Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
--------------  -------------- NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN
PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM NGUYÊN
VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
ĐẠI HỌC THÁI
NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ
PHẠM

-------------- 

--------------

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN

PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM NGUYÊN
VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ Chuyên ngành:GIẢI
TÍCH
Mã số: 60.46.01

Mục lục
trang

MỞ ĐẦU................................................................................................4
Chƣơng 1 - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ………………………………….6
1.1. Công thức Poisson-Jensen ................................................. …............6
1.2. Các hàm đặc trưng Nevanlinna..................... .....................................7
1.3. Đồng nhất thức Cartan và tính lồi .....................................................14
1.4. Quan hệ số khuyết..............................................................................14
1.5. Tập xác định duy nhất các hàm phân hình.........................................17
Chƣơng 2 - PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM NGUYÊN VÀ
ĐẠO HÀM CỦA NÓ…………………………………………………..29
2.1. Sự xác định của hàm nguyên và tổ hợp tuyến tính của các đạo hàm của
nó dựa vào tạo ảnh của hai điểm……………………………………………...31
2.2. Sự xác định của hàm nguyên và đạo hàm của nó dựa vào tạo ảnh của
một tập gồm hai điểm…………………………………………………………43
KẾT LUẬN................................................................................................ 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................ 56

5
MỞ ĐẦU
Trong toán học, lý thuyết phân bố giá trị là một phân ngành của phân tích toán
học. Lý thuyết phân bố giá trị được nhà toán học R. Nevanlinna đưa ra năm
1926. Chính vì thế lý thuyết này còn được gọi là lý thuyết Nevanlinna. Mục
đích chính của lý thuyết phân bố giá trị là thiết lập định lý cơ bản thứ nhất và
định lý cơ bản thứ hai đối với các ánh xạ phân hình. Một trong những ứng
dụng quan trọng bậc nhất của lý thuyết Nevanlinna chính là vấn đề duy nhất,
tức là tìm điều kiện để hai ánh xạ phân hình
f
và
g
là trùng nhau. Như đã đề
cập ở trên, năm 1926, Nevanlinna đã chứng minh được rằng: với hai hàm
phân hình
f
và
g
trên mặt phẳng phức

, nếu chúng có cùng ảnh ngược
(không tính bội) của năm điểm phân biệt thì
f
trùng
g
. Có thể nói việc
nghiên cứu vấn đề duy nhất đối với ánh xạ phân hình đòi hỏi cả hai phương
diện: xây dựng Lý thuyết phân bố giá trị (mà cụ thể là định lý cơ bản thứ hai)
và nghiên cứu ứng dụng của nó. Vấn đề duy nhất đối với ánh xạ phân hình

Định lý.2.1.7. Giả sử
f
là một hàm nguyên khác hằng số và
()
1
0
()
n
i
i
i
g L f b b f


  

,
trong đó,
( 1,0,1, , )
i
b i n 
là các hàm phân hình nhỏ của
f
. Giả sử
1
a
và
2
a


   
,
trong đó

là một hàm nguyên.
Định lý 2.2.3. Giả sử
f
là một hàm nguyên khác hằng số và
12
,aa
là
hai số phức phân biệt. Nếu
f
và
'f
cùng phân phối tập
 
12
,a a CM
thì một
và chỉ một trong các khẳng định sau là đúng.
(i)
'ff
.
(ii)
12
'f f a a  
.
(iii)
12

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
thể.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Công thức Poisson-Jensen.
Giả sử
()fz
là hàm phân hình trong
{ }
, (0) 0,z R f£ ¹ ¥
. Giả sử
12
, , ,
M
a a aL

là các
0
-điểm của
()fz
trong
{ }
zR£
(mỗi

-
=+
- - +
ò

22
11
()
()
log log
MN
R z a
R z b
R a z R b z
m
u
mu
mu
==
-
-
+-
--
åå
.
Nhận xét: Hàm phân hình
()fz
chỉ có hữu hạn
0
-điểm và cực điểm trong

(0) 0f =
hoặc
¥
thì
()fz
có khai triển tại
0z =
dạng:
1
1
( ) ( 0f z c z c z
ll
ll
l
+
+
= + + >L
nếu
(0) 0f =
,
0l <
nếu
(0)f =¥
).
 Xét hàm
1
( ) ( )/ ( ), (0) 0,z R f z z R c c z
l l l
ll
yy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
1.2. Các hàm đặc trƣng Nevanlinna.
1.2.1. Định nghĩa. Với mỗi số thực
a
, đặt
{ }
log max 0,logaa
+
=
( tức là, nếu
1a £
thì
log 0a
+
=
, nếu
1a ³
thì
log logaa
+
=
).
Ta có:
1
log log logaa
a
++
=-

N f R N f R
u
u
=
=³
å
.
1.2.3. Định nghĩa. Hàm xấp xỉ
( , )m f R

2
0
1
( , ) log (Re )
2
i
m f R f d
p
j
j
p
+
=
ò
.
Từ định nghĩa hàm xấp xỉ
( , )m f R
,ta có:
2 2 2
0 0 0

M
a a aL
suy ra hàm
1
f
có cực điểm tại
12
, , ,
M
a a aL
.
Từ định nghĩa hàm
( )
,N f R
, ta có
1
1R
( , ) log
a
M
NR
f
m
m
=
=
å
.
Hệ quả 1.1.1 có thể viết lại dưới dạng sau đây:


,
( )
,N f R
,
( , )T f R
, ta có các tính chất
sau:
1.2.5. Định lý. Nếu
, 1,
j
f j p
là các hàm phân hình,
r
là một số thực dương
tuỳ ý,
a
là số phức bất kỳ thì ta có các tính chất sau:
1)
1
1
( , ) ( , )
pp
jj
j
j
m f r m f r
=
=
Õ £ å
.

jj
N f r N f r
==
å £ å
.
5)
1
1
( , ) ( , )
pp
jj
j
j
T f r T f r
=
=
Õ £ å
.
6)
( )
11
( , ) ,
pp
jj
jj
T f r T f r
==
å £ å
.
7)

£+
åå
,
và
11
( , ) ( , ) log
pp
jj
jj
T f r T f r p
==
£+
åå
.
Xét
1 2 2 2
, , ( , ) 0, ( , ) logf f f a N f r m f r a
+
= = - = =
. Ta có:
( , ) ( , ) log log2T f a r T f r a
+
- £ + +
.
Tức là,
( , ) ( , ) log log2T f a r T f r a
+
- - £ +
. (1)
Mặt khác,

trong đó,
( , ) log log2a R ae
+
£+
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
Ý nghĩa của định lý cơ bản thứ nhất:
2
0
1 1 1
( , ) log
2
(Re )
i
m R d
fa
fa
p
j
j
p
+
=
-
-
ò
.

fa-
lớn nếu
(Re )
i
fa
j
:
suy ra
1
( , )mR
fa-
“đo độ lớn” tập hợp
z
tại
đó
()f z a:
. Do đó,
11
( , ) ( , )m R N R
f a f a
+
--
“đo độ lớn” tập hợp
z
tại đó
()f z a=
hoặc
()f z a:
. Vế phải có thể xem là không phụ thuộc
a

=
-
.
( , ) ( , )m R f m R=¥

( , ) ( , )N R f N R=¥
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
R
( , ) log ,
b
N R a b=å
là
0
-điểm của
fa-
.
Nhận xét:
( , )T R f
được định nghĩa cho các hàm phân hình. Tuy nhiên trong
trường hợp
f
chỉnh hình thì hàm
( , )T R f
vẫn cho nhiều thông tin hơn hàm
max f
.

af z b
gz
cf z d
+
=
+
,
0ad bc-¹
. Khi
đó, ta có:
( , ) ( , ) (1)T r g T r f= + O
.
Chứng minh: Xét
af b
g
cf d
+
=
+
.

0c=
.
( , ) ( , ) ( , )
a b a b a
g f T r g T r f T r f
d d d d d
= + Þ = + = + O
(1)
( , )T r f= + O

d
ac f
c
-
= + + O
+
(1)
( , )
()
bc ad
Tr
d
ac f
c
-
= + O
+
(1)

()
( , )
d
ac f
c
Tr
bc ad
+
= + O
-
(1)

2q ³
,
12
, , ,
q
a a aL

là các số phức phân biệt. Khi đó, ta có:
1
1
( , ) ( , ) 2 ( , ) ( ) ( )
q
m r m r a T r f N r S r
u
u=
¥ + £ - +
å
,
trong đó,
1
1
( ) ( , ) 2 ( , ) ( , ')
'
N r N r N r f N r f
f
=+-
.
1
' ' 3 1
( ) ( , ) ( , ) log log2 log , min

m r f m r a q
u
u
d
+
=
³ - -
å
.
1.2.9.2. Bổ đề. Với mọi hàm phân hình
g
, ta luôn có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
2
0
1 1 1
( , ) ( , ) log log (0)
2
()
i
N r g N r d g
g
g re
p
j
j
p

q T r f N r a N r N r S r
u
u=
- £ + ¥ - +
å
,
trong đó,
1
1
( ) ( , ) 2 ( , ) ( , ')
'
N r N r N r f N r f
f
=+-
,
( ) (log ( , )) (log )S r T r f roo=+
.
Chứng minh: Theo bất đẳng thức cơ bản:
1
1
( , ) ( , ) 2 ( , ) ( ) ( )
q
m r m r a T r f N r S r
u
u=
¥ + £ - +
å
.
Cộng vào hai vế đại lượng
1

( , ) { ( , )
q
T r f T r f
u=
+ + O
å
(1)
1
1
} 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
q
T r f N r N r a N r S r
u
u=
£ + ¥ + - +
å
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Suy ra
1
1
( 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
q
q T r f N r a N r N r S r
u
u=
- £ + ¥ - +

{ }
zR£
. Khi đó, ta có:
2
0
1
( , ) ( , ) log (0)
2
i
T R f N R e d f
p
q
q
p
+
=+
ò
.
1.3.3. Hệ quả.
( , )T R f
là hàm lồi, tăng của
R
.
1.3.4. Hệ quả. Với giả thiết như trong định lý 1.3.2, ta có:
2
0
1
( , ) log2
2
i

1.4.1. Định nghĩa.

( , ) log
r
N r f
b
=å
, trong đó, tổng lấy theo các cực điểm của
f
trong
{ }
zr£
, mỗi cực điểm chỉ lấy một lần.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17

( , )
( ) ( , ) lim
( , )
r
m r a
a a f
T r f
dd
®¥
==
: Số khuyết của hàm
f

N r a N r a
a a f
T r f
qq
®¥
-
==
.
Ý nghĩa:
( , ) ( , )m r a N r a+
“ đo độ lớn” của tập hợp
z
, tại đó,
()f z a=
hoặc
()f z a:
.
Nếu
()ad
càng lớn thì phương trình
()f z a=
càng “thiếu” nghiệm. Do đó,
()ad

gọi là “số khuyết”.
()aq
: chỉ số bội của hàm tại giá trị
a
.
()aq

Tổng trên chứng tỏ chỉ tồn tại không quá đếm được giá trị
a
để
( ) 0aQ>
,
còn hầu hết là
0
, đồng thời tổng của chuỗi
( ) 2aQ£
å
.
1.4.2.1. Bổ đề. Với giả thiết như trong định lý 1.4.2, ta có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
11
1
( , ) ( , ) ( , )
'
qq
N r a N r N r a
f
uu
uu==
-£
åå
.
1.4.2.2. Hệ quả (định lý Picard). Hàm phân hình khác hằng số nhận mọi
giá trị trừ ra cùng lắm là hai giá trị. [Nếu

( ), ( ) ,u z v z zÞ ¹ ¥ "
. Mặt khác,
( ) 0, ( ) 0,u z v z z¹ ¹ "
và
1uv+º
nên
( )
, ( ) 1,u z v z z¹"
.
Vậy, ta có: với mọi
z Î £
,

( ), ( ) 0
( ), ( ) 1
( ), ( )
u z v z
u z v z
u z v z
ü
¹
ï
ï
ï
ï
¹
ý
ï
ï
¹¥

rr
N r a N r a
a
T r a N r a
® ¥ ® ¥
Q = - ³ - ³ - =
. Vậy, tồn tại không
quá bốn giá trị
j
a
để mọi nghiệm của phương trình
j
fa=
đều là nghiệm bội.
Nhận xét: Giả sử
()fz
là hàm chỉnh hình. Khi đó,
()fz=¥
vô nghiệm. Suy
ra
( ) 1Q ¥ =
, do vậy,
( ) 1
a
a
Î
Q£
å
£
. Vậy, hàm chỉnh hình khác hằng nhận mọi giá trị

1
( ) 1a
m
Q ³ -
.
Nếu
f
là hàm phân hình, khác hằng số thì tồn tại không quá bốn giá trị
1 2 3 4
, , ,a a a a
để
()
j
f z a=
gồm toàn nghiệm bội.
1
( ) , 1,4
2
j
ajQ = =
.
1.5. Tập xác định duy nhất các hàm phân hình.
1.5.1. Định lý 5 điểm của Nevanlinna.
Giả sử
,fg
là hai hàm phân hình và tồn tại năm giá trị
, 1, ,5
j
aj= L
sao

những tập hợp nào xác định duy nhất hàm phân hình, tức là, khi nào
11
( ) ( )f S g S f g
--
= Þ =
?
1.5.2. Định nghĩa. Giả sử
{ }
,SfÌ È ¥£
là hàm phân hình.
()
S
aS
Ef
Î
= U
{
( , )zk δ£¥
|
()f z a=
bội
k
}.
S
()
aS
Ef
Î
= U
{

không có nghiệm bội. Khi đó, tập
{ }
|0
n n m
S z z az b
-
= + + =
là tập
xác định duy nhất các hàm phân hình.
Giả sử
{ }
1
,,
n
S r r= L
gồm
n
điểm phân biệt. Đa thức kết hợp với
S
:
1
( ) ( ) ( )
Sn
P z z r z r= - -L
.
1.5.4.1. Bổ đề. Giả sử
,fg
là các hàm phân hình thoả mãn
11
( ) ( )f S g S

=
, ta có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
Với mỗi
{ }
1
,,
in
a a aÎ L
, tồn tại
{ }
1
,,
jn
a a aÎ L
để
11
( ) ( )
ij
f a g a
--
=
, tức là
( ) ( )
ij
f z a g z a= Û =
. Hơn nữa, tương ứng trên là tương ứng 1-1. do đó,

1
( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ') ( , )
'
n
m r m r a T r f N r N r f N r f S r f
f
u
u=
íü
ïï
ïï
¥ + £ - + - +
ìý
ïï
ïï
îþ
å
.
Cộng thêm hai vế đại lượng
1
( , ) ( , )
n
N r N r a
u
u=
¥+
å
:
{ } { }
1

+ £ + - + - +
å

Suy ra
1
1
( 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ') ( , ) ( , )
'
n
n T r f N r a N r N r f N r f S r f
f
u
u=
- £ - + - +
å
.
Ta có:
11
1
( , ) ( , ) ( , )
'
nn
N r a N r N r a
f
uu
uu==
-£
åå
,
và

£ + +
-
å
.

1
1
( , ) ( , ) ( , )
n
N r T r f S r f
ga
u
u
=
£ + +
-
å

Suy ra
1
1
( 2) ( , ) ( , ) ( , )
n
n T r f N r S r f
ga
u
u
=
- £ +
-

2
n
T r g T r f S r g
n
£+
-
.
W

1.5.4.2. Bổ đề.
Giả sử
{ }
1
,,
n
S r r= L
gồm
n
điểm phân biệt,
,fg
là các hàm phân hình thoả
mãn
11
SS
22
( ) ( ), ,
sl
E f E g f g
sl
= = =


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23
Chứng minh:
11
1
1
22
11
1
1
22
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
Sn
Sn
n
ss
rr
P f f r f r
ss
ll
P g g r g r
rr
ll
y

()
( ) ( )
n
n
s s r s s r
z
l l r l l r
j
--
=
--
L
L
.
Nếu
o
z
là
0
-điểm bội
k
của hàm
()zj
thì
1 0 2 0
( ) ( )
j
s z r s z=
với
j

-
điểm. Do đó,
( ) log ( )h z zj=
chỉnh hình,
()
()
hz
zej =

Vậy
()
2
2
n
hz
n
l
e
s
y =×
.
W

1.5.4.3. Bổ đề. Nếu
,g

là các hàm phân hình có dạng như trên thì
1
( , ) ( , ) ( , )N r N r g T r g
y

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

24
1.5.4.6. Bổ đề.
Nếu
,fg
là các hàm phân hình khác hằng,
1 2 3
,,c c c
là các số phức khác
không thỏa mãn:
1 2 3
c f c g c+=
thì
11
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )T r f N r N r N r f S r f
fg
< + + +
.
1.5.4.7. Bổ đề.
Nếu
1 2 3
,,f f f
là các hàm phân hình khác hằng và thỏa mãn
1 2 3
( , , )f f f
độc lập
tuyến tính và

n n m
S
n n m
S
Pf
f af b
P g g ag b
y
-
-
++
==
++
.
1 2 3
,,f f f
định nghĩa như sau:
1
1
()
n m m
f f f a
b
-
= - +
,
2
1
()
n m m


25
Giả sử
,fg
là các hàm phân hình thoả mãn
SS
( ) ( )E f E g=
,
{ }
|0
n n m
S z z az b
-
= + + =
,
( ) ( )
S
cS
P z z c
Î
=-
Õ
,
()
()
S
S
Pf
Pg
y =

sl
==
, trong
đó,
12
( , )ss
,
 
12
,ll
là các cặp hàm chỉnh hình không có
0
- điểm chung). Theo bổ
đề 1.5.4.2, ta có:
()
2
2
()
()
n
hz
S
n
S
Pf
l
e
P g s
y ==
,

-điểm của
2
f
, mỗi
0
-điểm tính một lần.
Nếu
0
z
là
0
-điểm của
y
thì
0
z
là
0
-điểm của
2
l

10
( ) 0lzÞ¹
. Từ (1), ta có:
2 1 1 2 2 0
2
1
( ) ( ) 0
h