Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
Lượng giác
Phần 1: Hàm số lượng giác
A. Kiến thức cần nhớ
1. Các hằng đẳng thức cơ bản
a)
1cossin
22
=+ xx
b)
x
x
x
cos
sin
tan =
c)
x
x
x
sin
cos
cot =
d)
x
x
2
2
cos
1
tan1 =+

xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
−=−
−=−
−=−
=−
π
π
π
π
xx
xx
xx
xx
cot)2cot(
tan)2tan(
cos)2cos(
sin)2sin(
=+
=+
=+
=+
π
π
π
π
d) Hai cung khác nhau

=






−=






−
=






−=






−

cos2
4
13
tan3
6
25
sin3
πππ
+−

c)
oooo
75sin55sin35sin15sin
2222
+++
d)
oooo
75cos55cos35cos15cos
2222
+++
e)
12
11
sin
12
9
sin
12
7
sin

ππππππ
+++++
g)






++−+






+−+ aaaa
2
3
tan)2cot(
2
cos)sin(
π
π
π
π
h)
aaaaA
2224
cos.sincossin ++=

342cot252tan
156cos530tan).260tan(696cos
22
22
+
−−+
=
k)
( )
2
2
7cot
4
13
cot
2
7
tan
4
17
tan






−++










−
+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
cos1
cos1
cos1
cos1
sin1
sin1
sin1
sin1
m)
)tan1(cos)cot1(sin

−−−
xxx
xxx
2
3
cot).cot(.
2
sin
)2sin().2cos().sin(
π
π
π
πππ
q)
22
)2cos(
2
3
cos)sin(
2
sin






−+



−++






+






+






− aaaaa
2
3
tan).tan(
3
5
cos.
3
2

cos
2
BA
sin
AC
=
+
=
+
d)
2
tan
2
BA
cot ;
2
cot
2
tan
CBCA
=
+
=
+
5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2cossin
cos2
−+
+
=

<++<
BA
Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
bababa
abbaba
sinsincoscos)cos()2
cossincossin)sin()1
=±
±=±
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan()3

±
=±
B. Bài tập
1. Chứng minh các công thức sau:
a)






+=

cos2sincos
ππ
2. Rút gọn các biểu thức:
a)






++−






+−
aa
aa
4
sin2sin2
4
cos2cos2
π
π
Bai tap luong giac - 2 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
b)
ooooo

cot.
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
CBACBA
=++
4. a) Cho
4
π
=−ba
, chứng minh:
a
b
b
tan
tan1
tan1
=
−
+
và
b
a
a
tan

.
d) Cho
5
2
tan =a
,
7
3
tan =b

)10( va, b <<
. Tìm a + b.
e) Cho
2
1
tan −=a

)
2
(
π
π
<< a
và
3tan
=
b

)
2

o
15
hoặc
12
π
và
o
75
hoặc
12
5
π
.
6. Cho
γβα
, ,
thoả mãn điều kiện:
2
π
γβα
=++
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
αγγββα
tan.tan1tan.tan1tan.tan1 +++++=A
7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam
giác ABC cân:
a)
)cot(cot
2
1

A. Lý thuyết cần nhớ
aaa
aaa
a
a
a
aaaaa
aaa
cos3cos43cos
sin4sin33sin
tan1
tan2
2tan
1sco2sin21sincos2cos
cossin22sin
3
3
2
2222
−=
−=
−
=
−=−=−=
=
B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
aaaa
aa


c)
ooo
80cos.40cos.20cos
d)
)sin(coscossin2
22
aaaa −
Bai tap luong giac - 3 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
e)
aaaa
4224
sincossin6cos +−
f)
2
cos
2
sin4cos
222
aa
a −
g)
aa
22
cossin81−
h)
ooo
40cos20cos10cos8
i)

aa
3sinsin
3coscos
+
−
2. Chứng minh:
a)
aaaa 3sin
4
1
3
sin
3
sinsin =






+






−
ππ
. Áp dụng với

3
coscos =






+






−
ππ
. Tính:
18
7
cos
18
5
cos
18
cos
πππ
f)
a
aa

. Chứng minh:
5210
15
66tan54tan6tan
+
−
=
ooo
.
3. a) Cho
)0,(
2
sin >
+
= ba
ba
ab
α
. Tìm
α
2sin
,
α
2cos
,
α
2tan
.
b) Cho
2

α
2tan
.
4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
a)






−






+=
4
sin
4
sin
ππ
xxy
b)
xxy
44
sincos −=
c)

1
cos
t
t
a
+
−
=
2
1
2
tan
t
t
a
−
=
B. Bài tập
1. Chứng minh các biểu thức sau:
a)
2
tan
2sinsin2
2sinsin2
2
a
aa
aa
=
+

cot2
2
cot
2
tan −=
e)






−=
−
+
24
cot
sin1
sin1
2
a
a
a
π
f)
( )( )
1223'307tan −−=
o
g)
2





−
−
−






+
ππ

)0(
π
<< a
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
α
cos
2
1
2
1
2
1
2

4
tan
4
cot
2
tan
2
cot
aa
aa
+
−
e)
2
tan1
2
tan
2
tan1
2
tan
a
a
a
a
−
+
+
f)
2

a
cos23
sin
−
biết
2
2
tan =
a
b)
aa
aa
sintan
sintan
−
+
Biết
15
2
2
tan =
a
4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a)
xxy
2
sin2cos2 +=
b)
xxy 2cossin2
2

1
cossin
bababa
bababa
bababa
+−−=
−++=
−++=
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
2
sin.
2
sin2coscos
2
cos.
2
cos2coscos
2
sin.
2
cos2sinsin
2
cos.
2
sin2sinsin
baba
ba
baba
ba
baba

)sin(
tantan
coscos
)sin(
tantan
−
−=−
+
=+
−
=−
+
=+
B. Bài tập
1. Rút gọn biếu thức
Bai tap luong giac - 5 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
a)
N)(n )cos( )2cos()cos(cos ∈+++++++ nbababaa
b)
aaaa
aaaa
7sin5sin3sinsin
7cos5cos3coscos
+++
−+−
c)
aaa
aaa
3sin2sinsin

2
cotcot
3
cos
3
cos
a
a
aa
−






−+






+
ππ
f)
aaaa 2cos
2
1
4cos

na
anaaa
anaaa
tan
)12cos( 5cos3coscos
)12sin( 5sin3sinsin
=
−++++
−++++
c)
2
sin
2
)1(
sin
2
sin
sin 3sin2sinsin
a
anna
naaaa
+
=++++
d)
2
sin
2
)1(
cos
2

d)
CBACBA coscoscos21coscoscos
222
−=++
e)
2
cos
2
sin
2
sin4sinsinsin
CBA
CBA =−+
f)
1
2
sin
2
cos
2
cos4coscoscos −=−+
CBA
CBA
g)
CBACBA sinsinsin42sin2sin2sin =++
h)
CBACBA coscoscos412cos2cos2cos
−−=++
i)
CBACBA cossinsin2sinsinsin

+++
b)
'57tan'57cot'567cot'567tan
oooo
−+−
c)
ooo
65cos55cos5cos
Bai tap luong giac - 6 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
d)
11
9
cos
11
7
cos
11
5
cos
11
3
cos
11
cos
πππππ
++++
6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a)








++ xxx
3
cos
3
coscos
222
ππ
d)






−+






++ xxx
3
2

BA
+
=+coscos
thì
tam giác đó là tam giác vuông.
10. Cho tam giác ABC và
1
2
tan
2
tan5 =
BA
. Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).
Phần 3: Phương trình lượng giác
I. Phương trình lượng giác cơ bản
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Phương trình:
⇔=
α
sinsin x
παπ
πα
2
2
kx
kx
+−=
+=
2. Phương trình:
⇔=

b) sin(3x - 2) = -1 c)
1
5
2cos2 =






−
π
x
d) cos(3x - 15
o
) = cos150
o
e) tan(2x + 3) =
3
tan
π
f) cot(45
o
- x) =
3
3
g) sin3x - cos2x = 0 h)
xx 3cos
3
2

ππ
xx
j)
)302cos(
2
cos
o
x
x
−−=
k) cos2x = cosx l)






−=






+
4
2sin
4
sin
ππ

3
2
6cos =






+
π
x
p)
1)5cos( −=− x
π
q)
1)63tan( =− x
π
r)
( )
36tan =−
π
x
s)
3
1
2
4
tan =





− x
π
v)
( )
2
2
312sin =− x
π
w)
( )
xax 3sin2cos =−
x)
xbx 5cos)3sin( =−
y)






+=







032cos72sin3
2
=−+ xx
b)
07sin5cos6
2
=−+ xx
c)
03sin52cos
=−−
xx
d)
01cos2cos
=++
xx
e)
1412cos3sin6
2
=+ xx
f)
7cos12sin4
24
=+ xx
g)
5cossin8
2
=− xx

2. Giải các phương trình lượng giác:
a)

12cot4tan7
=−
xx
d)
03cot)13(cot
2
=−−+ xx
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình:
cxbxa =+ cossin
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
222
cba ≤+
.
Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho
22
ba +
rồi đặt:
22
cos
ba
a
+
=
α
;
22
sin
ba

5cos3sin4 =− xx
b)
2
9
sin32cos3 =+ xx
c)
32cos22sin3 =+ xx
d)
xxx 14sin132cos32sin2 =+
e)
2cos3sin4 =− xx
f)
1cos3sin =− xx
3. Tìm các giá trị của






−∈
π
π
;
4
3
x
thoả mãn phương trình sau với mọi m:
xxxmxmxmxm sincoscoscossinsin
2222

.
b)
042)cos5sin4(13)cos5sin4(
2
=+−−− xxxx
c)
6
1sin4cos3
6
sin4cos3 =
++
++
xx
xx
IV. Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình:
dxcxxbxa =++
22
coscossinsin
- Nếu cosx = 0. Thế vào phương trình thử nghiệm.
- Nếu
0cos ≠x
. Chia cả 2 vế của phương trình cho
x
2
cos
rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối
với tanx:
0tantan)(







−+++






− xxxxxx
π
π
π
π
f)
2
1
cos2cossin4sin3
22
=+− xxxx
2. Giải các phương trình sau:
a)
xxx sin3cos4sin2
33
=+
b)

ππ
xxxxxxx
3. Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình:
0cos32sinsinsin
33
=−+ xxxx
. Chứng minh tam giác ABC vuông cân.
V. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình:
cxxbxxa =+± cossin)cos(sin
.
Cách giải: Đặt
xxt cossin
±=
, ta có:
2|| ≤t
.
xxxt 2sin1cossin21
2
±=±=→
. Thay vào phương
trình rồi giải ra t.
B. Bài tập
1. Giải phương trình sau:
a)
xxxx cossintancot +=−
b)
12sin2cotsin2 +=+ xxx
c)

xx
x
xx
+=
+
c)
04tan32cos34tan3cos4
22
=++−+ xxxx
d)
xxx cos2sin1sin1 =−++
e)
2
7
24
sin42sin4cossin
22
−






−=−
x
xxx
π
f)
0

2
x
xx =++
l)
2
3
4sin2sin
22
=+ xx
m)
xxxx cos3sin2tantan =+
n)
)cos3(sin4cot3tan xxxx +=−
o)
xxx 2coscossin
33
=+
p)
xx tan4sin =
q)
1)cos44(cossin44sin =−−− xxxx

r)
2)sin(tan5)cos(cot3 =−−− xxxx
s)
27sin37cos −=− xx
t)
1sin22tan =− xx
u)
xx 3sincos2

tan
2cos2sin
4
44
=






+






−
+
ππ
y)
4
1
4
tan
4
tan
cossin
66

tan1
+=
+
−
b)
xx
x
sin
1
cos
1
4
sin22 +=






+
π
c)
82cos2sin3cos6sin9
=+−+
xxxx
d)
xxx 3sin26)4cos2(cos
2
+=−
e)






2
;0
π
h)
xxxxx 2cos
4
5
)cos(sin2cossin
101088
++=+
i)
xxx 2cos222cos22sin3
2
+=−
j)
2
3
3sin2sinsin
222
=++ xxx
k)
x
xx
cos
1

xx sin2
4
sin
3
=






+
π
s)
01cos263sinsin22cos28
436
=−−+ xxxx
t)
xxxxx cossin2sinsincos
33
++=+
u)
)1sin2(sincos43
2
+=− xxx
v)
xxxx 8sin2coscossin34 =
w)
xxxxxx 3cot2cottan3cot2cottan
2222

− xxx
4
sin2sin
4
3sin
ππ
z)
xxx 2coscossin
=+
3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
0239
cotcot
=−+
xx
b)
01sincos
2
=++ xx
c)
022cos23sin =−+ xx
d)
02sinsin3sin =+− xxx
e)
02cos32cos =++ xx
f)
13cos24cos3
2
=− xx
g)

4
(sin)
4
(sinsin
444
=++−+
ππ
xxx
n)
0cos2
sin1
2sin
=+
+
x
x
x
o)
0cossin3sincos
23
=−+ xxxx
p)
xxx sin2cossin2
3
=+
q)
2cos1cos3 =+−− xx
r)
2cos2sin2cossin
=++

+−
x
x
x
xx
π
Bai tap luong giac - 10 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
w)
xx 3sincos2
3
=
x)
04cossin32sin32cos =+−−− xxxx
y)
xxx tan1cos2cos
2
+=
z)
xxx cos)232(sin22cot3
22
+=+
4. Giải các phương trình sau:
a)
0
cos
1
cos222cos2sintan =



xx
g)
xxx 4coscossin
66
=+
h)
02sin2coscos
23
=−++ xxx
i)
2
tan2cos2
x
x =+
j)
)2sin1(23cos23cos
22
xxx +=−+
k)
03sin2sinsin
=++
xxx
l)
xxxx cossintancot +=−
m)
xxxx 2cossin212cos3sin +=+
n)
x
xx
cos

xx
u)
0cos2cossin2
3
=+− xxx
v)
xxx 2sinsincos1
33
=−+
w)
03cos2coscos1
=+++
xxx
x)
04cos3cos2coscos
=+++
xxxx
y)
0cossincos
32
=++ xxx
z)
1|sincos|sincos =++ xxxx
5. Giải các phương trình sau:
a)
xx sin52cos2
−=+
b)
)cos(sin2cossin
5533

266
=−
h)
xx 2sin2tan31
=+
i)
)2tan(tan2coscos3sin
2
xxxxx +=
j)
1099
22
cossin
=+
xx
k)
xxx cos82sin23cos4
3
=+
l)
x
x
cos
2
1
2
=−
m)
xx sin2
4

yx
yx
tantan3
4
1
cossin
=
=
c)
6tantan
3tantan
=
=
=++
zy
yx
zyx
π
d)
2coscos
2sinsin
=+
=+
yx
yx
e)
yxx
yxx
sinsincos
coscossin

4
sin2cottan
π
π
xyy
yxx
h)
4
5
sincos
2
3
cossin
22
=+
=+
yx
yx
VIII. Các dạng bài tập khác
1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
0cos2sin51
2
=+− xx
thoả mãn
0cos
≥
x
.
2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
xxxxy sincoscossin +=

2
tan
4
3
<≤
C
.
6. Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT:
|1||1|cos2sin2
22
−++=++− aaxxxx
.
7. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức:
3)cotcot(cot
sin
1
sin
1
sin
1
=++−++ CBA
CBA
8. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
012cos2cos2cos =+++ CBA
thì tam
giác đó là tam giác vuông.
9. Chứng minh rằng trong tam giác có:
)sin()()sin()(
2222
BCbcBCcb +−=−+

−
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Khi
0≠m
và
2±≠m
, phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn
]30,20[
ππ
.
12. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
3
2
cot
2
cot2 =⇔+=
CA
cab
.
13. Cho tam giác ABC có:
1
2
tan
2
A
tan5 =
B
. Chứng minh rằng:
)(23 bac +=
.

4
cotcotcot
222
++
=++
.
18. Chứng minh với
2
0
π
<< x
thì:
1
2
3
tansin2
222
+
>+
x
xx
.
19. Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
1coscoscos
=
++
++
cba
CcBbAa

−=−
.
25. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có:
2
cot2tantan
C
BA =+
thì tam giác ABC cân.
26. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn:
2
1
cossin
2
+−= xxy
.
27. Cho
xy 5sin
2
=
. Tính
)(n
y
.
28. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
x
x
y
cos2
sin3
1

4
;0
π
:
02cossin42cos
2
=−+− mxxxm
.
31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2tantan2cotcot
2244
+++= babaP
.
32. Với giá trị nào của a thì phương trình:
xna cossin1
2
=+
có nghiệm duy nhất.
33. Tìm m để bất phương trình:
03cossin2
2
≤−− xmx
nghiệm đúng






∈∀

38. Cho phương trình:
xxkxx cossinsincos
33
=+
.
a) Giải phương trình với
2=k
.
b) Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm.
39. Giải và biện luận phương trình:
2
3
sincos2)sin(cos2
2
+−+=+ xxmxxm
.
40. Cho phương trình:
xxmx tan1)(cos2cos
2
+=
.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn.
41. Chứng minh rằng
)
2
;0(
π
∈∀x
ta có:

xx
y
cos
1
sin
1
+=
với






∈
2
;0
π
x
.
45. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn
)tantan(
2
tan BbAa
C
ba +=+
thì nó cân.
46. Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x:
xxmxxxf cossin2cossin)(
44