ôn thi đại học cấp tốc
Chuyên đề số 1: Khảo sát hàm số và ứng
dụng
Bài 1: Khảo sát hàm số và các câu
hỏi phụ
Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp khảo sát hàm số
Nội dung các bài toán tiếp tuyến, giới
thiệu nội dung 3 bài toán tiếp tuyến
Bài toán sự tơng giao giữa các đồ thị của
hàm số, điều kiện để 2 đờng cong tiếp
xúc
Các bài toán về cực trị của hàm số: Hàm
đa thức, hàm phân thức phơng trình đờng
thẳng đi qua các điểm cực trị
Xây dựng điều kiện để hàm số đồng biến
hay nghịch biến trên một khoảng hay
một đoạn
Các ví dụ
Bài 1: Cho hàm số
)1(
3
65
22
+
+++
=
x
mxx
y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số khi m=1
2) Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị
A,B . CMR khi đó đờng thẳng AB song
song với đờng thẳng 2x-y-10=0
Bài 4: Cho hàm số
)1(3)(
3
xmxy =
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số khi m=1
2) Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
điểm có hoành độ x=0
3) Tìm k để hệ sau có nghiêm





+
<
1)1(log
3
1
log
2
1
031
3
2


++
=
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số m=1
2) Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm
về 2 phía của trục tung
Bài 7: Cho hàm số
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
1
ôn thi đại học cấp tốc
)1(
1
)2(
2
+
++
=
x
mxmx
y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số m=-1
2) Tìm m để đờng thẳng y=-x-4 cắt đồ thị
hàm số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau
qua đờng thẳng y=x
Bài 8: Cho hàm số
)1(
1

tuyến tại M vuông góc với dờng thẳng
IM
Bài 10: Cho hàm số
)1(12
224
+= xmxy
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số khi m=1
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3
điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác
vuông cân
Bài 11 Cho hàm số
)1(
1
2
+
+
=
x
x
y
Cho điểm A(0;a). Xác định a để từ A kẻ đ-
ợc 2 tiếp tuyến tới (C) sao cho 2 tiếp điểm
tơng ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox
HD a# -1 va a> -2 có 2 nghiệm phân biêt
Y
1
.y
2
<0 ĐS a>-2/3 và a khác 1

3
]
x
x
y
2
ln
=
Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên
đoạn [-1;1]
326
)1(4 xxy +=
Bài 4: Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3]
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
2
ôn thi đại học cấp tốc
)352()3).(21(
2
++>+ xxmxx
HD Đặt t=
)3).(21( xx +
Từ miền xác
đinh của x suy ra






mm
xxxx
HD Đặt t=cosx BBT 0<=m<=2
Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có
nghiệm trên [-/2; /2]
2
)cos1(2sin22 xmx +=+
Bài 9: Tìm GTLN,GTNN của hàm
xxy 2cossin2
48
+=
HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN,GTNN của hàm
2 2 (4 4 ) voi 0 x 1
x x x x
y

= + +
HD : 3 và 1/27
Bài 3: Tính giới hạn của hàm số,
tính đạo hàm bằng định nghĩa
Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp tính giới hạn của hà số: các
dạng vô định
Tính liên tục của hàm số tại một điểm,
liên tục bên trái liên tục bên phải
Đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo
hàm bên trái bên phải
Các ví dụ
Bài 1: Bài toán giới hạn hàm số

I
x
cos1
1213
lim
2
3
2
0

++
=

4) Tìm giới hạn
3
2
0
3 2
0
3
4
7
1 2 1 3
lim
1 2 1
lim
2 20
lim
9 2
x

3 3 2
9 2 6 5 3
lim
2
16 3 8 7
2 3
lim 1
1
2 3
lim
4 1 2
4 3 7
lim
27 5 4
x
x
x
x
x x
I DS
x x
x x
I DS
x x
x x x
I
x x
x x
I
x x x

)
2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2
2
lim 5 6
lim 3 2 tach lam 2 chen them x
lim 1
lim 4 7 1 4 8 1
lim . 1
x
x
x
x
x
I x x x
I x x x x
I x x x
I x x x x
I x x x




+
= +
= +
= + +
= + + + +

I
tg x
x
I
x x
tgx x
I
x
x x x
I
x
x
I
co x







+
=

=

=

=


lim
2 1
lim
1
x
x
x
I
x
x x x
I
x


+
=
+ +
=

Bài 2: Bài toán tính đạo hàm bằng định
nghĩa
1) Xét tính liên tục của f(x) tại x=2
1 2 3
khi x 2
( )
2
1 khi 2
x
f x
x




3) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0
2
khi x=0
( )
cos cos 2
khi 0
x
a
f x
x x
x


=




4) Cho
2
4
1( 2)
( )
( 2)
x
e x
f x

Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0
6) Cho
2
( ). khi x<0
( )
ax +bx+1 khi 0
bx
x a e
f x
x


+

=




Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0
7) xét tính liên tục của f(x) tại x=2
8) Cho hàm số
2
2 3
( )
3 1
x x
f x
x
+

)1(
1
2

++
=
x
mxmx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị
của hàm số m =-1
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt
trục hoành tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ dơng
2) Cho hàm số
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
4
ôn thi đại học cấp tốc
)1(
2
2
2

+
=
x
mxx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) Xác định m để đờng thẳng y=m cắt
đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm A,B sao
cho AB=1
5) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
224
22
1112
)211(
xxx
xxm
++=
=++
6) CMR phơng trình sau có 1 nghiệm
)1(012
25
= xxx
7) Cho hàm số
)1(
1
1)1(
2
+
++++
=
x
mxmx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

=
x
xx
y
a. Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b. Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên
(C ) và đối xứng nhau qua đờng
thẳng x-y-4=0
10) Cho hàm số
)1(23
22
+= xxy
Tìm trên đờng thẳng y= - 2 các điểm từ
đó nhìn đờng cong dới một góc vuông
ĐS M(55/27;-2)
11) Cho hàm số
)1(
1
1
2
+

=
x
xx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số khi
b) Một đờng thẳng thayđổi song song

, là nghiệm
S
trên
= S
duói
<=>
3
4
3
0
( ) ( )
x x
x
f x dx f x dx=

Vận dụng tính chất đối xứng , định
ly viét m=20/9
13) Cho hàm số
)1(
2
92
2

+
=
x
xx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số

x
+ +
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) CMR tích các khoảng cách từ M
thuộc (C ) dến 2 tiệm cận của (C )
không phụ thuộc vào vị trí của M
17) Cho hàm số
2
(5 2) 2 1
(1)
1
x m x m
y
x
+ +
=

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số m=1
b) Tìm m để hàm số có cực trị và
khoảng cách giữa điểm CĐ,CT nhỏ
hơn
2 5

Chuyên đề số 2: Đại số
Bài 1: Hệ phơng trình phơng trình
đại số

2 2 2
1 1
2
a
x y
x y a

+ =



+ = +


Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2
nghiệm phân biệt
3) Cho hệ phơng trình
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m

+ =


+ =



2
)1(
)1(

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6)





=+
=+
22
22
xy
yx

7)





=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311

Th1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô
nghiệm
Bài 3:





=+
=+
358
152
33
22
yx
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:





=+
=
)2(1
)1(33

2
2
2
2
2
HD:



=
=
223
2 axx
yx
xét
23
2)( xxxf =
lập BBT suy ra KQ
Bài 6:





=+
=+
22
22
xy
yx

yxy
xxy
HD : Rut ra
y
yy
y
x +=
+
=
55
2
Cô si
52
5
+= y
y
x

20
2
x
theo (1)
20
2
x
suy ra x,y
Bài 9:




Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình
bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
7
ôn thi đại học cấp tốc
Bài tập áp dụng
1)





=
=
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
2)





+=+
+=+
)(3

33
yxyx
yxyx
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
5)





+=
=
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có
nghiệm
6)





=
=
19
2.)(

yxyx
yxyx
đổi biến
theo v,u từ phơng trình số (1)
9)





=+
=+
22
333
6
191
xxyy
xyx
Đặt x=1/z thay vào đ-
ợc hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
10)





+=
=
12
11

cần và đủ
12)





=+
=+
3
3
22
xyyx
x
y
y
x
HD bình phơng 2
vế
13)





=+
+=+
78
1
7

>
<<
22
3) Phơng trình ,bất phơng trình chứa căn
thức
Liệt kê các dạng
Một số ví dụ
Bài 1: Tìm m để
mxxxx ++++ )64)(3)(1(
2
Tìm m để bất phơng trình trên nghiệm
đúng với mọi x
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
8
ôn thi đại học cấp tốc
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức :
m-2
Bài 2:
Tìm a để hệ sau có nghiệm






=+++
+
2)1(2
2

==+ xxxxx
4)
211
22
=++ xxxx
tích 2
nhân tử bằng 1 suy ra cách giải
5)
023)3(
22
xxxx
KD 2002
Bài 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm





+
++
012
0910
2
2
mxx
xx
ĐS m>=4
Bài 5: Giải bất phơng trình
2212 >+ xxx
HD

x
x
x
HD
Xét 2 trờng hợp chú y DK x>=-1
Trong trờng hợp x>=4 tiến hành nhân
và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở
VT
Bài 8: Cho phơng trình
mxxxx ++=+ 99
2
Tìm m để phơng trình có nghiệm
HD
Bình phơng 2 vế chú y ĐK
Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t
Sử dụng BBT suy ra KQ
Bài 9: Giải bất phơng trình (KA 2004)
3
7
3
3
)16(2
2


>+


x
x

22
=+ xxxxx

Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
9
ôn thi đại học cấp tốc
HD đặt
12
2
+= xxt
coi là phơng
trình bậc hai ẩn t
6)
2
2)2()1( xxxxx =++
7)
2
3
1)2(12
+
=++
x
xxxx
8) Cho phơng trình
mxxxx =++++ 444
a)Giải phơng trình khi m=6
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
9)
1

2
x+ b.sinx.cosx+c.cos
2
x+d=0
Phơng trình đẳng cấp bậc 3 với
sinx,cosx:
a.sin
3
x+b.sin
2
x.cosx+
c.sinx.cos
2
x+d.cos
3
x=0
a.sin
3
x+b.sin
2
x.cosx+
c.sinx.cos
2
x+d.cos
3
x+m=0
Phơng trình đối xứng với sinx,cosx a.
(sinx cosx)+b.sinx.cosx+c=0
Phơng trình đối xứng với tgx,cotgx
Phơng trình đối xứng với sin

++






+ xxx

HD: Sử dụng công thức hạ bậc
xx sin
3
cos).2cos(.21 =++


ĐS 3 họ nghiệm
Bài 3:
2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2
=+
x
x
x

HD: Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3
ĐS x=-pi/6+k.pi
Bài 5:
0cos.6)sin.2(3 =++ xxtgxtgx
HD: Biến đổi theo sin và cos
0)cos21(sin)cos21(cos.3
22
=++ xxxx
ĐS x= pi/3+k.pi
Bài 6:







+=
=+
)sin(6sin2
2
)sin(2sin6
2
.3
xyx
y
tg
xyx
y

1
sin.4cos2sin.3cos ++=
HD : BĐ tích thành tổng rút gọn
Bài 8:
2
1
5cos4cos3cos2coscos =++++ xxxxx
HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú y xet
trờng hợp bằng 0
NX: Trong bài toán chứa tổng
nxxxT
nxxxT
sin 2sinsin
cos 2coscos
+++=
+++=
thực hiện rút
gọn bằng cách trên
Bài 9:
)cos.sin2(cos3sin.2sin.
22
xxxxxtgx +=
HD: BĐ sau đó đặt t=tg(x/2)
Bài 10

42log.4.log
2
sin
2
9

trên 1 khoảng và một đoạn
Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét
đánh giá
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN
xx
xx
y
24
24
cos2sin.3
sin4cos.3
+
+
=
HD: t=cos2x, tìm Max,Min trên 1
đoạn
M=8/5 m=4/3
Bài 2: Cho phơng trình
tgxxmx += 1cos.2cos
2
1) Giải phơng trình khi m=1
2) Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc
đoạn [0; pi/3]
HD: t=tgx, t thuộc [0; căn 3]
Lập BBT f(t) ĐS





xx
xx
a
1) Giải phơng trình khi a=1/3
2) Tìm a để phơng trình có nghiệm
HD: Đa về dạng
(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
ĐS [-1/2,2]
Bài 7: Tìm nghiệm trong khoảng (0, pi)






+=
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22

xx
x
Bài 3: Hệ thức lợng trong tam giác
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
11
ôn thi đại học cấp tốc

+
=+
2
sin.
2
2
BABA
SinCosBCosA
+
=
[ ]
)()(
2
1
. BACosBACosSinBSinA +=
[ ]
)()sin(
2
1
. BASinBACosBSinA ++=
[ ]
)()(
2
1
. BACosBACosCosBCosA ++=
*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ
222
4.
C
CosCos

B
g
A
g
C
g
B
g
A
g =++
1
222
.
22
.
2
=++
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA=1

Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn
CMR:
tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC
33++ tgCtgBtgA
dấu = xảy ra khi nào?
HD: áp dụng bđt cosin
3
3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA ++
lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình
đầu ta đợc đpcm.
Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta
luôn có
HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở
VP.
VP= [cos(B-C) cos(B+C)].cosA +
[cos(C-A) cos(A+C)].cosB + [cos(A-
B) cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos
2
A + Cos(C-
A).cosB +Cos
2
B + Cos(A-B).cosC +
cos
2
C.
thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện
cos2A, cos2B, cos2C sử dụng công thức
nhân đôi thay bởi cos
2

tgCtgB
CBtg
.1
)(
đpcm
Từ tgB.tgC=3 khi và chỉ khi
sinA.sinB=3cosB.cosC (*)
Mà cos(B-C) =2.cos[
)( CB

] khai
triển suy ra đẳng thức (*)
Bài 6:CMR với mọi tam giác ABC ta có






+++
=++
2
cot
2
cot
2
cot
2222
1
sin

cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B
g
A
g ++=
áp dụng công thức nhân đôi
Bài 7:CMR trong mọi tam giác ABC ta có
CBABACCCosAB
CSinBSinASin
cossinsin2cossinsinsinsin2
.
222
++
=++
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B,
C
Thoả mãn đk 4A=2B=C. CMR:
cba
111
+=
4
5

=+ coscos
thì tam giác vuông
Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a,
AC=b, AB=c
CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A
khi và chỉ khi
2
CB
tg
cb
cb
=
+

Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả
mãn đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông
Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk
2
1
2
sin.
2
sin.
2
sin
2
cos.
2

acbacba
CMR tam giác ABC đều.
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:
gCgB
CA
cotcot3
sin
1
sin
1
2 +






+
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk
2
sin
2
sin
2
sin.
CA
CosCCosBCosA ++=++
B
CM

8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam giác đều
Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
gCgBgA
CBA
C
g
B
g
A
g
cotcotcot
2
cos
1
2
cos
1
2
cos
1
2
cot.
2
cot.
2
cot
++=



+
=
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN
của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác
xuất hiện bình phơng một nhị thức>
Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của
biểu thức
)cos(cos3cos3 CABP ++=
Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ
thức:
4
17
)coscos(sin3sin.sin.cos2 =+++ CBACBB
Hỏi tam giác ABC là tam giác gi? CM?
Bài tập áp dụng
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos = xxxxxx
2)
2cos.3sincos.3sin =+++ xxxx
3)
0
2
3
sin5
2
cos.




4)
x
x
x
x
cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2 +=
5)
x
x
xg
2sin
2cos1
2cot1
2

=+
chú y ĐK x=-pi/4+k.pi/2
6)
2)1.2(cos2cos
2
=+ xtgxx
7)

1) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của
phơng trình
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5 +=






+
+
+ x
x
xx
x
KA
2002
2) Giải phơng trình
x
xx
xtg
4
2


có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
2

(DB 2002)
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
14
ôn thi đại học cấp tốc
6) Giải phơng trình
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
g x
x x
+
=
(DB
2002)
7) Giải phơng trình
2
cos cos sin 1 .
2
x

(DB
2002)
10) Giải phơng trình
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 2
x
gx x x
tgx
= +
+
(KA
2003)
11)Giải phơng trình
( )
3 2sin 6cos 0tgx tgx x x + + =
(DBKA
2003)
12) Giải phơng trình
( )
2
cos 2 cos 2 1 2x x tg x= =
(DBKA 2003)
13) Giải phơng trình
6 2
3cos 4 8cos 2 cos 3 0x x x + + =
(DBKB
2003)
14) Giải phơng trình

2003)
16) Giải phơng trình
( )
( )
2
cos cos 1
2 1 sin
cos sin
x x
x
x x

= +
+
(DBKD
2003)
17) Giải phơng trình
2sin 4
cot
sin 2
x
gx tgx
x
= +

(DBKD 2003)
18) Giải phơng trình
( )
2
5sin 2 3 1 sin tx x g x =

15
ôn thi đại học cấp tốc
Bài 2:



=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
đs (4,4)
Bài 3:
)4(log)1(log
4
1
)3(log
2
1
2
8
4
2
xxx =++
HD: ĐK x>0 Và x1
ĐS x=2 ,

HD: ĐK x>-1
TH1: -1<x<=0 phơng trình vn
TH2: x>0 dặt y=log
3
(x+1)
Suy ra
1
3
1
3
2
=






+






yy
PP hàm số
Bài 7:
32
2

y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
ĐS (0,1) (2,4)
Bài 9: Tìm m để phơng trình sau có
nghiệm thuộc [32, +)
( )
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
=+ xmxx
HD: t >=5
31
1
31
1,0
2
2

TH1: y=x thay vào (2) có nghiẹm
TH2:
2
1
y
x =
thay vào (2) CM vô
nghiẹm chia thành 2 miền y>1 và 0<y<1
Bài 2: Bất phơng trình và hệ bất phơng
trình Mũ lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ
Giới thiệu một số bất phơng trình về mũ và
logarit
Chú y ĐK
Các ví dụ
Bài 1: Tìm k để hệ phơng trình sau có
nghiệm





+
<
1)1(log
3
1
log
2
1


Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2
Bài 4:
1))279.((loglog
3

x
x
Bài 5:
[ ]
0)2(loglog
2
2
4
<+
xxx

Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
16
ôn thi đại học cấp tốc
Bài 6:
06log)52(log)1(
2
1
2
2
1
++++
xxxx

2
1
>
+
++
x
xx
Bài 9: Giải bất phơng trình

2
4 2
1 1
log ( 3 ) log (3 1)x x x
<
+
Bài tập áp dụng
1)
x
x
x
x
2
3
323
log
2
1
3
loglog.
3






xx
xx
3)
( )
)112(log.loglog2
33
2
9
+= xxx
4)





=
=+
0loglog
034
24
xx
yx
ĐK x,y>=1(1,1)
(9,3)
5)

1
xy
y
xy
KA 2004 (3,4)
7)
6)22(log).12(log
1
22
=++
+xx
ĐS x=log
2
3
8) Tìm a để hệ sau có nghiệm





++
>+






+





=
+=+
+
yx
xyyx
xyx 1
22
22
12)





=+
=+


06)(8
13).(
4
4
4
4
yx
xy
yx

ôn thi đại học cấp tốc
Bài 2: Cho 3 đờng thẳng d1:3x+4y-6=0
d2:4x-3y-1=0 d3:y=0 : A=d1cắt d2 : B=d3
cắt d2 , C=d1 cắt d3
Viết phơng trình đờng phân giác trong
góc A
Tính diện tích tam giác , tâm và bán
kính đờng tròn nội tiếp
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho (P) y
2
=x
và M(1;-1) giả sử A,B phân biệt khác M
thay đổi trên (P) sao cho MA,MB luôn
luôn vuông góc với nhau. CMR AB luôn đi
qua một điểm cố định
HD: A(a
2
;a) B(b
2
;b) thuộc (P) a khác b
MA v MB =>ab=a+b-2
Phơng trình (AB) x=(b+a)y-ab
Điểm Cố định M(2;1)
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho M(5/2;2)
và 2 đờng thẳng có phơng trình y=x/2 , y-
2x=0 . Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi
qua M và cắt 2 đờng thẳng trên tại A,B sao
cho M là trung điểm AB
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đờng
cong (C

đờng thẳng
021: =+ yxd
và điểm A(-
1;1) . viết phơng trình đờng tròn đi qua
điểm A, qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với
đờng thẳng (d)
Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
đềcác vuông góc Oxy cho đờng thẳng d:x-
y+1=0 và đờng tròn (C):x
2
+y
2
+2x-4y=0
Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng d mà
qua đó kẻ đợc 2 đờng thẳng tiếp xúc với (C
) tại A,B sao cho góc AMB=60 độ
Bài 2: Hình học giải tích trong không
gian
Một số kiến thức cần nhớ
Các ví dụ
Bài 1: Trên hệ trục Oxyz cho A(2a;0;0)
B(0;2b;0) C(0;0;2c) a,b,c>0
1) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng
(ABC) Tính thể tích khối đa diện
2) OABE với E là chân đờng cao từ E
trong tam giác ABC
Bài 2: Oxyz cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD Biết S(3;2;4) B(1;2;3) D(3;0;3)
1) Lập phơng trình đờng vuông góc chung
của AC và SD

033
)(
2
zx
yax
d
1) Tìm a để (d
1
) cắt (d
2
)
2) Khi a=2 : Viết phơng trình mp(P) chứa
(d
1
) và song song với (d
2
) . Tính khoảng
cách giữa 2 đờng thẳng
Bài 4: Oxyz cho




=+
=+
0422
0122
)(
zyx
zyx

1) CMR 2 đờng thẳng trên chéo nhau và
vuông góc với nhau
2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả 2
đờng thẳng trên và song song với đờng
thẳng
2
3
4
7
1
4
)(


=

=


zyx
Bài 6: Trong hệ trục Oxyz cho
(S)
9)1()1()1(
222
=+++ zyx
và
mặt phẳng (P) 2x+2y+z-m
2
-3m = 0
Tìm m để (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) . Với

1
, N
thuộc d
2
sao cho MN song song với mặt
phẳng (P) x-y+z=0 và
2=MN
Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz cho các điểm A(2;0;0) B(2;2;0)
S(0;0;m)
a) Khi m=2, tìm toạ độ điểm C đối
xứng với gốc toạ độ O qua mặt
phẳng SAB
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của
O trên đờng thẳng SA. CMR với mọi
m>0 diện tích tan giác OBH < 4
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz cho các điểm A(1;1;1) B(1;2;0)
(S)
2 2 2
6 4 4 13 0x y z x y z+ + + =

a) Viết phơng trình mặt phẳng chứa AB
và tiếp xúc với (S)
b) Tìm mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)
,song song với AB và khoảng cách
giữa (P) và AB nhỏ nhất (lớn nhất)
HD: +sử dụng phơng pháp chùm mạ phẳng
qua AB
+Tìm M thuộc (S) sao cho Kc(M,(S))

OB=b, OC=c và OA, OB,OC đôi một
vuông góc với nhau , Tính diện tích tam
giác ABC theo a,b,c . Gọi ,, là góc giữa
OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC) CMR
sin
2
+sin
2
+sin
2
=1
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình chữ nhật AB=2a; BC=a Các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng
2a
1) Tính thể tích hình chóp
2) Gọi M,N là trung điểm các cạnh AB và
CD, K thuộc AD sao cho AK=a/3 Hãy
tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng Mn
và SK
Bài 3: Trong măt phẳng (P) cho hình
vuông ABCD có cạnh bằng a. S là 1 điểm
bất kỳ nằm trên đờng thẳng At vuông góc
với (P) tại A
1) Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp
hình chóp khi SA=2a
2) M,N lần lợt là 2 điểm di động trên
CB,CD và đặt CM=m, CN=n Tìm một
biểu thức liên hệ m và n để các mặt
phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau

đáy góc bằng (0
0
<<90
0
) .Tính thể tích
SABC và khoảng cách từ A tới (SBC)
Bài 10: Cho Tam giác vuông cân ABC có
cạnh huyền BC=a. Trên đờng thẳng vuông
góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S
sao cho góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và
(SBC) bằng 60 độ Tính độ dài đoạn thẳng
SA
Bài tập áp dụng
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy cho
2 đờng thẳng d
1
:x+y+5=0 và d
2
:x+2y-
7=0 và điểm A(2;3) Tìm điểm B thuộc
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
20
ôn thi đại học cấp tốc
d
1
và C thuộc d
2
sao cho tam giác ABC
có trọng tâm là điểm G(2;0)

và d
2

lần lợt tại A,B sao cho P là trung
điểm AB
4) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A(-
1;4) B(1;-4) Đờng thẳng BC đi Qua
điểm M(2;1/2). Tìm toạ độ đỉnh C
5) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
cho 2 điểm A(0;5) B(2;3) Viết phơng
trình dờng tròn đi qua 2 điểm A,B và có
bán kính
10

6) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
cho C(2;0) và
1
14
)(
22
=+
yx
E
tìm toạ độ
các điểm A,B thuộc (E) Biết rẳng 2
điểm A,B đối xứng với nhau qua trục
hoành và tam giác ABC là tam giác đều
7) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy cho
đờng tròn

10
7
36
22
=++ yxyx
10) Tam giác ABC cân, cạnh đáy (BC) x-
3y-1=0, Cạnh bên (AB) x-y-5=0 (AC)
đi qua M(-4;1) Tìm toạ độ C
11)Trong mặt phẳng Oxy cho (P) y
2
=8x
Qua tiêu điểm kẻ đờng thẳng bất kỳ cắt
(P) tại A,B . CMR các tiếp tuyến tại A,B
vuông góc với nhau
12) Trong mặt phẳng Oxy cho A(10;5)
B(15;-5) D(-20;0) là 3 đỉnh của hình
thang cân ABCD Tìm toạ độ điểm C
biết rằng AB song song CD
13) Trong mặt phẳng Oxy cho (E)
1
916
22
=+
yx
Xét điểm M di chuyển trên
tia Ox và điểm N chuyển động trên tia
Oy sao cho MN luôn luôn tiếp xúc với
(E) . Xác định M,N để MN ngắn nhất(
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành

lần lợt tại N,K. Tính độ dài
đoạn KN
16) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz cho hình lập phơng ABCD.
ABCD Với A(0;0;0) B(2;0;0)
D(0;2;2)
a) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của
hình lập phơng. Gọi M là trung điểm
BC. CMR (ABD) và (AMB) vuông
góc với nhau
b) CMR tỉ số khoảng cách từ điểm N
thuộc đờng thẳng AC với N khác A tới
(ABD) và (AMB) không phụ thuộc
vào vị trí của điểm N
17) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz cho hình chop S.ABCD có đáy
ABCD là hình chữ nhật AC cắt BD tại
gốc toạ độ O. Biết
)0;1;2(),0;1;2( BA
S(0;0;3)
a) Viết phơng trình mặt phẳng qua trung
điểm M của cạnh AB, song song với 2
đờng thẳng AD và SC.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và
vuông góc với SC. Tính diện tích thiết
diện của hình chóp S.ABCD với mặt
phẳng (P)
18) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz cho 2 đờng thẳng
2

1
,d
2
tại A,B Tính
diện tích tam giác OAB
19) Cho 2 đờng thẳng
1
8 23 0
:
4 10 0
x z
d
y z
+ =


+ =

2
2 3 0
:
2 2 0
x z
d
y z
=


+ + =


ờng thẳng

2 1 0
( ) :
2 0
x y z
x y z
+ + =



+ + =

e) Xét vị trí tơng đối giữa AB và ()
f) Tìm điểm M thuộc thuộc () sao cho
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
22
ôn thi đại học cấp tốc
MA MB+
uuuv uuuv
đạt GTNN
22) Cho 2 điểm A(2;0;1) C(1;0;1) B(2;-
1;0)và đờng thẳng

0
( ) :
2 0
x y z
d

mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi E là
trung điểm cạnh CD. Tính theo a
khoảng cách từ S đến đờng thẳng BE
27) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
biết AB=a, AC=b, AD=c, và các góc
BAC, CAD, DAB đều bằng 60 độ
28) Cho tứ diện ABCD với các mặt
(ABC), (ACD). (ADB) là các tam giác
vuông tại A. Gọi h là đờng cao xuất
phát từ A của tứ diện ABCD . CMR
2222
1111
ADACABh
++=

29) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi
Ax, By là 2 nửa đờng thẳng vuông góc
với mặt phẳng ABCD và nằm cùng phía
đối với mặt phẳng ABCD. Hai điểm
M,N lần lợt đi động trên Ax, By sao cho
tam giác CMN vuông tại M. đặt
AM=m, BN=n. CMR m(n-m)=a
2
và tìm
GTNN của diện tích hình thang ABNM
theo a
Chuyên đề số 6: Đại số tổ hợp Nhị thức
ni tơn
Bài 1: Các bài đố áp dụng quy tắc
nhân,cộng và tổ hợp,chỉnh hơp

chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2
chữ số 1 và 5
Bài 7:Một đội văn nghệ có 15 ngời gồm 10
nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách lập một
nhóm đồng ca gồm 8 ngới , biết rằng trong
nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ
Bài 8:Một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học
sinh nam cần chọn ra 6 học sinh trong đó
số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn nh vậy
Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm
4 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn
2158
Bài 10:Một đội thanh niên tình nguyện có
15 ngời, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội thanh niên tình
nguyên đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao
cho môĩ tỉnh có 4 nam và 1 nữ
Bài 2: Các bài toán nhị thức, phơng
trình bất phơng trình tổ hợp,chỉnh hợp
Một số kiến thức cần nhớ
Các ví dụ
1) Biết rằng
100
10010
100
)2( xaxaax +++=+

CMR a
2

+
=
+
n
M
n là số nguyên dơng
Biết rằng
14922
2
4
2
3
2
2
2
1
=+++
++++ nnnn
CCCC
5) Tìm hệ số của x
7
trong khai triển thành
đa thức của (2-3x)
2n
, trong đó n là số
nguyên dơng thoả mãn
1024
12
12
5

2
3
5
60
)!(
+
+
+


k
n
n
A
kn
P
với
2 ẩn n,k thuộc N (TNPT 2003-2004)
8) Giải hệ phơng trình
2:5:6::
11
1
=
+
+
y
x
y
x
y

n
n
xaaax +++=+ )1(
10

Biết rằng k nguyên (0<k<n) sao cho
2492
11 +
==
kkk
aaa
Tính n
ĐS n=10
12) Giả sử n là số nguyên dơng và
11
10
11
1110
)2()1( axaaxxx +++=++
Hãy
tính hệ số a
5
ĐS 672
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
24
ôn thi đại học cấp tốc
13) Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong

14) Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong
khai triển nhị thức
( )
8
2
)1(1 xx +

15) Tìm số tự nhiên n thoả mãn
100 2.
333222
=++
n
nnnn
n
nn
CCCCCC
16) Tìm số tự nhiên n biết (KA 2005)
20052).12 (2.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12

2
+1
C2: x=tgt
ĐS I=1/2(1-ln2)
Bài 2: Tính tích phân

+
=
3ln
0
3
)1(
dx
e
e
I
x
x
HD t=e
x
+1
ĐS
12 =I
Bài 3: Tính tích phân


++=
0
1
3

4.
1
dx
xx
I
HD
4
2
+= xt

ĐS I=1/4.ln5/3
Bài 6: Tính tích phân

+
=
4
0
2cos1

dx
x
x
I
HD ĐS I=pi/8-1/4.ln2
Bài 7: Tính tích phân

=
1
0
23



dx
xx
tgx
I
Bài 10: Tính tích phân

=
2
0
sin

dxxxI
Bài 1: ứng dụng của tích phân xác định
Một số kiến thức cần nhớ
Nội dung các bài toán về diện tích hình
phẳng: 3 bài toán cơ bản
Bài toán về thể tích tròn xoay
Các ví dụ
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ
Trung Thành
25