Chương 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM MỎNG
Trong chương này giới thiệu: Phương pháp chuỗi lượng giác; Phương pháp
biến phân; Phương pháp sai phân hữu hạn; Tính tấm tròn trong hệ tọa độ cực.
Tính tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn được giới thiệu trong chương 3.
A. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC
Phương pháp chuỗi lượng giác là phương pháp mà chuyển vị pháp tuyến
( )
,w x y
của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác (kép hoặc đơn).
2.1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC KÉP
Phương pháp chuỗi lượng giác kép sử dụng cho bài toán tấm chữ nhật chu
vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố
( )
,q x y
hoặc tải trọng tập trung vuông góc với
mặt phẳng tấm, hình 2-1.
2.1.1. Các công thức cơ bản
Phương trình chuyển vị của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác
kép:
( )
1 1
, ) ( )
nm n m
n m
w x y A sin( x sin y
α β
∞ ∞
= =
=
∑∑

1 1
, ( ) ( )
nm n m
n m
q x y q sin x sin y
∞ ∞
= =
= α β
∑∑
(2.3)
Để xác định hệ số
nm
q
nhân hai vế của (2.3) với
, ,
sin( )sin( )
n m
x yα β
, lấy tích
phân theo bề mặt tấm và sử dụng tính chất trực giao của các hàm lượng giác:
23
Hình 2-1. Tấm chữ nhật chu vi tựa khớp.
'
,
'
0
0
( ) ( )
2
a


β β =

=


∫
Sau khi biến đổi:
( )
0 0
4
, ( ) ( )
a b
nm n m
q q x y sin x sin y dxdy
ab
= α β
∫∫
(2.4a)
Khi tải phân bố đều
( )
,
o
q x y q=
:
2
16
o
nm
q

 ÷
 
∑∑ ∑∑
Hai chuỗi lượng giác ở hai vế của phương trình trên bằng nhau khi từng số hạng
tương ứng của chúng bằng nhau nên:
2
2 2
4 2 2 2
2 2
( )
nm
nm nm n m
p
q
n m
A A
a b D
 
+ π = α +β =
 ÷
 
, rút
ra:
2 2 2
( )
nm
nm
n m p
q
A

n m
n m p
q
w x y sin x sin y
D
∞ ∞
= =
= α β
α +β
∑∑
(2. 6)
( )
2 2
2 2 2
1 1
( )
, ( ) ( )
( )
nm n m
x n m
n m
n m
q
M x y sin x sin y
∞ ∞
= =
α + µβ
= α β
α +β
∑∑

n m
q
M x y cos x cos y
∞ ∞
= =
−µ α β
= α β
α + β
∑∑
(2.9)
( )
2 2
1 1
, ( ) ( )
( )
nm n
x n m
n m
n m
q
Q x y cos x sin y
∞ ∞
= =
α
= α β
α + β
∑∑
(2.10)
( )
2 2

v
hình 2-2.
Áp dụng (2.4):
2 2
2
2 2
4 16
( ) ( )
2 2
u v
i j
o o
nm n m
u v
i j
q q
n m n m
q sin x sin y dxdy sin i sin j sin u sin v
ab nm a b a b
+ +
− −
π π π π
       
= α β =
 ÷  ÷  ÷  ÷
π
       
∫ ∫
(2.12)
Thí dụ 2: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa

 ÷  ÷  ÷  ÷
π
       
hay:
4
2 2
2 2
nm
n m
sin u sin v
P n m
a b
q sin i sin j
n u m v
ab a b
a b
π π
   
 ÷  ÷
π π
   
   
=
 ÷  ÷
π π
   
0
4
nm n m
u,v

trong đó,
( )
n
y y
là hàm cần tìm biểu diễn chuyển vị của tấm theo phương trục y.
25
Hình 2-2.
Phương trình chuyển vị
( )
,w x y
của tấm (2.14) thỏa mãn điều kiện biên tựa
khớp tại
0x
=
và
x a=
.
Tương tự như phương pháp chuỗi lượng giác kép, tải trọng phân bố
( )
,q x y

được khai triển dưới dạng chuỗi lượng giác đơn:
( ) ( )
1
, ( )
n n
n
q x y q y sin x
∞
=

∫
(2.16)
Thay (2.14), (2.15) vào phương trình vi phân cân bằng của tấm (1.26):

( ) ( ) ( ) ( )
4 2 "
1 1
1
( 2 ) ( ) ( )
IV
n n n n n n n n
n n
p
y y y y y y sin x q y sin x
D
∞ ∞
= =
α − α + α = α
∑ ∑
(2.17)
Phương trình (2.17) sẽ thỏa mãn nếu:
( ) ( ) ( )
( )
2 " 4
2
n
IV
n n n n n
p
q y

n
D
- các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên tại
0y =
và
y b=
.
o
n
y
- nghiệm riêng phụ thuộc tải trọng
( )
,q x y
. Nếu
( )
0
,q x y q const= =
,
nghiệm riêng có dạng:
0
4
o
n
n p
q
y
D
=
α
(2.20)

'
1
, (1 ). . ( ) s( )
xy p n n n
n
M x y D y y co x
∞
=
= − −µ α α
∑
(2.23)
( ) ( ) ( )
3 "
1
, ( . ) s( )
x p n n n n n
n
Q x y D y y y y co x
∞
=
= α − α α
∑
(2.24)
( ) ( ) ( )
2 ' '''
1
, ( ) ( )
y p n n n n
n
Q x y D y y y y sin x

có giá trị hằng số đối với mỗi loại đất, có thứ nguyên [lực/
(chiều dài)
3
].
Đặc trưng cơ bản của mô hình nền một hệ số, hình 2-3, là nền chỉ biến dạng
trong phạm vi bề mặt tiếp xúc của kết cấu với nền.
Hình 2-3. Mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ một hệ số.
Ưu, nhược điểm của mô hình nền Winkler:
- Ưu điểm: mô hình này diễn toán đơn giản, thuận lợi trong lập trình.
- Nhược điểm:
27
+ Coi hệ số nền là hằng số với mỗi loại đất là chưa phù hợp với thực tế vì
nó còn phụ thuộc cả vào kích thước của kết cấu tiếp xúc với nền. Hệ số nền chỉ
mang tính chất quy ước mà không có ý nghĩa vật lý rõ ràng.
+ Coi biến dạng của nền là cục bộ trong phạm vi tiếp xúc giữa kết cấu với
nền là bỏ qua tính ma sát và tính dính của đất nền.
Phạm vi áp dụng: nhiều kết quả nghiên cứu và thực nghiệm đã chứng tỏ,
mô hình này tương đối thích hợp và sát thực tế đối với nền đất yếu, đất ẩm hoặc
bão hoà nước; đặc biệt đối với môi trường chất lỏng thì mô hình này là chính
xác.
Phương trình vi phân cân bằng của tấm, phương trình Sophi-Giecman, có
dạng:
( )
4 4 4
4 2 2 4
,
2
p
q x y
w w w

, , ,
p
D w x y q x y p x y∇ ∇ = −
(2.27.b)
thay (2.26) vào (2.27)
( ) ( )
4 4 4
1
4 2 2 4
, . ,
2
p p
q x y k w x y
w w w
x x y y D D
∂ ∂ ∂
+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂
(2.28.a)
dưới dạng toán tử Laplat:
( ) ( ) ( )
2 2
1
, , ,
p
D w x y k w x y q x y∇ ∇ + =
(2.28.b)
2.3.2. Phương trình vi phân cân bằng của tấm với mô hình nền biến dạng
đàn hồi cục bộ hai hệ số (mô hình lớp đàn hồi)
Mô hình nền 02 hệ số là mô hình trong đó hệ số nền

( )
,p x y
tương ứng với sự làm việc chịu nén của nền và
phản lực tiếp tuyến
( )
,t x y
ứng với sự làm việc chịu cắt của nền.
( ) ( ) ( )
, , ,r x y p x y t x y= +
(2.29)
trong đó:
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
, ,
,
w x y w x y
t x y k
x y
 
∂ ∂
= − +
 ÷
∂ ∂
 
(2.30)
kết hợp với (2.26), phản lực nền với mô hình nền hai hệ số có dạng:
( ) ( ) ( ) ( )

x x y y x y
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + − + =
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
(2.32.a)
dưới dạng toán tử Laplat (1.24):
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
1 2
2 2
, ,
, , ,
p
w x y w x y
D w x y k w x y k q x y
x y
 
∂ ∂
∇ ∇ + − + =
 ÷
∂ ∂
 
(2.32.b)
Dấu âm trong số hạng thứ ba biểu thị phản lực tiếp tuyến

0 0
2 2
2 2 2 2
1 1
4 ,
a b
nm
nm
p p
p p
n m
q x y sin x sin y dxdy
a b
q
A
k k
n m n m
D D ab
a b D a b D
π π
   
 ÷  ÷
   
= =
   
   
π π π π
   
       
+ + + +

a b
k
n m
D ab
a b D
∞ ∞
= =
π π
   
 ÷  ÷
π π
   
   
=
 ÷  ÷
 
   
 
π π
 
   
+ +
 
 
 ÷  ÷
   
 
 
 
 

n m
sin x sin y
q
a b
w x y
n m
n m D k
a b
∞ ∞
= =
π π
   
 ÷  ÷
   
=
π
 
 
 
   
π + +
 
 
 ÷  ÷
   
 
 
 
 
∑∑

 
 
π π
 
   
π + +
 
 
 ÷  ÷
   
 
 
 
 
(2.36)
30
Thí dụ 5: Tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi hai hệ số chịu tải trọng
phân bố. Tiến hành tương tự như thí dụ 2, nhận được:
( )
0 0
2
2 2
2 2
4 2
2 1
2 2
4 ,
a b
nm
p

(2.37)
Khi tấm chịu tải trọng phân bố đều:
0
2
2 2 2 2
2 4 2
2 1
2 2 2 2
16
nm
p
q
A
n m n m
nm D k k
a b a b
=
 
   
 
π π + + π + +
 
 ÷  ÷
   
 
 
(2.38)
trong đó n, m lấy chỉ số lẻ
, 1,3,5, n m =
.

, , , ,
n
i i n n
i
w x y a a x y a x y a x y
=
= ϕ = ϕ + ϕ + + ϕ
∑
(2.40)
trong đó:
i
a
- hệ số cần tìm,
1i n= ÷
.
( )
,
i
x yϕ
- hàm chọn trước, độc lập tuyến tính, thỏa mãn điều kiện biên
động học và không nhất thiết thỏa mãn điều kiện biên tĩnh học.
31
Hệ số
i
a
được xác định từ điều kiện thế năng toàn phần
Π
đạt cực tiểu:
0
i

 
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
 
 
 
∫∫

(2.42)
Thay (2.40) vào (2.42), thế năng toàn phần
Π
có dạng:
2 2 2
11 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3
1 1 2 2
1 1 1

2 2 2

p p np n
a a a a a a a a a
a a a
Π = δ + δ + δ + + δ + δ + + δ +
−∆ − ∆ − ∆
(2.43)
trong đó:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

(2.44)
0 0
a b
ip i
q dxdy∆ = ϕ
∫∫
(2.45)
Hệ số
i
a
được xác định từ điều kiện giá trị dừng của thế năng toàn phần. Áp
dụng (2.41) cho (2.43) sẽ nhận được hệ phương trình đại số xác định các hệ số
i
a
:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
0
0

0
n n p
n n p
n n n nn n np
a a a a
a a a a
a a a a
δ + δ + δ + δ + ∆ =
δ +δ +δ + δ + ∆ =

1
xψ
thỏa mãn điều kiện biên tại x=0, x=a:
( )
, 0w x y =
và
( )
2
2
,
0
w x y
x
∂
=
∂

- hàm
( )
1
yχ
thỏa mãn điều kiện biên tại y=0, y=b:
( )
, 0w x y =
và
( )
2
2
,
0

2x x ax a xψ = − +
( )
4 3 3
1
2y y by b yχ = − +
Lấy đạo hàm các hàm
( )
1
xψ
,
( )
1
yχ
thay vào biểu thức xác định
11
δ
,
1p
∆
và chú ý
điều kiện biên, nhận được:
2
7 7
11
0,0236
p
a b
a b D
b a
 

, nên
1
4
0,0424
p
q
a
a D
=
.
Phương trình chuyển vị của tấm:
( )
( ) ( )
4 3 3 4 3 3
4
0,0424
, 2 2
p
q
w x y x ax a x y ay a y
a D
= − + − +

thay
0,5x y a= =
, độ võng tại tâm của tấm:
( )
4
0,5 0,00411
p

, sai số 8%.
33
Lực cắt:
( )
''' ' "
1 1 1 1 1
2 0,357
x p
Q D a qa
 
= − ψ χ + −µ ψ χ =
 
, so với nghiệm chính xác
0,42
x
Q qa=
, sai số 10,7%.
Để tăng độ chính xác kết quả cần tăng số lượng thành phần chuỗi.
2.5. PHƯƠNG PHÁP BUTNOP-GALOOCKIN
Phương pháp Butnop-Galoockin sử dụng nguyên lý công khả dĩ, [17].
2.5.1. Các công thức cơ bản
Phương trình chuyển vị
( )
,w x y
của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1
, , , ,
n

 
∇ ∇ ϕ ϕ = ϕ
 
∑
∫∫ ∫∫
(2.48)
Ký hiệu:
( ) ( )
2 2
, ,
ik ki i k
S
x y x y dxdyδ = δ = ∇ ∇ ϕ ϕ
∫∫
(2.49)

( )
( )
,
,
kq k
p
S
q x y
x y dxdy
D
∆ = ϕ
∫∫
(2.50)
Khai triển (2.48) nhận được hệ phương trình đại số xác định các hệ số

w
w
x
∂
= =
∂
khi
x a= ±

34

0
w
w
y
∂
= =
∂
khi
y b= ±
Chọn hàm
( )
,w x y
có dạng:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
,w x y a x a y b a x a y b= − − + − − +

( ) ( ) ( )
( )
4 4 4
1 1 1
11 1
4 2 2 4
, , ,
2 ,
a b
a b
x y x y x y
x y dxdy
x x y y
− −
 
∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ
δ = + + ϕ =
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
∫ ∫

4 2 2 4 5 5
4
52,0126
7
b a b a a b
 
= + +
 ÷

q
a
a a b b D
∆
= =
δ
+ +
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 1
4 2 2 4
, , 0,0546
4 / 7
p
q
w x y a x y x a y b
a a b b D
= ϕ = − −
+ +
Độ võng lớn nhất tại tâm (
0x y= =
) của tấm vuông
a b
=
:
( )
4

∂ ∂
 
(Nghiệm chính xác
2
0,205
x
M qa= −
).
C. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
Nhiều bài toán cơ học khi giải bằng phương pháp giải tích khó khăn hoặc
không giải được, người ta thường sử dụng các phương pháp số như phương pháp
35
sai phân hữu hạn (PP SPHH) hoặc phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH).
Phương pháp số là phương pháp rời rạc hóa kết cấu liên tục, đưa việc xét
nghiệm của hệ liên tục về xác định nghiệm tại các điểm nút của lưới sai phân
trong PP SPHH hay tại các điểm nút trong PP PTHH.
2.6. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
Phương pháp sai phân hữu hạn mang bản chất toán học, trong đó các đạo
hàm riêng của phương trình vi phân cân bằng của tấm (1.26) được thay bằng các
biểu thức sai phân. Điều kiện biên của tấm cũng được biểu diễn qua phép sai
phân. Khi xét tại các điểm nút trong lưới sai phân, từ phương trình vi phân cân
bằng của tấm dưới dạng sai phân, nhận được hệ phương trình đại số xác định
chuyển vị tại các điểm nút. Biểu thức xác định nội lực của tấm cũng được biểu
diễn qua phép sai phân nên nội lực tại các điểm nút trên lưới sai phân được xác
định qua các chuyển vị tại các nút trên lưới sai phân.
2.6.1. Biểu thức sai phân
Trong trường hợp bước sai phân
x y h∆ = ∆ = ∆
, hình 2-4, đạo hàm các cấp
tại điểm nút i trên lưới sai phân được xác định theo các công thức, [17]:

w
x h
− + −
∂
=
∂ ∆
(2.54)
4
4 4
4 6 4
t e t k S
w w w w w
w
x h
− + − +
∂
=
∂ ∆
(2.55)
36
2
0
2
4.
r q p
w w w w
w
x y h
+ − −
∂

2.
m n
w w
w
y h
−
∂
=
∂ ∆
(2.59)
2
2 2
2
m i n
w w w
w
y h
− +
∂
=
∂ ∆
(2.60)
3
3 3
2 2
2.
u m n v
w w w w
w
y h

2.6.2. Phương trình vi phân cân bằng của tấm dưới dạng sai phân
Phương trình vi phân cân bằng của tấm mỏng chịu tải trọng phân bố
( )
,q x y

có dạng:
( )
4 4 4
4 2 2 4
,
2
p
q x y
w w w
x x y y D
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
(1.26)
Phương trình sai phân của (1.26) tại nút
i
nhận được bằng cách thay các
đạo hàm riêng bằng các biểu thức sai phân tương ứng:
( )
( )
4
0
.
20 8 2
i

trên
hình 2-4. Khi đó, điều kiện biên ngàm tại nút
i
:
37
0
i
w =
và
0
i
w
x
∂
 
=
 ÷
∂
 
(2.65)
Khi viết phương trình sai phân (2.64) cho nút sát biên sẽ xuất hiện chuyển
vị nút ngoài biên, cách biên 01 bước sai phân, ví dụ viết cho nút
k
sẽ xuất hiện
chuyển vị tại nút
l
. Do đó, cần xác định chuyển vị tại nút
l
qua chuyển vị của
các nút trong biên từ điều kiện biên.

h h
w
h h
− + − + −
∆ ∆
   
= + + +
 ÷  ÷
∆ ∆
   
hay,
1 1 1 1 1
2 2 6 2 2
l l k l k S
w w w w w w= + + + −
rút gọn,
1
3
2
l k S
w w w= −
(1)
Tương tự cho biên ngàm theo trục y:
1
3
2
m n v
w w w= −
(2)
Biểu thức (1) và (2) biểu diễn chuyển vị nút ngoài biên qua các chuyển vị

m n v
w w w= −
(2.66.b)
2. Biên tựa khớp
Giả sử biên tựa khớp tại
x a=
. Điều kiện biên tựa khớp tại nút
i
:
0
i
w =
và
2
2
0
i
w
x
 
∂
=
 ÷
∂
 
(2.67)
Tương tự như biên ngàm, cần biểu diễn chuyển vị tại nút
l
qua chuyển vị
nút trên biên và trong biên. Thay đạo hàm riêng của (2.67) bằng biểu thức sai

Như vậy, từ (2.67):
- Điều kiện biên khớp tại nút
i
trên biên trục
x
:
0
i
w =
và
l k
w w= −
(2.68.a)
- Điều kiện biên khớp tại nút
i
trên biên trục
y
:
0
i
w =
và
m n
w w= −
(2.68.b)
3. Biên tự do
Giả sử biên tự do tại nút
i
trên trục
x

( )
( )
0
2 2 2 2 2 0
t l k S r l k p q
w w w w w w w w w w− + − + −µ − − + + − =
(2.70.b)
Trong (2.70.b) xuất hiện chuyển vị
t
w
cách biên hai bước sai phân, nên cần
sử dụng thêm 01 điều kiện biên tại nút tự do của tấm là lực tập trung có giá trị
bằng:
( )
2
1 0
xy p
w
M D
x y
∂
= − −µ =
∂ ∂
, biểu diễn dưới dạng sai phân:
0
0
r q p
w w w w+ − − =
(2.71)
Như vậy, điều kiện biên tự do tại nút

2 2
2 2 2 2
2 2
m i n e i k
y p p
w w w w w w
w w
M D D
y x h h
 
− + − +
∂ ∂
 
= − +µ = − + µ
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∆ ∆
 
 
(2.73)
( ) ( )
2
2
1 1
4.
r q o p
xy p p
w w w w
w
M D D

t e k S
p
w w w w w w
w w w w
D
h h
− − + + −
 
− + −
= − + −µ
 
∆ ∆
 
(2.75)
( )
3 3
3 2
2
y p
w w
Q D
y x y
 
∂ ∂
= − + −µ
 
∂ ∂ ∂
 
( )
0

= − ∇ = − + = − +
 ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   

0
3 3
2 2
2 2
2. 2.
r e k p q
t e k S
p
w w w w w w
w w w w
D
h h
− − + + −
 
− + −
= − +
 ÷
∆ ∆
 
(2.77)
2 2 3 3
2
2 2 3 2

Ưu điểm của PP SPHH là đơn giản, thuận lợi khi lập trình.
Nhược điểm của phương pháp là:
- Do có sự xuất hiện chuyển vị ngoài lưới sai phân nên số lượng ẩn số của
hệ phương trình lớn, đặc biệt khi tấm có biên tự do;
- Độ chính xác không cao khi chia lưới sai phân thưa;
- Số lượng phương trình tăng đáng kể nếu lưới chia dày;
- Hệ phương trình sai phân các thành phần không có tính đối xứng.
2.6.5. Thí dụ tính toán
Thí dụ 8: Tính tấm mỏng hình vuông
cạnh
a
, chu vi tựa khớp chịu tải trọng
phân bố đều
q
. Chia lưới sai phân, hình
2-5, với
/ 4x y h a∆ = ∆ = ∆ =
. Do hệ đối
xứng chịu tải trọng đối xứng nên chuyển
vị nút có tính đối xứng.
Ký hiệu chỉ số nút trong biên là 1,
2, 3; trên biên là 4, 5 và ngoài biên là 6,
7, 8.
Điều kiện biên chu vi tựa khớp nên
tại nút
i
trên biên
0
i
w =

w w= −
.
Phương trình sai phân cho các nút 1, 2, 3 theo (2.64) có chú ý đến điều kiện
biên có dạng:
- tại nút
1i
=
( ) ( )
4
1 2 2 2 2 3 3 3 3 5 5 5 5
.
20 8 2
p
q h
w w w w w w w w w w w w w
D
∆
− + + + + + + + + + + + =
thay điều kiện biên
5
0w =
, nhận được:
4
1 2 3
.
20 32 8
p
q h
w w w
D

D
∆
− + − =
(2)
- tại nút
3i
=
( ) ( )
4
3 4 4 2 2 8 5 1 5 6 3 6 3
.
20 8 2
p
q h
w w w w w w w w w w w w w
D
∆
− + + + + + + + + + + + =
thay điều kiện biên
5 4 8
0w w w= = =
,
6 3
w w= −
, nhận được:
4
1 2 3
.
2 16 20
p

−
∆
= =
4 4
3
3
35 .
2,1362.10
64
p p
q h qa
w
D D
−
∆
= =
Nghiệm chính xác chuyển vị tại tâm của tấm
4
3
1
4,06.10
p
qa
w
D
−
=
, sai số
-0,78%. Mô men uốn
x

0,0457
p
w w w w w w
D qa
h h
− + − +
 
= − +µ =
 ÷
∆ ∆
 
Sai số so với giá trị chính xác
2
0,0479
x
M qa=
là +4,6%.
Thí dụ 9: Tính tấm mỏng hình vuông cạnh a, chu vi ngàm chịu tải trọng phân bố
đều q. Chia lưới sai phân, hình 2-5, với
/ 4x y h a∆ = ∆ = ∆ =
. Do hệ đối xứng chịu
tải trọng đối xứng nên chuyển vị nút có tính đối xứng. Ký hiệu chỉ số nút trong
biên là 1, 2, 3; trên biên là 4, 5; ngoài biên là 6, 7, 8.
Điều kiện biên chu vi ngàm nên tại nút
i
trên biên:
0
i
w =
,

4
1 2 3
.
20 32 8
p
q h
w w w
D
∆
− + =
(1)
- tại nút
2i =
( ) ( )
4
2 5 3 1 3 4 2 2 4 7 2 4 4
.
20 8 2
p
q h
w w w w w w w w w w w w w
D
∆
− + + + + + + + + + + + =
thay điều kiện biên
5 4
0w w= =
,
7 2
w w= −

6 3
w w= −
,
8
0w =
, nhận được:
4
1 2 3
.
2 17 28
p
q h
w w w
D
∆
− + =
(3)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3), nhận được:
4 4
3
1
.
0,3581 1,3988.10
p p
q h qa
w
D D
−
∆
= =

0,126.10
p
qa
w
D
−
=
, sai số
+9,8%. Mô men uốn
x
M
tại tâm của tấm tính theo (2.92) với
1i =
và
0,3µ =
2 2
2 2 2 2
2 2
l i k m i n
x p p
w w w w w w
w w
M D D
x y h h
 
− + − +
∂ ∂
 
= − +µ = − + µ
 ÷

Hình 2-6. Hệ tọa độ cực và nội lực tấm tròn.
Phương trình vi phân tấm mỏng chịu uốn trong hệ tọa độ cực được suy ra từ
phương trình vi phân của tấm mỏng xét trong hệ tọa độ vuông góc OXY.
Quan hệ giữa hệ tọa độ cực
( )
r ϕ
và hệ tọa độ vuông góc OXY, [9]:
x rcos= ϕ
y rsin= ϕ
2 2 2
r x y= +
y
artg
x
ϕ =
(1)
r x
cos
x r
∂
= = ϕ
∂

r y
sin
y r
∂
= = ϕ
∂


1w w r w w w
sin cos
y r y y r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂
= + = ϕ+ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ϕ
(4)
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
w w w sin cos w sin w sin cos w sin
cos
x r r r r r r r
∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ϕ ∂ ϕ
= ϕ− + + +
∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ϕ
(5)
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
w w w sin cos w cos w sin cos w cos
sin
y r r r r r r r
∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ϕ ∂ ϕ
= ϕ+ + − +
∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ϕ
(6)
2 2 2 2

r r r r r r r r D
ϕ
  
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇ ∇ = + + + + =
 ÷ ÷
∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ϕ
  
(2.79)
Nếu tải trọng phân bố đối xứng trục qua tâm tấm, phương trình vi phân tấm
mỏng chịu uốn trong hệ tọa độ cực (2.79) không phụ thuộc biến
ϕ
, có dạng:
( ) ( )
2
2
2
1 1 1
p
dw r q r
d d d
w r r
r r r r dr dr r dr dr D
 
 
 
 
∂ ∂
 
+ = =

tương ứng
0ϕ =
, chú ý đến (5), (6), (7) có dạng:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
0
1 1
r p p
w w w w w
M D D
x y r r r r
ϕ=
 
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − +µ = − +µ +
 
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ
   
 
(2.81)
2 2 2 2
2 2 2 2 2
0
1 1
p p
w w w w w
M D D
y x r r r r

2
r p
Q D w
r
∂
= − ∇
∂
( )
2
p
Q D w
r
ϕ
∂
= − ∇
∂ϕ
(2.84)
Nội lực của tấm khi chịu tải trọng đối xứng trục (không phụ thuộc biến
ϕ
):
2
2
r p
w w
M D
r r r
 
∂ µ ∂
= − +
 

0
r
Q M
ϕ ϕ
= =
(2.85)
2.7.3. Điều kiện biên
1. Tấm tròn bán kính
r a=
, biên ngàm theo chu vi, điều kiện biên có dạng:
( )
0
r a
r a
w
w
r
=
=
∂
 
= =
 ÷
∂
 
(2.86)
2. Tấm tròn bán kính
r a=
, biên tựa khớp theo chu vi, điều kiện biên có dạng:
( )

1 1
0
r
r a
r a
w w w
M
r r r r
=
=
 
 
∂ ∂ ∂
= + + =
 
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
µ
ϕ
(2.88a)
3 2 2 3
3 2 2 3 2 2 2
1 1 2
0
r
r
r a r a
M

p
qr r r
w r C C ln C
D a
= + + +
(9)
Trong đó:
1
C
,
2
C
và
3
C
là các hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên.
a. Tấm ngàm theo chu vi
Góc xoay:
( )
3
1 2
1
16 2
p
dw qr r
r C C
dr D r
θ = = + +
(10)
Điều kiện biên thứ nhất: góc xoay

tại
r a=
bằng không. Từ
(10) với chú ý
2
0C =
:
( )
3
1
0
16 2
p
qa a
a C
D
 
θ = + =
 ÷
 ÷
 
, rút ra:
2
1
8
p
qa
C
D
= −

. Thay
3
C

vào (11) nhận được phương trình chuyển vị của tấm tròn bán kính
r a=
chịu tải
trọng phân bố đều
( )
q r const q= =
trong hệ tọa độ cực:
( )
( )
2
2 2
64
p
q
w r a r
D
= −
(2.89.a)
Chuyển vị lớn nhất tại tâm của tấm
0r =
:
( )
4
0
64
max

2 2
1 1 3
16
q
M r a r
ϕ
 
= +µ − + µ
 

( )
2
8
qa
M r a
ϕ
= = −µ
(2.91)
( ) ( ) ( )
2
0 0 1
16
r
qa
M r M r
ϕ
= = = = + µ
(2.92)
( )
0

p p
q a r
q a
w r a r a r a r
D D
−
 
 
+µ
= − = − − +
 ÷
 
+µ +µ
 
 
(2.94.a)
( )
( )
( )
4
5
0
64 1
max
p
qa
w r
D
+ µ
= =

M r M r
ϕ
= = = = +µ

2
r
qr
Q = −

0Q
ϕ
=
(2.96)
Thí dụ 11: Tấm tròn chu vi tựa khớp chịu mô men phân bố đều trên chu vi cường
độ
( )
m r const m= =
.
Phương trình chuyển vị có dạng:
( )
( )
( )
2 2
2 1
p
m
w r a r
D
= −
+ µ