Phương trình lượng giác
VẤN ĐỀ VI:
Vài cách giải dặc biệt
với các phương trình không chuẩn mực
1. Phương pháp tổng hai số âm:
A 0
B 0 0
0
A B
A B
≥


≥ ⇔ = =


+ =

2. Phương pháp đối lập (chặn trên và chặn dưới hai vế)
A M
B M A B M
A B
≥


≤ ⇔ = =


=

3. Phương pháp phản chứng:

A B
 ≤
= =

≤ ⇔


= = −


=

5. Dùng tham số như ẩn số
6. Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.
Nguyễn Văn Hải
17
Phương trình lượng giác
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
a,
2
4cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0x x x x+ − + + =
(1)
b,
3
cos 2 cos6 4(3sin 4sin 1) 0x x x x− + − + =
(2)
GIẢI:
a, ĐK:
2

⇔ − + + + + =
⇔ − + + =

=


⇔


= −



= ± +


⇔ ∈


= − +


Z
So với điều kiện thì
2
6
x k
π
π
= − +

π
⇔ + + − + + =
⇔ + + + =
⇔ + + =
=

⇔

= −


= +


⇔


= − +


⇔ = + ∈Z
Nguyễn Văn Hải
18
Phương trình lượng giác
Ví dụ 2:
Giải các phương trình sau:
a, cos x = 1 + x (1)
b,2
sinx
= cos x với

( ) (0)f x f⇒ <

cos 1 :x x x o
⇒ > + <
không là nghiệm của (1)
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất.
b,
Với - x = 0 : VT = 2
sin0
= 2
0
= 1
VP = cos 0 = 1

⇒
x = 0 là nghiệm của (2)
-
0
2
x
π
< <
:
⇒
sin x > 0

⇒
2
sin x
> 2

3
x = 2 – sin
4
x
c, 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1
d, sin
2
x + sin
2
y + sin
2
(x + y)
9
4
=
e, tan
2
x + tan
2
y + cot
2
(x + y) = 1
f,
1 1
cos 1 cos3 1 1
cos cos3
x x
x x
− + − =
g,

a,
sin
1
2 sin
sin
x
x
x
= +
b,
sin
3 cos
x
x=
c,
2
2cos ( ) 3 3
x x
x x
−
+ = +
d,
sin2
tan cot 2
x
x x+ =
e,
4 4 2 2 2
tan tan 2cot .cot 3 sin ( )x y x y x y+ + = + +
Nguyễn Văn Hải

d,
2
3
2 2 (cos sin ) cos sin
2
m m x x x− + + = −
x
(theo tham số m)
e,
2 1994
7cos 1995.sin 1995x x+ =
6.4:
a, Giải phương trình:
( )
2
cos4 cos2 5 sin 3x x x− = +
b, Định a để phương trình sau có nghiệm:
( )
( ) ( )
2
2 2
cos4 cos2 4 3 4 6 7 sin 3x x a a a a x− = + + + + + +
6.5:
a, Với giá trị nào của a thi phương trình:
1 + sin
2
ax = cosx
Có nghiệm duy nhất?
b, Chứng minh rằng nếu a là số hữu tỷ khác 0 còn b là số vô tỷ thì phương trình:
1 + sin

2
cos cos 1
cos2 tan (1)
cos
x x
x x
x
− −
− =
thoả 1
≤
x
≤
70
GIẢI:
Điều kiện:
2
x k
π
π
≠ +

(1)
2 2 2
2cos 1 tan 1 cos 1 tanx x x x⇔ − − = − − −

2
2cos cos 1 0
cos 1
1

= ± +

⇔ = +
Nguyễn Văn Hải
22
Phương trình lượng giác
Vì
1 70x≤ ≤

2
1 70
3 3
k
π π
⇔ ≤ + ≤

{ }
3 210
,
2 2
0,1,2, ,31,32
k k
k
π π
π π
− −
⇔ ≤ ≤ ∈
⇔ ∈
Z
Phương trình (1) có 33 nghiệm trên [1;70] lập thành cấp số cộng :

 

363
π
=
* Bài tập:
7.1: Tìm các nghiệm của phương trình:
3
sin cos 1
4 4
x x
π π
   
− − + =
 ÷  ÷
   
thoả mãn bất phương trình:
2cos7
cos3 sin3
x
+
7.2: Giải các phương trình sau:
a,
( )
sin 0In x x
 
+ =
 
b,
3 1

Nguyễn Văn Hải
23
Phương trình lượng giác
b, Trên toàn trục số.
7.5: Tìm các nghiệm phương trình:
5
sin 4 cos 4 2
4 4
x x
π π
   
+ + + =
 ÷  ÷
   
thoả mãn bất phương trình
sin 4
cos2
2
cos2 sin 2
x
x
−
>
−
7.6: Giải các phương trình sau:
a,
2 2
sin 1 cos
4 4 10
x x

bằng phương pháp giải phương trình
Nguyễn Văn Hải
24
Phương trình lượng giác
1. Để tính giá trị của một hàm lượng giác của một cung, dựa vào mối liên hệ giữa các cung
(bù, phụ, hơn kém
,
2
π
π
,…) và công thức lượng giác, ta lập được một phương trình bậc hai
hay ba mà hàm lượng giác đó là nghiệm. Giải phương trình này ta tính được giá trị đó.
2. Để tính giá trị của một biểu thức lượng giác số, ta cũng lập một phương trình lượng giác
(tương tự trên) nhận các hàm lượng giác trong biểu thức đó là nghiệm. Dựa vào định lý
Viète của phương trình bậc n ta suy ra giá trị của biểu thức.
GHI CHÚ: Nếu một phương trình có n nghiệm a
1
, …, a
n
thì:
(x-a
1
)(x-a
2
)…(x-a
n
) = 0
⇔
x
1

a
2
+ a
2
a
3
+ …+ a
n
a
1
…………………………………………

S
n
= a
1
a
2
…a
n
3. Để tìm miền giá trị của một hàm ( hay tìm GTLN, GTNN), ta làm như sau:
• Tim D (Miền xác định)
• Lấy
y T∈
(Miền giá trị), giải phương trình
( )y f x=
với
x D∈
Khi giải xong phương trình
( )y f x=

⇔
4x
3
– 2x
2
– 3x + 1 = 0

⇔
(x – 1)(4x
2
+ 2x – 1) = 0

⇔
4
2
+ 2x – 1 = 0

1 5
0
4
1 5
4
x
x

− −
= <


⇔

≠
0 với mọi x
⇒
D= R
Gọi T là tập giá trị của y
Lấy y thuộc T ,thế thì tồn tại x thuộc D sao cho
osx+2sinx+3
2cosx-sinx+4
c
y =
(1)

⇔
(y +2)sinx + ( 1 – 2y )cosx = 4y – 3 (2)
Nguyễn Văn Hải
26
(loại)
Phương trình lượng giác
(1) có nghiệm
⇔
(2) có nghiệm

⇔
( y + 2)
2
+ (1 -2y )
2

≥
(4y -3)

cos18 ,sin36 ,sin108 ,cos72
8.2: Chứng minh:
a,
2 2
2 5
sin sin
5 5 4
π π
+ =
b,
4 4 4
2 3 13
cos cos cos
7 7 7 16
π π π
+ + =
8.3: Tìm giá trị của:

2 2 2
2 3
tan tan tan
7 7 7
π π π
+ +
và
2 3
tan .tan .tan
7 7 7
π π π
8.4: Tìm x sao cho:

y =
b,
2
2
os sinx.cosx
1+sin
c x
y
x
+
=
.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1:Giải các phương trình sau:
a, sin
2
3x +sin
2
4x = sin
2
5x + sin
2
6x.
Nguyễn Văn Hải
27
Phương trình lượng giác
b,sin
3
x(1 + cotx ) + cos
3

1 1
2sin3 2cos3
sin cos
x x
x x
− = +
g,
sin 4 sin 2 4sin 3 2cos 4
0
sin 1
x x x x
x
+ − + −
=
−
h,
2
12sin 5cos 2 8 21x x y y+ = − +
i,
2 2
sin 2 sin sin . 2 sin 3x x x x+ − + − =
j,
1
tan cot cos sin ( , 2)
4
n
n n
x x x x n N n
 
+ = + ∈ ≥

2log 0x ≤
.
6.Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
Nguyễn Văn Hải
28
Phương trình lượng giác
.
(
)
2
os 3 9 160 800 1
8
c x x x
π
 
− + + =
 
 
.
7.Giải và biện luận phương trình :
a, (m – 1 )sin
2
x – 2( m+ 1 )cosx + 2m – 1 = 0
b, cosax +cos2bx - cos[( a + 2b )x] = 1.
c, msinx + ( 2m - 1)cosx = 3m – 1 với 0 < x <
2
π
.
8. Cho phương trình : sinx + mcosx = 1 (1)
a, Giải phương trình khi m =

x + 3(2m – 1)sinx + 2(m – 2 )sin
2
x.cosx – ( 4m – 3 )cosx = 0.
a, Giải phương trình khi m = 2 .
b, Tìm m để
0,
4
π
 
 
 
chứa đúng một nghiệm của phương trình .
12. Cho phương trình msĩn + (m + 1 )cosx =
osx
m
c
.
a, Giải phương trình khi m =
1
2
.
b, Định m để phương trình có nghiệm .
c,Giả sử m là giá trị làm cho phương trình có nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
+x
2

+ |y| )sinx = acosx (2)
Tìm a để mọi nghiệm (x,y) của (1) cũng là nghiệm của (2).
14. Cho phương trình : sin
4
x + (1 – sinx)
4
= m.
a, Giải phương trình với m =
1
8
.
b, Định m để phương trình có nghiệm .
15. Cho phương trình : 2cosx.cos2x.cos3x + m = 7cos2x.
a, Giải phương trình khi m = - 7.
b,Định m đẻ phương trình có nhiều hơn một nghiệm thuộc đoạn
3
,
8 8
π π
− −
 
 
 
.
16.Tìm số thực a > 0 và nhỏ nhất thoả mãn phương trình :
2 2
1
os a 2 sin( ) 0
2
c a a