TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
^] BÙI LÊ PHẠM MỸ PHƯƠNG
LỚP DH5A2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP
Khóa :2004 – 2008 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ VÀ ỨNG DỤNG
Giảng viên hướng dẫn: Th. S Vương Vĩnh Phát

Cuối cùng, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, thầy cô, bạn bè –
tất cả những người đã động viên, giúp đỡ công sức và tinh thần cho công việc nghiên
cứu của con được hoàn thành tốt đẹp.
Lời cuối xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cô, chúc thầy cô luôn hoàn
thành tốt các nhiệm vụ được giao.
Chân thành cả
m ơn !

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1
I. Lí do chọn đề tài ................................................................................... 1
II. Đối tượng nghiên cứu............................................................................ 2

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương
II. Ứng dụng vào việc tìm điều kiện để hàm số có chứa tham số đồng
biến hoặc nghịch biến trên một khoảng xác định................................... 37
III. Ứng dụng vào một số bài toán trong thực tế ................................... 40
D. Khảo sát thực tế ..................................................................................... 50
I. Mục đích của việc nghiên cứu ......................................................... 50
II. Biện pháp nghiên cứu ...................................................................... 50
III. Kết quả ........................................................................................... 50
PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................. 56
HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO.................................................................... 58
PHỤ L
ỤC ......................................................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 1 :
TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc
#" #"
PHIẾU HỎI Ý KIẾN GIÁO VIÊN
Em tên : Bùi Lê Phạm Mỹ Phương MSSV : DTN040604
Em đang thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp : “Các phương pháp tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nó vào thực tiễn “


PHỤ LỤC 2:TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc
#" #"
PHIẾU THĂM DÒ
Họ và tên : …………………………………………Lớp : ………………………
Trường : ………………………………………….. Học lực : ………………….
Xin bạn vui lòng chọn câu trả lời mà bạn cho là thích hợp.
1/- Em có cảm thấy thích giải toán hơn khi có các phương pháp để giải nó ?
A/ Rất thích B/ thích C/ Không thích lắm D/ không
2/- Tự em có nghĩ đến việc hệ thống lại các phương pháp giải một dạng toán nào đó
hay không ?
A/ Thường xuyên B/ Thỉnh thoảng C/ Ít khi D/ không có
3/- Thầy ( cô ) của em có thường hệ thống lại các phương pháp giải từng dạ
ng bài
tập cho các em hay không ?
A/ thường xuyên B/ Thỉnh thoảng C/ Ít khi D/ không có
4/- Đối với bản thân em bài toán : “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài
toán :
A/Rất khó B/ khó C/ dễ D/ rất dễ
5/- Đối với bài toán : “tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ , em đã được làm :
A/ nhiều B/ Ít C/ rất ít D/ không có
6/- Em hiểu biết bao nhiêu về ứng dụng của toán học trong thực tiễn ?
A/ Nhiều B/ ít C/ rất ít D/ không biết
7/-
Thầy ( cô ) của em có thường giới thiệu cho các em ứng dụng của toán học trong
thực tiễn hay không ?

MỘT SỐ Ý KIẾN

CỦA GIÁO VIÊN

VÀ HỌC SINH

PHỔ THÔNG

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bittinger, Morrel – Applied calculus – third edition.
[2] Doãn Minh Cường (chủ biên). 2003. “ Toán ôn thi đại học ” . NXB Đại
Học Sư phạm.
[3] Hoàng Chúng (chủ biên). 1993. “ Các bài toán cực trị ” . NXB Giáo Dục.
[4] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2000. “Tuyển tập 599 bài toán lượng giác ”.
NXB Hải Phòng
[5] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2001. “ Tuyển tập 670 bài toán rời rạc và
cực trị ”. NXB Hải Phòng.
[6] Nguyễn Hữu Điển. 2005. “ Giải toán bằng Đại lượ
ng phương pháp cực
biên ” . NXB Giáo Dục.
[7] Nguyễn Thái Hòe. 2004. “ Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán ”.
NXB Giáo Dục.
[8] Nguyễn Văn Nho. 2002. “ Lê Hoàng Phò – Phương pháp giải toán tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất ”. NXB Giáo Dục.
[9] Phạm Trọng Thư. 2007. “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

cho học sinh.
Vì vậy, người giáo viên cần phải dạy cho học sinh giải bài tập. Từ đó, yêu
cầu được đặt ra là giáo viên phải dạy học sinh ph
ương pháp giải các dạng toán.
Chương trình toán trung học có rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Trong đó
có rất nhiều dạng rất khó như chứng minh bất đẳng thức, biện luận về số nghiệm của
phương trình, bất phương trình, ... Và dạng bài : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của một đại lượng ” cũng nằm trong số đó. Các dạng bài tập này được gọi chung
là bài toán tìm cực tr
ị hay bài toán cực trị. Đây thực sự là một chuyên đề khó của
chương trình toán trung học bởi vì các bài toán cực trị rất phong phú, phạm vi nghiên
cứu của vấn đề này lại rất rộng. Và nó lại là một trong những dạng toán được quan
tâm đến nhiều nhất trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế.
Thế nhưng, sách giáo khoa có rất ít các bài tập dạng này và do những điều kiện
khách quan mà sách giáo khoa không hệ th
ống lại các phương pháp giải. Do đó, việc
cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải dạng toán : “ Tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ”. Việc này sẽ giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải bài
toán cực trị.
Việc giải các bài toán này đòi hỏi người làm phải vận dụng kiến thức hợp lí,
nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. Nó đưa chúng ta xích gần lại với các bài toán
thường gặp trong thực tế là đi tìm cái “ nhất ” trong những điều kiện nhất định
( nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất, … ). Chính điều đó làm cho học sinh
thấy được tính thiết thực của toán học trong cuộc sống. Đồng thời, nó cũng tạo nên
sự thích thú cho học sinh trong quá trình giải toán.
Trong tương lai, khi vào đời học sinh buộc phải giải quyết nhiều vấn đề do
thự
c tiễn cuộc sống đặt ra. Cho nên, học sinh cần có cách giải quyết tối ưu mới mang
lại thành công trong cuộc sống ( Cách giải quyết tối ưu là những giải pháp đúng nhất,
ít hao phí nhất về : vật liệu, thời gian, công sức, năng lượng, chi phí thiệt hại … ).

đó làm cho các em thích thú, say mê học toán hơn, giờ học cũng sinh động hơn. Các
em sẽ học tập tốt hơn.
Rèn luyện kĩ năng tư duy của học sinh khi giải bài toán tìm giá trị lớn nhất ,
giá trị nhỏ nhất.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau :
Nghiên cứu lý luận : Tôi đã đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu toán
h
ọc, tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học môn toán, các sách giáo khoa và các
tài liệu hướng dẫn giảng dạy.
Điều tra thực tế.
Trò chuyện, phỏng vấn.
Thống kê toán học.
VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC :
Nếu học sinh được trang bị các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng và thấy được những ứng dụng của giá trị lớ
n
nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tế thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc giải những
bài toán cực trị và học sinh sẽ hứng thú học toán hơn.
VII. LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN :
Luận văn này đề ra các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
mà dựa vào đó, học sinh có thể hệ thống lại các kiến thức có liên quan và có thể giải
được các bài toán cực trị
, kể cả các bài toán trong thực tế. Đồng thời, luận văn này
còn giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ và sự gần gũi giữa toán học và thực tiễn.
VIII. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN :
Lời cảm ơn.
Mục lục.
Phần mở đầu.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

∈
hay
xD
M = max y
∈
) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :
11
xD:f(x)M
x D:f(x ) = M
∀∈ ≤
⎧
⎨
∃∈
⎩

* Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D (kí hiệu :
xD
m = min f(x)
∈
hay
xD
m = min y
∈
) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :
22
xD:f(x)m
x D: f(x ) = m
∀∈ ≥
⎧
⎨

* Nếu f(x) có tập xác định D = [a; b] thì không cần lập bảng biến thiên :
- Tìm các điểm tới hạn
12 n
x , x , ... , x
của f(x) trên [a; b].
- Tính
12 n
f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )
.
- Kết luận :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 5

•
}
{
12 n
x[a;b]
max f(x) = max f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )
∈
.
•
}
{
12 n
x[a;b]
min f(x) = min f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )
∈
.

Ví dụ 1
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y x 18 2x
=− −
.
Giải
Tập xác định :
D = [ 3; 3]
−
. Ta có:
2
22
18 2x 2x
4x
y' 1
218 2x 18 2x
−+
−
=− =
−−
.

22
y' 0 18 2x 2x 0 18 2x = 2x=⇔ − + =⇔ − −

22 2
x0
x0 x0
x3

y = 3 3−
.
Vậy, giá trị lớn nhất của y là 3, đạt được khi x = 3 và giá trị nhỏ nhất của y
là
−33
, đạt được khi
−x = 3
.
Ví dụ 2
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
2
x+1
y =
xx1++
.
Giải
Tập xác định:
D = 
. Ta có :
22
22 22
2
(x 1) (2 1)( 1) x 2
y' = =
(x 1) (x 1)
x = 0
y' = 0 x 2x = 0
x = 2
x xx x
xx

y'y
0 0

−

+
−
0
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta được:
•

Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x = 0.
•

Giá trị nhỏ nhất của y là
1
3
−
, đạt được khi x =
−

khi và chỉ khi
n
12 n
a a ... = a P== =
.
* Nếu
12 n
a + a + ... + a = S
không đổi thì
12 n
a a ... a = P
đạt giá trị lớn nhất
là
n
S
n
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
khi và chỉ khi
12 n
S
a a ...=a
n
= ==
.
Ví dụ
: Tìm giá trị nhỏ nhất của
x1 2x
y = 3 3

2
=
.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 7

LƯU Ý : Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần đặc biệt chú ý đến điều kiện
các
i
a
phải không âm. Cũng giống như khi sử dụng các bất đẳng thức khác, có khi
phải biến đổi một số bước mới có thể áp dụng trực tiếp.

2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski :
Với
ii
a ,b (i 1, ... , n)
∈ ≥

:
22 2 22 2
11 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b a b ... a b a a ... a . b b ... b
+++ ≤+++ +++
.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
12 n
12 n
aa a

( )
222
A(23)2x3y 5.525
≤+ + ≤ =
.

2
22
22
x2 y3
xy
xy1
A25
23
xy 1
2x 3y 5
2x 3y 5
⎧
=
==
=
⎧
⎡
⎪
=⇔ ⇔ ⇔
⎨⎨
⎢
==−
+=
⎣

1x x 1x x
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎡ ⎤
⎢⎥
=+= + −+ ≥
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎢ ⎥
⎣ ⎦
−−
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦2
21
.1 x . x
1x x
⎛⎞
≥−+
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
( Bất đẳng thức Bunhiacopski ).
hay
( )
2

x211 x 21
⇔ +=⇔= −
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
322
+
khi và chỉ khi
x21=−
.2.3. Các bất đẳng thức lượng giác :
* sin u(x) 1
≤
với mọi x D
∈
.
* cos u(x) 1
≤
với mọi
xD∈
. ( trong đó D là tập xác định của u(x) )
* sin u(x) + cos u(x) 2
≤
.
22
2tanx 2tanx
*sin 2x 1
1 tanx 1tanx
= ⇒≤

.
Do đó :
22
y = sin x + cos x sin x + cos x = 1
≥
.
Dấu “ = ” xảy ra khi
⎧
=
=
⎧ ⎧=
⎪⎪⎪
⇔∨
⎨⎨⎨
=
=
=
⎪⎪
⎪
⎩⎩
⎩
2
2
sin x sin x
sin x 0
sin x 1
cos x 1
cos x 0
cos x cos x


π π
= ⇔= + ∈

.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 9

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là
2
khi
xn(nZ)
42
π π
= +∈
.

2.4. Các bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản :
(1) a 0.
(2) a b a b .
(3) a b a b .
≥
+≤+
− ≤−

Ở (1) : Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
Ở (2), (3): Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
≥
ab 0
.

.
Do đó :
12
f(x) f (x) f (x) 4 4 8
= +≥+=
.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
(x 1).(5 x) 0 1 x 5
3x5
(x 3).(7 x) 0 3 x 7
−−≥ ≤≤
⎧⎧
⇔ ⇔≤≤
⎨⎨
−−≥ ≤≤
⎩⎩
.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của f(x) là 8, đạt được khi
∈
x[3;5]
.

3. Phương pháp miền giá trị của hàm số
:

Định nghĩa miền giá trị của hàm số : Cho hàm số y = f(x) có miền xác
định D. Khi đó hàm số có miền giá trị :
{ }
f(D) y /y f(x),x D
=∈ = ∈

0
m
y
≥
thì
xD
min f (x) m
∈
=
.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 10

3.

Nếu
0
my M
≤ ≤
thì
xD
max f(x) M
∈
=
và
xD
min f (x) m
∈
=

Tập xác định :
D = 
( do
2
2
13
xx1x
24
⎛⎞
− += − +
⎜⎟
⎝⎠
> 0 với mọi
x ∈ 
).
Gọi
0
y là một giá trị bất kì của hàm số đã cho. Khi đó, có
x
∈

sao cho
phương trình
2
0
2
2x x 1
y
xx1
+ −

00
0
96y 3y 0
1y 3.
⇔ +− ≥
⇔− ≤ ≤

Do đó, với
00
y [ 1;3](y 2),
∈ −≠
phương trình (1) có nghiệm. (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
0
y [ 1;3]
∈−
.
Vậy min y = – 1 và max y = 3.

4. Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn :
Ta biến đổi đưa về các biểu thức có số mũ chẵn dạng :
(1)
2k 2l
M = m +A +B ( k, l ,
+
∈

m là hằng số ). Khi đó :
Mm
≥

: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
22
A = 4 5x 2y 2xy 8x 2y
− −+++

với
x,y∈

.
Giải :
Ta có :
22
A = 4 5x 2y 2xy 8x 2y
−−+++22 2 2
4 (x y 2xy) (4x 8x) (y 2y)
=− + − − − − −222
= 9 (x y) 4(x 1) (y 1) 9
− −−−−−≤
.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
xy0
x1 x y1
y1
−=

⎛⎞
++ =⇔ + −+ ++ − −=
⎜⎟
⎝⎠

()
2
2
11
4xy2x 2xy 22xy
2x 2
⎛⎞
⇔=− ++−≥−⇔≥−
⎜⎟
⎝⎠

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
111
2x x x
2x 2 2
2x y y 1 y 1
⎧⎧⎧
= ==−
⎪⎪⎪
⇔∨
⎨⎨⎨
⎪⎪⎪
−= =− =
⎩⎩⎩


12
12 1 2
xx
x D x ,x D : f(x ) f(x ) 2f
2
+
⎛⎞
∈⇔∀ ∈ + ≥
⎜⎟
⎝⎠
.
- Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) lồi với mọi x D
∈ là:
y" f "(x) 0=> với mọi x
∈D.
- Tính chất :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 12

12 n
12 n 1 2 n
x x ... x
x , x ,..., x D,f(x ) f (x ) ... f (x ) nf
n
+++
⎛⎞
∀∈+++≥
⎜⎟
⎝⎠

∈⇔∀ ∈ + ≤
⎜⎟
⎝⎠
.
- Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) lõm với mọi
Dx ∈
là:
y" f "(x) 0=<
với mọi x
∈
D.
- Tính chất
:
12 n
12 n 1 2 n
x x ... x
x , x ,...,x D,f (x ) f (x ) ... f (x ) nf
n
+++
⎛⎞
∀∈+++≤
⎜⎟
⎝⎠
.
Nếu
12 n
x x ... x
nf M
n
+++

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
12
x ...
n
x x
= ==.
Nếu
f "(x) < 0
trong khoảng (a; b) thì :
( )
11 2 2 n n 11 22 nn
f(x ) + f(x ) + ... + f(x ) f x + x +...+ xλλ λ≤λλ λ.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
12 n
x x ... x= == .
Khi giải toán ta cũng có thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Jensen nhưng để
cho đơn giản ta thường dùng trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức này.

Ví dụ
: Cho tam giác ABC là tam giác nhọn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = tan A + tan B + tan C.
Giải
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 13

Xét hàm số :
f(x) = tan x , x 0; .
2

2
π
⎛⎞
∈
⎜⎟
⎝⎠
.
Suy ra :
A + B + C
f(A) + f(B) + f(C) 3f
3
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
.
hay
A + B + C
tan A + tan B + tan C 3tan 3tan 3 3
33
π
⎛⎞
≥==
⎜⎟
⎝⎠
.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
A = B = C =
3
π

+ ≤+
rr r r
. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a , b
ur ur
cùng hướng
hay
12 21
11
22
ab ab 0
ab 0
ab 0
− =
⎧
⎪
≥
⎡
⎨
⎢
⎪
≥
⎣
⎩
.

Ví dụ 1
: Tìm giá trị nhỏ nhất của
44 2 2
A = cos x cos y sin x sin y+++ với
mọi x, y∈

y l
=π
⎧
⇔∈
⎨
=π
⎩

.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của A là
2
, đạt được khi và chỉ khi
xk,yl(k,l )= π=π ∈


LƯU Ý :
*
Ta cũng có thể biến đổi
2
2
AB AB=
uuur
, kết hợp với các qui tắc vectơ, các
hằng đẳng thức, các bất đẳng thức hiển nhiên để đánh giá. Chú ý các điểm chèn:
trung điểm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp, …
* Khoảng cách giữa
AA
A(x ;y )
và
BB

: Cho
ABC
∆
và M là điểm tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của
222
P = MA + MB + MC .
Giải
Gọi G là trọng tâm của
ABC∆
. Ta có :
( ) ( ) ( )
()
22 2
222
2222 222
P = MA + MB + MC = MG +GA + MG +GB + MG + GC
= 3MG + GA + GB + GC + 2MG GA + GB GC GA + GB + GC .
=
+≥
uuuur uuur uuuuruuur uuuuruuur
uuuur uuur uuur uuur
Dấu “ = ” xảy ra khi
MG
≡
.
Vậy
222
min P GA GB GC
=++
khi

+=→
đặt
xsint=
và
xcost
=
.
22 2
xy a
+=→
đặt
xasint=
và
yacost
=
.
x ∈→

đặt
xtant hayxcott= =
.

Ví dụ 1
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
()
6
3
2
1x
y =

4
α α
−+
+α−α+α
α α
== = =
+α +α
α
=α−αα+α=
=α+α−αα=
=− α

Vì
2
0sin2 1≤α≤ nên
2
13
1sin21
44
≤ −α≤.
Vậy, max y = 1 khi và chỉ khi
sin 2 0α=
hay k(k )
2
π
α =∈

và min y =
1
4

⎝⎠
⎝⎠
. Đặt x2cosa,y 2sina==.
Khi đó :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 16

()
221
f x, y 2cosa . 2 sin a 2cos a sin a 5 cosa sin a
2
55
⎛⎞
=− =−= −
⎜⎟
⎝⎠
.
Mà
22
21
1
55
⎛⎞⎛⎞
+=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
nên có thể đặt
21
cos b, sin b


Bài 1: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a b c 3+ +≤. Tìm giá trị lớn nhất
của
222
222
a1aa 1 b1bb 1 c1cc 1
P
a1 b1 c1
++ + ++ + ++ +
=++
+++
.
Giải :
Ta có :
222
222
a1aa 1 b1bb 1 c1cc 1
P
a1 b1 c1
+ ++++++++
=++
+++
=
=
222
a1 b1 c1
abc
a1 b1 c1
+ ++
+ ++++

x1
(x 1) x 1
+− +
+
−
==
+
+ +
.
f'(x) 0 x 1=⇔=.
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :
f(x) 2≤ với mọi x ∈

.
Suy ra :
2
a1
2. (1)
a1
+
≤
+

1
+∞