Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH CHANG
CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HÀM LỒI
VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
1.2 Một số đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 10
1.3 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo hướng 23
1.4 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua dưới vi phân 37
Chƣơng 2 Đặc trƣng hàm lồi qua dƣới vi phân Frechet và dƣới
vi phân Mordukhovich 40
2.1 Một số định nghĩa cơ bản 41
2.2 Điều kiện cần cấp hai 46
2.3 Điều kiện đủ cấp hai 48
2.4 Đặc trưng của hàm lồi mạnh 57
Kết luận 61
Tài liệu tham khảo 62
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích lồi với nền tảng cơ bản là tập lồi và hàm lồi đã được nghiên
cứu và triển khai ứng dụng vào bài toán tối ưu hóa, các bài toán kinh tế và
quản lí, từ những năm 70 của thế kỉ trước.
Nhiều nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng dẫn tới nhu cầu mở rộng khái
niệm hàm lồi. Nhiều lớp hàm lồi suy rộng (tựa lồi, giả lồi, ) đã được
Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar, nghiên cứu cách đây 50 năm. Ngày
nay, đặc trưng và nghiên cứu các tính chất của các lớp hàm lồi, mối liên quan
của tính lồi với tính đơn điệu của đạo hàm (suy rộng) bậc nhất và tính xác
định dương của đạo hàm (suy rộng) bậc hai vẫn đang được các nhà toán học
trên thế giới và ở Việt Nam quan tâm mạnh mẽ.
Các hàm số gặp trong các bài toán ứng dụng nói chung thường có dạng
phức tạp, vì vậy thường là không khả vi. Điều này dẫn tới phải mở rộng khái
niệm đạo hàm. Các đạo hàm suy rộng thường gặp là đạo hàm theo hướng, đạo
hàm Dini, dưới vi phân Clark, dưới vi phân Rockaffelar, dưới vi phân
Frechet, dưới vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng là những công
những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo
và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 6 năm 2011 Nguyễn Thị Quỳnh Chang
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
CHƢƠNG I HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG
1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng
1.1.1 Tập lồi
Tập
n
S
được gọi là tập lồi nếu
S
chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của
nó, tức là với mọi
12
,x x S
thì
12
(1 )x x S
với mọi
tồn tại
0
sao cho
0
( ) ( )f x f x
đúng với mọi
0
( , ) .x B x S
Nếu
f
nửa liên tục dưới tại mọi điểm
xS
thì ta nói
f
là hàm nửa liên tục
dưới trên
.S
1.1.3 Hàm lồi
Định nghĩa 1.1 Hàm
f
xác định trên một tập lồi
n
0,1 .
Hàm
f
được gọi là hàm lõm (lõm chặt) nếu
f
là lồi (lồi chặt).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
Hàm tuyến tính
( ): ,
T
f x a x c
với
n
a
là một vectơ và
c
là một số, thỏa
mãn đẳng thức
1 2 1 2
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x
nên vừa là hàm lồi
vừa là hàm lõm nhưng nói chung nó không phải là hàm lồi chặt hoặc lõm
1
x
1
()fx
2
()fx
12
( (1 ) )f x x
()fx
x
12
( ) (1 ) ( )f x f x
2
x
0
Hình 1.2 Hàm lõm
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
1.1.5 Hàm tựa lồi
Định nghĩa 1.3 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi
n
S
. Hàm
f
được gọi là
tựa lồi (quasiconvex) trên
S
nếu:
Với mọi
12
,,x x S
1 2 1 2 2
( ) ( ) ( (1 ) ) ( )f x f x f x x f x
với mọi
0,1
với mọi
0,1 .
1.1.6 Hàm tựa lồi chặt (strictly quasiconvex)
Định nghĩa 1.4 Hàm
f
xác định trên một tập lồi
n
S
được gọi là hàm tựa
lồi chặt (strictly quasiconvex) trên
S
nếu
1 2 1 2
( (1 ) ) max{ ( ), ( )}f x x f x f x
với mọi
12
,,x x S
12
,xx
Cho
f
là hàm xác định trên tập lồi
n
S
. Nếu
f
tựa lồi chặt trên
S
thì
f
tựa lồi trên
.S
Điều ngược lại nói chung không đúng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Chứng minh
Vì
f
là hàm tựa lồi chặt nên theo định nghĩa ta có
1 2 1 2
( (1 ) ) max{ ( ), ( )}f x x f x f x
với mọi
12
.xx
Dễ thấy
f
là hàm tựa lồi, nhưng không tựa lồi chặt.
1.1.7 Hàm nửa tựa lồi chặt (semistrict quasiconvex)
Định nghĩa 1.5 Hàm
f
xác định trên một tập lồi
n
S
được gọi là hàm
nửa tựa lồi chặt (semistrictly quasiconvex) trên
S
nếu với mọi
12
,x x S
mà
12
( ) ( )f x f x
thì
1 2 1 2
được gọi là nửa tựa lõm chặt nếu
f
là nửa tựa lồi chặt, tức là với
mọi
12
,x x S
mà
12
( ) ( )f x f x
thì
1 2 1 2
( (1 ) ) min ( ), ( )f x x f x f x
với mọi
0,1 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Mối liên hệ giữa hàm nửa tựa lồi chặt và hàm tựa lồi
1) Không phải mọi hàm nửa tựa lồi chặt cũng là hàm tựa lồi.
Ví dụ 1.2 Cho hàm
f
()fx
chỉ nhận hai giá trị 0 và 1),
vậy
1
0,x
2
0.x
Với mọi
0,1
ta có
1 2 1
(1 ) 0x x x x
2
( ) 0 ( ).f x f x
Tuy nhiên hàm
f
không tựa lồi vì với
12
0;2 .S
Nó
không phải là hàm nửa tựa lồi chặt vì
(0) 0 (2) 1ff
nhưng
1 1 3
[ .0 (1 ).2] ( ) 1 (2)
4 4 2
f f f
(không nhỏ hơn
(2)f
).
3) Tuy nhiên nếu thêm điều kiện
f
nửa liên tục dưới trên
S
thì một hàm nửa
tựa lồi chặt là hàm tựa lồi trên
.S
Ta có định lý sau.
Định lý 1.2 (Mối liên hệ giữa hàm nửa tựa lồi chặt và hàm tựa lồi)
Cho
f
là hàm xác định trên tập lồi
n
S
và nửa liên tục dưới trên
.S
Khi
đó nếu
thỏa mãn. Khi đó tồn tại
0 1 2
,x x x
sao cho
1 2 0
( ) ( ) ( ).f x f x f x
Chọn
01
0 ( ) ( )f x f x
thì
01
( ) ( ).f x f x
Do
f
nửa liên tục dưới trên
S
nên
f
nửa liên tục dưới tại
0
,x
tức là với mọi
0
0 1 0
( ) max ( ), ( ) ( ).f x f x f x f x
Vì
02
,x x x
nên do tính chất nửa tựa lồi chặt của
f
trên
2
,xx
ta có
02
( ) max ( ), ( ) ( ).f x f x f x f x
Mâu thuẫn. Vậy
f
là hàm tựa lồi trên
.S
Định lý 1.3 (Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi chặt và hàm nửa tựa lồi chặt)
Cho
f
là hàm xác định trên một tập lồi
.
n
S
Nếu
f
xác định trên một tập lồi
n
S
được gọi là hàm tựa
lồi hiển (explicitly quasiconvex) trên
S
nếu
i)
f
tựa lồi trên
.S
ii) Với
12
,,x x S
12
( ) ( )f x f x
thì
2
( ) ( )f x f x
với mọi
12
,.x x x
Điều kiện ii) tương đương với: Nếu
12
( ) ( )f x f x
1, 0 1;
()
0, 1.
x
fx
x
Dễ thấy
f
tựa lồi trên
1
,
nhưng
f
không nửa tựa lồi chặt.
Thật vậy, chọn
1
2x
,
2
0x
ta có
x
nửa tựa lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi hiển
nhưng không lồi.
Thật vậy,
f
là hàm giảm chặt trên
1
nên
f
là nửa tựa lồi chặt.
Kết hợp với
f
liên tục trên
1
ta có
f
là tựa lồi hiển.
Nhưng
f
là lõm chặt trên
1
và không phải là hàm lồi trên
f
xác định trên tập lồi
n
S
là hàm lồi trên
S
là
11
( ) ( )
ii
mm
ii
ii
f x f x
với mọi
1
, 0, 1,2 , , 1.
ii
m
i
i
x S i m
x S i m
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Quan hệ giữa hàm lồi nhiều biến và hàm lồi một biến
Định lý 1.7 Cho
f
là hàm xác định trên tập lồi
.
n
S
Điều kiện cần và đủ
để
f
là hàm lồi trên
S
là với mọi
12
,,x x S
hàm một biến
: 0;1
f
xác định bởi
1
( ) ( )
m
ii
i
f x f x
cũng là hàm lồi trên
.S
Hơn nữa
f
lồi chặt nếu một trong các hàm
i
f
lồi chặt.
Kí hiệu trên đồ thị (epigraph) của hàm
:fS
là tập
1
epi , {( , ): , , ( ) }.f S x x S f x
cũng là hàm lồi trên
.S
Định lý 1.11 (Điều kiện cần để hàm
f
lồi)
Cho
f
là hàm lồi xác định trên tập lồi
.
n
S
Khi đó tập mức dưới
: , ( )S x x S f x
là tập lồi với mỗi số thực
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Chú ý rằng điều kiện để một hàm là hàm lồi trong Định lý 1.11 chỉ là điều
nếu và chỉ nếu với
, 1, ,
i
x S i n
ta có
{1, , }
1
( ) max ( ),
n
i i i
in
i
f x f x
1
1, 0, 1, , .
n
ii
i
in
thì
1 1 1 1
{1, , 1}
( ) max ( ).
n n n n i
in
f x x x f x
(1.4)
Nếu
1
0
n
thì
1
11
1, 0
nn
i i i
ii
thì (1.4) trở thành
1
{1, , 1}
( ) max ( ).
ni
in
f x f x
Điều này hiển nhiên đúng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
Nếu
1
0;1
n
thì
01
0.
n
Vì
1
0
1
n
i
i
và
0
0
i
với mọi
1, ,in
nên
1
1
00
.
n
tựa lồi trên tập lồi
n
S
nếu và chỉ nếu với mỗi
12
,,x x S
hàm
xác định bởi
12
( ) ( (1 ) )f x x
là hàm tựa lồi trên
0,1 .
Định nghĩa 1.7 (Cực tiểu địa phương và cực tiểu toàn cục của hàm lồi)
Cho tập
n
S
. Điểm
xS
được gọi là điểm cực tiểu địa phương của hàm
f
trên
S
nếu tồn tại một
chặt và điểm cực tiểu toàn cục chặt.
Điểm cực đại địa phương và cực đại toàn cục được định nghĩa tương tự.
Định lý 1.15 Cực tiểu địa phương của hàm lồi
f
trên một tập lồi là cực tiểu
toàn cục. Tập tất cả các điểm cực tiểu là một tập lồi.
Định lý 1.16 Một hàm lồi chặt trên tập lồi
n
S
nếu có cực tiểu thì cực tiểu
đạt tại duy nhất một điểm trên
.S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Định lý 1.17 Giả thiết
f
là hàm tựa lồi chặt xác định trên tập lồi
S
và
f
đạt
cực tiểu địa phương tại
0
.xS
Khi đó
f
đạt cực tiểu toàn cục trên
S
T
Q x x Bx
với
B
là ma trận đối xứng là
hàm lồi trên
n
nếu và chỉ nếu
B
là ma trận nửa xác định dương.
Hệ quả 1.1 Dạng toàn phương
()
T
Q x x Bx
với
B
là ma trận đối xứng xác
định dương là hàm lồi chặt trên
.
n
Nhận xét 1.2 Hàm lồi
f
xác định trên một tập lồi
n
S
chưa chắc đã liên
tục tại mọi điểm của
của
.S
Tuy nhiên, ta có
Định lý 1.20 Hàm lồi xác định trên tập lồi mở
n
S
thì liên tục trên
.S
Do phần trong của một tập lồi
n
S
bất kỳ đều là tập lồi mở nên ta có hàm
f
xác định trên tập lồi
n
S
thì liên tục trên phần trong của
.S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
1.2.2 Đặc trƣng qua đạo hàm
Định nghĩa 1.8 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi
n
S
f
theo từng biến tồn tại và là các
hàm liên tục thì ta nói
f
khả vi liên tục cấp một (cấp hai) tại
0
.xx
Giả sử
f
khả vi liên tục hai lần. Ma trận
0
22
1 1 1
2
00
22
1
( ) ( )
n
n n n
xx
ff
x x x x
f x H x
ff
x x x x
0
x
nếu
0
x tv S
với
0t
đủ nhỏ.
Định nghĩa 1.9 Cho hàm
f
xác định trên tập
n
S
,
0
,xS
v
là hướng
chấp nhận được. Nếu giới hạn
00
0
0
( ) ( )
( ) lim
v
t
f x tv f x
D f x
t
thì ta nói
f
khả
vi tại
0
.x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
Định lý 1.21 Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
.
n
S
Hàm
f
là lồi trên
S
nếu và chỉ nếu với mỗi
0
,xS0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ),
T
f x f x f x x x
2 1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ).
T
f x f x f x x x
Định lý 1.23 Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
.
n
S
Hàm
f
là lồi trên
S
nếu và chỉ nếu với mọi
12
,,x x S
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) 0.
T
f x f x x x
Định lý 1.24 Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
.
là điểm cực tiểu toàn cục của
()fx
trên
S
nếu và chỉ nếu
00
( ) ( ) 0
T
f x x x
với mọi
.xS
Định lý 1.26 (Điều kiện cần và đủ để một hàm vô hướng là lồi)
Giả sử hàm
xác định và khả vi trên khoảng mở
1
.D
Hàm
là lồi trên
D
nếu và chỉ nếu đạo hàm
của nó là hàm không giảm trên
D
hay
( ) 0x
Định lý 1.28 Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
.
n
S
Nếu
f
là tựa lồi thì với mọi
12
,x x S
ta có
12
( ) ( ),f x f x
1
( ) 0fx
1 2 1
( ) ( ) 0.
T
f x x x
Định lý 1.29 Cho hàm
f
xác định và khả vi liên tục hai lần trên tập lồi mở
.
22
12
()f x x x
với
2
.x
Ta có
12
( ) 2 , 2 .f x x x
Ma trận Hessian
2
20
()
02
fx
của nó có một
giá trị riêng âm
1
2
và một giá trị riêng dương
2
1;f x f x
0 1 2
0 1 max ;f x f x f x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
Một điều kiện cần khác để một hàm khả vi liên tục hai lần là hàm tựa lồi được
đưa ra trong định lý dưới đây. (xem [2])
Định lý 1.31 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
n
S
là tựa lồi và khả vi
liên tục hai lần trên
.S
Khi đó tính chất sau được thỏa mãn:
, , ( ) 0
nT
x S y y f x
suy ra
2
( ) 0.
T
y f x y
mà
0
( ) 0fx
) cũng là
điểm cực tiểu toàn cục. Tính chất này không được thỏa mãn đối với hàm tựa
lồi, hàm tựa lồi chặt và hàm nửa tựa lồi chặt (ví dụ, điểm tới hạn của hàm tựa
lồi chặt
3
()tt
không là cực tiểu toàn cục). Điều này dẫn tới việc nghiên
cứu một lớp suy rộng của hàm lồi là lớp hàm giả lồi. (xem [2])
Định nghĩa 1.10 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
n
S
và khả vi trên
.S
Hàm
f
được gọi là giả lồi (pseudoconvex function) nếu với mọi
12
,,x x S
1 2 1 2 1
( ) ( ) 0 ( ) ( ).
T
f x x x f x f x
12
,,x x S
12
,xx
2 1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0.
T
f x f x f x x x
Hàm
f
được gọi là giả lõm (giả lõm chặt) nếu
f
là hàm giả lồi (giả lồi
chặt).
Chú ý rằng khi
21
( ) ( )f x f x
,
12
,x x S
,
12
xx
, từ tính giả lồi chặt suy ra
đạo hàm theo hướng
1 2 1
( ) ( )
là một điểm tới hạn. Nếu
f
là giả lồi thì
0
x
là điểm cực tiểu
toàn cục của
.f
Hơn nữa
0
x
là duy nhất nếu
f
là hàm giả lồi chặt.
Chú ý rằng tính giả lồi yêu cầu phải thỏa mãn điều kiện
21
( ) ( )f x f x
1 2 1
( ) ( ) 0
T
f x x x
tại tất cả các điểm thuộc miền xác định, trong khi đó
hàm tựa lồi thỏa mãn điều kiện trên khi
1
( ) 0fx
(theo Định lý 1.28). Theo
đó, mối liên hệ giữa hàm tựa lồi và hàm giả lồi được trình bày trong định lý
dưới đây.
tựa lồi
trên
.S
Chứng minh
i) Giả sử
f
không phải là hàm tựa lồi, khi đó tồn tại
12
,,x x S
12
( ) ( )f x f x
sao cho
1 2 1
( ) ( ) 0.
T
f x x x
Đặt
1 2 1
( ) ( ( )),t f x t x x
0,1t
là hàm thu
hẹp của
f
và
0 0 2 1
( ) ( ) ( ) 0,
T
t f x x x
trong đó
0 1 0 2 1
( ).x x t x x
Mặt khác, do
0 0 2 0 1 2
( ) ( (1 ) ) ( )f x f t x t x f x
nên áp dụng tính giả lồi của
f
tại các điểm
02
,xx
ta có
0 2 0
( ) .( ) 0
T
f x x x
tI
sao cho
0
( ) 0,t
0
( ) 0t
hoặc
0
( ) 0t
thì
0
t
là cực tiểu địa phương
(hoặc cực tiểu địa phương chặt) tại
0.t
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
thì hàm
( ) ( )t f x tu
đạt cực tiểu địa phương (hoặc cực tiểu địa phương
chặt) tại
0.t
Định lý 1.37 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
n
S
khả vi liên tục hai
lần trên
.S
Khi đó
f
giả lồi (giả lồi chặt) trên
S
nếu và chỉ nếu các điều kiện
sau được thỏa mãn:
i)
, , ( ) 0
nT
x S y y f x
2
giả lồi trên
S
nếu và chỉ nếu
thỏa mãn điều kiện (1.5).
Trong trường hợp
f
chỉ khả vi theo hướng trên một tập
S
nào đó, người ta
đưa ra định nghĩa hàm giả lồi và giả lồi chặt như sau. (xem [12]).
Định nghĩa 1.11 Hàm khả vi theo hướng
f
xác định trên
S
được gọi là giả
lồi trên
S
nếu với mọi
0
, 1,x S v
0t
,
0
( ) 0
v
D f x
suy ra
00
( ) ( ).f x tv f x
Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
n
S
. Nếu
f
giả lồi trên
S
thì
f
vừa nửa tựa lồi chặt, vừa tựa lồi trên
.S
Điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.8 Hàm
31
( ) ,f x x x
là tựa lồi, nửa tựa lồi chặt nhưng không giả
lồi. Thật vậy, ta có
2
( ) 3 0f x x
với mọi
1
x
. Suy ra
()fx
đồng biến
0, 0x a x
ta có
3
21
( ) 0 ( )f x a f x
nhưng
1 2 1 0 2 2
( )( ) ( ). 0. 0.f x x x f x x x
Định lý 1.39 (Tương tự tính chất của hàm lồi và tựa lồi chặt)
Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
,
n
S
f
là giả lồi. Khi đó cực tiểu
địa phương của
f
trên
S
cũng là cực tiểu toàn cục.
Định lý 1.40 (Mối liên hệ giữa hàm lồi và hàm giả lồi)
Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
Copyright: Tài liệu đại học ©