Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 1
1.
2
4 2x x x 2   

2.
x 4 1 x 1 2x    

3.
2
x 4x 5 3x 17   

4.
2
3x 19x 20 4x 4   

5.
x 12 2x 1 x 3    

PHN I

PHNG TRÌNH ậ BT PHNG TRÌNH

2
B0
AB
AB

A B A 0
AB



  






2
A0
B0
AB
B0
AB













2
x 2 0
4 2x x x 2
x2
x2
x3
x 0 x 3
x 3x 0





   






   

  




Vy:
x3


(2x 1) 2x 3x 1




   


22
2x 1 0
4x 4x 1 2x 3x 1




    


2
1
x
2
2x 7x 0








2
22
2
x 4x 5 0
3x 17 0
x 4x 5 (3x 17)
x 1 x 5 x 1 x 5
17 17
xx
33
21
8x 98x 294 0
x x 7
4
x7

  

  


   



       





x1
4
x 5 x
13x 51x 4 0
3







    
  




x1
4
x 5 x 1
1
3
x4
13



       





   





(*)
x 12 x 3 2x 1     2
2
x 12 x 3 2x 1 2 (x 3)(2x 1)
14 2x 2 (x 3)(2x 1)
(x 3)(2x 1) 7 x
(x 3)(2x 1) 0
7 x 0
(x 3)(2x 1) 49 14x x
1
x x 3
2
x7
x 9x 52 0
1
x x 3
2
1


  



So điu kin
3 x 4
.
Vy:
3 x 4Ví d 2: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1.
6
3 x 9 5x


2
x9
4x 6x 54 0
x9
9
x x 3
9
2
x x 3
2




  




     

   



So điu kin nhn
x3

Vy:


Do
x 3 0
nên quy đng b mu ta đc:
(2)
2
x 16 8 x   

2
22
x 16 0
8 x 0
8 x 0
x 16 (8 x)















  

  




So điu kin nhn
x5

Vy:
x53.
2
(x 1) 16x 17 8x 15x 23    
(3)
iu kin
:
17
16x 17 0 x
16
    

(3)
 
(x 1) 16x 17 (x 1) 8x 23     

 
(x 1) 16x 17 8x 23 0     


x4
8
x 2 x 4

















  



So điu kin nhn
x1
hoc
x4

Vy:

22
2x 8x 6 x 1 2x 2     

6.
2
51 2x x
1
1x




www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 3
4.
22
(x 3) x 4 x 9   
(4)
iu kin
:
2
x 4 0 x 2 x 2      

(4)


2
(x 3) x 4 x 3 0     















   







   








x 4 x 6x 9



  


   


x 2 x 2
x3
6x 13
   


  





x2
x 2 x 3
13
x
6




      





 Trng hp 1:
x1
tha (5).
 Trng hp 2:
x1

(5)
 
2
(x 1)(2x 6) (x 1)(x 1) 2 x 1       

 
2
2
2x 6 x 1 2 x 1
2x 6 x 1 2 (2x 6)(x 1) 4(x 1)
2 (2x 6)(x 1) x 1 x 1
4(2x 6)(x 1) (x 1)
7x 18x 25 0
x1
x1
25
x
7

iu kin
:
2
51 2x x 0
1 2 13 x 1 2 3
1 x 0
x1


  
     









Do ta cha bit du ca
(1 x)
nên ta chia làm 2
trng hp.
 Trng hp 1:
1 x 0 x 1   

(6)
2
51 2x x 1 x    

1 x 0 x 1   

(6)
2
51 2x x 1 x    

2
1 x 0
51 2x x 0




  


x1
1 2 13 x 1 2 13





     



1 x 1 2 13    

Vy:

      

iu kin:
x 4 0
x4
x 1 0







(1)
x 4 1 x 1 1 1      

x 4 1 2 x 1
2 x 1 0
x 4 1 2 x 1
x 4 1 2 x 1
x5
VN do x 5 x 4 1
x 1 1 x 4
x5
x 1 1 x 4 2 x 4
x5
x5
x5
x5
x 4 1





     







   







Vy:
x52.
x 14x 49 x 14x 49 14     

14x 14 14x 49 14x 14 14x 49 14      
22
( 14x 49 7) ( 14x 49 7) 14      

   
  





    







Vy:
7
x7
2
3.
3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
     

3
x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1

1
x 1 1 x 1
2
1
x 1 1 x 1 (*)
2

    




     



(*) luôn đúng nên h đúng vi mi x tha điu kin.
Vy:
x1

Chú ý
: CÁC DNG PHNG TRỊNH – BT
PHNG TRỊNH CHA DU TR TUYT I

AB
AB
AB









AB
AB
AB







1.
x 3 2 x 4 x 2 x 1 1      

2.
x 14x 49 x 14x 49 14     


f(x) g(x) h(x) k(x)  

Mà có:
f(x) h(x) g(x) k(x)
f(x).h(x) g(x).k(x)
  





 Bin đi phng trình v dng:
f(x) h(x) k(x) g(x)



Bình phng, gii phng trình h qu

VÍ D VÀ BÀI TP
Ví d 1: Gii phng trình sau:
w

(x 2) (x 1)(x 3) (x 2) 0
(x 2)( 1) 0
x2
       
     

      

   


Th li nhn
x2

Vy:
x2Nhn xét
:
 Khi thay
33
3
x 1 x 2 x 3     
ta ch nhn
đc phng trình h qu do phng trình đu cha
bit có nghim hay không?
 BƠi toán cng có th gii:
 
33







(2)

3x 1 2x 2 4x x 3 (*)      

22
2
5x 3 2 (3x 1)(2x 2) 5x 3 2 4x(x 3)
(3x 1)(2x 2) 4x(x 3)
6x 8x 2 4x 12x
2x 4x 2 0
x1
        
    
    
   

Th li nhn
x1

Vy:
x1Nhn xét





2
3
2
2
3
2
x1
x 3 x x 1 x 1
x3
x1
x x 1
x3


       





   


2
x 1 3
x 2x 2 0

1.
33
3
x 1 x 2 x 3 0     

2.
x 3 3x 1 2 x 2x 2     

3.
3
2
x1
x 1 x x 1 x 3
x3

      


www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 6 
a.f(x) b f(x) c 0; a 0.   

Phng pháp
: t
t f(x), t 0

: Bng cách đt n ph u, v ta đa đc
v dng phng trình:
22
u uv v 0  

 B1: Th trng hp v = 0
 B2: Xét
v0
phng trình tr thành :
2
uu
0
vv
   
   
   
   

t t =
u
v
phng trình tr thành
2
t t 0  Tham s bin thiên

VÍ D VÀ BÀI TP
Ví d 1: Gii các phng trình, bt phng trình sau:

t
2
t x 5x 2 (t 0)   

22
22
t x 5x 2
x 5x t 2
   
   

Phng trình tr thành:
2
t1
t 3t 4 0 t 4
t4


     




Vi
t4
22
x 5x 4 2   

2
x 5x 14 0 x 2;x 7       

2
2(t 6) 15 t 0   

2
3
t
2t t 3 0 t 1
2
t1



      




Vi
2
t 1 x 5x 6 1    

2
x 5x 6 1   

2
x 5x 7 0
5 53 5 53
xx
22
   

2x 5x 2 t 8    

Phng trình tr thành:
t 8 2 t 1  

t 8 1 2 t   

 
2
t 8 1 2 t   

4 t 7 3t  
2
7 3t 0
t1
16t (7 3t)


  




Vi
2
7
t 1 2x 5x 6 1 x 1;x
2
        


www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 7
4.
x x 1 3
x 1 x
2




iu kin:
x
0 x 0 x 1
x1
    


t
x
t (t 0)
x1



Bt phng trình tr thành:
13
t
t
2




  


1 x 0   

Vi
t2
x
2
x1



x
2
x1



x 2x 2
0
x1




x2

2
x x 1 9
x 1 x 2








22
x x 1 5
x 1 x 2
2x 2(x 1) 5x(x 1)
0
2(x 1)x

  

   



2
x x 2
0
2(x 1)x
  


t
t x 1 4 x (t 0)    

2
2
t x 1 4 x 2 (x 1)(4 x)
t5
(x 1)(4 x)
2
       

   

Phng trình tr thành:

2
t5
t5
2



2
t3
t 2t 15 0 t 3
t5


      


2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16       

iu kin
:
2
2x 3 0
x 1 0 x 1
2x 5x 3 0



    


  


t
t 2x 3 x 1 (t 0)    

22
22
t 3x 4 2 2x 5x 3
3x 2 2x 5x 3 t 4
     
     

Phng trình tr thành:
2
t t 4 16  



  

  

  

  


Vy:
x3

1.
2
x 1 4 x x 3x 4 5       

2.
2
2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16       
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 8
Ví d 3: Gii các phng trình sau:


t
3
x2
t
2x



phng trình tr thành:
2
t1
4t 7t 3 0
3
t
4



   




Vi
3
x 2 x 2
t 1 1 1 x 0
2 x 2 x

      

3
v 2 x

Phng trình tr thành:
22
4u 7uv 3v 0  

Do
v0
không là nghim phng trình. Chia 2 v
cho
v0
ta đc:
2
2
uu
4 7 3 0
vv
  
u u 3
1
v v 4
   

Vi
u
1
v

3

(2)
iu kin:
3
x 1 0 x 1    

(2)
22
2(x x 1) 2(x 1) 5 (x 1)(x x 1)        

Do
 
2
x x 1 0  
chia hai v cho
 
2
x x 1
:
22
x 1 x 1
2 2 5
x x 1 x x 1

  
   

t
2
x1
t (t 0)

22
1 x 1 1 x 1 1
t
2 x x 1 2 x x 1 4

    
   

5 37
x
2



Vy:
5 37
x
2



Nhn xét
:
 Khó khn ca ta là trong vic phân tích:
 
22
2 x 2 2(x x 1) 2(x 1)     
.
 Vic này có th thc hin d dàng do:
32

4 2 2
x 1 x 2x 1 x 2x 1     


  
4 2 2
4x 1 2x 2x 1 2x 2x 1     

3.
2 2 4 2
x 3 x 1 x x 1    

iu kin
:
2
x 1 0 x 1 x 1      

Ta đt:
2
ux
,
2
v x 1 (u,v 0)  
.
Phng trình tr thành :
22
u 3v u v  

2 2 2 2
u 6uv 9v u v    

23
2 x 2 5 x 1  

3.
2 2 4 2
x 3 x 1 x x 1    

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 9
Ví d 4: Gii các phng trình sau: 1.
22
x 2(x 1) x x 1 x 2 0      
(1)
iu kin
:
2
x x 1 0 x     
22
(1) x x 1 2(x 1) x x 1 2(x 1) 1 0          

      

22
2
1 2x 0
x x 1 (1 2x)
1
x
x0
2
3x 5x




   




  





Vy:
x0
hoc
x1


      




Vi
2
x 1 2
t 2 x 2x 3 2
x 1 2


     





Vi
2
t x 1 x 2x 3 x 1      

22
x 1 0
(VN)
x 2x 3 x 2x 1


1.


33
33
x 25 x x 25 x 30   

t
3
3 3 3
y 35 x x y 35    

Khi đó phng trình chuyn v h sau:
33
xy(x y) 30
x y 35






ơy lƠ h đi xng loi 1. Gii h ta tìm đc cp
nghim là
(2;3)
hoc






u v 2
uv 1







u v 1 x 0    

Vy: x = 0.

3.
3
2 x 1 x 1   

iu kin
:
x 1 0 x 1   

t
3
u 2 x
v x 1 (v 0)

2.
 
22
x 1 x 2x 3 x 1    

T N PH A V H
1.


33
33
x 25 x x 25 x 30   

2.
33
1 x 1 x 2   

3.
3
2 x 1 x 1   

4.
3
3
x 1 2 2x 1  

5.
   
22
3












Vy:
x2
hoc
x1
hoc
x 104.
3
3
x 1 2 2x 1  

t
3
3
y 2x 1 y 1 2x    
.
Khi đó phng trình chuyn v h sau:





    



(Do
2
2 2 2
y3
x xy y 2 x y 2 0
24

       


)
3
x 1 2y
x y 0







3


5.
   
22
3
2
33
3x 1 3x 1 9x 1 1     

t:
3
u 3x 1
và
3
v 3x 1

Khi đó phng trình chuyn v h sau:
22
33
u v u.v 1
u v 2

  






u v 2 u v 2     


Vy:
x0

Ví d 2: Gii các phng trình sau: 1.
2
x3
2x 4x
2



Cách 1:
2
x3

2
22
y0




      




.
Khi đó phng trình chuyn v h sau:
2
2
1
t 1 y
2
1
y 1 t
2









  

  







1 17 3 17
tx
44
  
   
(tha).
Vi
2
2
1t
(t ) 1
4t 2t 3 0
1
22
yt
1
1
2
t
t


1.
2
x3
2x 4x
2



2.
2
x x 1000 1 8000x 1000   

3.
2
4x 7x 1 2 x 2   

4.
32
3
4
81x 8 x 2x x 2
3
    

5.
2 2 2
3
7x 13x 8 2x . x(1 3x 3x )    


2x 4x t 1
2t 4t x 1

  


  



ơy lƠ h đi xng loi 2. Gii vƠ so điu kin ta
nhn nghim
3 17 5 13
x ;x
44
   


Cách 3:
2
x3
2x 4x
2



iu kin:
x3
.


2 4 2 2
   





  


   



    

   




  
    
  

  


x 2 x 0
3 17 5 13

4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
và có phân tích thành
(x
2
+ a
1
x + b
1
) ( x
2
+ a
2
x + b
2
) = 0
Lúc đó, bng đng nht h s ta có:
12
1 2 1 2
1 2 2 1
12
a a a
a a b b b
a b a b c
b b d


. . . .
8 2 4 2 4 2 4 2 4
   
    

Vy ta đc các cp
12
b ;b

Bng “mt chút nhy bén” vƠ tính toán ta chn
đc h s nh bƠi trên.
 Phng pháp 2: (kh nng bm máy tính b túi)
S dng phng pháp nhm nghim bng máy
tính. (CALC).
 Nhp biu thc:
432
8x 32x 32x x 3   

 Chn các khong nghim và tìm nghim.
 Ta tìm đc các nghim.
A 1.780776406
B 0.280776406
C 0.348612181
D 2,151387819





Ta có:






.
ơy lƠ h đi xng loi II vi hai n t và y.
Sáng to
: Khi thay
a,b,f(x)
là các s ta có đc
các bài toán v phng trình.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 12
2.
2
x x 1000 1 8000x 1000   
(2)
iu kin
:
1
x
8000


(2)
2
4x 4x 4000 4000 4000(2x 1) 3999     



  



2
u 4001 4000v
(u v)(u v 4000) 0




   


Do
u v 4000 0  
nên
2
u 4001 4000v
u v 0







2


3
3
27 27.(3x 2) 46 (3x 2) 46     

t
3
3
t 3x 2;y 27t 46 y 27t 46      

Khi đó phng trình chuyn v h sau:
3
3
27y t 46
27t y 46








 
3
22
27y t 46
27(y t) (t y) t ty y



t y 0
t 1 2 6
x
3







  












Vy:
x0
;
3 2 6
x
3

t 3x 2y
y 3x 2t








yt
(t y)(t y 2) 0
y t 2


     

  


Vi
2
t 2t 3x 0
yt
t0

  





2
4x 11x 7 0
3
x
2

  






7
x
4
  
.
Vy:
71
x ;x
44
  
. Nhn xét:
 Ta có th thay b trong dng toán tng quát
bng mt biu thc cha x.

8t 13t 7t 2 t 3t 3    

3 2 2
3
(2t 1) (t t 1) 2 2(2t 1) t t 1         
.
t
2
3
u 2t 1, v 2(2t 1) t t 1      

Khi đó phng trình chuyn v h sau:
32
33
32
u t t 1 2v
u v 2v 2u
v t t 1 2u

   

   

   



22
(u v)(u uv v 2) 0     


  





Th li nhn ba nghim t.
Vi
t 1 x 1  

Vi
5 89 16
tx
16
5 89

  


Vy:
16
x 1; x
5 89


.

6.
22
4x 11x 10 (x 1) 2x 6x 2     

(2x 3) x 1 (x 1)(2x 3)      

2
2x 6x 7 0   
(VN)
Vi
2
u v 1 x 2x 3 2x 6x 2 1 x         

2
2x 6x 2 4 3x    

2
4
x
3
7x 18x 14 0






  

(VN)
Vy: phng trình vô nghim.

A AB B

AB

33
AB

33
22
3
A AB B

AB

 Mt s lu ý:
 Thng d đoán nghim vƠ dùng nhơn lng
liên hip đ xut hin nhân t chung.
 Cách đánh giá v trái, v phi đ chng minh
phng trình vô nghim.
Ví d 1: Gii phng trình, bt phng trình sau: 1.
22

    

   


22
x2
x2
x 2 x 2
30
x 12 4 x 5 3



  


  

   


Do
22
x 2 x 2
x 12 4 x 5 3


   






Ta có
4x 1 3x 2 0   
. Nhân 2 v cho
4x 1 3x 2  
ta đc phng trình:
NHÂN LNG LIÊN HIP
1.
22
x 12 5 3x x 5    

2.
x3
4x 1 3x 2
5

   

3.
2
2
2x
x 21
(3 9 2x)




2 12x 5x 2 26 7x
2 26
x
37
4(12x 5x 2) (26 7x)
2 26
x
37
x 344x 684 0
x2
    






   







  



Vy:

5
4x 8 4 3x 2 x 2
5
4x 1 3 2 3x 2
4 3 1
x 2 0
5
4x 1 3 2 3x 2
x 2 0 x 2
4 3 1
0 (*)
5
4x 1 3 2 3x 2

       
   
  
   

    

   

   




  




iu kin
:
9
9 2x 0
x
2
3 9 2x 0
x0








  






Ta nhân c t và mu ca v trái vi
2
(3 9 2x)
ta đc :



4.
22
9(x 1) (3x 7)(1 3x 4)    

iu kin
:
4
3x 4 x
3

  

Ta nhân c hai v ca phng trình vi biu thc
2
(1 3x 4)
ta đc:

2 2 2
9(x 1) (1 3x 4) (3x 7).9(x 1)     

22
9(x 1) (1 3x 4) 3x 7 0

      

(*)
Trng hp 1:
x1


  Ví d 2: Gii phng trình sau:

1.
2
x 2 4 x 2x 5x 1     
(1)
iu kin:
x 2 0
4 x 0






2
x4



www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 15
x 3 x 3
(x 3)(2x 1)
x 2 1 4 x 1

    
   

x 3 0
11
2x 1
x 2 1 4 x 1





  

   


x 3 0
11
2x 1 (*)
x 2 1 4 x 1
2.
2
2
1 x 2x x
x 1 x



(2)
iu kin:
1x
0 0 x 1
x

   

(2)
22
(1 x ) 1 x (2x x ) x    

2
x ( 1 x x) ( 1 x 2x x) 0      

23
x (1 2x) 1 x 4x
0
1 x x 1 x 2x x
  


3.
33
22
33
x 2 x 1 2x 2x 1     

33
22
33
2x x 2 2x 1 x 1 0       

2
3
2 2 2 2
33
2
33
4 2 2
3
2x x 1
(2x 1) (x 2) 2x 1 (x 2)
2x x 1
0
4x (x 1) 2x (x 1)


     




22
x 2x 7 3(x 2) (x 2) x 2x 2 0         

22
x 2x 7 (x 2)(3 x 2x 2 0        

2
2
2
(x 2)(x 2x 7)
x 2x 7 0
x 2x 2 3
  
    
  

2
2
x2
(x 2x 7)(1 ) 0
x 2x 2 3

    
  

 
2
2
2

2
3
3
x 3 3 x
0
12 x 3
(x 24) 3 x 24 9

  

   

2
3
3
2
3
3
(x 3)( 12 x (x 24) 3 x 24 6) 0
x3
12 x (x 24) 3 x 24 6 0 (*)
        




      


(*) kt hp vi phng trình đu ta có:



   



Vy:
x 24
hoc
x 88
do đó
phng trình vô nghim
 Vi
00
x x f(x) f(x ) k   
do đó
phng trình vô nghim
 Vy
0
x
là nghim duy nht ca phng trình
 Hng 2:
 Chuyn phng trình v dng:
f(x) g(x)

 Dùng lp lun khng đnh rng
f(x)
và g(x) có
nhng tính cht trái ngc nhau vƠ xác đnh
0
x
sao cho
00
f(x ) g(x )

 Vy
0
x
là nghim duy nht ca phng trình.
 Hng 3:


iu kin
:
D
 

Mà:
 
 
2
2
2
3(x 1) 4 5 x 1 9 4 9 5
5 x 1 5

       



  


Du “bng” xy ra khi
 
2
x 1 0 x 1    

Vy:
x1






(vô lý)
Vy: phng trình vô nghim.

3.
2 2 2
7
x 3x (x 2x 2)(x 4x 5)
2
      

Ta có:
22
22
22
2
x 2x 2 (x 1) 1 0
x 4x 5 (x 2) 1 0
7 (x 2x 2) (x 4x 5)
x 3x
22
     
     
    
  

Áp dng bt đng thc Côsi cho 2 s dng

   
22
22
13 x 3x 6 x 2x 7

    



 
2
2
5x 12x 33  

Áp dng bt đng thc Bunhiacôpxki cho 4 s :

  
2 2 2 2 2
a b c d (ac bd)   

Du “bng” xy ra khi và ch khi:
ad bc

Vi
22
a 2;b 3;c x 3x 6;d x 2x 7       

     
22
2 2 2 2

3(x 3x 6) 2(x 2x 7)    

PHNG PHÁP ÁNH GIÁ
1.
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x       

2.
22
x 6x 11 x 6x 13    

2
4
x 4x 5 3 2    

3.
2 2 2
7
x 3x (x 2x 2)(x 4x 5)
2
      

4.
   
22
22
13 x 3x 6 x 2x 7

    


1.


 


22
3x 2 9x 3 4x 2 1 x x 1 0       



 


22
3x 2 9x 3 2x 1 (2x 1) 3 2        

Nhn xét: Phng trình ch có nghim trong
1
;0
2





t


Vy:
1
x
5
2.
2
4x 1 4x 1 1   

iu kin:
2
4x 1 0
1
x
2
4x 1 0







Xét hàm s:
2
y 4x 1 4x 1 1    


2

3.
2
3 x 1 3x 8x 3   
(1)
iu kin:
x 1 0 x 1    

(1)
2
3 x 1 3x 8x 3 0     

Xét hàm s:
2
y 3 x 1 3x 8x 3    
trên


D 1;  

3
y' 6x 8
2 x 1
  





  




22
x 2x 3 x 1 3 x x 6x 11         

   
22
x 1 2 x 1 3 x 3 x 2
         

Xét hàm s:
2
y t 2 t  

 
2
t1
y' 0 x 1;3
2t
t2
    


Khi đó:
   


2
3x 2 9x 3

 


2
4x 2 1 x x 1 0     

2.
2
4x 1 4x 1 1   

3.
2
3 x 1 3x 8x 3   

4.
22
x 2x 3 x 6x 11 3 x x 1        
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 18
PHN II

H PHNG TRÌNH
x
















2
2x 1
y
3
x x 72 0



  





     


  



Do
x0
không là nghim h phng trình nên
(2)
2
x1
y1
x

  
thay vƠo (1) ta đc:
22
22
x 1 x 1
x x 3x 4x 1
xx


   



  

    

Vy: nghim h là
 
1; 1 ; 2;
5
2
  



 Bng cách bin đi đa mt phng trình v
dng tích ta tính đc x theo y
 Th vƠo phng trình còn li gii tìm
nghim.
Ví d: Gii các h phng trình sau:
( Do có đk có
x y 0
)
x 2y 1  

Thay vƠo phng trình (2) ta đc:
 
2y 1 2y y 2y 2(2y 1) 2y    

   
2y y 1 2 y 1   

 
 
y 1 2y 2 0 y 2     
( Do y

0)
Vi
y2
ta có
x5

Vy: nghim h là
(5;2)Nhn xét
:
 Ta có th kim tra phng trình (1) có nhóm

  


     



T phng trình (2) bng phng pháp tham s bin
thiên xem y là n ta có:
22
y 5x 4xy 16x 8y 16 0     

PHNG PHÁP TH
1.
2
2x 3y 1
x xy 24






2.
22
2
x (y 1)(x y 1) 3x 4x 1
xy x 1 x

     



3.
33
22
x 7x y 7y
x y x y 2

  


   



PHNG PHÁP TệCH S
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 19
(y x 4)(y 5x 4) 0
y 4 x
y 5x 4
     









  


Vy: nghim h là
   
4
0;4 ; 4;0 ; ;0
5



3.
33
22
x 7x y 7y
x y x y 2

  


   



 

22
xy
x xy y 7 0 (VN)
2x 2x 2
x y x y 2


   





   




15
xy
2
15
xy
2







f(x,y) 0
g(x, y) 0





vi
f(x,y) f(y,x)
g(x,y) g(y,x)






Cách gii: t
S x y
P xy





vi
2
S 4P

Ví d: Gii các h phng trình sau:


S 2P 5







 
2
P 5 S
S 2 5 S 5





  



2
P 5 S
S 2S 15 0




  


x 1 x 2
;
y 2 y 1




Cách 2: Gii bình thng bng phng pháp th:

S 5 P 10   

 
x 5 y
x y 5
y 5 y 10 (VN)
xy 10
  

  




  





Vy: h phng trình có 2 nghim là:
   
1,2 , 2,1

H I XNG LOI I
1.
22
x y xy 5
x y 5
  





2.
2x 2y
3
yx
x y xy 3





  


www.MATHVN.com


  


 
22
2 x y 5xy 0
x y xy 3

  



  



Cách 1: a v h đi xng loi 1.
t
u x;v y  

H
 
22
2 u v 5uv 0
u v uv 3

  



3
9
v
v3
P
2
2

   
  

  

    
  










  


  






Cách 2: Gii trc tip.
H
 
 
2
2 x y 2xy 5xy 0
x y xy 3

   




  


x y 1
x 2 x 1
;
xy 2
y 1 y 2
3
x 3 3
xy
x
2





  

  



  










Vy: H phng trình có 4 nghim
   
33
2;1 , 1; 2 , 3; , ,3
22
   
   
   
   


(x y)h(x;y) 0
f(x;y) 0







x y 0
f(x;y) 0






hay
h(x;y) 0
f(x;y) 0






Ví d: Gii các h phng trình sau:
3(x y)(x y) x y
x 2y 2x y
   



  


22
(x y)(3x 3y 1) 0
x 2y 2x y
   



  


22
x y 0
x 2y 2x y




  

hoc
22


(vn)
x y 0
x y 3




  


Vy: h có hai nghim
(0;0); ( 3; 3)2.
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)

   


   



iu kin
:
3
x,y ;4




www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 21
2x 3 4 y 4
2x 3 4 y 2y 3 4 x 0

   



       



2x 3 4 y 4
2(x y) x y
0
2x 3 2y 3 4 x 4 y

   









x 7 2 2x 3 4 x 16
xy

    








x y 3
11
xy
9







Vy: H có 2 nghim là
 
11 11
3;3 , ;
99
Dng
:
22
1 1 1 1
22
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d

  


  



Cách gii
:
 Xét y = 0.
 Xét
y0
khi đó đt







(mâu thun)
Vy y = 0 không là nghim h phng trình.
t x = ty thay vào h ta có:
22
22
y (3t 2t 1) 11(1)
y (t 2t 3) 17(2)

  


  



Ly (1) chia (2)
Kh y ta đc: 10t
2
+ 3t – 4 = 0
41
t ;t
52

  


 y = 2
x1
;
 y = - 2
x1  

Vy: Nghim h:
4 5 4 5
( ; ),( ; ), (1;2),( 1; 2)
3 3 3 3
   2.
 
2
33
x y y 2
x y 19








Do
x0

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 22
t
y tx

H
 
 
 
2
3
2
33
3 3 3
x 1 t t 2
x tx tx 2
x 1 t 19
x t x 19











t
3

3
19
x 19 x 3 y 2
27
     

Vi
3
33
1 342 7 1
t x 19 x y
7 343
18 18
      

Vy: H có hai nghim
 
33
71
3;2 , ;
18 18


Nhn xét


Ví d 1: Gii các h phng trình sau: 1.
 
 
 
2
2
x 1 y y x 4y
x 1 y x 2 y

   




t
2
x1
u ;v x y 2
y

   
ta đc:
H
u v 2 u 1
uv 1 v 1
  






2
x1
1
y
x y 2 1







   


Vy: H có 2 nghim
(1;2),( 2;5)2.
1
x x y 3 3
y
1
2x y 8
y

    




  



iu kin:
x y 3 0
1
x0
y

2.
1
x x y 3 3
y
1
2x y 8
y

    




  



www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
[email protected] - 0907894460 Trang 23
t
1
u x ;v x y 3
y
    

H
1
x x y 3 3




Vi
u 2;v 1
ta có h:
1
1
x2
x4
y
y
x y 4
x y 3 1










  



y 1 x 3
y 1 x 5



y 3 10 x 4 10
y 3 10 x 4 10

    



    



So điu kin nhn 4 cp nghim trên.
Vy: H có 4 nghim
   
   
3;1 ; 5; 1 ; 4 10;3 10 ; 4 10;3 10    
 
2 4 2 4 2
2

2 x y 2xy y 1 2 3 2 x y      

  
 
2 2 2
2 (x 1)y 1 (x 1)y 1 2 3 2 x y          
2 2 2 2
xy y 1 xy y 1
    

 
 
22
2 1 3 2 y xy
   

t
22
u xy 1; v y  
. Phng trình tr thành:
  
 
 
u v u v 2 u 3 2 v    

 
 



    



Do
2
v y 0
không là nghim nên
 
 
2
uu
** 3 8 3 2 45 24 2 0
vv

     



u u 8 2
35
v v 3
    

22
22
xy 1 xy 1 8 2
35

2
x 2 y 1 y 1
x 4 2 y 1 2 y 1 2
x 4 2(l)

     

         






Vy: Nghim h phng trình
   




2;1 ; 2; 1 ; 4 2; 1 2 ; 4 2; 1 2     
1.
2
2
3 x 2 x 3 y
3 y 2 y 3 x

   


   



iu kin
:
x,y 0

Tr v cho v ca hai phng trình ta đc:
22
3 x 3 x 3 y 3 y    

Xét hàm s
2
y f(t) 3 t 3 t   


Mà
G(1) 0

Do đó phng trình có 1 nghim duy nht
x 1 y 1  

Vy: Nghim h
(1;1)2.
33
84
x 5x y 5y
x y 1

  






Nhn xét:
Do
84
x y 1
nên
 
x1

x x 1
15
x
2





  






Do
 
x 1;1
nên nhn
4
4
1 5 1 5
x x y
22
   
   

Vy: Nghim h
44

PHNG PHÁP ÁNH GIÁ
1.
2

2
x mx 2 2x 1   

Ví d 2: Tìm m đ phng trình sau có nghim
thuc
0;1 3






 
2
m x 2x 2 1 x 2 x 0     

I. Kin thc cn nh
Cho hàm s
 
y f x
liên tc trên tp
D

Yêu cu Khai thác
 
f x m
có nghim

xD
maxf x m



 
f x m
có nghim
 
xD
minf x m



II. PHNG PHÁP GII
 gii bài toán tìm giá tr ca tham s m sao
cho phng trình, bt phng trình, h phng trình
có nghim ta lƠm nh sau:
 Bc 1: Bin đi phng trình, bt phng
trình v dng:
   
f x g m
hoc
   
f x g m
hoc
   
f x g m

 Bc 2: Tìm TX

x mx 2 2x 1





   



 
2
1
x
2
mx 3x 4x 1 *






  


Xét phng trình
 
*

Vi

  
vi
 
1
x ; \ 0
2

   




Gii hn:
 
x 0 x 0
1
lim f x lim 3x 4
x



    



;
 
xx
1
lim f x lim 3x 4

S nghim ca phng trình (1) bng s giao đim
ca đ th hàm s
 
1
f x 3x 4
x
  
vƠ đng thng
ym
trên min
 
1
; \ 0
2

 




Da vào bng bin thiên ta đc giá tr ca m tha
mãn yêu cu bài toán là
9
m
2


Vy:
9
m
x
t’
t
0
+
-
13

1
0
2

1
2
PHNG TRÌNH ậ BT PHNG
TRÌNH ậ H PHNG TRÌNH
CHA THAM S
www.MATHVN.com
www.mathvn.com