TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC
TỔNG HỢP
ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ
ĐẠI HỌC CẦN THƠ
Giai đoạn 2001 – 2014
Môn Giải tích
Biên soạn L
A
T
E
X
Mai Mẫn Tiệp
Email
[email protected]
Homepage
maimantiep.wordpress.com
Lưu hành nội bộ
Cần Thơ, 2014
TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ
ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2001–2014)
MÔN GIẢI TÍCH
L
A
T
E
X by Mai Mẫn Tiệp
∗
Ngày 13 tháng 5 năm 2014
Lưu ý

2
, y (t ) =

t
2
+ 1. Tìm
du
dt
.
Câu 2 Tính cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = y
3
−x
2
−2x y −x −2y.
Câu 3 Tính
I =
ˆ
AB
(x
2
+ y
2
)dl ,
với AB là
1
4
cung đường tròn tâm O , bán kính R nằm ở góc vuông thứ nhất.
Câu 4 Tìm khoảng hội tụ và khảo sát tính hội tụ ở hai đầu khoảng đó của chuỗi
∞

3
.
—————HẾT—————
3
2 Giải tích, năm 2002
Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của
f (x , y ) = y
2
x + 2x
2
−4x y + 5x .
Câu 2 Tính
I =
¨
D
(x + 2y )(y −x )
2
dx dy,
biết rằng D là miền giới hạn bởi các đường
y = x + 1, y = x + 4, x = −2y, x = −2y + 4.
Câu 3 Tính
I =
ˆ
C
(y + 2x e
y
)dx + (x + x
2
e
y

2
x y + y
2
≤1

.
—————HẾT—————
4
3 Giải tích, năm 2003
Câu 1 .
• Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến
f : D ⊂
n
→,
trong đó D là tập đóng giới nội.
• Áp dụng với f (x , y , z) = x y z và D là hình cầu đơn vị đóng.
Câu 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
∞

n=1
(2x + 1)
n
2n.3
n
.
Câu 3 Tính
I =
¨
D


có nghiệm duy nhất y ∈C
[0;1]
.
Câu 6 Cho toán tử T : C
[−1;3]
→ với T f =
ˆ
3
−1
x (x −2)f (x ) dx , ∀ f ∈C
[−1;3]
.
a) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục.
b) Tính T .
Câu 7 Trên không gian C
[a ,b ]
,a < b đặt


f


1
=
ˆ
b
a


f (t )

2
).
Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L
I =
˛
L
x
2
y
2
dx + y x
3
dy,
với L tạo bởi x = 0, y =

x , y = x −2.
Câu 3 Chứng minh rằng nếu chuỗi dương
∞

n=1
a
n
hội tụ thì lim
n→∞
na
n
= 0.
Câu 4 Viết nghiệm của phương trình vi phân
y


f


= max
0≤t ≤1


f (t )


.
Câu 6 Áp dụng định lí Schauder chứng minh rằng phương trình thỏa mãn
x (t ) = 3t + 2
ˆ
2
0
arctan(t − x (s )) ds
có nghiệm x ∈C
[0;2]
.
—————HẾT—————
6
5 Giải tích, năm 2005, đợt 1
Câu 1 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số theo p,q
+∞

n=1
n
p
n

Câu 5 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
3y

+ y

−4y = e
2x
(x −1).
Câu 6 Cho
A =

(x ; y ; z ) ∈
3
: x ≥0, x + y + z < 1

.
Chứng minh rằng A không mở, không đóng trong 
3
.
Câu 7 Đặt f (x ) = x
3
−2 và T x = x −
f (x )
f

(x )
.
a) Chứng minh rằng có tập hợp D ⊂ (0;+∞) sao cho D là tập đóng và T (D ) ⊂
D .
b) Chứng minh rằng T có điểm bất động thỏa mãn phương trình x

2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 với y ≤0, a > 0, b > 0.
b) Cho D =

(x ; y ): x
2
+ y
2
≤2y

, tính tích phân kép
I =
¨
D
(x + y )
2
dx dy.
Câu 2 .
a) Tính giá trị gần đúng của biểu thức bằng phép tính vi phân
A =
4

16,16 + sin(ln1,273).


∩

f ∈C
[0;2]
:
ˆ
1
0
f (x ) dx < 5

.
Câu 6 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm f ∈C
[0;2]
f (t ) = 30t + 3 + 5
ˆ
2
0
e
−[ t −f (s )]
2
ds.
—————HẾT—————
8
7 Giải tích, không rõ năm A ( Giải tích 2006)
Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân
K =
˚
V
x y z dx dy dz ,

Câu 5 (1,5 điểm). Chứng minh rằng tập hợp A mở trong C
[−3;3]
, với
A =

f ∈C
[−3;3]
:


f (x )


< 5, ∀ x ∈[0;1]

∩

f ∈C
[−3;3]
:
ˆ
1
0
f (x ) dx < 5

.
Câu 6 (1,5 điểm). Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình
f

(t ) = 4t + 3 + 5sin[f (t )]

)
3
2
dx dy.
Câu 2 Tính tích phân đường
I =
ˆ
L
x y dl ,
trong đó L là đường giao tuyến của các mặt z = 2 − x
2
−2y
2
và z = x
2
từ điểm
A(0;1; 0) đến B (1;0; 1).
Câu 3 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = sin x + cos y + cos(x + y ),
trên miền
D =

(x ; y ): 0 ≤ x ≤
3π
2
,0 ≤ y ≤
3π
2

.

∩

f ∈C
[0;3]
:
ˆ
2
1
f (x ) dx < 5

.
Câu 6 Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình
f

(t ) = 4t + 3 + 5cos[f (t )]
2
; f (0) = 1
có nghiệm f ∈C
[0;k]
thỏa mãn f

∈C
[0;k]
.
Câu 7 Cho E là không gian mêtric với khoảng cách d . Chứng minh rằng với x , y ∈ E
thì
ρ(x , y ) =
d (x , y )
1 + d (x , y )
cũng là một khoảng cách trong E .

+ 9y = e
2x
(x
2
+ 5).
Câu 5 (1,0 điểm). Khảo sát tính đóng (hay mở) trong C
[0,1]
của tập hợp
A =

f ∈C
[0,1]
:
ˆ
1
0
f (t ) dt ≥4: f (0) = f (1) = 0

.
Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng với λ ∈

0;
1
8

, ta có thể chọn được M > 0 để
phương trình x = T x có nghiệm trong K
M
với
T x (t ) = λ +

Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân đường với C là một chu tuyến bất kì
I =
ˆ
C
(x
2
+ y
2
)(x dx + y dy ).
Câu 2 (2,0 điểm). Cho miền D giới nội bởi
(x
2
+ y
2
)
2
= 2a
2
(x
2
− y
2
).
Hãy
• Tính diện tích của miền D ,
• Tính tích phân I =
¨
D
x y dx dy .
Câu 3 (1,5 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số

Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình
f (t ) =
1
2
ˆ
t
0
e
−[ t −f (s )]
3
ds
có nghiệm duy nhất f ∈C
[0;1]
.
—————HẾT—————
12
11 Giải tích, không rõ năm B ( Giải tích 2010)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho miền D giới hạn bởi y = x
3
, y = x ≥0. Hãy
• Biểu diễn miền D ,
• Tính diện tích của D ,
• Tính I =
¨
D
(x
2
+ y
2
)dx dy .

f (x , y ) = −4x
3
+ 10x y + 2y
2
+ 10.
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm của phương trình vi phân
2y

−3y

+ y = e
2x
(x
2
−10),
thỏa mãn điều kiện y (0) = 6, y

(0) = 15.
Câu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng tập hợp
B =

f ∈C
[0;1]
:


f (x )


< 6, ∀ x ∈[0;1]

giác nối các đỉnh O (0;0), A(2;0), B(0; 2)
I =
ˆ
C
x
2
y (y dx + x dy ).
Câu 2 (2,0 điểm). Cho miền D giới nội bởi
D =

(x ; y ): π
2
≤ x
2
+ y
2
≤4π
2

.
Hãy
• Biểu diễn hình học miền D ,
• Tính tích phân I =
¨
D
sin

x
2
+ y

cos

x y (x )

; y (0) = 0
có nghiệm duy nhất y ∈C
[0,1]
.
—————HẾT—————
14
13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01
I. Giải tích cơ sở
Câu 1 Cho hàm f (x , y ) = x + y −x y
và tập D =

(x ; y ) ∈
2
: 0 ≤ y ≤1, y ≤ x ≤

2y − y
2

.
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f (x , y ) trên miền D ,
b) Tính tích phân I =
¨
D
f (x , y ) dx dy .
Câu 2 Tính tích phân đường
I =

2

dy = 0 với điều kiện ban
đầu y (1) = 1.
II. Giải tích hàm
Câu 4 Cho không gian metric (X ,d ) và A ⊂ X . Đặt diam(A) = sup
x ,y ∈A
d (x , y ).
Chứng minh nếu A là tập compact thì tồn tại a , b ∈ A sao cho diam(A) = d (a , b ).
Câu 5 Chứng minh A =

f ∈C
[0,1]
: max
x ∈[0,1]
f (x ) ≤1

là tập đóng.
Câu 6 Cho toán tử A : C
[0,1]
→C
[0,1]
xác định bởi
Ax (t ) = x (t ) −x (1 −t ), với x ∈C
[0,1]
.
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A.
—————HẾT—————
15
14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01

3
)dz dx + (2x y + y
2
z )dx dy,
với S là biên của nửa trên hình cầu giới hạn bởi các mặt x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
(a > 0)
và z = 0. Tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S.
Câu 4 .
a) Giải phương trình vi phân

y +
2
x
2

dx +

x −
3
y
2

dy = 0, y (1) = 1.

và xét tập hợp G =

x , f (x )

: x ∈ X

.
a) Giả sử f liên tục, chứng minh G là tập đóng.
b) Giả sử G là tập đóng và (Y ,ρ) là không gian compact, chứng minh f liên tục.
Câu 6 Chứng minh K =

(x ; y ; z ) ∈
3
: x + y + z ≤1, x ≥−1, y ≥−2, z ≥−3

là tập compact.
Câu 7 Cho toán tử A : C
[0,1]
→C
[0,1]
xác định bởi
Ax (t ) = 2
t
.x (t ), với x ∈C
[0,1]
.
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A.
—————HẾT—————
16
15 Giải tích, năm 2013, đợt 1, đề số 02

y −
1
x




dx dy.
Câu 3 Tính tích phân đường
˛
(OmAnO )
dy arctan

y
x

− dx ,
trong đó OmA là cung y = x
2
và On A là một đoạn của đường y = x .
Câu 4 .
a) Giải phương trình vi phân
y − x y

= 1 −x
2
y

.
b) Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình

[0;1]
→C
[0;1]
xác định bởi
Ax (t ) = (t
2
+ 1)x (t ), với x ∈C
[0;1]
.
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A.
—————HẾT—————
17
16 Giải tích, năm 2013, đợt 2, đề số 03
I. Giải tích cơ sở
Câu 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm
f (x , y ) = 2x
2
− y
2
− y
trên miền
D =

(x ; y ): x
2
+ y
2
≤1

.

2

dy,
trong đó C là đường tròn (x −1)
2
+ (y −1)
2
= 1.
Câu 4 Giải phương trình vi phân

x + e
x
y

dx + e
x
y

1 −
x
y

dy = 0,
với điều kiện ban đầu y (0) = 2.
II. Giải tích hàm
Câu 5 Cho không gian metric (X ,d ) và A, B ⊂ X , A = , B = . Đặt
d (A, B ) = inf
x ∈A,y ∈B
d (x , y ).
Chứng minh rằng d (A, B ) = d (A, B ).

D =


x −

2

2
+

y −

2

2
≤9

.
Câu 2 Tính tích phân
I =
¨
D

x +


y





+ y
2
) = −y.
II. Giải tích hàm
Câu 6 Cho (X , d ) là không gian metric compact và f : X → X là ánh xạ liên tục
sao cho f (x ) = x , ∀ x ∈ X .
Chứng minh rằng tồn tại số  > 0 sao cho với mọi x ∈ X ta có d

x , f (x )

≥.
Câu 7 Cho X là không gian định chuẩn và Y là không gian con của X sao cho
Y ⊂S (x
0
, r ) (hình cầu mở tâm x
0
, bán kính r ).
Chứng minh rằng Y = {0}.
Câu 8 Cho toán tử A : C
[0;1]
→C
[0;1]
xác định bởi
Ax (t ) = e
t
.x (t
2
), với x ∈C
[0;1]

S
(x +y +z )dS, với S =

(x ; y ; z ): x
2
+ y
2
+ z
2
= 1,z ≥0

.
II. Giải tích hiện đại
Câu 5 Cho không gian metric (X ,d ). Ta định nghĩa
d
1
(x , y ) =
d (x , y )
1 + d (x , y )
, x , y ∈ X .
a) Chứng minh d
1
là metric trên X .
b) Giả sử (X ,d ) đầy đủ, chứng minh (X ,d
1
) đầy đủ.
Câu 6 Chứng minh rằng các chuẩn sau đây trong không gian vectơ những hàm số
liên tục trên [a , b ] là tương đương
x 
1

trong đó f là một hàm số liên tục xác định dương trên [a,b ].
Câu 7 Giả sử A là một tập con của không gian Hilber t. Chứng minh 〈A〉
⊥
= A
⊥
.
Câu 8 Cho các không gian định chuẩn (X
1
,.
1
) , (X
2
,.
2
) , (Y ,.
Y
) và các ánh xạ
tuyến tính liên tục A
k
: X
k
→ Y , k = 1, 2. Trên không gian định chuẩn tích X
1
×X
2
ta xét chuẩn (x
1
, x
2
) = x

1
×X
2
.
Chứng minh A tuyến tính liên tục và A= max{A
1
|, A
2
}.
—————HẾT—————
20