Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 1 Email:

Phần A. Kiến thức cơ bản

I. Định nghĩa luỹ thừa và căn
. Với n nguyên d-ơng, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho b
n
= a.
. Với n nguyên d-ơng lẻ và a là số thực bất kì, chỉ có một căn bậc n của a, kí hiệu là
n
a

. Với n nguyên d-ơng chẵn và a là số thực d-ơng, có đúng hai căn bậc n của a là hai số
đối nhau; căn có giá trị d-ơng kí hiệu là
n
a
, căn có giá trị âm kí hiệu là -
n
a
.
. Số âm không có căn bậc chẵn.
Số mũ


Cơ số a
Luỹ thừa

a
0an
n
a
aa
1


),(
*
NnZm
n
m



a > 0 n
m
n

m
a
a
a


; (a
m
)
n
= a
mn
(a.b)
n
= a
n
.b
n
;
n
n
n
b
a
b
a





b
aaa
logloglog






; log
a
b
n
= nlog
a
b.
.
b
c
c
a
a
b
log
log
log
hay log
a
b.log
b

’
>0 víi mäi x
R

. Hµm sè ®ång biÕn trªn R
.


x
x
alim
;
0lim 
x
x
a

. B¶ng biÕn thiªn

. §å thÞ


-


x
0
-


1
y
1
y
x
0
+


y=a
x
+


x
0
0
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 3 Email:
. y

>0 với mọi

. y

<0 với mọi

;0x

. Hs nghịch biến trên

;0

.





x
x
a
x
a
x
loglim
loglim
0

. Bảng biến thiên

. Đồ thị


trong ph-ơng trình về luỹ thừa với cùng một cơ số.
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình (0,75)
2x-3
=
x






5
3
1
1
(1)
Lời giải.
Ph-ơng trình (1)

xx













2x-3=x-5

x =-2.
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = -2
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 3
x+1
+ 3
x+2
+ 3
x+3
= 9.5
x
+ 5
x+1
+ 5
x+2
(2).
Lời giải:
x
0
+


y=log
a
x
-


14 pt
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3
pt
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3
pt
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 4 Email:
Ph-ơng trình (2)

3
x
.39 = 5
x
.39
1
5
3








x


xx
(1)
Lời giải. Điều kiện cosx 0.
Nhận xét

1738738
. Đặt t =

)0(738
tan
t
x
thì ph-ơng trình (1) có dạng
16
1

t
t
0116
2
tt

t =
738
và t =
738
.
. Với t =
738
thì

4
và


kx
4
(
Zk
)
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 3.49
x
+ 2.14
x
- 4
x
= 0 (4)
Lời giải: Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho 4
x
> 0, ta đ-ợc
(4)


.01
2
7
.2
2
7
.3
2

2
+ 2.t 1 = 0


t = -1(loại) và t = 1/3.
Với t = 1/3 thì
3log
3
1
2
7
2
7







x
x
.
Vậy ph-ơng trình có nghiệm
3log
2
7
x

Ví dụ 3: Tìm nghiệm x < 1 của ph-ơng trình 3

pt
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Numbered + Level: 1 +
Numbering Style: 1, 2, 3, + Start at: 2 +
Alignment: Left + Aligned at: 0,01" + Tab
after: 0,26" + Indent at: 0,26"
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3
pt
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 4
pt
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font color: Text 1, Lowered by 3
pt
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 5 Email:
Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình
12.222
56165
22

xxxx

Lời giải. Đặt u =
65

2
1
2
x
=1

1 x
2
= 0

x = 1 hoặc x = -1.
Vậy ph-ơng trình có 4 nghiệm x = -1, x = 1, x = 2, x = 3.
L-u ý: 1. PT có dạng

cbaba
xfxf

)()(
với

1 baba
, ta th-ờng đặt

)(xf
bat
(xem ví dụ 1).
2. PT có dạng

0
)(2

x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
; 2)
02)73(33
112


xx
xx
;
3)
2625625.
sinsin




















xx
xx
xx3. Ph-ơng pháp logarit hoá
Ph-ơng pháp lôgarit hoá rất có hiệu lực khi hai vế của ph-ơng trình có dạng tích các luỹ
thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ.
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình
xx
57
75

Lời giải. Hai vế của ph-ơng trình đều d-ơng, lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế ta đ-ợc ph-ơng
trình 7
x
= 5
x
.log
5
7

7log
5
7

2
3
3
33











x
x
x
x
x
x = 1 hoặc x = 2(1 + log
3
2).
L-u ý: Khi lấy lôgarit hoá hai vế, ta th-ờng lôgarit theo cơ số đã có sẵn trong bài
Bài tập t-ơng tự: 1)
5log
34


x
x
x
; 4)
11
1
11
1
2
7log5log
3
2
3





xx
x
xx4. Ph-ơng pháp hàm số
Các bài toán dạng này th-ờng đ-ợc sử dụng một trong ba tính chất sau( chú ý hàm số f(x)
liên tục trong tập các định)
Tính chất 1: Nếu hàm y = f(x) tăng hoặc giảm trong khoảng (a; b) thì ph-ơng trình f(x) = k
(
Rk

Với x < 0 thì 3
x+1
< 3; 3 x > 3.
Vậy x = 0 là nghiệm của ph-ơng trình
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình
x
x
381
2

.
Lời giải. Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho 3
x
, ta đ-ợc

1
3
8
3
1











1
là hàm nghịch biến trên R.
x = 2 là nghiệm của ph-ơng trình
Với x > 2 thì
x
x















3
8
3
1
<1
Với x < 2 thì
x
x



Lời giải. Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với

)(2)1(2
21
2
xxx
xxx



Đặt u = x - 1; v = x
2
- x.
Ph-ơng trình có dạng 2
u
+ u = 2
v
+ v (2)
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 7 Email:
Xét hàm số f(t) = 2
t

ca
loglog

. Khi đó
(1)

xxx
x
222
loglog
2
log.2
33.3
(2).
Đặt t = log
2
x suy ra x = 2
t
.
Khi đó ph-ơng trình (2)

3
2t
= 4
t
.3
t
- 3
t














5. Một số ph-ơng pháp khác
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình
x
x
2cos2
2


Lời giải. Ta có x
2
0 suy ra
x
x
2cos13
2


Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với hệ

hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên khoảng (a;b) thì PT f(x) = 0 có không quá hai nghiệm
thuộc (a;b).
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 3
x
+ 5
x
= 6x + 2
Lời giải.
Ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với 3
x
+ 5
x
- 6x 2 = 0.
Xét hàm số f(x) = 3
x
+ 5
x
- 6x - 2, với x

R.
Ta có f

(x) = 3
x
.ln3 + 5
x
.ln5 - 6, f

(x) = 3
x

a
- 2004
a
= 2004
a
- 2005
a
(2).
Xét hàm số f(t) = t
a
- (t + 1)
a
, với t > 0. Dễ thấy hàm số f(t) liên tục và có đạo hàm trên
khoảng (2003; 2005). Do đó, theo Định lí Lagrange tồn tại c

(2003; 2005) sao cho f

(c) =
0
20032005
)2003()2005(
)(
'



ff
cf

Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1







1
0
a
a

Thử lại ta thấy x = 0, x =1 đều thoả mãn.
L-u ý: Bài toán trên ta sử dụng Định lí Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại một điểm

bac ;
sao cho
ab
afbf
cf



)()(
)(
'

Bài tập t-ơng tự: 1)
x
x


aa
loglog

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình
2
1
)123(log
2
)3(


xx
x
(1)
Lời giải. Ph-ơng trình (1)







3123
1)3(0
2
xxx
x


3)4(
4
23
2
xx
x
x







0139
2;43
2
xx
xx
. Giải hệ tìm đ-ợc nghiệm
2
299
x

Nếu x < 1 thì hệ (2) t-ơng đ-ơng với





013
2
2
xx
x
. Giải hệ tìm đ-ợc nghiệm
2
53
x
.
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm
2
299
x
và
2
53
x
.
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình log
3
[1 + log
3
(2
x
- 7)] = 1 (1)
Lời giải. (1)

1 + log

Lời giải. Đk: x > 0.
Dùng công thức đổi cơ số, ta đ-ợc
log
2
x + log
2
x.log
3
2 + log
2
x.log
4
2 = log
2
x.log
20
2.
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Italic, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 9 Email:

(1 +log
3

x + log
b
x + log
c
x + log
d
x = 0, các cơ số a, b, c, d không biểu diễn luỹ
thừa qua nhau. Khi đó ta dùng công thức đổi cơ số để đ-a chúng về cùng một cơ số và áp
dụng các phép toán trên logarit (xem ví dụ 3)
Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình

3
8
2
2
4
4log4log21log xxx

Lời giải. Đk:





1
44
x
x

Với điều kiện trên ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với

Kết hợp điều kiện ta đ-ợc
622x
.
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x =2 và
622x
.
L-u ý: Điều kiện của PT ch-a đảm bảo x > 0 thì log
a
x
2
= 2.
x
a
log

Bài tập t-ơng tự: 1)

3log
2
1
log
2
1
65log
3
3
2
2
9


x
- 1).log
1/2
(2
x+1
- 2) = -2.
Lời giải. Đk: x > 0.
Với đều kiện trên ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với
log
2
(2
x
- 1).[- log
2
2.(2
x
- 1)] = -2


log
2
(2
x
- 1).[- 1 - log
2
(2
x
- 1)] = -2 (1)
Đặt t = log
2


2
x
1 = 1/4

2
x
= 5/4

x = log
2
5/4(tmđk).
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = log
2
3 và x = log
2
5/4.
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình
051loglog
2
3
2
3
xx

Lời giải. Đk:x > 0.
Đặt t =
1log
2
3









3
3
3
3
x
x
(tmđk).
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 10 Email:
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm
3
3x
và

2
1
1120
110
x
x
x
(*) .
Với điều kiện (*), ph-ơng trình (1)

log
2x-1
(x + 1) + 2log
x+1
(2x - 1) 3 = 0.
Đặt t = log
2x-1
(x + 1), do điều kiện (*) nên t 0.
Ph-ơng trình trở thành
03
2

t
t


t
2
- 3t + 2 = 0


x
,thì PT của ẩn phụ rất đơn giản.
2. Nếu PT có chứa log
a
b và log
b
a thì ta đặt log
a
b=t thì log
b
a =1/t. (xem ví dụ 3).
Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình

2
loglog
122.22
22
xx
xx

(1)
Lời giải. Đk x > 0. Đặt t = log
2
x suy ra x = 2
t
.
Ph-ơng trình (1) trở thành

t
t
0
22
122
2122
2



















t
t
t
t

t
t
















0
1
22
4
122
t
t
t

Với t = 0 thì x = 1. Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 5: Giải ph-ơng trình
0log.40log14log

4log
20
16log
42
2
log
2

xx
x
xx
x

Đặt t = log
x
2
,
ph-ơng trình trên trở thành
0
21
20
41
42
1
2






4
loglog
3
2
3
2
xx
; 2)
062)1(log)5()1(log
3
2
3
xxxx

3)
4)21236(log)4129(log
2
32
2
73


xxxx
xx

3. Ph-ơng pháp hàm số
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình log
5
x = log
7


Xét ph-ơng trình 5
t
+ 2 = 7
t
. Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho 7
t
, ta đ-ợc
1
7
1
.2
7
5














tt
.


Lời giải. Đk x > 0. Đặt t =

xxx
2
3
3
log21log3
, suy ra








3
3
2
31
2
t
t
xx
x





























tt
t
.

au
; sử dụng ph-ơng pháp thế để đ-a về một ph-ơng trình mũ;
tìm t (thông th-ờng PT có nghiệm duy nhất); suy ra x.
2. Đối với ví dụ 2 h/s cần chú ý cách nhẩm nghiệm: Vế trái của PT có chứa căn bậc 3 và căn
bậc 2, vế phải là một số nguyên. Do đó khi tìm nghiệm phải tìm t là bội của 6.
Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình
23
322
1
log
2
2
2
3



xx
xx
xx

Lời giải. Đặt u = x
2
+ x + 1; v = 2x
2
- 2x + 3 (u > 0, v > 0)
suy ra v u = x
2
- 3x + 2.
PT đã cho trở thành

nên hàm số đồng biến
khi t > 0.
Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy ra u = v hay v-u=0, tức là x
2
-3x+2=0.
Ph-ơng trình có nghiệm x = 1,x = 2.
L-u ý: Với ph-ơng trình dạng
uv
v
u
a
log
với u > 0, v > 0 và 1 < a, ta th-ờng biến đổi
log
a
u - log
a
v = v u

log
a
u + u = log
a
v. Vì hàm số
f(t) = log
a
t + t đồng biến khi t > 0, suy ra u = v.
Bài tập t-ơng tự: 1)
xx coslogcotlog2
23

4. Ph-ơng pháp khác
Ví dụ1: Giải ph-ơng trình 6
x
= 1 + 2x + 3log
6
(1 + 5x).
Lời giải. Đk x > -1/5. Đặt a = log
6
(5x + 1), suy ra 5x + 1 = 6
a
. Ta có hệ





1236
156
xa
x
x
a

Trừ vế với vế của hai ph-ơng trình, ta đ-ợc
6
a
- 6
x
= 3x - 3 a



(x)=6
x
.ln
2
6> 0 với mọi x.
Theo định lí Rôn ph-ơng trình có tối đa hai nghiệm trên






;
5
1
x
. Nhận xét rằng g(0) =
g(1) = 0.
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 0, x = 1.
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình

2354log
23
xx

Lời giải. Đk -5 x 4. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1
Formatted: Font: Bold, Font color: Text 1

1
5
1
4




x
xx
.
Vậy x = -1/2 là nghiệm của ph-ơng trình.
Bài tập t-ơng tự:
1) log
2
[3log
2
(3x - 1) - 1] = x; 2) 7
x-1
= 6log
7
(6x - 5) + 1
III. Ph-ơng trình mũ và ph-ơng trình logarit có chứa tham số
Ví dụ 1: Tìm m để ph-ơng trình 4
sinx
+ 2
1+sinx
m = 0 có nghiệm
Lời giải. Đặt t = 2
sinx






2;
2
1
t

Ph-ơng trình có nghiệm

)()(
2;
2
1
2;
2
1
tfMaxmtfMin











t
. Vì
2111
2
t
nên 3 x 9.
Ph ơng trình (1) có dạng x
2
- (a + 2).x + 2a + 1 = 0

)2(12
2
xaxx
2
12
2



x
xx
a
do x

9;3
nên x 2.
Xét f(x) =
2
12
2

'
x
x
xf

Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta đ-ợc
7
64
4 m

L-u ý: 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b). Khi đó Pt f(x) = m có nghiệm

bax ;

)()(
;;
xfMaxmxfMin
baba


4
7
64

f

(x)

của tham số a là giống nhau, do đó ta rút a qua x đ-ợc a = f(x). Lập bảng biến thiên của hàm
số y = f(x), từ đó suy ra đáp số.
Đối với ph-ơng trình không cô lập đ-ợc tham số m và không có công cụ Định lí đảo ta sẽ sử
lí ra sao?Chúng ta cùng xem ví dụ 3.
Ví dụ 3: Cho ph-ơng trình
02)4(log)1(2)4(log.
3
2
1
22
2
1
mmxmxm
.
Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 4 < x
1
< x
2
< 6.
Lời giải. Đặt t =
)4(log
2
1
x
, ph-ơng trình có dạng
m.t
2
- 2(m
2
+ 1).t + m









11
1
2
1;0
2
m
m
mm
mm














2
- 2(m
2
+ m + 1).X + m
3
+ 2m
2
+ 2m + 4 = 0 (2)
(*) t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình (2) có hai nghiệm d-ơng phân biệt











































0
1
0.1
0)1(
1
2
0)1).(1(
0
2

m
mm
m
m
m

Giải hệ trên ta đ-ợc kết quả 0 < m 1.
L-u ý: Đối với PT trên các luỹ thừa của tham số m không giống nhau nên ta không thể cô
lập đ-ợc tham số. Vì vậy ta có thể có các h-ớng sau:
H-ớng 1: Tính trực tiếp các nghiệm và so sánh nó với 1
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 15 Email:

H-ớng 2: Đặt X = t + 1 và chuyển về bài toán so sánh với số 0.
PT có nghiệm -1< t
1
< t
2
khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm d-ơng phân biệt.
PT có nghiệm t
1
< t
2
< 0 khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm âm phân biệt.
PT có nghiệm t
1
< 0 < t
2
khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm trái dấu
H-ớng 3: Ta sử dụng kết quả

tt












2
0))((
0
21
S
tt

0))((
2121


ttttVí dụ 4: Cho ph-ơng trình (m - 4).9
x
- 2(m - 2).3

1





m
m
mm
t

và
2
1
1
4
2
2





m
m
mm
t

Ta nhận thấy 0 < t
2




















4
41
0
4
1
4
0
4
1
0)(1
4

1
12



t
t
m
. Xét hàm số f(t) = 2
2
1
12


t
t
với t > 0.
Ta có
3
'
)1(
24
)(



t
















m
m
m
S
m
m
m
.

Ví dụ 5: Tìm a ph-ơng trình sau có nghiệm duy nhất
log
5
(ax) = 2.log
5
(x + 1) (1)

Nếu

= 0 thì a = 0 hoặc a = 4.
Với a = 0 pt có một nghiệm x = -1(loại).
Với a = 4 pt có một nghiệm x = 1(tm).
Nếu

> 0 thì a < 0 hoặc a > 4. Khi đó pt có hai nghiệm phân biệt
+


1
1/2
t
-


0
f

(t)
f(t)
0
+


1
0
+



Nhận xét:
. Nếu a < 0 thì x
2
< -1, do đó để thoả mãn bài thì x
1
> - 1
04
2
aaa

044
2
aaaa
(luôn đúng do a < 0).
. Nếu a > 4 thì x
1
> -1, do đó để thoả mãn bài thì x
2
< -1
04
2
aaa

044
2
aaaa
(vô lí do a > 4)
Vậy a = 4 hoặc a < 0 thoả mãn bài
C2: (*)

2
+ 2x +1 = 0 suy ra x = -1
(loại)
Nếu
21
1 xx
012101)(0)1)(1(
212121
axxxxxx0a
.
Vậy a < 0 hoặc a = 4.
Ví dụ 6: Tìm m ph-ơng trình
mm
xx
2
2009
2008
2
56
2








xxx
xxxx
xg

Do đó ta có đồ thị sau
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 18 Email:

Từ đồ thị suy ra ph-ơng trình có 3 nghiệm phân biệt






















=m, để biện luận nó ta sủa dụng ph-ơng pháp lấy lôgarit hoá hai vế theo
cơ số a và đ-a về Pt đại số.
Ví dụ 7: Tìm m để ph-ơng trình sau có nghiệm

mmxx
mmxxmxx


255
224222
22

Lời giải.
Ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với
)242(5)22(5
2242222
22


mmxxmxx
mmxxmxx
(1)
Xét f(t) = 5
t
+ t, f

(t) = 5
t
.ln5 + 1 > 0 với mọi t. Do đó f(t) là hàm liên tục và đồng biến với
mọi t.

)2(log)13(log
22
222
xx
xaa


(1)
Lời giải.
. Điều kiện cần
Giả sử (1) nghiệm đúng với mọi a suy ra cũng đúng với a = 0.
Với a = 0, ta đ-ợc:
(1)
xxxx 213)2(log)13(log
22






















1
1
30
)3()3(
03
0
2
x
x
x
xxx
x
x

Vậy x =1 là điều kiện cần để ph-ơng trình nghiệm đúng với mọi a.
. Điều kiện đủ
Với x =1, ph-ơng trình (1) có dạng

001log1log)12(log)131(log
2222
2222


xmxmx

3) Tìm m để ph-ơng trình sau có ít nhất một nghiệm

3
3;1x0121loglog
2
3
2
3
mxx

4) Tìm x để ph-ơng trình sau có nghiệm đúng với mọi a.


13log65log
2
2
2232
2


xxxaxa
a

Phần C. Bất ph-ơng trình mũ và logarit

)()(
0)(
0)(
)(log)(log xgxf
xgxf
xg
xf
xgxf
aa

Nếu 0 < a < 1 thì









0)()(
)()(
0)(
0)(
)(log)(log xgxf
xgxf
xg
xf
xgxf
aa

xxxx
xx
xx
(1)
Nếu x 0 thì
xx 11
, khi đó pt (1)
122
2
xxx
(lđúng vì x 0)
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 20 Email:
Nếu x 2 thì
11 xx
, khi đó pt(1)
12
2
xx


x
2
- 2x 1 0






































385
1
0385
385
10
2
2
22
2
22
xx
x
xx
x
x
xx
x
xx
xx
x
xxx
x
xx
xxx
x


x
x
xx
x
3
3
3
2
3
log
log
loglog
33
. Khi đó bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng
với
36
333
logloglog

xxx
xxx
. Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta đ-ợc:

1log1log.log3log)(log
2
3333
log
3






x
x

Lời giải. Bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với











1
1
21
log
0
1
21
log
2
2








0
1
01
0
1
1
0
1
2
1
21
1
1
21
x
x
xx
x
x
x
x
x
x

1
30
1
1
3
2
2
2
2






xx
kxx
xx
kxx
(1)
Nhận xét x
2
+ x +1 > 0 với mọi x
R
. Do đó (1)
1)1(3
22
kxxxx













15
115
17
055664)3(
07616)3(
22
2
22
1
k
k
k
kkk
kkk

Vậy -5 < k < 1 thoả mãn yêu cầu của bài
Bài tập t-ơng tự: 1)

25
1
55
2
5
1
xxxx

2. Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải bất ph-ơng trình
1
23
23.2
2




xx
xx
(1)
Lời giải. ĐK x 0. Chia cả tử và mẫu cho 2
x
, ta đ-ợc
(1)
1
1
2
3
4

2
3
, 0 < t 1. Khi đó bất ph-ơng trình (2) t-ơng đ-ơng với

3log03
2
3
1310
1
3
01
1
42
2
3













xt
t

x
x

















Lời giải. Điều kiện x > 0.Bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với

)(log4
32
log9
8
log)(log
2
2
2
3

)(log4log32log98loglog)(log
2
2
2
22
2
2
3
2
4
2
xxxx
)(log4log2593log3)(log
2
22
2
2
4
2
xxxx

Đặt t = log
2
(x), bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với
t
4
- 13t

32
23
94
2
2
2
x
x
x
x
t
t
t

Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 22 Email:
Vậy bất ph-ơng trình có nghiệm

8,4
4
1
,
8
1








X
2
- 4XY - 5Y
2
< 0

(X + Y)(X - 5Y) < 0

2362315
55505
2315



xxxx
YXYX
xx

Bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với hai hệ sau
(I)






62
06
02

)6()2(9
06
22
x
x
x
xx
x
xx
x

Vậy bất ph-ơng trình có nghiệm là
182 x

Bài tập t-ơng tự: 1)

x
xx
215
4
1
15
; 2)
)3(log53loglog
2
4
2
2
1
2

3 + 2
t
> 5
t


1
5
2
5
3








t
t

Hàm số
t
t
tf





xx

Lời giải. Đặt u = x
2
+ x + 1; v = 2x
2
- 2x + 3 (u > 0,v > 0) suy ra v-u=x
2
-3x + 2
Bất ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với
uvvuuv
v
u

333
logloglog
log
3
u + u > log
3
v + v (1)
Xét hàm số f(t) = log
3
t + t, có
0,01
3ln
1

b
v); đ-a về bất ph-ơng trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm
số.
Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 23 Email:
2. Với bất ph-ơng trình dạng
vvuuuv
v
u
aaa
logloglog
. Ta xét hàm số f(t)=log
a
t+t
đồng biến khi t>0, suy ra f(u)<f(v)

u<v.
Bài tập t-ơng tự: 1.

xxx
x
64
3
6
loglog
; 2) 2.2
x
+ 3.3
x
> 6









0132
0
5
5
log
x
x
x
x
và (II)









0132
0
5

x
x
x

+) 2
x
< 3x - 1, ta vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2
x
và y = 3x - 1 trên cùng một hệ trục toạ
độ.
Khi đó ta đ-ợc nghiệm là 1 < x < 3.
Do đó hệ (I) có nghiệm 1 < x < 3.
Giải hệ (II)
+)

















x
> 3x - 1

x < 1 hoặc x > 3
Do đó hệ (II) có nghiệm -5 < x < 0.
Vậy bất ph-ơng trình có nghiệm
)3,1()0,5(

Bài tập t-ơng tự:
0
12
122
1




x
x
x

3. Một số ph-ơng pháp khác
Ví dụ 1: Giải bất ph-ơng trình








log98
1
1
1
1
1
11
3
















xxx
x
VP2

là b-ớc đầu tiên khi giải bất ph-ơng trình. Từ đ/k đó để loại đi các giá trị không thoả mãn
bất ph-ơng trình đã cho. Đó là ý nghĩa chung của việc đặt điều kiện đối với một bất ph-ơng
trình. Hơn nữa trong nhiều tr-ờng hợp, chính từ b-ớc này cho phép ta đơn giản hoá phép giải
tiếp theo. Sau đây ta xét một số ví dụ.
Ví dụ 2: Giải bất ph-ơng trình log
x
[log
9
(3
x
-9)] < 1
Lời giải. Để log
9
(3
x
-9) có nghĩa, ta cần có 3
x
> 9

3
x
> 9

x > 2.
Với điều kiện trên bất ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với








10log1030
09
10
3
2
xt
tt
t
x

Ví dụ 3: Giải bất ph-ơng trình

2
2
2
2
432
655log)(log65 xxxxxxxxxx
(1)
Lời giải: Đ/k:






30
06








3
2
5
0532
30
016
30
22
x
xx
x
xxx
x
.
Vậy nghiệm
3
2
5
x

Ví dụ 4: Giải bất ph-ơng trình
2122
22.2).(4284 xxxxxx



xx
xx
x
122
0221
22
2
2
(3)
(3) t-ơng đ-ơng với hai hệ sau
(I)






21
01
02
2
x
x
x

(II)



5
7
1
1
x
x
x

Vậy tập nghiệm của bất ph-ơng trình là

2;1x

Chuyên Đề PT - HPT - BPT - HBPT mũ và Lôgarít Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Vn Tỳ 25 Email:
Ví dụ 5: Giải bất ph-ơng trình
)23(log
1
)1(log
1
22
xx



Lời giải. Đk






x
x
x
x

. log
2
(x + 1) > 0

x + 1 > 1

x > 0
. log
2
(3 - 2x) > 0

3 - 2x > 1

x < 1
Ta có bảng xét dấu

Từ đó ta có các tr-ờng hợp sau
TH1: Với -1 < x < 0 thì VT < 0, VP > 0 suy ra bất ph-ơng trình vô nghiệm
TH2: Với 0 < x < 1 thì VT > 0, VP > 0. Khi đó bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với
log
2
(x + 1) < log
2
(3 - 2x)


b
v trong tập xác định của bất ph-ơng trình.
+)trong tập xác định đó nếu log
a
u và log
b
v cùng dấu thì bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với
log
a
u<log
b
v.
Ví dụ 6: Trong các nghiệm (x; y) của bất ph-ơng trình
1)2(log
22
2


yx
yx
, chỉ ra các nghiệm
có tổng 2x + y lớn nhất.
Lời giải.
Bất ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với hai hệ sau
(I)


















8
9
22
1
2)1(
12
2
2
22
yx
yx

Ta có
4
9
22
1
2