Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Ch ơng 1:
Nguyên hàm
Bài 1 Xác định nguyên hàm bằng
định nghĩa
Bài1:
1) Tính đạo hàm của hàm số
1
)(
2
+
=
x
x
xg
2) Tính nguyên hàm của hàm số
32
)1(
1
)(
+
=
x
xf
Bài2:
1) Tính đạo hàm của hàm số
0#,)(
2
aaxxxg +=
2) Tính nguyên hàm của hàm số
0#,)(

2
)(
Bài 5: CMR hàm số





=
>

=
0 xkhi 0
0 xkhi
4
)1ln(
)(
2
xxx
xF
là một nguyên
hàm của hàm số



=
>
=
0 xkhi 0
0 xkhix.lnx







3
11
;
dx
x
x










3
1
2)
dxxxxxx .))(2(
44

+
3)

dx
x
x
dx
x
dx

+


2)
.
sin
; .
sin1
dx
x
dx
dx
x
dx

+
3)
dx
xxx
dx
dx
x
dxx

+

xx
dx
dx
x
e
e
x
x
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
1
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
3)

49
3.2
; .)1(
3


+ dxdxe
xx
xx
x
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)
.cot ; cos.sin
2


xx
xxf
2)
6
2
)( ;
132
f(x)
23
24

=
+
=
xx
xf
x
xx
3)
94
194
)( ;
2
1
f(x)
2
3
2



xf
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1)
( )
xxxxx
xf
432
2
2
4.3.2f(x) ;23)( =+=
2)
x
xx
x
exf
10
52
f(x) ;)(
11
23
+


==
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)

)1(
; .)1.(
100

xx
y
1) Xác định a,b,c để
)2()1(
)1(
2

+

+

=
x
c
x
b
x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của y
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
xxxxf
444
cossinf(x) ; cos)( +==
2)
xgxxxf
266
cotf(x) ; sincos)( =+=
3)

+
=
x
x
xx
xf
6)
22
3
)1x(x
1
f(x) ;
1
)(
++
=
+
=
xx
xf
7)
)x.ex.(1
1x
f(x) ;
1
1
)(
x
+
+


=
2)
2
2
x-1
11
f(x) ;
3
)(
xx
x
x
xf
+
=

=
3)
;
1x
2
)( ;
x1
1
)(
2
+
=
++

x
dx
x
x
A

++

=
+

=
.
)23(
3
B ;
1
1
24
2
4
2
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
2
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
3)
dx
xx
x
dx

2)
(
)
dx
xx
dx
e
dx
A
x
.
1)1(.1
B ;
1
3
2
3
2

+++
=
+
=
3)

+
=
+
=
65

+++
=
11
B ;
22)1(
2
xx
dx
xxx
dx
A
6)


+
=
++
++
=
1
2
B ;
1).43(
)186(
2
2
22
3
x
dxx

B;
1cossin2
2
2)

=

=
dx
xx
xx
dx
A
3
cos.sin
1
B ;
sin22sin
3)

+
==
dx
xx
x
xx
dx
A
1sincos
sin

A
3232
)4(
B ;
)4(
3)
;
1
x
B ;
.1
2
56


=
+
=
x
dx
x
dxx
A
4)
;
2
x
2
2


x
dxxx
A
6
2
2
3
cos
sin
B ;
cos1
.cos.sin
3)

+
==
dx
ee
dxxxA
xx 2/
5
1
B ;.sin.cos
4)



=+=
dx
ee

12x222 +
+=+= exxxf
3)
;3cos.f(x) ;.sinx )(
-2x2
xeexf
x
==
4)
; )1cot(cot)(
2 x
egxxgxf

++=
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)

==
dxbxedxxxA
ax
).sin(.B ;.cos.
2)

==
dxxxdxxeA
nx
.ln.B ;.cos.
22
3)


x
A
x
cos1
.)sin1(
B ;.
sin
)ln(sin
2
6)

==
dxbxedxxxA
ax
).sin(.B ;.cos.
7)
;.).724(
223

++=
dxexxxA
x
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)

==
dx
x
x
x

3)

+==
dxxx
x
dxx
A ).1ln(B ;
sin
.
2
2
Bài 6 Nguyên hàm của các hàm số
hữu tỉ
Bài1:(ĐHNT HN 1998)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
xx
x
xfa


=
3
4
2
)( )

xx
xfb

=

+

+

=
x
c
x
b
x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của họ y
Bài 4(ĐHQG HN 2000)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
10022
2001
)1(
)(
+
=
x
x
xf

Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)

22
1

3)

)54(
137
)( ;
)54(
137
)(
322


=


=
xx
x
xf
xx
x
xf
4)
1
1
f(x) :
2
32
)(
32
2

+
=

=
dx
xx
x
xx
dxx
A .
23
B ;
12
.
324
2)

+
=

=
dx
x
x
xx
dxx
A .
1
B ;
2

=
+
+
=
dx
x
x
xxx
dxx
A .
)1(
B ;
65
).1(
100
3
23
3

+

=
++++

=
dx
xxx
xx
xxxx
dxx

xxxxf
3cos.2cos.cos)(
;4sin.2cos.cos)(
=
=
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1)

+
=
+
+
=
xx
dxxx
xx
dxx
A
cossin
.sin.cos
B ;
)cos1(sin
)sin1(
2)


=
++
=
xx

+
=
xx
dxx
x
dxx
A
442
cossin
.2cos
B ;
1sin
.2sin
5)

==
xx
dx
xx
dx
A
5342
cos.sin
B ;
cos.sin
6)

=
+


x
dxx
A
8)

+
=
+

=
12sin
B ;
2sin1
).sin(cos
x
dx
x
dxxx
A
(ĐH NT TPHCM 2000)
Bài 8 Nguyên hàm của các hàm số
Vô tỉ
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1)


=+=
12
.
B ;.

+
=
322
)1(
B ;
16
).54(
x
dx
xx
dxx
A
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
=

=
22
23).1(
B ;
1)1( xxx
dx
xx
dx
A
2)



+= dxxxF .3)(
2

Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999). Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
10
1
)(
+
=
x
x
xF
Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
1212
1
)(
++
+=
xx
tgxxF
Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) Tính tích phân


=
1
2
xx
dx

==
x
23
e
F(x) :)(
5)
x
x
x
x
e
e
xF
10
52
F(x) :
1
)(
11x52 +

=
+
=
6)
2
x
2
2
1).e-(x
F(x) :

2
4)
;.).4252(
223

++=
dxexxxA
x
5)

+
==
x
x
e
dxe
x
dxx
A
1
2
B ;
sin
)ln(sin
2
6)

=
+
+

A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
++
=
+
=
1.
)1ln(.
B ;
1
2
2
x
dxxxx
e
dx
A
x
2)

++=
+
=

dxe
xx
dxx

2)

++
=

=
2
1
5
2

22x
dx
B ;.
527
e
x
dx
x
xx
A
3)

+
+
=
2
1
2
;

2
dx;B ;
cos
.
xx
xx
ee
ee
x
dxtgx
A

5)

+
=
+
=

2
1
2
1
0
;
84
B ;
.
xx
dx

+
=
2
4
4
1
2
1
2
;
sin
B ;
1


x
dx
xx
dx
A
8)











Bài 2: Tính các tích phân


==
2
4
2
0
2
)
4
(cos.sinB ;.3sin.5cos




dxxxdxxxA
Bài 3: Tính các tích phân


+==
3
3
4
1-
2
.23B ;.2 dxxxdxxA
Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm các hằng
số A,B


=


4
0
4
0
2
2
)
5
103
(log dxdx
x
xx
Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để
2)(
2
++=
x
b
x
a
xF
thoả mãn

==
1
2

102
;.)321)(31( dxxxxI
3) (ĐHTM 1995)

+
=
1
0
2
5
;.
1
dx
x
x
I
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
6
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
4)

+
=
a
xa
dx
I
0
222
;

2
1
0


=

= dx
x
x
dx
x
x
A
2)

1
B ;.
1
0
1
2
1
2
2
2
2


++

= dxxA
6)
1998) (HVQY ;.
1.
3
2
2

+
= dx
xx
dx
A
7) (ĐHGTVT HN 1996)

+=
3
0
25
;.1 dxxxA
Bài 3: Tính các tích phân sau
1)

==
3
0
4
0
2cos
.


+
=
2
0
4
sin1
.2sin

x
dxx
I
4) (CĐHQ TPHCM 1999)


=
2
0
2
cossin711
.cos

xx
dxx
I
5) (HVKTQS 1996)


=
2

2
3
cos1
.cos.sin

x
dxxx
I
8) (CĐSP TPHCM 1997)

+
=
6
0
2
sinsin56
.cos

xx
dxx
I
9) (HVNH HN 1998)

=

0
2
.cos.sin. dxxxxI
Bài 4: Tính các tích phân sau
1)


+
=
2ln
0
1
x
e
dx
I
3) (ĐH Y HN 1999)

+
=
1
0
2 xx
ee
dx
I
4)

++
+
==
2ln
0
2x
2x
1

1
B ;1
1
1
2
1
0
3


++
== dx
xx
x
dxxxA
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
7
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
3)
;
1
B ;2
1
0
6
2
2
1
246


6
.
cos31
sin
B ;.cot


dx
x
x
dxgxA
6)







+=+=
2
0
cos
6
0
2
cos.B ;.cossin41


dxxedxxA

2
cos
sin
B ;
cos
sin


dx
x
x
dx
x
x
A
9)

=

+
=
3
6
4
3
6
0
2
2
sin

cossin

dx
x
x
dx
x
xx
A
**Đổi biến hàm mũ logarit cơ bản***
11)


=
+
=
ee
xx
dx
dx
x
x
A
1
2
1
ln1
B ;
ln1
12)

1
0
1
B ;
1
xx
e
dx
e
dx
A
14)



+
=
+
=
1
0
3ln
0
B ;
xx
x
xx
ee
dxe
ee

1
1
2
1
0
2








+

=
dx
x
x
x
A
17)


==
4
0
22
3

2)


==
2
0
3
4
2
.3cos.B ;
sin
.



dxxe
x
dxx
A
x
3)

==


e
x
dxxdxxeA
00
22

2
.
ln
B ;.)ln1( dx
x
x
dxxA
e
7)
;.
ln
1
ln
1
2
2







=
e
e
dx
x
x
A

0
2
)(cosB ;)1ln(


dxxdxxxA
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
8
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
11)

+
+
==
2
3
4
0
cos1
sin
B ;sin
2



dx
x
xx
dxxA
12)

.cos.

dxxxI
2) (ĐHQG TPHCM 2000)

=
1
0
2
).(sin dxxeI
x

3) (CĐKS 2000)

+=
e
dxxxI
1
.ln).22(
4) (ĐHSPHN2 1997)

=
4
0
.2sin.5

dxxeI
x
5) (ĐHTL 1996)



2)


+
=






+

=
2
2
3
2
1
2
1
2
.
cos1
sin
B ;.
1
1
ln.

dx
xx
x
dx
x
x
A
2)

+
=
+
=

0
2
0
2
.
cos1
sin.
B ;.
cos3
sin.
dx
x
xx
dx
x
xx

).sin(sinB ;.sin.A dxnxxdxxx
3)


++
==
4
4
4
357
2
1
2
1
92
cos
)1(
;.sin.A


x
dxxxxx
Bdxxx
Bài 4: (Một số đề thi )
1) (ĐHPCCC 2000) Tính


+

=

=

0
3
.sin. dxxxI
4) (ĐHNT TPHCM 1994)Tính


+
=


dx
x
I
x
.
13
sin
2
5) (HVBCVTHN 1999)Tính


+
=
1
1
4
.
21




2
;0

Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
9
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
b) CMR :

=
4
0
2
4
).().(


dxxgdxxg
Bài 5 Tích phân các hàm số hữu tỉ
Bài 1: : Tính các tích phân sau
1)
;
23
B ;
)1(
.
0
1



=
+
+
=
x
dxx
x
dxxx
A
3)
;
)1()3(
B
;
65
).116102(
1
0
22
1
1
2
23


++
=
+

xx
dxx
xxx
dxxxx
A
5)
;
34
B ;
2
2
1
24
2
1
23

++
=
++
=
xx
dx
xxx
dx
A
6)
;
)4(
.

4
2
1
26

+

=
+
=
xx
dxx
xx
dx
A
8)

+
++
=

=
1
0
22
2
4
3
36
5

2) (ĐHNL TPHCM 1995)

++
=
1
0
2
65xx
dx
I
3) (ĐHKT TPHCM 1994)

+
=
1
0
3
.
)21(
dx
x
x
I
4) (ĐHNT HN 2000)

++
+++
=
1
0

x
dx
I
7) (ĐH MĐC 1995 )

++
=
1
0
24
34xx
dx
I
8) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số
A,B,C để
21
)1(23
333
23
2
+
+

+

=
+
++
x
C

x
dxx
I
10)(ĐH Thái Nguyên 1997)
x
x
dxx
I +=
+

=

x
1
t: HD
1
).1(
2
1
4
2
11)Xác định các hằng số A,B để
1
)1()1(
2
22
+
+
+
=

xf
a) Định các hệ số A,B,C,D,E sao cho

+
+

=
+
++
=
11
)2)(1(
)(
2
2
x
dx
E
x
dx
D
xx
CBxAx
dxxf
b) Tính

3
2
)( dxxf
Bài 6 Tích phân các hàm số lợng

−==
3
6
3
0
4
).sincos(B ;
2cos
.
π
π
dxxx
x
dxxtg
A
3)
dxxx
x
dxxx
A .2cos.sinB ;
cos1
)sin(
2
2
0
2
4
0
∫∫
=

0
4
1cos
.2sin
J va;
sin1
.2sin
ππ
x
dxx
x
dxx
I
2) (§HSP TPHCM 1995)
Cho
xx
x
xf
cossin
sin
)(
+
=
a) T×m A,B sao cho







4
sincos
.sin
sincos
.cos
ππ
xx
dxx
xx
dxx
b) TÝnh
∫
+
=
2
0
44
4
sincos
.cos
π
xx
dxx
I
4) (§H C«ng §oµn 1999): TÝnh
∫
+
=
2
0

dxxxxI

7) (§HTM HN 1995) TÝnh
∫
=
4
0
4
cos
π
x
dx
I

8) (HVKTQS 1999):TÝnh
∫
+
=
4
0
4
3
cos1
.sin.4
π
x
dxx
I
9) (§HNN1 HN Khèi B 1998)
∫

.sin
π
dxxI
12) (§HTL 1997) TÝnh:
dxxI .2cos1
0
∫
+=
π

13)(§HGT TPHCM 2000) TÝnh
∫
=
3
6
6
2
cos
.sin
π
π
x
dxx
I
14)(§HNN1 HN 1998) TÝnh
∫
+
++
=
2

0
.sin1 dxxI
17) (ĐHQG TPHCM 1998)

=
2
0
23
.sin.cos

dxxxI
18) (HVNH TPHCM 2000)

+
=
4
0
2
cos1
.4sin

x
dxx
I
19) (ĐHLN 2000)

+
+
=
2

2
)sin2(
2sin
)(
x
x
xh
+
=
a) Tìm A,B để
x
xB
x
xA
xh
sin2
cos.
)sin2(
cos.
)(
2
+
+
+
=
b) Tính


=
0

6
4
cos.sin


xx
dx
I
25) (ĐHTCKT HN 1996)

++
++
=
2
0
.
5cos3sin4
6cos7sin

dx
xx
xx
I
26) (ĐHBKHN 1996)

=
2
0
2
.cos.

a
adxxaxdxxxA
2
0
2
1
0
815
)0(.2.B ;.31.
2)

>
+
==
4
10
222
)0(
)1(
B ; a
xx
dx
dxxaxA
a
3)

++
=
++
=

.1
xx
dx
x
dxx
A
5)

+=
+
=
22
0
2
2
1
2
.1B ;
1.
dxxx
xx
dx
A
6)

+
=
+
=
2

)21(
(*)B ;
1 xxx
dxx
xx
dx
A
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
12
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
8)
;
11
1
(*)
0
1
3


+
+
=
x
dx
x
x
A
***đổi biến lợng giác ****
9)

x
dx
x
x
A
Bài 2: (Một số đề thi )
1) (HVNH THCM 2000)

++
=
1
0
2
3
1
.
xx
dxx
I
2) (ĐH BKHN 1995)


=
2
3
2
2
1. xx
dx
I

+
=
2
1
3
1. xx
dx
I
7) (ĐHXD HN 1996)

+

=
1
0
2
1
).1(
x
dxx
I
8) (ĐHTM 1997)

+
=
7
0
3 2
3
1

2) (ĐHY HN 1998)

+
=
1
0
2 xx
ee
dx
I
3) (HVQY 1997)

+
=
3ln
0
1
x
e
dx
I
4) (ĐHAN 1997)

=
2
0
2
dxexI
x
5) (ĐHKT HN 1999 )

2
1
.
x
x
e
dxe
I
Bài 2: (Một số đề thi )
1) (HVQY 1997)


=
2
0
2
dxexI
x
2) (ĐHQG HN 1998 )

+
=
1
0
1
x
e
dx
I
3) (PVBC&TT 1999)

+

=
2ln
0
1
)1(
x
x
e
dxe
I
6) (ĐHTM 1998)

+
=
2ln
0
5
.5
x
e
dx
I
Bài 9 Tích phân các hàm số chứa
giá
trị tuyệt đối
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản)
1)


+

=
5
5
.3
14
3
I dxx
x
4)
( )

++=
5
0
22
.434I dxxxxx

+=+=

3
0
23
2
2
1
2
2
;.44B ;.2

;.sin.3sincos.3cosI dxxxxx
Bài 3: (Một số đề thi)
1) (ĐHL 1995)

+=

2
0
;.sin1I dxx
2) (ĐHTL 2000)

+=
3
0
23
;.2I dxxxx
Bài 10 Tính tích phân bằng tích
phân phụ trợ
Bài 1: (Một số bài cơ bản)
1)


=
+
=
6
0
4
0
cossin


3)

=
6
0
2
2sin
cos
A

x
xdx
Ch ơng 3:
Một số ứng dụng của
tích phân
Bài 1 Diện tích phẳng
1) (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
2
x0; x va0y ;cos.sin
32

==== xxy
2) (ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
1 x vay ; ===
xx
eey
3) (HVBCVT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
2
x0; x va

x
xy
8) (ĐHSP1 HN 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
5y ;1
2
+== xxy
9) (ĐHKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn bởi
hình phía dới (P) : y=ax
2
(a>0) và trên
y=ax+2a
10)Tính diện tích giới hạn bởi
34:)(
2
+= xxyP
và 2 tiếp tuyến tại các
điểm A(0;-3) và B(3;0)
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
14
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
11)(ĐH Huế 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
1 x vay ;)1(
5
==+=
x
exxy
12)Tính diện tích giới hạn bởi
4
0 Oy voi trucx vacosy ;sin
33

:)(
2
= xyC
trục Ox và 2 đờng thẳng có
phơng trình x=1 và x=3
3) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
:)( xyC =
trục Ox và đờng thẳng có phơng
trình x=2, y=x
4) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
xyP 2:)(
2
=
và đờng thẳng có phơng trình
y=2x-2
5) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
2
2
1
31:)(P va2:)( yxyxP ==

Bài 2 Thể tích của các vật thể
1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn
bởi





x
E
khi nó quay quanh Ox
5) (ĐHTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G
giới hạn bởi y= 4-x
2
; y=x
2
+2 .Quay hình
phẳng (G) quanh Ox ta đợc một vật thể. Tính
thể tích vật thể này
6) (HVQY 1997): Cho hình phẳng giới hạn bởi
{ }
xyxyD === ;
2
Tính thể tích vật thể tròn
xoay khi D quay quanh trục Ox
7) (HVKTQS 1995) Tính thể tích do D quay
quanh Ox






==++===


xxxxyyD ;
2


=
+
==
2
;
1
1
2
2
x
y
x
yD
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay
quanh Ox
11)(ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn bởi
{ }
xyxyD 4;)4(
232
===
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay
quanh Ox
12)(ĐHPCCC 2000): Cho hàm số
2
)1.(:)( = xxyC
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0)

=
32
5
2
4xx
dx
I
2) Khối B: Tính tích phân

+

=
4
0
2
2sin1
)sin21(

x
dxx
I
3) Khối D: Tính tích phân

=
2
0
2
.dxxxI
Năm 2004
1) Khối A: Tính tích phân