ĐẠI HỌC THÁI NGUN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC THÁI NGUN

NGƠ ANH TUẤN

TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
Mã số: 60460113
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ HỒI AN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
Thái Ngun – Năm 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC THÁI NGUN
NGƠ ANH TUẤN
TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
Thái Ngun - Năm 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC THÁI NGUN
NGƠ ANH TUẤN
TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
Mã số: 60460113

1.2.1 Phương pháp thứ nhất và ví dụ áp dụng. . . . 12
1.2.2 Phương pháp thứ hai và ví dụ áp dụng . . . . 16
1.2.3 Phương pháp thứ ba và ví dụ áp dụng. . . . . 21
2 Ứng dụng Tập xác định của hàm số thực được xác định
bởi hàm -tập vào phương trình, bất phương trình. 27
2.1 Ứng dụng vào phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Các phương pháp ứng dụng. . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Ứng dụng vào bất phương trình. . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Các phương pháp ứng dụng. . . . . . . . . . . . 36
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ii
2.2.2 Bài tập ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Kết Luận 66
Tài liệu tham khảo 67
Số hóa bởi trung tâm học liệu />iii
Các kí hiệu và Danh mục các từ viết tắt
• R: Tập số thực.
• f: Hàm số thực.
• [a; b]: Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• (a;b): Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• ∀: Với mọi.
• ∃: Tồn tại
• A

B: Hợp của hai tập hợp A và B.
• A

B:Giao của hai tập hợp A và B.
• TXĐ: Tập xác định.

cho hàm phân hình p-adic. Khi áp dụng hai định lý chính của Hà Huy
Khối, ta nhận được lời giải cho vấn đề A trong trường hợp A là tập hợp
C
p
các số phức p-adic, B là mặt phẳng p-adic mở rộng và f là hàm phân
hình trên C
p
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
Chú ý rằng, Vấn đề A được phát biểu theo ngơn ngữ phương trình như
sau:
Vấn đề B.
Giả sử A, B là hai tập khác rỗng, f là ánh xạ từ A đến B và b ∈ B. Khi
đó, phương trình f(x) = b có nghiệm trong A?
Đối với hàm số thực, trong Báo Tốn học tuổi trẻ, trong các Đề thi đại
học, nhiều tác giả xét A là một tập cố định của đường thẳng thực R. Trong
luận văn, chúng tơi xét tập A là tập có thể thay đổi được bằng cách coi A
là hợp hoặc giao của các nghịch ảnh hoặc ảnh của các tập đối với các hàm
số thực nào đó. Cụ thể ý tưởng này là vấn đề sau đây:
Vấn đề C.
Giả sử A, B là hai tập khác rỗng của R, ở đó A là hợp hoặc giao của các
nghịch ảnh hoặc ảnh của các tập A
j
, j = 1, 2, ,đối với các hàm số thực
g
i
, i = 1, 2, ,nào đó và f là hàm số từ A vào B. Khi đó, xét phương trình
f(x) = b?
Quy trình giải quyết vấn đề C gồm hai bước :
Bước 1. Xác định g

Để nghiên cứu hai vấn đề nêu trên , Luận văn
Tổng hợp và trình bày các phương pháp tìm Tập xác định của hàm số thực
được xác định bởi hàm-tập.
Tổng hợp và trình bày các ứng dụng Tập xác định của hàm số thực được
xác định bởi hàm-tập vào phương trình, bất phương trình.
2.3 Kết quả nghiên cứu
Luận văn tổng hợp và trình bày các phương pháp tìm Tập xác định của
hàm số được xác định bởi hàm-tập cùng các ứng dụng vào phương trình,
bất phương trình sẽ là tài liệu tham khảo, tài liệu luyện thi đại học dành
cho học sinh Trung học phổ thơng, giáo viên tốn Trung học phổ thơng,
học viên cao học chun ngành Phương pháp Tốn sơ cấp.
3. Bố cục Luận văn
Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo.
Chương 1: Trong chương này chúng tơi nghiên cứu Vấn đề 1. Mục tiêu
là Tổng hợp và trình bày các phương pháp tìm Tập xác định của hàm số
thực được xác định bởi hàm-tập.
Chương 2: Trong chương này, chùng tơi nghiên cứu Vấn đề 2. Mục tiêu
là Tổng hợp và trình bày các ứng dụng Tập xác định của hàm số thực
được xác định bởi hàm-tập vào phương trình, bất phương trình.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />4
Chương 1
Tập xác định của hàm số thực được
xác định bởi hàm-tập
Trước tiên chúng tơi trình bày các kiền thức của Tốn học cao cấp (xem[1])
để làm cơ sở cho nội dung tiếp theo của luận văn.
1.1 Hàm số liên tục
1.1.1 Các định lí của hàm số liên tục liên quan đến vấn đề nhận giá trị
Định nghĩa 1.1. Cho hàm f : A −→ R; x
0

.
Định lý 1.3. Điều kiên cần và đủ để f liên tục tại x
0
là mọi dãy {x
n
} ⊂ A
mà x
n
−→ x
0
thì lim
n−→∞
f(x
n
) = f(x
0
).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
Định lý 1.4. Nếu f và g là hai hàm cùng xác định trên A và liên tục tại
x
0
∈ A thì f+g; a.f (với a là hằng số); f.g đều là những hàm số liên tục tại
x
0
. Nếu g(x) = 0 thì
f
g
cũng liên tục tại x
0
.

0
thuộc [a; b] sao cho :
f(x
0
) = max f(x) và f(x

0
) = min f(x).
Chứng minh. Đặt M = sup f(x) < +∞, f bị chặn trên [a,b] . Theo
định nghĩa supremum:∃{x
n
} ⊂[a;b] sao cho :M = lim
n−→∞
f(x
n
).
Từ dãy {x
n
} ta trích ra dãy con {x
nk
} hội tụ : x
nk
−→ x
0
. Do a ≤ x
nk
≤ b
nên x
0
∈[a,b] và M = lim

n
} ⊂ A sao cho t
∗
= lim
n−→∞
t
n
. Vì f liên tục
Số hóa bởi trung tâm học liệu />6
tại t
∗
nên
f(t
∗
) = lim
n−→∞
f(t
n
) ≥ 0.
Do f(b) < 0 nên t
∗
= b ⇒ t
∗
< b. Nếu f(t
∗
) > 0 thì theo tính liên tục của
f tại t
∗
sẽ ∃δ > 0 sao cho f(x) > 0, ∀x ∈ [t
∗

Do f tăng và gián đoạn tại x
0
, nên α < f(x
0
) hoặc β > f(x
0
) trong trường
hợp đầu f([a; b]) khơng chứa (α; f(x
0
)). Còn trường hợp sau f([a; b]) khơng
chứa (f(x
0
); β). Điều này mâu thẫu với giả thiết f([a; b]) = [f(a); f(b)].
Do đó f phải liên tục trên [a; b].
Ví dụ 1.9.
Hàm y = x liên tục tại mọi điểm của nó.
Thật vậy, lấy x
0
∈ R bất kì ,∀ε > 0 chọn δ = ε thì khi |x −x
0
| < δ ta có
|f(x) − f(x
0
)| < ε.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />7
Ví dụ 1.10.
Hàm y = cos x liên tục trên R.
Thật vậy ta có
|cos x −cos x


Định nghĩa 1.11. Ta nói hàm f có cực đại địa phương (hay cực tiểu địa
phương)tại điểm x
0
nếu f xác định trong một lân cận (a, b) của x
0
và tồn
tại số δ > 0 đủ bé sao cho
f(x) ≤ f(x
0
) ∀x ∈ (x
0
−δ; x
0
+δ) (hayf(x) ≥ f(x
0
) ∀x ∈ (x
0
−δ; x
0
+δ)).
Điểm mà tại đó đạt cực đại hay cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Nếu f(x) < f(x
0
)∀x ∈ (x
0
− δ; x
0
+ δ), x = x
0
thì x

(c) = f

+
(c) = f

−
(c).
Từ đó suy ra f

(c) = 0.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />8
Trường hợp f đạt cực tiểu tai c ta chứng minh tương tự.
Định lý 1.13 (Định lí Rolle).
Giả sử f : [a; b] −→ R có tính chất :
i. f liên tục trên [a; b].
ii. f khả vi trên [a; b].
iii.f(a) = f(b).
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f

(c) = 0.
Chứng minh. Do f liên tục [a; b] nên lấy x
1
, x
2
∈ [a, b] sao cho f(x
1
) =
sup f = M và f(x
2
) = inf f = m. Ta xét hai trường hợp có thể xảy ra :

ii) f khả vi trên [a; b].
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho
f(b) − f(a) = f

(c)(b −a).
Chứng minh.
Nếu a = b thì định lí ln đúng.
Nếu a < b, xét hàm F (x) = f(x) −f(a) − (x − a)
f(b) − f(a)
b −a
.
Khi đó F (b) = F(a) = 0, thỏa mãn định lí Rolle nên ∃c ∈ (a; b) sao cho
F

(c) = f

(c) −
f(b) − f(a)
b −a
= 0.
⇔ f(b) −f(a) = f

(c)(b −a).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />9
Định lý 1.15 (Cauchy). Giả sử
i) f và g là hai hàm liên tục trên [a; b], a < b.
ii) f và g đều khả vi trên (a; b).
iii) g

(x) = 0∀x ∈ (a; b).

2
=
x
2
− 3x + 6
x −1
, f = x
4
− 2x
2
+ 2.
A
1
= {x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 4}, A
2
= {x ∈ R : 3 ≤ x ≤ 5}.
1) Tìm f
1
(A
1
).
2) Tìm f
2
(A
2
).
3) Tìm B = f
1
(A
1

(x)
−∞ +∞0 2 4
+ - +0 0
-4
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏✶
❍
❍
❍
❍
❍
❍❥
✟
✟
✟
✟
✟
✟✯
0
−∞
+∞
16


2
(x) = 0 ⇔ x
2
− 2x −3 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 3.
Bảng biến thiên
x
f

2
(x)
f
2
(x)
−∞ +∞-1 31 5
+ - - +0 0
3−∞
+∞
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟✯
❆
❆
❆

4) Tìm f(B) = {f(x)|x ∈ B} = {x
4
− 2x
2
+ 2|3 ≤ x ≤ 4}.
Ta có f

(x) = 4x
3
− 4x.
f

(x) = 0 ⇔ 4x
3
− 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = −1.
Bảng biến thiên
x
f

(x)
f(x)
−∞ +∞-1 0 1 3 4
- -+ +0 0 0
1
✏
✏
✏
✏
✏
✏

1). Tìm tập giá trị của g.
2) Tìm tập giá trị của g
◦
f
1
trên A
3
= {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2}.
Lời giải.
với f
1
(x) là hàm ở bài tập 1. 1) Đặt cos x = t(t ∈ [−1, 1]).
Khi đó g(x) = t
4
− 2t
2
+ 2 = h(t). ⇒ h(t) = t
4
− 2t
2
+ 2.
Ta có: h

(t) = 4t
3
− 4t.
h

(t) = 0 ⇔ 4t
3

✟
✟✯
1
−∞
+∞
1
Vậy tập giá trị của hàm g là: [1; 2].
2) Tìm tập giá trị của g
◦
f
1
trên A
3
= {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2}.
Ta có :
g
◦
f
1
(A
3
) = g(f
1
(x)) : 0 ≤ x ≤ 2} = {cos
4
(x
3
−3x
2
)−2 cos(x

và g
i
. Ta gọi A là tập xác định của f được xác định bởi hàm-tập (các
hàm g
i
, các tập A
j
).
Sau đây chúng tơi trình bày các phương pháp xác định tập xác định của
hàm số được xác định bởi hàm-tập.
1.2.1 Phương pháp thứ nhất và ví dụ áp dụng.
Ở đây phương pháp thứ nhất là dùng định nghĩa và các định lý về hàm
liên tục để tìm tập xác định của hàm số thực được xác định bởi hàm-tập.
Trước tiên ta nhắc lại điều kiện có nghiệm của phương trình:
a cos x + b sin x = c; a
2
+ b
2
> 0 là: a
2
+ b
2
≥ c
2
.
Sau đây chúng tơi đưa ra các ví dụ minh họa cho phương pháp thứ nhất:
Ví dụ 1.17. Cho f(y) là hàm số thực xác định trên D. Xác định y biết
y = f
i
(x), i = 1, 2, , 6, với :

cosx −sinx
cosx + sinx −2
.
Lời giải.
1) f
1
(x) =
cosx
cosx + sinx + 2
. Đặt y =
cosx
cosx + sinx + 2
.
Xét phương trình
y =
cosx
cosx + sinx + 2
. (1.1)
y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (1.1) với ẩn x
tham số y có nghiệm.Ta có
Số hóa bởi trung tâm học liệu />13
(1.1) ⇔ cosx = ycosx + ysinx + 2y ⇔ (1 −y)cosx −ysinx = 2y ⇒
(1 −y)
2
+ y
2
≥ 4y
2
⇔ 2y
2

. Đặt y =
cosx + 1
cosx + sinx + 2
.
Xét phương trình
y =
cosx + 1
cosx + sinx + 2
. (1.2)
y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (1.2) với ẩn x
tham số y có nghiệm.Ta có
(1.2) ⇔ cosx+1 = ycosx+ysinx+2y ⇔ (1−y)cosx−ysinx = 2y−1 ⇒
(1 −y)
2
+ y
2
≥ (2y − 1)
2
⇔ 2y
2
− 2y ≤ 0 ⇔ 2y
2
− 2y ≤ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤ 1
⇒ y ∈ G
2
= [0; 1]

D.
3) f
3

2; −1 +
√
2]

D.
4) f
4
(x) =
sinx
cos(x) + sin(x) −2
. Đặt y =
sinx
cosx + sinx −2
.
Xét phương trình
y =
sinx
cosx + sinx −2
. (1.4)
y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (1.1) với ẩn x
tham số y có nghiệm.Ta có
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
(1.4) ⇔ sinx = ycosx + ysinx −2y ⇔ ycosx + (y − 1)sinx = 2y
⇒ (1 −y)
2
+ y
2
≥ 4y
2
⇒ 2y

sinx + 1
cosx + sinx −2
. Đặt y =
sinx + 1
cos(x) + sinx −2
.
Xét phương trình
y =
sinx + 1
cosx + sinx −2
. (1.5)
y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (1.5) với ẩn x
tham số y có nghiệm.Ta có
(1.5) ⇔ sinx+1 = ycosx+ysinx−2y ⇔ ycosx+(y −1)sinx = 2y +1 ⇒
(1 −y)
2
+ y
2
≥ (1 + 2y)
2
⇔ 2y
2
+ 6y ≤ 0 ⇔ −3 ≤ y ≤ 0.
⇒ y ∈ G
5
= [−3; 0]

D.
6) f
6

i
ở ví dụ 1.17 là dùng định nghĩa, định lý về
hàm liên tục và điều kiện có nghiệm.
Ví dụ 1.19. Cho f là hàm số thực với tập xác định là D. Xác định các
tập
1) A
1
= {z ∈ D|z = x.y; 0 < x, y; x + y = 1}.
2) A
2
= {z ∈ D|z = x + y; x
2
+ y
2
= 1}.
3) A
3
= {z ∈ D|z = sin x + cos x}.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15
4) A
4
= {z ∈ D|z =
√
x +
√
y; x + y = 1}.
5) A
5
= {z ∈ D|z = cos
4


D.
2) Theo bất đẳng thức BunhiaCơpxki có:
(x + y)
2
≤ (1 + 1)(x
2
+ y
2
) = 2 ⇒ −
√
2 ≤ x + y ≤
√
2.
Suy ra A
2
= [−
√
2;
√
2]

D.
3) Có: sin x + cos x =
√
2. sin(x + π/4) ⇒ −
√
2 ≤ sin x + cos x ≤
√
2.

5) Ta có
cos
4
x + sin
4
x = (cos
2
x + sin
2
x)
2
− 2 sin
2
x cos
2
x = 1 −
1
2
sin
2
2x.
Lại có 0 ≤ sin
2
2x ≤ 1 ⇒ 0 ≤
1
2
sin
2
2x ≤
1

Theo bất đẳng thức BunhiaCơpxki có:

x(1 −x) ≤
x + 1 −x
2
=
1
2
⇒ 0 ≤

x(1 −x) ≤
1
2
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />16
Suy ra A
6
= [0;
1
2
]

D.
Nhận xét 1.20. Việc tìm A
i
ở Ví dụ 1.19 là dùng định nghĩa và các
đánh giá, các định lý về hàm liên tục.
1.2.2 Phương pháp thứ hai và ví dụ áp dụng
Ở đây phương pháp thứ hai là dùng bảng biến thiên và các định lý về hàm
liên tục để tìm tập xác định của hàm được xác định bởi ham-tập.

3
(x) = −x
4
− x
2
+ 6.
Các tập A = [0; 2]; A
1
= [−
1
2
; 1]; A
2
= [
−1
2
; 3]; A
3
= [−2; 2];
B
1
= [0; 3]; B
2
= [1;
3
2
]; B
3
= [4; 6].
1.Khảo sát sự biến thiên của các hàm số f, f

f(x) = +∞; lim
x−→−∞
f(x) = −∞.
-SBT: f
,
(x) = 6x
2
− 3x −3.
f
,
(x) = 0 ⇒ x = 1 hoặc x = −
1
2
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />17
Bảng biến thiên
x
y
,
y
−∞ +∞
−
1
2
1
+ - +0 0
55
8
7
2

8
).
Điểm CT của đồ thị là :(1;
7
2
).
* Xét f
1
(x) =
2
3
x
3
− x
2
− 4x +
2
3
.
- TXĐ: D=R.
- Giới hạn: lim
x−→+∞
f(x) = +∞; lim
x−→−∞
f(x) = −∞.
- SBT :
f

(x) = 2x
2

✏
✏
✏
✏✶
* Xét hàm f
2
(x)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />