α
−
−
c, X là biến ngẫu nhiên gauss với m=0
Nghiệm chính xác
P({|X-m|
c≥
}) =1+
F
X
(
mc +−
)-
) ( mc
F
X
+
=1+
)()( cc
FF
XX
−−
Ta có:

e
π
=[
baxa
x
++−
2
)1(
1
]
e
x
2
2
2
1
−
π
Với a=1-
π
b=
π
2
1)( =Φ x
-Q(x)
Với
∫
∞−
=Φ
x

x
σ
π
πσπ
πσ
σ
2
2
2
2
2
2
1
)
1
1(
1
2
1
−











2
2
2
2
2
2
1
)
1
1(
1
2
1
)(
−
















1(
1
2
1
)(
−


















++−
]
=1-




)1(
1
2
1
)
1
1(
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
cc
e
cc
c
=1-









1
2
2
cc
e
c
c
Cận chebyshev
E[X]=m=0
VAR[X]=
σ
2
P[|X-m|
c≥
]=
c
2
2
σ
Bài 82.
Cho X là số lần thành công trong n phép thử Bernoulli với xác suất thành công p. Như vậy X
là biến ngẫu nhiên nhị thức.
Mặt khác ta có E(X) = np , Var(X) = np(1-p)
Y = X/n Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev
14
Trang
14