ĐẠI HỌC THĂNG LONG

PHẠM TUẤN KHƯƠNG

TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thăng Long - Năm 2015


ĐẠI HỌC THĂNG LONG

PHẠM TUẤN KHƯƠNG

TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. VŨ HOÀI AN

Thăng Long - Năm 2015

Thang Long University Libraty


i


1.1.3

5

8

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Các phương pháp xác định tập giá trị của hàm số
thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1

Phương pháp thứ nhất và ví dụ áp dụng. . . . 13

1.2.2

Phương pháp thứ hai và ví dụ áp dụng . . . . 18

1.2.3

Phương pháp thứ ba và ví dụ áp dụng . . . . 23

2 Ứng dụng Tập giá trị của hàm số thực vào phương trình,
bất phương trình.
2.1

2.2

28


73

Thang Long University Libraty


ii

Các kí hiệu

• R: Tập số thực.
• f : Hàm số thực.
• [a; b]: Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• (a;b): Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• ∀: Với mọi.
• ∃: Tồn tại
•A

B : Hợp của hai tập hợp A và B .

•A

B :Giao của hai tập hợp A và B .

• TXĐ: Tập xác định.
• SBT: Sự biến thiên.
• BBT: Bảng biến thiên.
• CĐ: Cực đại.
• CT: Cực tiểu.
• TCĐ: Tiệm cận đứng.

Đối với toán học phổ thông, ta thường gặp vấn đề sau:
Vấn đề C.
Cho bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa tham
số m. Tìm m để bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình

Thang Long University Libraty


2

thỏa mãn điều kiện nào đó của nghiệm.
Vấn đề B, Vấn đề C thường xuyên xuất hiện trong Báo Toán học và
Tuổi trẻ, trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông, đề thi đại học, đề thi học
sinh giỏi môn toán, trong các tài liệu toán nâng cao dành cho học sinh,
giáo viên toán trung học cơ sở, trung học phổ thông.
Đối với hàm số thực trong toán học cao cấp, trong [1], Nguyễn Văn Khuê
- Phạm Ngọc Thao - Lê Mậu Hải - Nguyễn Đình Sang đã đề cập đến vấn
đề nhận giá trị, xác định tập giá trị thông qua các định lý về hàm liên tục
và hàm khả vi. Các định lý này là cơ sở để giải quyết Vấn đề B, Vấn đề C
Quy trình giải quyết Vấn đề C gồm các bước:
- Bước 1: Thiết lập hàm f với tập xác định là A phù hợp với bất phương
trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình.
- Bước 2. Xác định f (A).
- Bước 3. Cho b ∈ f (A).

Quy trình giải quyết Vấn đề C gồm các bước:
- Bước 1: Thiết lập hàm f với tập xác định là A phù hợp với bất phương
trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình.
- Bước 2. Xác định f (A).
- Bước 3. Cho Cho m ∈ f (A).

khảo môn toán nâng cao.
II. NỘI DUNG
Luận văn được chia thành 2 chương cùng với phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo.
Chương 1: Tập giá trị của hàm số.
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu Vấn đề A, Vấn đề B. Mục tiêu là
tổng hợp và trình bày các định lý của hàm số thực liên quan đến Tập giá

Thang Long University Libraty


4

trị của nó.
Tổng hợp và trình bày các phương pháp tìm Tập giá trị của hàm số của
hàm số thực trong toán học phổ thông.
Chương 2: Ứng dụng Tập giá trị của hàm số thực vào phương
trình , bất phương trình.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu Vấn đề C. Mục tiêu là tổng hợp
và trình bày các ứng dụng Tập giá trị của hàm số của hàm số thực trong
toán học phổ thông vào phương trình, bất phương trình.
Trong quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp
đỡ tận tình của TS. Vũ Hoài An. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc nhất đến thầy.Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học toán
khóa 1 của trường Đại học Thăng Long đã mang đến cho tôi nhiều kiến
thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống.
Cuối cùng tôi xin trân trọng cảm ơn trường Đại học Thăng Long đã tạo
điều kiện cho tôi được học tập trong môi trường tốt nhất.
Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và trong khuôn khổ luận văn
thạc sĩ, nên chắc chắn trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi sai

Nếu f liên tục tại mọi điểm x0 ∈ A thì ta nói f liên tục trên A.

Nếu f không liên tục tại điểm x0 ∈ A thì ta nói f gián đoạn tại điểm x0 .
Nhận xét 1.2.

1. f liên tục tại x0 khi và chỉ khi với mọi lân cận V của f (x0 ) bao giờ cũng
tồn tại một lân cận U của x0 sao cho: f (U ∩ A) ⊂ V.
2. Nếu x0 ∈ A và là điểm cô lập thì f liên tục tại x0 .

Định lý 1.3. Điều kiên cần và đủ để f liên tục tại x0 là mọi dãy {xn } ⊂ A
mà x −→ x0 thì lim f (xn ) = f (x0 ).
n−→∞

Định lý 1.4. Nếu f và g là hai hàm cùng xác định trên A và liên tục tại

Thang Long University Libraty


6

x0 ∈ A thì f+g; a.f (với a là hằng số); f.g đều là những hàm số liên tục tại
f
x0 . Nếu g(x) = 0 thì cũng liên tục tại x0 .
g
Định lý 1.5. Một hàm liên tục trên [a; b] thì nó bị chặn.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử hàm f liên tục trên [a;b] nhưng không bị chặn. Khi đó ∀n ∈

N, ∃xn ∈ [a,b] sao cho |f (xn )| > n. Ta có thể xem {xn } là dãy phân biệt vì


ta chứng minh tương tự.
Đặt A = {t ∈ [a; b] : f (x) > 0, ∀x ∈ [a; t]}.Hiển nhiên a ∈ A nên A = ∅.

Gọi t∗ = sup A −→ t∗ ∈ [a; b]. Ta chứng minh f (t∗ ) = 0.

Theo định nghĩa của Sup: ∃ {tn } ⊂ A sao cho t∗ = lim tn . Vì f liên tục
tại t∗ nên

n−→∞


7

f (t∗ ) = lim tn ≥ 0.
n−→∞

Do f (b) < 0 nên t∗ = b ⇒ t∗ < b. Nếu f (t∗ ) > 0 thì theo tính liên tục của

f tại t∗ sẽ ∃δ > 0 sao cho f (x) > 0,
tính Sup A = t∗ . Vậy f (t∗ ) = 0.

∀x ∈ [t∗ − δ; t∗ + δ] ⊂ [a; b] trái với

Định lý 1.8. (Định lí về quan hệ giữa tính đơn điệu và tính liên tục)
Cho f là một hàm đơn điệu. Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục trên

[a; b] là miền giá trị của nó là một đoạn với hai đầu mút là f (a) và f (b).
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp f là hàm tăng, trường hợp

f là hàm giảm chứng minh tương tự.

x − x′
x − x′
| sin x − sin x | = 2| cos
|| sin
| ≤ 2|
| = |x − x′ |.
2
2
2
π
π
Vì | sin t| ≤ |t|, ∀0 ≤ |t| ≤ . Do đó ∀ε > 0, ∃δ = min(ε; )
2
2
nên | sin x − sin x′ | < ε.
′

Nhận xét: Tính liên tục của hàm y = cosx, ta chứng minh tương tự.
1.1.2

Các định lí cơ bản của hàm số khả vi liên quan với vấn đề nhận giá
trị.

Định nghĩa 1.11. Ta nói hàm f có cực đại địa phương (hay cực tiểu địa
phương)tại điểm x0 nếu f xác định trong một lân cận (a, b) của x0 và tồn
tại số δ > 0 đủ bé sao cho

f (x) ≤ f (x0 ) ∀x ∈ (x0 −δ; x0 +δ) (hayf (x) ≥ f (x0 ) ∀x ∈ (x0 −δ; x0 +δ)).
Điểm mà tại đó đạt cực đại hay cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Nếu f (x) < f (x0 )∀x ∈ (x0 − δ; x0 + δ), x = x0 thì x0 gọi là điểm cực đại

iii.f (a) = f (b).
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f ′ (c) = 0.
Chứng minh. Do f liên tục [a; b] nên lấy x1 , x2 ∈ [a, b] sao cho f (x1 ) =

sup f = M và f (x2 ) = inf f = m. Ta xét hai trường hợp có thể xảy ra :
Trường hợp 1: M=m.
Khi đó f (x) = m ∀x ∈ [a; b] nên f ′ (x) = 0 ∀x ∈ [a; b].
Trường hợp 2: M>m.
Vì f (a) = f (b) nên xảy ra f (x1 ) = f (a) = f (b) hoặc f (x2 ) = f (a) = f (b).
Nếu f (x1 ) = f (a) thì a < x1 < b. theo Định lí Rolle thì f ′ (x1 ) = 0.
Nếu f (x2 ) = f (a) thì a < x2 < b. theo Định lí Rolle thì f ′ (x2 ) = 0.
Định lý 1.14 (Định lí Lagrange). Giả sử f : [a; b] −→ R có tính chất
i) f liên tục trên [a; b].

ii) f khả vi trên (a; b).
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho

f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a).
Chứng minh.
Nếu a = b thì định lí luôn đúng.

f (b) − f (a)
.
b−a
Khi đó F (b) = F (a) = 0, thỏa mãn định lí Rolle nên ∃c ∈ (a; b) sao cho
Nếu a < b, xét hàm F (x) = f (x) − f (a) − (x − a)

F ′ (c) = f ′ (c) −

f (b) − f (a)

Nhận xét 1.16. Một trường hợp riêng của định lí Cauchy là khi ta lấy

g(x) = x thì ta nhận được Định lí Lagrange.
Sau đây chúng tôi nêu một số bài tập áp dụng
1.1.3

Bài tập áp dụng

Bài tập 1.1.
Cho hàm số

f (x) = x3 −3x, f1 (x) =

x+1
, f2 (x) =
x−2

x2 − 3x + 2, f3 (x) =

√

√
x + 1+ 1 − x.

A = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 3}, A1 = {x ∈ R : 4 ≤ x ≤ 6},
A2 = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2}, A3 = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 1}. Tìm
1) f (A) = {f (x)|x ∈ A} = {x3 − 3x|1 ≤ x ≤ 3}.
x+1
|4 ≤ x ≤ 6}.
2) f1 (A1 ) = {f1 (x)|x ∈ A1 } = {


+

2

f (x)

✟✟

✯ ❍❍
✟✟
❍❍
✟
✟

❍
❥
❍

✏
✏✏

✏✏

-2

−∞
Vậy f (A) = [−2; 18].

2) Tìm f1 (A1 ) = {f1 (x)|x ∈ A1 } = {

x+1
|4 ≤ x ≤ 6}.
x−2

6

+∞

-

€€
q
€

−∞

+∞

€5€

2

7
4

€€
€

€€
q


-

f2′ (x)

2
+

0 ❍❍

❍❍

f2 (x)

❍❍
❍
❍❍
❥

1
Vậy f2 (A2 ) = [− ; 0].
4

1
4

✏
✏✏

✏✏

+
1
2
x
+
1
√
√
⇔ x + 1 = 1 − x ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên
x -1

+

f3′ (x)
f3 (x)

0

√

✟
✟
2 ✟✟

✟✟
✟✟

1



2) Tìm tập giá trị của g◦ f trên B = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 0}.
Lời giải.
1) Tìm tập giá trị của y .
Đặt sin2x = t(t ∈ [−1, 1]).

⇒ h(t) = t4 − 2t2 − 3.
Ta có h′ (t) = 4t3 − 4t.


13

h′ (t) = 0 ⇔ 4t3 − 4t = 0 ⇔ t = −1; t = 0; t = 1.
Bảng biến thiên:
t
−∞
-1
0
1
+∞
- 0

h′ (t)
h(t)

+∞
❳

❳❳
③

−3 ≤ x ≤ 0} = {sin4 t − 2 sin2 t − 3 : −18 ≤ t ≤ 2}.
Đặt z = sin t. Do [−π; 0] chứa trong đoạn [−18; 2] nên −1 ≤ sin t ≤ 1.
Vậy −1 ≤ z ≤ 1. Do đó g◦ f (B) = {z 4 − 2z 2 − 3 : −1 ≤ z ≤ 1}.
Từ bảng biến thiên ta được tập giá trị của g◦ f trên B là [−4; −3].
Sau đây chúng tôi nêu một số phương pháp xác định tập giá trị của
hàm số thực.

1.2
1.2.1

Các phương pháp xác định tập giá trị của hàm số thực
Phương pháp thứ nhất và ví dụ áp dụng.

Trong phương pháp này ta dùng định nghĩa và các định lí về hàm liên tục
để tìm tập giá trị của hàm số thực.
Trước tiên ta nhắc lại điều kiện có nghiệm của phương trình

a cos x + b sin x = c; a2 + b2 > 0 là: a2 + b2 ≥ c2 .
Sau đây chúng tôi đưa ra các ví dụ minh họa cho phương pháp này.

Thang Long University Libraty


14

Ví dụ 1.17. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
2x2 + 7x + 3
1) y = f1 (x) = 2
.
x + 2x + 10

2
5
5
3
3
y
, y = khi x = 2 và y = khi x = −4 .
Kết hợp lại ta được
2
2
2
2
3 5
Vậy tập giá trị của hàm số là T1 = ; .
2 2
2) Phương trình
cosx
⇔ cosx = y (sinx + cosx + 2)
y=
sinx + cosx + 2
⇔ (1 − y) cosx − ysinx = 2y ,vì sinx + cosx + 2 > 0, ∀x ∈ R.
Phương trình trên có nghiệm khi và chi khi
√
√
3
3
−1
−
−1
+


4) Phương trình
2sinx + cosx + 1
y=
⇔ 2sinx + cosx + 1 = y (sinx − 2cosx + 3)
sinx − 2cosx + 3
⇔ (y − 2) sinx− (2y + 1) cosx = 1 − 3y ,vì sinx − 2cosx + 3 > 0, ∀x ∈ R.
Phương trình trên có nghiệm khi và chi khi

(y − 2)2 + (2y + 1)2

(1 − 3y)2 ⇔ 2y 2 − 3y − 2
1
Vậy tập giá trị của hàm số là T4 = − ; 2 .
2

0 ⇔ − 21

y

2.

Ví dụ 1.18. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
2 x2 + 6xy
biết x, y là hai số thực thỏa mãn x2 + y 2 = 1.
P =
2
1 + 2xy + 2y
Lời giải.
Do x2 + y 2 = 1, nên ta đặt x = sin α, y = cosα với α ∈ [0; 2π].


16

Lời giải.

x + 2y + 1
⇔ P x2 −x+P y 2 −2y+7P −1 = 0 (1).
2
2
x +y +7
Nếu P = 0 thì (1) có dạng x + 2y + 1 = 0 ta thấy x = −1, y = 0 thỏa
mãn. Vậy P = 0 là một giá trị của biểu thức.
Nếu P = 0. Vì (1) có nghiệm nên ta xét
∆ = 1 − 4P P y 2 − 2y + 7P − 1
0
⇔ 4P 2 y 2 − 8P y + 28P 2 − 4P − 1 0 (2).
Ta sử dụng kết quả sau: Bất phương trình at2 + bt + c
0, (a > 0) có
nghiệm khi
b2 − 4ac 0 do a = 4P 2 > 0 nên BPT (2) có nghiệm khi
δ ′ = 16P 2 − 4P 2 28P 2 − 4P − 1
0 ⇔ 28P 2 − 4P − 5 0
1
15
P
, (P = 0)
do P 2 > 0 ⇔ −
14
2
15

14
5
5
Xét phương trình P =

Nhận xét 1.20. Việc tìm các tập giá trị của các hàm số và biểu thức ở
các ví dụ trên là ta dùng định nghĩa , định lí về hàm số liên tục và điều
kiện có nghiệm.
Ví dụ 1.21. Cho f hàm số thực với tập xác định là D. Hãy xác định các
tập sau
1) A1 = z ∈ D|z = x2 + y 2 , x + y = 1, x
2) A2 = z ∈ D|z = 2x + 3y, 2x2 + 3y 2
3) A3 = z ∈ D|z = sin4 2x + cos4 2x .
2

4) A4 = z ∈ D|z = 4sin x + 4cos

2

x

.

0, y
5 .

0 .


17

12 + 12 x2 + y 2 ⇒ z 21 .
1
1
Dấu bằng xảy ra khi x = y = . Vậy minz = , kết hợp lại ta được
2
2
1
A1 = ; 1 ∩ D.
2
2) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được
2
√ √
√ √
(2x + 3y)2 =
(2 + 3) 2x2 + 3y 2
2. 2x + 3. 3y
25
⇒ −5 2x + 3y 5.
Ta có: 2x + 3y = −5 khi x = y = −1, 2x + 3y = 5 khi x = y = 1.
Vậy A2 = [−5; 5] ∩ D.
3) Ta có
1
2
sin4 2x + cos4 2x = sin2 2x + cos2 2x − 2sin2 2xcos2 2x = 1 − sin2 4x.
2
Ta lại có
1 2
1
1
1

2
sin2 x
Ta lại có 4
− 1 0, 4cos x − 1 0 ⇒ 4sin x − 1 4cos x − 1
0
2

2

⇒ 4sin x + 4cos x 5. Dấu bằng xảy ra khi cosx = 0 hoặc sinx = 0. (2)
Từ (1) và (2) ta có A4 = [4; 5] ∩ D.
√
√
5) Hàm số z = 1 − x + 1 + x xác định khi |x| 1 và khi đó z 0.
√
Ta có z 2 = 2 + 2 1 − x2 dễ thấy khi −1 x 1 ⇒ 0 1 − x2 1.

Thang Long University Libraty


18

√
Từ đó ta có 2 z 2 4, vì z 0 nên 2 z 2 .
√
√
z = 2 khi x = ±1, z = 2 khi x = 0. Vậy A5 =
2; 2 ∩ D.
Nhận xét 1.22. Việc tìm các tập Ai với i=1,2,3,4,5 ở Ví dụ 1.21 là ta
dùng định nghĩa và các đánh giá ,các định lí về hàm số liên tục.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2) và (0;+∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0).


19

+ Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x =-2 ⇒ y = 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ y = −4.

+ Giới hạn

lim f1 (x) = +∞;

x−→+∞

lim f1 (x) = −∞.

x−→−∞

+ Bảng biến thiên
x

−∞
+

f1′ (x)
f1 (x)
−∞

x+1
- TXĐ:D = R\ {−1}.
- Sự biến thiên.
+ Chiều biến thiên
2x2 + 4x ′
f2 ′ (x) =
, f2 (x) = 0 ⇒ x = −2 hoặc x = 0.
(x + 1)2
Hàm số NB trên khoảng (−2; −1) và (−1; 0).
Hàm số ĐB trên khoảng (−∞; −2) và (0; +∞).
+ Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = −2 ⇒ y = −5.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ y = −3.
+ Giới hạn
lim f2 (x) = +∞; lim f2 (x) = −∞.
x−→+∞

x−→−∞

lim f2 (x) = −∞; lim + f2 (x) = +∞.

x→−1−

x→−1

Thang Long University Libraty


20



+

+∞
❆

−∞

−∞

0

❆
❆
❆
❆❯

 
 
3

 

✒
 
 

+∞

* Xét hàm f3 (x) = x4 − 2x2 + 1.

+∞
❳

❳❳
③
❳

0

0
+
✘✘✘

0

1
-

1

+∞

0 +

+∞

✿ ❳❳❳
✘
✘
✿