Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
1
PHẦN MỞ ĐẦU
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
2
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông th ì phần kiến
thức về bất đẳng thức l à khá khó. Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳng
thức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra và chứng minh. Đối với phần kiến thức
này thì có hai dạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức v à vận dụng bất đẳng thức
để giải các bài toán có liên quan.
Là một sinh viên ngành toán tôi không ph ủ nhận cái khó của bất đẳng thức v à
muốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảng
dạy toán sau này. Do đó tôi chọn đề tài “Vận dụng bất đẳng thức để t ìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình” để tìm hiểu thêm. Khi vận dụng bất đẳng
thức để giải các bài toán dạng này thì có rất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vận
dụng. Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức l à bất đẳng thức Côsi,
Bunhiacopski và bất đẳng thức vectơ. Trong đề tài này tôi trình bày cách v ận dụng
ba bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình để
rèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán v à qua đó có thể tích lũy
được kinh nghiệm trong giải toán để giảng dạy sau n ày.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục tiêu chính của đề tài này là tổng hợp các bài toán tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất và giải phương trình bằng bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳng
thức nói trên. Qua đây tôi hi vọng sẽ đưa ra đầy đủ các dạng vận của các bất đẳng
thức nói trên.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng của đề tài là ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v à bất đẳng thức
vectơ cùng với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất v à các phương trình. Đề

dc 
fdbeca 
fe 

ba 
và
mbmam  0

ba 
và
mbmam  0

0 ba
0 dc
bdac 

0 ba
nn
ba 
n
ba 
1.3. Một số bất đẳng thức c ơ bản
1.3.1. Bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối
baba 
dấu “=” xảy ra
0 ab
baba 
nn
aaaaaa 
2121

 
1 2
, , , 2
n
a a a n 
và n số
1 2
, , ,
n
  
dương
có:
1 2
1
n
     
. Thì:
1 2
1 2 1 1 2 2
.
n
n n n
a a a a a a

 
     
Dấu “=” xảy ra
1 2

n

n n n n
a b a b a b a a a b b b         
Dấu “=” xảy ra
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
   
Mở rộng:
Cho m bộ số, mỗi bộ gồm n số không âm:
 
 
, , 1,2, ,
i i i
a b c i m
Khi đó ta có:
 
     
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 2m
m m m
m m m m m m m m m
m m m

naa
n
 11
1.3.5. Bất đẳng thức vectơ

vuvu 

vuvu 

vuvu 

wvuwvuwvu 
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
6
Phần 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC
2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
2.1.1. Định nghĩa
Cho biểu thức
1 2
P( , , , )
n
x x x
( hàm số
1 2
( , , , )
n
f x x x
), xác định trên D

(hoặc
1 2
( , , , )
n
f x x x
). Kí hiệu là maxP hoặc P
max
(
1 2
max ( , , , )
n
f x x x
hoặc
1 2 max
( , , , )
n
f x x x
).
- Nếu
1 2
P( , , , ) m
n
x x x 
( hoặc
1 2
( , , , ) m
n
f x x x 
) thì m gọi là giá trị nhỏ
nhất của

dụng như: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức
vectơ… để đánh giá biểu thức P (h oặc hàm số
1 2
( , , , )
n
f x x x
), từ đó suy ra giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần t ìm.
Phương pháp này, như tên g ọi của nó, dựa trực tiếp v ào định nghĩa của giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức v à hàm số. Lược đồ chung của phương pháp này
có thể miêu tả như sau:
- Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng
1 2
P ( , , , ) D
n
x x x  
với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc
1 2
P ( , , , ) D
n
x x x  
đối với bài toán tìm
giá trị lớn nhất), ở đây P là biểu thức hoặc hàm số xác định trên D.
- Sau đó chỉ ra một phần tử
01 02 0
( , , , ) D
n
x x x 
sao cho
01 02 0

x x x
 
      
 
 
( BĐT Côsi)
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
7
Dấu “ =” xảy ra
2 5
5
3
1 1
3 3
3
x x x
x
     
Vậy Min
 
f x
=
5
5
27
tại
5
3x 
2.2. BÀI TẬP

c
b
b
a
111P
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
b
a
b
a
21 
c
b
c
b
21 
a
c
a
c
21 
Suy ra
88111 







thỏa
2
1
1
1
1
1
1





 cba
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M abc
Giải:
Ta có:
2
1
1
1
1
1
1


















111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
8
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
  
cb
bc

2
1
1
(2)
  
ba
ab
c



11
2
1
1
(3)
Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được:
     
2 2 2
2 2 2
1 1 1
8
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
a b c
   
   
   

1
2
a b c  
Cách khác:
Từ giả thiết ta có:
                 
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1b c a c a b a b c           
       
2 3 2 1 1 1a b c ab bc ac a b c          
1 2abc ab bc ac    
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3 3 3
4
2 4 2abc ab bc ac a b c   
(2)
Từ (1) và (2) ta được:
3 3 3
4
1 4 2 1 8a b c abc  
hay
1
M
8
abc 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
2
abc ab bc ac a b c      


Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
M .
n
a a a
Lập luận như trên ta được M
max
2
n

tại
1 2
1

1
n
a a a
n
   

Bài 3: Cho hàm số
2
4
4 4
( ) 1 1 1f x x x x     
xác định trên
 
D R : 1 1x x    
. Tìm giá trị lớn nhất của

 
   
(3)
Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta đ ược:
D( ) 1 1 1 xf x x x      
(4)
Nhận thấy (4) xảy ra khi v à chỉ khi (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra khi v à chỉ
khi
0x 
.
Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
 
1 1
1 1 .1
2
x
x x
 
   
(5)
 
1 1
1 1 .1
2
x
x x
 
   
(6)
Từ (5), (6) đưa đến:

( )
1 1 1 1
x x x x
f x
x x x x x x x x
   
   
   
 
       
   
1
2
1
x x
x x

  

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2
1 1
( ) 2 . 2 4
1 1
x x x x
f x
x x x x

 
    

2
a b c x y z     
Và
, ,
2 2 2
y z x z x y x y z
a b c
     
  
(*)
Từ đó ta có:
1
P 3
2 2 2 2
y z x z x y x y z y z z x x y
x y z x y z
 
 
 
        
      
1
3
2
y x z x z y
x y x z y z
 
   
 
 

    






Từ (*) ta có
a b c 
Vậy
min
3
P
2

với mọi số thực dương
, ,a b c
thỏa
a b c 
.
Bài 6: Cho ba số thực dương
, ,a b c
thỏa:
1a b c  
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
     
S abc a b b c c a   
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có:

729
m

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
( ) 1 2
2
x
f x x x   
trên miền
1
D R : 1
2
x x
 
    
 
 
.
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
12
Giải:
Nhận thấy D là miền xác định của
( )f x
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
 
 
2

2
x x
x x
x


  

    



  

Ta lại có:
(0) 1f 
Vậy
D
max ( ) 1
x
f x


Bài 8: Cho hàm số
 
2
2
1 2
( ) 1 1f x x
x x

x
 
 
 
 
Dấu “=” xảy ra
1x 
> 0.
Vậy
0
min ( ) 16
x
f x


tại
1x 
Bài 9: Cho ba số thức dương
, ,a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
13
   
1 1 1
A 1
a b c
abc a b c
a b c b c a
 

     
            
     
     
1 1 1
2 . 2 . 2 . 6A a b c
a b c
    
(BĐT Côsi)
Dấu “=” xảy ra
1a b c   
Vậy MinA = 6 tại
1a b c  
Bài toán tổng quát:
Cho
 
1 2
1 2
1 1 1
P . 1
n
n
a a a
a a a
 
     
 
 
 
1 2

a b c
c a b
 
  
    
 
 
Tìm giá trị nhỏ nhất của P với
0, 0, 0a b c  
và
1abc 
Giải:
Ta có:
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
P 3
a a b b c c
b c c a a b
 
       
 
 
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
14
 
4 2 5 4 2 5 5 2 4
2 2 2
3 3 3 3 3 3
a b ab b c bc a c a c

(3)
2 2 2 2 2 2
3
3 . . 3 3ab bc ca ab bc ca abc    
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
P 3 6 6 3 18    
Dấu “=” xảy ra
1a b c   
Vậy P
min
= 18 tại
1a b c  
Bài 11: Cho n số dương
 
1 2 3
, , , , 2
n
x x x x n 
thỏa mãn
1 2
1
n
x x x   
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
1 2
S .
n
a

1 2
1
n
b b b   
. Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có:
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
.
n
b
b b
n n
n
n n
x b
x x b b
x x x
a a a a a a
 
   
   
 
   
   
 
 
1 2
1 1

        
  
 
1 2
1 2
1
1,2, ,
n i
i
n
x a
x x
x i n
a a a a a
       
Vậy
1 2
max 1 2
1
S .
n
a
a a
n
a
a a a
a

Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang

4 3 4 3 4 3
1 1 1
1 1
3
, ,
4
a b c
a b c a b c
a b c

  
 



       



 


Vậy MinP =
3 7
tại
1a b c  
.
Bài 2: Cho các hằng số dương
, ,a b c
và các số dương

 
2
a b c x y z     
Dấu “=” xảy ra
b
a
c
y
a b c
x
z
x y z
x y z
     
(1)
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
16
Mặt khác:
1
a b c
x y z
  
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
 
x a a b c  
 
y b a b c  
 

 
2
2 2 2
1x y z  
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
 
4 4 4
3 1x y z  
1
( , , )
3
f x y z 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra
2 2 2
x y z
x y z
y z x

 



 


kết hợp với điều kiện
1xy yz zx  
Ta được:
3

4 4 4
2 2 2
P
2 3 2 3 2 3
a b c
a ab ac b bc ba c ca cb
  
     
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai d ãy số sau:
2 2 2
2 3 , 2 3 , 2 3a ab ac b bc ba c ca cb     
và
2 2 2
2 2 2
, ,
2 3 2 3 2 3
a b c
a ab ac b bc ba c ca cb     
ta có:
 
 
4 4 4
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
.
2 3 2 3 2 3
. 2 3 2 3 2 3

Mặt khác theo bất đẳng thức C ôsi ta có:
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 1
2
a b ab
b c bc ab bc ca a b c
c a ca

 

        


 

Từ (3) ta có:
 
1 1 1
P
1 5 1 5.1 6ab bc ca
  
   
Dấu “=” xảy ra
3
3
a b c   
Vậy MinP =

1 1 1
2
1 1
a b
a b
a b a b
a a b b
a b a b
a b a b
       
  
   
   
  
   
  
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
     
2
1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
 

   




 

Vậy minM =
5
2
Bài toán tổng quát:
Cho
2
2 2
1 2
1 2 1 2
1
P
1 1 1
n
n n
a
a a
a a a a a a
    
     
với
0 1 1,
i
a i n   

 
   
 
Do đó:
D
D
max ( ) max ( )
x
x
f x f x




và
D
D
min ( ) max ( )
x
x
f x f x



 
Với
Dx


, ta có:

 
Dấu “=” xảy ra
2
2 2
2007
1 2009
2008
2007
4016
x
x
x x

  

  


 

Vậy
D
max ( ) 2008 2008
x
f x


tại
2008x 
D

x y y z z x
x y z
x y y z z x x y z
x y y z z x
 
        
 
 
  
 
 
          
 
  
 
 
1 1
T
2 2
x y z    
Dấu “=” xảy ra
1
3
x y z   
Vậy minT =
1
2
tại
1
3

9 9 9
P 7 P 1 7
a b c ab bc ca
ab bc ca
a b c
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
 
      
 
 
 
 
        
 
 
 
 
           
 
 
Mà ta lại có:
 
2
1
3
a b c ab bc ca    
Thật vậy, từ trên ta có:
   

, , , 2 và 1
n n
a a a n a a a    
.
Đặt
1 2 1 2 2 3 1 1
1 1 1 1 1
P =

n n n n
a a a a a a a a a a a

    
  
Thì
 
3 2
2
minP
2
n n n 

khi
1 2
1

n
a a a
n
   

3
2







 uu
 
35
6
2323.
6
35
.132.
232,3
2222
22


yxyxvuyxvu
yxvyxv
Dấu “=” xảy ra
xy
yx
94
2
3

 
222
,, zyxvyxzv 
Ta có:
222
zyxyzxyxzvuvu 
 
 
 
 
3
1
13
2223
2222
222
2
222
222222
222




zyx
zyxzyx
yzxyxzzyxzyx
yzxyxzzyx
Dấu “=” xảy ra
3

bavabv
baubau
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
 
22.1.1
22
 baba
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
22
Do đó:
22 v
222.11.A  yxvuabbavu
Dấu “=” xảy ra
a
b
b
a




11
Kết hợp với điều kiện ban đầu
1
22
 ba
Suy ra:
2
2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:
2
2
11
,
x
xu
x
xu 







2
2
11
,
y
yv
y
yv 







,
Áp dụng bất đẳng thức
wvuwvu 
ta có:
 
2
2
2
2
2
2
2
2
111111









zyx
zyx
z
z
y
y
x




zyx
(2)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta đ ược:
   



















zyx
zyx
zyx
zyx





zyx
zyx
Và do (1) nên:
82
111
P
2
2
2
2
2
2

z
z
y
y
x
x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3
1
 zyx
Vậy
82P
min

2
2
2
2
2




wvuczbyaxcbawvu
czcwczcw
bybvbybv
axauaxau
Ta có:
wvuwvu 
     
10161616aP
2
2
2
2
2
2
 czcbybax
Giá trị nhỏ nhất của P: P
min
= 10
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a. Có hai trong ba vectơ b ằng vectơ
0















0,,
2
3
0
2
0,
0
0
cba
cba
zyx
czbyax
cba
mk
mczby
kbyax


vv
zyxuzyxu
Ta có:
222
. zyxvu 
Mà:
 
22
2
vuvu 
   
2
222444
3 zyxzyx 
Mặt khác ta có:
zxxz
yzzy
xyyx
2
2
2
22
22
22



 
 

2
2




wvuwvu
bbwbw
bavbav
aauau
Ta có:
wvuwvu 
251064284
2222
 bbbabaaa
Dấu “=” xảy ra
2,0
1
2
2
3
2









22
 aa
Trong mặt phẳng tọ độ Oxy chọn:
   
   
 
345,3
412,1
923,2
2
2



vuvu
avav
auau
Mà:
   
344192
22
 aavuvu
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
5
1
a
Vậy:
34M
min


accbba

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
22
22
22
212
,
1
212
,
1
212
,
1
ac
w
ac
w
cb
v
cb
v
ba
u
ba
u















cbacba
wvu
111
2,
111
Mặt khác:
1
111

cba
abccabcab