Mục lục
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số . . . . . . . . . 3
§1. Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§3. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§4. Hệ Phương Trình Mẫu Mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§5. Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
Nguyễn Minh Hiếu
2
Chuyên đề 9
Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số
§1. Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức
Bài tập 9.1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
x
2
− 3x − 2
x − 1
≥ 2x + 2.
b)
x + 5
2x − 1
+
2x − 1
x + 5
> 2.
c) x
3
− 3

x −∞ −3 0 1 +∞
−x
2
− 3x − 0 + 0 − | −
x − 1 − | − | − 0 +
VT + 0 − 0 + || −
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪[0; 1).
b) Bất phương trình tương đương với
(x + 5)
2
+ (2x − 1)
2
− 2 (x + 5) (2x −1)
(2x − 1) (x + 5)
> 0 ⇔
x
2
− 12x + 36
2x
2
+ 9x − 5
> 0
Bảng xét dấu
x −∞ −5
1
2
6 +∞
x
2
− 12x + 36 + | + | + 0 +


= 0 ⇔

x =
√
3
x =
√
3 ±
√
2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x =
√
3, x =
√
3 ±
√
2.
d) Phương trình tương đương với
(4 + x)
2
= (x − 1)
3
− (x − 1)

x
2
− 2x + 17


3
− x
2
+ 16x − 12 = 0.
c) x
4
− 4x
3
+ 7x + 2 = 0. d) x
3
− 3x
2
− 9x + 2 ≤ 0.
Lời giải.
a) Ta có x
3
− 5x
2
+ 5x − 1 = 0 ⇔ (x − 1)

x
2
− 4x + 1

= 0 ⇔

x = 1
x = 2 ±
√
3

+ 7x + 2 = 0 ⇔ (x + 1) (x − 2)

x
2
− 3x − 1

= 0 ⇔


x = −1
x = 2
x =
3±
√
13
2
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x = −1, x = 2, x =
3 ±
√
13
2
.
d) Ta có x
3
− 3x
2
− 9x + 2 ≤ 0 ⇔ (x + 2)

x

a)

x
2
− 4x + 3

2
−

x
2
− 6x + 5

2
= 0. b) x
4
= (2x − 5)
2
.
c) x
4
− 4x − 1 = 0. d) x
4
= 6x
2
− 12x + 8.
Lời giải.
a) Ta có

x

2
+ 2x − 5

x
2
− 2x + 5

= 0 ⇔ x = −1 ±
√
6.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ±
√
6.
c) Phương trình tương đương với

x
2
+ 1

2
= 2(x + 1)
2
⇔

x
2
+
√
2x + 1 +
√

2
− 1

2
= (2x − 3)
2
⇔

x
2
+ 2x − 4

x
2
− 2x + 2

= 0 ⇔ x = −1 ±
√
5
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ±
√
5.
Bài tập 9.4. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)

x
2
+ 5x

2

e)
x
2
+ 1
x
+
x
x
2
+ 1
= −
5
2
.
f)

x − 1
x + 2

2
+
x − 3
x + 2
− 2

x − 3
x − 1

2
= 0.

t = 3
t = −4
.
Với t = 3 ⇒ x
2
+ x + 1 = 3 ⇔

x = 1
x = −2
. Với t = −4 ⇒ x
2
+ x + 1 = −4 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2.
c) Phương trình tương đương với (x
2
− 2x − 2)
2
− (x
2
− 2x − 2) −x
2
+ x = 0.
Đặt x
2
− 2x − 2 = t. Phương trình trở thành
t
2
− t − x
2
+ x = 0 ⇔ (t −x)(t + x) − (t − x) = 0 ⇔ (t − x)(t + x −1) = 0 ⇔


16x
2
+ 24x + 9

2x
2
+ 3x + 1

= 810 ⇔

8(2x
2
+ 3x + 1) + 1

2x
2
+ 3x + 1

= 810
Đặt 2x
2
+ 3x + 1 = t. Phương trình trở thành (8t + 1) t = 810 ⇔

t = 10
t = −
81
8
.
Với t = 10 ⇒ 2x

5
2
⇔

t = −2
t = −
1
2
.
Với t = −2 ⇒
x
2
+ 1
x
= −2 ⇔ x
2
+ 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1.
Với t = −
1
2
⇒
x
2
+ 1
x
= −
1
2
⇔ 2x
2

x − 1
x + 2
= −2.
x − 3
x − 1
⇔ x
2
−2x+1 = −2x
2
+2x+12 ⇔ 3x
2
−4x−11 = 0 ⇔ x =
2 ±
√
37
3
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x =
2 ±
√
37
3
.
Bài tập 9.5. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) (x + 1)
4
+ (x + 3)
4
= 16. b) (x + 3)
4

4
+ 12t
2
− 14 = 0 ⇔

t
2
= 1
t
2
= −7 (loại)
⇔ t = ±1
Với t = 1 ⇒ x = −1; t = −1 ⇒ x = −3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1, x = −3.
b) Đặt x + 1 = t. Phương trình trở thành
(t + 2)
4
+ (t − 2)
4
= 16 ⇔ 2t
4
+ 48t
2
− 50 = 0 ⇔

t
2
= 1
t
2
= −25 (loại)

; t = −3 ⇒ x
2
+ 5x + 4 = −3 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
−5 ±
√
13
2
.
d) Phương trình tương đương với
(x − 1) (x + 5) (x + 1) (x + 3) + 16 = 0 ⇔

x
2
+ 4x − 5

x
2
+ 4x + 3

+ 16 = 0
Đặt x
2
+ 4x − 5 = t. Phương trình trở thành t (t + 8) + 16 = 0 ⇔ t = −4.
Với t = −4 ⇒ x
2
+ 4x − 5 = −4 ⇔ x = −2 ±
√
5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 ±
√

= t ⇒ x
2
+
1
x
2
= t
2
+ 2. Phương trình trở thành 2

t
2
+ 2

+ 3t − 9 = 0 ⇔

t = 1
t = −
5
2
.
Với t = 1 ⇒ x −
1
x
= 1 ⇔ x
2
− x − 1 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
5

2x
2
+ 3x − 27 +
6
x
+
8
x
2
= 0 ⇔ 2

x
2
+
4
x
2

+ 3

x +
2
x

− 27 = 0
Đặt x +
2
x
= t ⇒ x
2

Với t =
7
2
⇒ x +
2
x
=
7
2
⇔ 2x
2
− 7x + 4 = 0 ⇔ x =
7 ±
√
17
4
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
−5 ±
√
17
2
, x =
7 ±
√
17
4
.
§2. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối
Bài tập 9.6. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

+ 3x − 10


+


x
2
− 4


= 0. d)


x
2
+ 3x − 4


+


x
2013
+ 2013x − 2014


= 0.
e) |x − 2| < |2x + 1|. f)


x = 2 ±
√
2
x = 0
x = 2
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 2 ±
√
2, x = 0, x = 2.
6
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
b) Ta có


x
2
+ 4x − 5


=


x
2
+ 5


⇔

x

+


x
2
− 4


= 0 ⇔

x
2
+ 3x − 10 = 0
x
2
− 4 = 0
⇔




x = 2
x − 5
x = ±2
⇔ x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
d) Phương trình tương đương với

x
2

1
3
; +∞

.
f) Điều kiện: x = 3. Bất phương trình tương đương với
|2x − 3| ≤ |x − 3| ⇔ (2x − 3)
2
≤ (x − 3)
2
⇔ 3x
2
− 6x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 (thỏa mãn)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 2].
Bài tập 9.7. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)


x
2
− 5x + 4


− x = 4.
b)
√
x
2
+ 4x + 4 = 5 −x
2



x
2
− x


− 6 = 0. f) 3

2x − 1
x + 1

2
−




x + 1
2x − 1




− 2 = 0.
Lời giải.
a) Với x
2
− 5x + 4 ≥ 0 ⇔


2
x =
−1−
√
13
2
(loại)
Với x+2 < 0 ⇔ x < −2, phương trình trở thành −x−2 = 5−x
2
⇔ x
2
−x−7 = 0 ⇔

x =
1+
√
29
2
(loại)
x =
1−
√
29
2
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
−1 +
√
13
2
, x =

− 4 > 0 ⇔ x > 2 (loại) ⇒ S
2
= ∅
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S
1
∪ S
2
= (−∞; −1) ∪ (2; +∞).
7
Nguyễn Minh Hiếu
d) Với x
2
− 5x + 4 ≥ 0 ⇔

x ≥ 4
x ≤ 1
, bất phương trình trở thành
x
2
− 5x + 4 ≤ x
2
+ 6x + 5 ⇔ x ≥ −
1
11
⇒ S
1
=

−
1

− x| = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t
2
+ t − 6 = 0 ⇔

t = 2
t = −3 (loại)
.
Với t = 2 ⇒


x
2
− x


= 2 ⇔

x
2
− x = 2
x
2
− x = −2 (vô nghiệm)
⇔

x = 2
x = −1
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = −1.
f) Điều kiện: x = −1, x =

x = 2
x = 0
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 0.
Bài tập 9.8. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
√
x
2
− 2x + 1 +
√
x
2
+ 4x + 4 = 5.
b)


x
2
− 5x + 4


+


x
2
− 5x



Với x ∈ (−∞; 0], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 + x
2
− 5x = 4 ⇔

x = 0 (thỏa mãn)
x = 5 (loại)
.
Với x ∈ (0; 1], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 −x
2
+ 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng, ∀x ∈ (0; 1]).
Với x ∈ (1; 4], phương trình trở thành −x
2
+ 5x − 4 −x
2
+ 5x = 4 ⇔

x = 4 (thỏa mãn)
x = 1 (loại)
.
Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 −x
2
+ 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng, ∀x ∈ (4; 5]).
Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x
2

Với x ∈

−
3
4
;
6
5

, phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x + 4x + 3 ⇔ 9 = 9 (đúng, ∀x ∈

−
3
4
;
6
5

).
Với x ∈

6
5
; 9

, phương trình trở thành 9 − x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x =
6
5
(loại).
Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = −

, phương trình trở thành 7 − 2x = 5 − 3x + x + 2 ⇔ 7 = 7 (đúng, ∀x ∈

−2;
5
3

).
Với x ∈

5
3
;
7
2

, phương trình trở thành 7 − 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x =
5
3
(loại).
Với x ∈

7
2
; +∞

, phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = −2 (loại).
Vậy phương trình có tập nghiệm S =

−2;
5

≥ 0 ⇔ x ≥ 2, phương trình trở thành
√
x − 1 + 1 +
√
x − 1 −1 = 2 ⇔
√
x − 1 = 1 ⇔ x = 2 (thỏa mãn)
Với


√
x − 1 −1


< 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, phương trình trở thành
√
x − 1 + 1 −
√
x − 1 + 1 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng, ∀x ∈ [1; 2))
Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2].
§3. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn
Bài tập 9.9. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
3
√
6x − 9x
2
< 3x.
b)


VT − 0 + 0 − 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =

−
2
3
; 0

∪

1
3
; +∞

.
9
Nguyễn Minh Hiếu
b) Phương trình tương đương với

x + 1 ≥ 0
2x +
√
6x
2
+ 1 = x
2
+ 2x + 1
⇔

x ≥ −1

x ≥ 7
x − 1 = x
2
− 14x + 49
⇔



x ≥ 7

x = 5 (loại)
x = 10
⇔ x = 10
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
d) Phương trình tương đương với
√
2x − 1 = −x
2
+ 3x − 1 ⇔

−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
2x − 1 = x
4
+ 9x
2
+ 1 − 6x
3
+ 2x






−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0


x = 1
x = 2 +
√
2 (loại)
x = 2 −
√
2
⇔

x = 0
x = 2 −
√
2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2 −
√
2.
Bài tập 9.10. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
√
x

x − 4 ≥ 0
x
2
− 4x − 12 ≥ 0
x
2
− 4x − 12 ≤ x
2
− 8x + 16
⇔







x ≥ 4

x ≥ 6
x ≤ −2
x ≤ 7
⇔ 6 ≤ x ≤ 7
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7].
b) Bất phương trình tương đương với






2
−3 < x < −
7
3
⇔ x ≤ −2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2].
10
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
c) Điều kiện: x ≥ 4. Bất phương trình tương đương với

2 (x
2
− 16) + x −3 > 7 − x ⇔

2 (x
2
− 16) > 10 − 2x ⇔


10 − 2x < 0

10 − 2x ≥ 0
2x
2
− 32 > 100 − 40x + 4x
2
⇔


x > 5

x + 1 ≥ 0
x
3
+ 1 ≤ x
2
+ 2x + 1
⇔

x ≥ −1
x (x + 1) (x −2) ≤ 0
⇔



x ≥ −1

x ≤ −1
0 ≤ x ≤ 2
⇔

x = −1
0 ≤ x ≤ 2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = {−1} ∪ [0; 2].
Bài tập 9.11. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
√
2x + 9 =
√
4 − x +
√

2
+ 11x + 4
⇔ − 3x
2
+ 11x + 4 = 4 ⇔

x = 0
x =
11
3
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x =
11
3
.
b) Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 5. Phương trình tương đương với
√
3x − 3 =
√
5 − x +
√
2x − 4 ⇔ 3x − 3 = 5 − x + 2x − 4 + 2

(5 − x) (2x − 4)
⇔ 2x − 4 = 2

(5 − x) (2x − 4) ⇔ (2x − 4)
2
= 4 (5 − x) (2x −4)
⇔(2x − 4) (2x −4 −20 + 4x) = 0 ⇔

a) (D-05) 2

x + 2 + 2
√
x + 1 −
√
x + 1 = 4.
b)

x
4
+
√
x − 4 ≥ 8 − x.
c) (D-02)

x
2
− 3x

√
2x
2
− 3x − 2 ≥ 0.
d) (x − 2)
√
x
2
+ 4 < x
2

14 − 2x < 0
x − 4 ≥ 0

14 − 2x ≥ 0
x − 4 ≥ 196 − 56x + 4x
2
⇔





x > 7
x ≥ 4

x ≤ 7
25
4
≤ x ≤ 8
⇔

x > 7
25
4
≤ x ≤ 7
⇔ x ≥
25
4
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =


x = −
1
2








x > 2
x < −
1
2

x ≥ 3
x ≤ 0
⇔




x = 2
x = −
1
2
x ≥ 3
x < −
1






x − 2 > 0
√
x
2
+ 4 < x + 2

x − 2 < 0
√
x
2
+ 4 > x + 2
⇔





x > 2
x
2
+ 4 < x
2
+ 4x + 4

x < 2


7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
√
3 − 2x −x
2
.
d)

x
2
−
7
x
2
+

x −
7
x
2
= x.
Lời giải.
a) Điều kiện:


x ≥ 1

2x
2
+ 4x − 6 = x −1
⇔ 4

2x
2
+ 4x − 6

= x
2
− 2x + 1 ⇔ 7x
2
+ 18x − 25 = 0 ⇔

x = 1
x = −
25
7
(loại)
12
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Với x ≤ −3, phương trình trở thành
√
−x − 1

√
−2x − 6 +
√
1 − x −2

x = −
25
7
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = −1, x = −
25
7
.
b) Điều kiện: x ≤
3
√
2. Nhận thấy
√
2 − x
3
≥ 0 ⇒
3
√
x
2
− 2 ≥ 0 ⇔

x ≥
√
2
x ≤ −
√
2
.
Từ điều kiện ta có x ≤ −
√

3
− 4x
2
− 4 = 0
⇔ x
9
− 5x
6
−

x
3
−
1
2
x

2
+ 12x
3
−
15
4
x
2
− 4 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Ta có phương trình hệ quả
7 − x
2

⇒ x
2
−
7
x
2
= x
2
+ x −
7
x
2
− 2x

x −
7
x
2
⇒ x

1 − 2

x −
7
x
2

= 0 ⇒ 2

x −

2x + 1 −1
> 2x + 2.
c)
x
2

1 +
√
1 + x

2
> x − 4.
d) (A-2010)
x −
√
x
1 −

2 (x
2
− x + 1)
≥ 1.
Lời giải.
a) Điều kiện: x ≥ 2. Phương trình tương đương với
3
√
x − 2 −
√
x + 6 = 2x −6 ⇔
9 (x − 2) − (x + 6)

x + 6 = 4
⇔

x = 3
9 (x − 2) + x + 6 + 6

(x − 2) (x + 6) = 16
⇔

x = 3
3
√
x
2
+ 4x − 12 = 14 −5x
⇔


x = 3
14 − 5x ≥ 0
9

x
2
+ 4x − 12

= 196 − 160x + 25x
2
⇔


1
2
< x < 0
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =

−
1
2
; 0

.
c) Điều kiện: x ≥ −1. Nhận thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình.
Với x = 0, bất phương trình tương đương với

1 −
√
x + 1

2
> x − 4 ⇔ 1 + x + 1 −2
√
x + 1 > x − 4 ⇔
√
x + 1 < 3 ⇔ x < 8
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 8).
d) Điều kiện: x ≥ 0. Nhận thấy x
2
− x + 1 ≥
3
4

√
x
⇔

√
x ≥ x − 1
1 + x + x
2
− 2
√
x − 2x + 2x
√
x ≤ 0
⇔

√
x ≥ x − 1
(1 −
√
x − x)
2
≤ 0
⇔

√
x ≥ x − 1
1 −
√
x − x = 0
⇔

x
2
+ 3x.
b)

(x + 1) (2 − x) = 1 + 2x − 2x
2
.
c) x
2
+
√
2x
2
+ 4x + 3 ≥ 6 − 2x. d) x (x + 1) −
√
x
2
+ x + 4 + 2 ≥ 0.
e)
x
x + 1
− 2

x + 1
x
> 3.
f) (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)

x+1

2
+ 3x = 2 ⇔ x
2
+ 3x − 4 = 0 ⇔

x = 1
x = −4
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −4.
b) Phương trình tương đương với
√
2 + x −x
2
= 1 + 2

x − x
2

.
Đặt
√
2 + x −x
2
= t (t ≥ 0).
Phương trình trở thành t = 1 + 2

t
2
− 2


1
2
.
c) Đặt
√
2x
2
+ 4x + 3 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành
t
2
− 3
2
+ t ≥ 6 ⇔

t ≥ 3
t ≤ −5 (loại)
.
Với t ≥ 3 ⇒ 2x
2
+ 4x + 3 ≥ 9 ⇔

x ≥ 1
x ≤ −3
.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪[1; +∞).
d) Đặt
√
x
2
+ x + 4 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành t

+ 3t
2
− 1 < 0 ⇔ (t + 1)
2
(2x − 1) < 0 ⇔ t <
1
2
Với t <
1
2
⇒
x + 1
x
<
1
4
⇔
3x + 4
4x
< 0 ⇔ −
4
3
< x < 0.
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =

−
4
3
; −1


Với t = −3 ⇒ (x − 3)

x+1
x−3
= −3 ⇔

x < 3
(x − 3) (x + 1) = 9
⇔ x = 1 −
√
13 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 −
√
5, x = 1 −
√
13.
Bài tập 9.16. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) x +
√
4 − x
2
= 2 + 3x
√
4 − x
2
. b)
√
3x − 2 +
√
x − 1 = 4x −9 + 2

t
2
− 4
2
.
Phương trình trở thành t = 2 +
3

t
2
− 4

2
⇔ 3t
2
− 2t − 8 = 0 ⇔

t = 2
t = −
4
3
.
Với t = 2 ⇒
√
4 − x
2
= 2 − x ⇔ 4 − x
2
= 4 − 4x + x
2

14
3
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 0, x = 2, x =
−2 −
√
14
3
.
b) Điều kiện: t ≥ 1. Đặt
√
3x − 2 +
√
x − 1 = t (t ≥ 0) ⇔ 4x + 2
√
3x
2
− 5x + 2 = t
2
+ 3.
Phương trình trở thành t = t
2
+ 3 − 9 ⇔ t
2
− t − 6 = 0 ⇔

t = 3
t = −2 (loại)
.
Với t = 3 ⇒


+ 4
√
4 − x
2
= 10 −3x.
Đặt
√
2 + x −2
√
2 − x = t ⇒ 4
√
4 − x
2
= 10 −3x −t
2
. Phương trình trở thành 3t −t
2
= 0 ⇔

t = 0
t = 3
.
Với t = 0 ⇒
√
2 + x = 2
√
2 − x ⇔ 2 + x = 4 (2 − x) ⇔ x =
6
5

1
x
− 4 ≥ 3.
15
Nguyễn Minh Hiếu
Đặt
√
x +
1
√
x
= t (t > 0) ⇒ x +
1
x
= t
2
− 2, bất phương trình trở thành

t
2
− 6 ≥ 3 − t ⇔


3 − t < 0

3 − t ≥ 0
t
2
− 6 ≥ 9 − 6t + t
2

2
⇔

x ≥ 4
0 < x ≤
1
4
.
Kết hợp ta có tập nghiệm của bất phương trình là S =

0;
1
4

∪ [4; +∞).
Bài tập 9.17. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) x
2
− 1 = 2x
√
x
2
− 2x. b) (4x − 1)
√
x
3
+ 1 = 2x
3
+ 2x + 1.
c) x

x
2
− 2x = 1 ⇔ x
2
− 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
2.
Với t = 2x − 1 ⇒
√
x
2
− 2x = 2x − 1 ⇔

2x − 1 ≥ 0
x
2
− 2x = (2x − 1)
2
⇔

x ≥
1
2
3x
2
− 2x + 1 = 0
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ±
√
2.

+ 1 =
1
2
⇔ x
3
= −
3
4
⇔ x = −
3
√
6
2
.
Với t = 2x −1 ⇒
√
x
3
+ 1 = 2x − 1 ⇔

2x − 1 ≥ 0
x
3
+ 1 = 4x
2
− 4x + 1
⇔




x
2
+ 1 = 3 ⇔ x
2
= 8 ⇔ x = ±2
√
2.
Với t = x ⇒
√
x
2
+ 1 = x ⇔

x ≥ 0
x
2
+ 1 = x
2
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2
√
2.
d) Đặt
√
x
2
− 2x + 24 = t (t ≥ 0) ⇒ x
2
= t
2

⇔

x ≥ 4
x = −
4
3
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ±
√
13.
16
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Bài tập 9.18. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
3
√
2 − x = 1 −
√
x − 1. b) (A-09) 2
3
√
3x − 2 + 3
√
6 − 5x −8 = 0.
c) 2

x
2
+ 2


3
+ v
2
= 1 (2)
.
Thay (1) vào (2) ta có (1 − v)
3
+ v
2
= 1 ⇔ 1 − 3v + 3v
2
− v
3
+ v
2
= 1 ⇔


v = 0
v = 1
v = 3
⇒


x = 1
x = 2
x = 10
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2, x = 10.
b) Đặt

= 8 ⇔ 15u
3
+ 64 − 32u + 4u
2
= 24 ⇔ u = −2 ⇒ v = 4 ⇒ x = −2
Vậy phương trình nghiệm duy nhất x = −2.
c) Phương trình tương đương với 2

x
2
+ 2

= 5

(x + 1) (x
2
− x + 1).
Đặt
√
x + 1 = u,
√
x
2
− x + 1 = v (u ≥ 0, v > 0) ⇒ u
2
+ v
2
= x
2
+ 2. Phương trình trở thành

Với v = 2u ⇒
√
x
2
− x + 1 = 2
√
x + 1 ⇔ x
2
− x + 1 = 4 (x + 1) ⇔ x =
5±
√
37
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
5 ±
√
37
2
.
d) Phương trình tương đương với 2

x
2
− 3x + 2

= 3

(x + 2) (x
2

√
x
2
− 2x + 4 = 2
√
x + 2 ⇔ x
2
− 2x + 4 = 4 (x + 2) ⇔ x = 3 ±
√
13.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 ±
√
13.
Bài tập 9.19. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) x
2
+
√
x + 5 = 5. b) x
3
+ 2 = 3
3
√
3x − 2.
c) x
3
+ 1 = 2
3
√
2x − 1.


t = −x
t = x + 1
.
Với t = −x ⇒
√
x + 5 = −x ⇔

−x ≥ 0
x + 5 = x
2
⇔

x ≤ 0
x =
1±
√
21
2
⇔ x =
1 −
√
21
2
.
Với t = x + 1 ⇒
√
x + 5 = x + 1 ⇔

x + 1 ≥ 0

b) Đặt
3
√
3x − 2 = t. Phương trình trở thành

x
3
+ 2 = 3t (1)
t
3
+ 2 = 3x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có
x
3
− t
3
= 3t − 3x ⇔ (x − t)

x
2
+ xt + t
2

= 3 (t − x)
⇔(x − t)

x
2
+ xt + t

t
3
+ 1 = 2x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có
x
3
− t
3
= 2t − 2x ⇔ (x − t)

x
2
+ xt + t
2

= 2 (t − x)
⇔(x − t)

x
2
+ xt + t
2
+ 2

= 0 ⇔

x = t
x
2

xt(x + t) = 30
t
3
+ x
3
= 35
⇔

xt(x + t) = 30
(t + x)
3
− 3xt (x + t) = 35
⇔

xt(x + t) = 30
(t + x)
3
= 125
⇔

xt = 6
t + x = 5
⇒

x = 2
x = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.
Bài tập 9.20. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) x
3

.
Lời giải.
a) Đặt
√
2x + 3 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành
x
3
+ 4x −

t
2
+ 4

t = 0 ⇔ (x − t)

x
2
+ xt + t
2
+ 4

= 0
⇔

t = x
x
2
+ xt + t
2
+ 4 = 0 (vô nghiệm)

2
+ 1

t = 0 ⇔ (2x − t)

4x
2
+ 2xt + t
2
+ 1

= 0
⇔

t = 2x
4x
2
+ 2xt + t
2
+ 1 = 0 (vô nghiệm)
18
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Với t = 2x ⇒
√
2x + 1 = 2x ⇔

2x ≥ 0
2x + 1 = 4x
2
⇔

2
t = sin t

1 + 2

1 − sin
2
t

⇔
√
1 + cos t = sin t (1 + 2 cos t)
⇔1 + cos t = sin
2
t

1 + 4 cos t + 4cos
2
t

⇔ 1 = (1 − cos t)

1 + 4 cos t + 4cos
2
t

⇔4cos
3
t − 3 cos t = 0 ⇔ cos 3t = 0 ⇔ t =
π

d) Nhận thấy − ≤ x ≤ 1 nên đặt x = sin t t ∈

−
π
2
;
π
2

. Phương trình trở thành
sin t +

3

1 − sin
2
t

= 2

1 − 2sin
2
t

⇔ sin t +
√
3 cos t = 2 cos 2t
⇔cos

t −

;
π
18

⇒ x ∈

sin
π
18
; −
1
2

.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = sin
π
18
, x = −
1
2
.
§4. Hệ Phương Trình Mẫu Mực
Bài tập 9.21. Giải các hệ phương trình sau:
a)

x
2
+ y
2
+ xy = 4

.
e)

x + y + xy = 1
x
3
+ y
3
+ 3(x − y)
2
− 4 = 0
. f)

x
2
− xy + y
2
= 3(x − y)
x
2
+ xy + y
2
= 7(x − y)
2
.
Lời giải.
a) Hệ đã cho tương đương với

(x + y)
2

y = 2
.
Với S = −3 ⇒ P = 5 (loại).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 0) và (x; y) = (0; 2).
b) Hệ đã cho tương đương với

(x + y)
2
− xy = 7
x + y + xy = 5
.
Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ). Hệ trở thành

S
2
− P = 7 (1)
S + P = 5 (2)
.
19
Nguyễn Minh Hiếu
Từ (2) ⇒ P = 5 − S thay vào (1) ta có S
2
+ S −12 = 0 ⇔

S = 3
S = −4
.
Với S = 3 ⇒ P = 2 ⇒

3
= 17 (1)
S + P = 5 (2)
.
Từ (2) ⇒ P = 5 − S thay vào (1) ta có S
2
− 5S + 6 = 0 ⇔

S = 3
S = 2
.
Với S = 3 ⇒ P = 2 ⇒

x + y = 3
xy = 2
⇔

x = 2
y = 1
hoặc

x = 1
y = 2
.
Với S = 2 ⇒ P = 3 (loại).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (1; 2).
d) Hệ đã cho tương đương với

(x + y)
2

Với

S = 0
P = −2
⇒

x + y = 0
xy = −2
⇔

x =
√
2
y = −
√
2
hoặc

x = −
√
2
y =
√
2
.
Với

S = −1
P = −2
⇒

x + y + xy = 1
(x + y)
3
− 3xy (x + y) + 3(x + y)
2
− 12xy − 4 = 0
.
Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ). Hệ trở thành

S + P (1)
S
3
− 3P S + 3S
2
− 12P −4 = 0 (2)
.
Từ (1) ⇒ P = 1 − S thay vào (2) ta có S
3
− 3S (1 − S) + 3S
2
− 12 (1 − S) − 4 = 0 ⇔ S = 1.
Với S = 1 ⇒ P = 0 ⇒

x + y = 1
xy = 0
⇔

x = 0

2
⇔

3S
2
− 3S = 0
P = 2S
2
⇔

S = 0
P = 0
hoặc

S = 1
P = 2
Với

S = 0
P = 0
⇒

x − y = 0
xy = 0
⇔

x = 0
y = 0
; với







x − 3y =
4y
x
y − 3x =
4x
y
.
c) (B-03)





3y =
y
2
+ 2
x
2
3x =
x
2
+ 2
y
2

.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 3x
2
− 3y
2
= x − y ⇔ (x −y) (3x + 3y − 1) = 0 ⇔

x = y
y =
1−3x
3
.
Với x = y thay vào (1) ta có −x
2
= 3x ⇔

x = 0
x = −3
⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0), (x; y) = (−3; −3).
Với y =
1 − 3x
3
thay vào (1) ta có x
2
−
2(1 − 3x)
2
9
= 2x +
1 − 3x

Với y = −x −4 thay vào (1) ta có x = −2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −2).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) và (x; y) = (−2; −2).
c) Từ vế phải của các phương trình ta có x, y > 0. Hệ đã cho tương đương với

3x
2
y = y
2
+ 2 (1)
3xy
2
= x
2
+ 2 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 3x
2
y − 3xy
2
= y
2
− x
2
⇔ (x − y) (3xy + x + y) = 0 ⇔ x = y.
Với x = y thay vào (1) ta có 3x
3
= x
2
+ 2 ⇔ x = 1.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).

3
= 3 ⇔ x = 1.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).
Bài tập 9.23. Giải các hệ phương trình sau:
a)

x
2
− xy = 2
2x
2
+ 4xy − 2y
2
= 14
. b)

x
2
− 2xy + 3y
2
= 9
x
2
− 4xy + 5y
2
= 5
.
c)

x

2x
2
+ 4xy − 2y
2
= 14 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 5x
2
− 11xy + 2y
2
= 0 ⇔

x = 2y
y = 5x
.
Với x = 2y thay vào (1) ta có 14y
2
= 14 ⇔ y = ±1 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1), (x; y) = (−2; −1).
Với y = 5x thay vào (1) ta có −28x
2
= 14 (vô nghiệm).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (−2; −1).
b) Hệ đã cho tương đương với

5x
2
− 10xy + 15y
2
= 45 (1)
9x

1
√
2

.
Với y =
3
2
x thay vào (1) ta có
95
4
x
2
= 45 ⇔ x = ±
6
√
19
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =

±
6
√
19
; ±
9
√
19

.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =

= 2 (1)
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x
3
− x
2
y − 2xy
2
+ y
3
= 0 ⇔


x = y
x = −y
y = 2x
.
Với x = y thay vào (1) ta có 4x
3
= 2 ⇔ x =
1
3
√

3
√
9

.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =

1
3
√
2
;
1
3
√
2

và (x; y) =

1
3
√
9
;
2
3
√
9

.

= 325 (1)
13x
3
+ 13x
2
y − 13xy
2
− 13y
3
= 325 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 12x
3
− 38x
2
y + 38xy
2
− 12y
3
= 0 ⇔


x = y
x =
3
2
y
x =
2
3

. b) (DB-06)

x
2
+ 1 + y(y + x) = 4y
(x
2
+ 1)(y + x − 2) = y
.
c) (B-08)

x
4
+ 2x
3
y + x
2
y
2
= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6
. d) (D-09)



x(x + y + 1) − 3 = 0
(x + y)
2

.
Lời giải.
a) Xét hệ

xy − 3y + 1 = 0 (1)
4x − 10y + xy
2
= 0 (2)
.
Từ (1) ⇒ x =
3y − 1
y
thay vào (2) ta có
4
3y − 1
y
− 10y + (3y − 1) y = 0 ⇔ 3y
3
− 11y
2
+ 12y − 4 = 0 ⇔


y = 1
y = 2
y =
2
3
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (2; 1), (x; y) =



= 0 ⇔

y = 0
y = 3 − x
Với y = 0 thay vào (1) ta có x
2
+ 1 = 0 (vô nghiệm).
Với y = 3 −x thay vào (1) ta có x
2
+ x − 2 = 0 ⇔

x = 1
x = −2
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 2) và (x; y) = (−2; 5).
22
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
c) Hệ đã cho tương đương với

(x
2
+ xy)
2
= 2x + 9 (1)
x
2
+ 2xy = 6x + 6 (2)
.
Từ (2) ⇒ xy =

17
4

.
d) Xét hệ

x(x + y + 1) − 3 = 0 (1)
(x + y)
2
−
5
x
2
+ 1 = 0 (2)
.
Từ (1) ⇒ x + y =
3
x
− 1 thay vào (2) ta có

3
x
− 1

2
−
5
x
2
+ 1 = 0 ⇔

x +
x
y
+
1
y
= 7
x
2
+
x
y
+
1
y
2
⇔



x +
1
y
+
x
y
= 7 (1)

x +
1

y

= 13 ⇔

x +
1
y
= 4
x +
1
y
= −5
Với x +
1
y
= 4 ⇒
x
y
= 3 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) =

1;
1
3

hoặc (x; y) = (3; 1).
Với x +
1
y
= −5 ⇒
x

2
+ 1 = −y
2
+ xy − 4y thay vào (2) ta có
y

7 − (x −y)
2

= 2

−y
2
+ xy − 4y

⇔ y

2 ((x − y) − 4) −7 + (x − y)
2

= 0
⇔

y = 0
(x − y)
2
+ 2 (x − y) − 15 = 0
⇔



√
x + y + 2
. b) (DB-07)

x
4
− x
3
y − x
2
y
2
= 1
x
3
y − x
2
− xy = −1
.
c) (D-08)

xy + x + y = x
2
− 2y
2
x
√
2y − y
√
x − 1 = 2x −2y

3
− 14 = x − 2
. f) (A-2011)

5x
2
y − 4xy
2
+ 3y
3
− 2(x + y) = 0
xy(x
2
+ y
2
) + 2 = (x + y)
2
.
23
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Xét hệ

3
√
x − y =
√
x − y
x + y =
√

2
+ 4y + 1 = 2y + 3
⇔ y =
1
2
⇒ x =
3
2
(thỏa mãn)
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =

3
2
;
1
2

.
b) Xét hệ

x
4
− x
3
y − x
2
y
2
= 1 (1)
x


y = 0
y = 1
.
Với y =
1
x
thay vào (1) ta có x
4
− x
2
− 2 = 0 ⇔ x
2
= 2 ⇔ x = ±
√
2 ⇒ y = ±
1
√
2
.
Vậy hệ có sáu nghiệm (x; y) = (±1; 0), (x, y) = (±1; ∓1), (x; y) =

√
2;
√
2

và (x; y) =

1

2y = 2 (y + 1) ⇔

2y = 2 ⇔ y = 2 ⇒ x = 5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (5; 2).
d) Xét hệ

xy + x − 2 = 0 (1)
2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy − y = 0 (2)
.
Ta có (2) ⇔ 2x

x
2
− y

− y

x
2
− y

+ x

−1+
√
5
2
;
√
5

và (x; y) =

−1−
√
5
2
; −
√
5

.
e) Xét hệ

x
3
+ 2y
2
= x
2
y + 2xy (1)
2


2
− 2x − 1 +
3
√
x
3
− 14 = x − 2(∗).
Đặt
√
x
2
− 2x − 1 = u ≥ 0,
3
√
x
3
− 14 = v ⇒ v
3
− 6u
2
= (x − 2)
3
.
Phương trình (∗) trở thành
v
3
− 6u
2
= (2u + v)
3

f) Xét hệ

5x
2
y − 4xy
2
+ 3y
3
− 2 (x + y) = 0 (1)
xy

x
2
+ y
2

+ 2 = (x + y)
2
(2)
.
Ta có (2) ⇔ xy

x
2
+ y
2

+ 2 = x
2
+ y

2
+ 3 = 0 ⇔ y
2
= 1 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±1.
Với x
2
+ y
2
= 2 (3) thay vào (1) ta có
5x
2
y − 4xy
2
+ 3y
3
−

x
2
+ y
2

(x + y) = 0 ⇔ x
3
− 4x
2
y + 5xy
2
− 2y
3

Với x = y thay vào (3) ta có 2y
2
= 2 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±1.
Với x = 2y thay vào (3) ta có 5y
2
= 2 ⇔ y = ±

2
5
⇒ x = ±2

2
5
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 1), (x; y) = (−1; −1), (x; y) =

2

2
5
;

2
5

và (x; y) =

−2

2

2xy
x + y
= 1
√
x + y = x
2
− y
.
c)

6x
2
− 3xy + x + y = 1
x
2
+ y
2
= 1
.
d) (B-2013)

2x
2
+ y
2
− 3xy + 3x − 2y + 1 = 0
4x
2
− y
2

x
.
Với y = x thay vào (2) ta có 2x = x
3
+ 1 ⇔

x = 1
x =
−1±
√
5
2
⇒

y = 1
y =
−1±
√
5
2
.
Với y = −
1
x
thay vào (2) ta có −
2
x
= x
3
+ 1 ⇔


.
b) Xét hệ

x
2
+ y
2
+
2xy
x+y
= 1 (1)
√
x + y = x
2
− y (2)
.
Điều kiện: x + y > 0. Ta có
(1) ⇔

(x + y)
2
− 2xy

(x + y) + 2xy = x + y
⇔ (x + y)

(x + y)
2
− 1

2
− (3y − 1)x + y − 1 = 0 (1)
x
2
+ y
2
= 1 (2)
.
25