ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————–
NGUYỄN THU HUYỀN
ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ GIẢ CHỈNH HÌNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS PHẠM VIỆT ĐỨC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Đa tạp hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Cấu trúc phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Cấu trúc hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5. Đa tạp hầu phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm . . . . . . . . 8
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3. Định lý (Newlander - Nirenberg). . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4. Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1. Tổng quát hoá định lý Picard lớn. . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1. Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi 22
2.1.2. Thác triển các đường cong J-chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3. Sự thác triển trên các đa tạp số chiều cao. . . . . . . . . . . 30
2.2. Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi . . . . . . . 32
2.2.1. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.4. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.5. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
2.2.6. Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.7. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Mở đầu
Một trong những ứng dụng quan trọng của các không gian phức
hyperbolic là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức.
Việc mở rộng định lý Picard lớn và nghiên cứu các định lý thác triển hội
tụ kiểu Noghuchi đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên
cứu trong cả trường hợp đa tạp phức và đa tạp hầu phức.
Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả gần đây của F.
Haggui và A. Khalfallah[H-K] theo hướng nghiên cứu nói trên.
Nội dung của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình
bày các kết quả chính của luận văn trong chương 2. Cụ thể là: Đa tạp
hầu phức, giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức, giả metric

Giả sử V là R-không gian vectơ và J : V −→ V là R-đẳng cấu. J
được gọi là một cấu trúc phức trên V nếu
J
2
:= J ◦ J = −Id.
Giả sử J là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ V , khi đó ta có thể
xây dựng V thành C-không gian vectơ bằng cách đặt
(α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv.
Giả sử V là C-không gian vectơ có cơ sở là {v
1
, v
2
, , v
n
}. Xem V là
R-không gian vectơ V
R
, xét
J : V
R
−→ V
R
v −→ Jv = iv.
Khi đó J là cấu trúc phức trên V
R
và không gian phức mà nó cảm
sinh ra trùng với không gian vectơ phức V ban đầu.
1.1.2. Nhận xét
V
R

∼
=
R
2n
= {(x
1
, y
1
, x
2
, y
2
, , x
n
, y
n
)} .
J : R
2n
→ R
2n
cho bởi:
J((x
1
, y
1
, , x
n
, y
n

⊂ C
m
h = (h
1
, h
2
, , h
n
), cảm sinh ra

h : U −→ R
2m
cho bởi

h(x) = (Reh
1
(x), Imh
1
(x), , Reh
m
(x), Imh
m
(x)).
Ta có (U,

h) là một bản đồ địa phương của M
0
quanh x.
Gọi


x
,
∂
∂y
j




x

n
j=1
là R-cơ sở của T
x
(M
0
).
Xét
J : T
x
(M
0
) −→ T
x
(M
0
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8




x
+ β
n
.
∂
∂y
n




x
∈ T
x
(M
0
)
thì
J
v
= (−β
1
)
∂
∂x
1






x
.
Khi đó J là cấu trúc phức trên T
x
(M
0
).
1.1.4. Cấu trúc hầu phức
Giả sử M là đa tạp vi phân 2n chiều. Gọi π : TM → M là phân thớ
tiếp xúc thực.
Giả sử J : T(M) → T(M) là một tự đẳng cấu của T(M) liên kết với
ánh xạ đồng nhất trên M thỏa mãn
∀x ∈ M : J
x
= J




T
x
(M)
: T
x
(M) → T
x

Từ đó ta định nghĩa tích ngoài
ΛT
∗
(M)
C
và ε
r
(M)
C
= ε(M, Λ
r
T
∗
(M)
C
).
Gọi ε
r
(M) là không gian các dạng vi phân bậc r với giá trị phức.
Tức là với ϕ ∈ ε
r
(M), ta có
ϕ(x) =

|I|=r

ϕ
I
(x)dx
I

2
= 0.
Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức, khi đó
J : T
x
(M)
C
→ T
x
(M)
C
là đẳng cấu trên phân thớ vectơ phức T (M)
C
.
Ta đặt
T
1,0
(M) là phân thớ ứng với giá trị riêng i của J.
T
0,1
(M) là phân thớ ứng với giá trị riêng −i của J.
Xét đẳng cấu liên hợp
Q : T (M)
C
−→ T (M)
C
được cho trên mỗi thớ bởi Q(v
x
) = iv
x

(M)
C
= T
∗
(M)
1,0
⊕ T
∗
(M)
0,1
và có nhúng tự nhiên
ΛT
∗
(M)
1,0
→ ΛT
∗
(M)
C
ΛT
∗
(M)
0,1
→ ΛT
∗
(M)
C
.
Đặt
ε

Ta có
d : ε
p,q
(M) −→ ε
p+q+1
(M) =

r+s=p+q+1
ε
r,s
(M).
Đặt ∂ : ε
p,q
(M) −→ ε
p+1,q
(M) cho bởi ∂ = π
p+1,q
◦ d.
Đặt ∂ : ε
p,q
(M) −→ ε
p,q+1
(M) cho bởi ∂ = π
p,q+1
◦ d.
Thác triển tuyến tính ∂, ∂ lên toàn
ε
∗
(M) =
dim M =m

(r)(X) := −d(J
∗
dr)(X, JX)
1.3.2. Định nghĩa
Một hàm nửa liên tục trên u trên (M, J) được gọi là hàm J-đa điều
hòa dưới trên M nếu u ◦ f là điều hòa dưới trên ∆, ∀f ∈ O
J
(∆, M).
Khi đó ta có đặc trưng sau đây về hàm đa điều hòa dưới.
1.3.3. Mệnh đề
Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức. Giả sử u là C
2
-hàm giá trị thực
trên M. Khi đó u là J-đa điều hòa dưới trên M nếu và chỉ nếu :
L
J
(u)(X) ≥ 0, ∀X ∈ T (M).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Chú ý: Ta nói rằng một hàm C
2
-giá trị thực u trên M là J-đa điều
hòa dưới chặt trên M nếu L
J
(u) xác định dương trên TM.
1.4. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu
phức
Ký hiệu J
0
là cấu trúc hầu phức chuẩn tắc trong R

M
,J
N
(M, N)
là tập hợp tất cả các ánh xạ (J
M
, J
N
)-chỉnh hình từ M vào N.
Đặc biệt, nếu M là một miền trong C
n
với J
M
là J
0
trên R
2n
, thì tập
O((M, J
M
), (N, J
N
))
được ký hiệu đơn giản là
O(M, (N, J
N
))
và mỗi f ∈ O(M, (N, J
N
)) được gọi một cách đơn giản là J-chỉnh hình.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
1.4.2. Bổ đề
Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức. Giả sử ∆ là đĩa đơn vị trong
C. Khi đó tập tất cả các ánh xạ J-chỉnh hình từ ∆ −→ M là đóng theo
tôpô compact mở.
Chứng minh
Giả sử (f
n
)
n∈N
là một dãy các ánh xạ J chỉnh hình từ ∆ vào (M, J)
hội tụ đều trên mỗi tập compact của ∆ đến f. Chọn hai tập compact
K và K

của ∆ sao cho K là phần trong của K

. Theo chứng minh của
Sikorav [Sk, mệnh đề 2.3.6 (i), tr.171 ] cho thấy rằng nếu K

đủ nhỏ thì
f
n

C
2
(K)
≤ Lf
n


(1 − |z|
2
)
2
.
Ta định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi k
J
M
trên (M, J) như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
Cho trước hai điểm p, q ∈ M. Một dây chuyền Kobayashi nối hai
điểm p, q trong M là một dãy các đường cong giả chỉnh hình
(f
k
: ∆ → (M, J))
1≤k≤m
và các điểm z
k
, w
k
∈ ∆ thoả mãn
f
1
(z
1
) = p;
f
k
(w

: M × M → R
thỏa mãn các tiên đề của giả khoảng cách
k
J
M
(p, q) ≥ 0
k
J
M
(p, q) = k
J
M
(q, p)
k
J
M
(p, q) + k
J
M
(q, r) ≥ k
J
M
(p, r)
Tương tự như trong trường hợp phức , ta có tính chất giảm khoảng
cách qua ánh xạ giả chỉnh hình của k
J
M
:
1.4.5. Tính chất
Cho f : (M, J) −→ (N, J

thực sự là một khoảng cách.
Nếu đa tạp hầu phức hyperbolic (M, k
J
M
) là đầy theo nghĩa Cauchy
thì ta nói rằng (M, J) là hyperbolic đầy.
Tương tự như trong trường hợp phức ta có định lý Barth [Ba] sau:
1.4.9. Mệnh đề
Nếu M là đa tạp hầu phức hyperbolic thì k
J
M
cảm sinh tôpô tự nhiên
của M.
1.4.10. Định nghĩa
Giả sử (M, J
M
), (N, J
N
) là các đa tạp hầu phức. Giả sử
F ⊂ O((M, J
M
), (N, J
N
)).
i) Một dãy {f
i
}
i≥1
⊂ F được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi
tập compact K ⊂ M và với mỗi tập compact L ⊂ N, có một số dương

Hàm độ dài E trên đa tạp hầu phức (M, J) là một hàm liên tục
không âm, giá trị thực xác định trên phân thớ tiếp xúc T M thoả mãn
1) E(v) = 0 ⇔ v = 0
2) E(av) = |a| E(v), ∀a ∈ R, v ∈ T M.
Ký hiệu d
E
là hàm khoảng cách sinh ra trên M bởi E . Thế thì hàm
khoảng cách d
E
sinh ra tôpô tự nhiên của M (xem [La]).
1.4.15. Họ đồng liên tục
Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là
một không gian metric đầy. Và C(X, Y ) là tập các ánh xạ liên tục từ
X vào Y với chuẩn sup.
Họ
F ⊂ C(X, Y )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
được gọi là đồng liên tục tại một điểm x
0
∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn
tại δ > 0 sao cho với mọi
x ∈ X, d(x, x
0
) < δ
thì
d(f(x), f(x
0
)) < ε với mọi f ∈ F.
Họ F được gọi là đồng liên tục trên X nếu F là đồng liên tục tại mọi

1.5.2. Định nghĩa
Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức. Giả sử p ∈ M, v ∈ T
p
M. Khi đó
ta định nghĩa:
K
(M,J)
(p, v) := inf {α > 0 | tồn tại đĩa J-chỉnh hình f : ∆ → M
thoả mãn f(0) = p, df(0)

∂
∂x

=
v
α

. (1)
K
(M,J)
được gọi là giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp
hầu phức (M, J).
Với f ∈ O
(J

,J)
(M

, M) và ∀ϕ ∈ O
J

(p

), df(p

)(v

)) ≤ K
(M

,J

)
(p

, v

). (2)
1.5.4. Ví dụ
Nếu M ⊂ M

và J

là một cấu trúc hầu phức trên M

. Khi đó ta có
K
(M

,J



0
K
(M,J)
(γ(t), γ

(t))dt.
1.5.6. Nhận xét
+) Tương tự kết quả của Royden [Ro] trong trường hợp phức,
trong [Kr], Kruglikov đã chứng minh được K
(M,J)
là nửa liên tục trên
trên phân thớ tiếp xúc T M của M và ông đã chứng minh được
k
J
M
= d
K
(M,J)
.
+) Từ các tính chất của K
(
M, J) và nhận xét trên ta có thể nhận
lại được các tính chất của k
J
M
đã trình bày ở mục 1.3.
1.6. Định lý tham số hoá của Brody
Giả sử (M, J) là một đa tạp hầu phức, f : ∆
r

=




f

(0)



= c.
Chứng minh
Trước hết ta chứng tỏ có dấu bằng, sau đó chứng minh supremum
đạt được tại gốc 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20
Với t ∈ [0, 1], gọi f
t
: ∆
r
→ M là ánh xạ xác định bởi z → f(tz).
Đặt
s(t) = sup
z∈∆
r
|f

t
(z)|

r
2
− |z|
2
r
2
≤ 1.
nên ta có s(t) < ∞ với t < 1. Lại do ánh xạ t → sup
z∈∆
tr
|f

(z)| là liên tục
nên s cũng là liên tục. Từ
s(0) = 0 và lim
t→1
s(t) ≥ c
ta suy ra rằng tồn tại một số t
0
∈ [0, 1] sao cho s(t
0
) = c.
*Trường hợp 1: t
0
= 1
c = s(1) = sup
z∈∆
r
|f


. Gọi L là ánh xạ tự đẳng
cấu bảo giác của ∆
r
biến 0 vào z
0
.
Ký hiệu

f = f
t
0
◦ L.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
21
Do đại lượng


f

t
0
(z)



r
2
− |z|
2
r

M
(p, q) = lim
p

→p
inf
q

→q
d
J
M
(p

, q

), p

, q

∈ M.
Khi đó ta có định nghĩa sau.
2.1.1.1. Định nghĩa
Ta gọi p ∈ M là một điểm suy biến của d
J
M
nếu tồn tại một điểm
q ∈ M\{p} sao cho d
J
M

(C)) = P
1
(C),
tức là tất cả các điểm của P
1
(C) đều là các điểm suy biến của d
J
0
M
.
2.1.1.3. Định nghĩa
Cho (N, J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài
G, (M, J) là đa tạp con của N. Một điểm p ∈ M được gọi là điểm
J-hyperbolic đối với M nếu tồn tại một lân cận U của p trong N và một
hằng số dương c sao cho K
J
M
≥ c.G trên U ∩ M.
2.1.1.4. Nhận xét
Tương tự tiêu chuẩn của Royden [Ro] ta có (M, J) là hyperbolic nếu
và chỉ nếu mỗi điểm p ∈ M đều là điểm J-hyperbolic đối với M.
Tiếp theo ta có mệnh đề sau:
2.1.1.5. Mệnh đề
Cho (N, J) là một đa tạp hầu phức và (M, J) là một đa tạp con hầu
phức của (N, J). Với mỗi điểm p ∈ M, khi đó các mệnh đề sau là tương
đương:
(i) p /∈ S
J
M
(N).

(∆)
,
với mỗi f ∈ O
J
(∆, D) và 0 < r < 1, trong đó c là hằng số dương chỉ
phụ thuộc vào r và δ
0
, J
0
là cấu trúc phức chuẩn tắc trên C
n
.
Chứng minh Mệnh đề 2.1.1.5
(i) ⇒ (ii) : Giả sử p không là điểm J-hyperbolic đối với M. Khi đó
với mỗi n ≥ 1, tồn tại p
n
∈ M và ξ
n
∈ T
p
n
M sao cho dãy (p
n
) hội tụ
tới p, |ξ
n
| = 1 và K
J
M
(ξ

và điều này mâu thuẫn với |f

n
(0)| → +∞. Do đó, với mỗi số
nguyên dương k có z
k
∈ ∆ và n
k
∈ Z sao cho |z
k
| <
1
k
và f
n
k
(z
k
) ∈ ∂W.
Bằng cách lấy một dãy con, ta có thể giả sử rằng f
n
k
(z
k
) → q ∈ ∂W .
Khi đó
d
J
M
(p, q) = lim

(p, q) = 0. Theo giả thiết, tồn tại lân cận
U của p sao cho q /∈ U và K
J
M
≥ cG trên U ∩ M, trong đó c là một
hằng số dương và G là một hàm độ dài trên N. Lấy V, W lần lượt là lân
cận của p, q trong N, sao cho V  U và W ∩ U = ∅. Lấy r ∈ V ∩ M và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn