Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
==========
ĐINH THỊ NGỌC MINH
PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ
CỦA HÀM PHÂN HÌNH VÀ
ĐẠO HÀM CỦA NÓ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất ................................................................................. 9
1.3. Định lý cơ bản thứ hai .................................................................................... 10
1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản) .................................................................. 10
1.3.2. Bổ đề 1 ........................................................................................................ 11
1.3.3. Bổ đề 2 ........................................................................................................ 12
1.3.4. Định lý ........................................................................................................ 16
1.3.5. Định nghĩa .................................................................................................. 17
1.3.6. Định lý (Quan hệ số khuyết) ....................................................................... 18
1.3.7. Định lý ........................................................................................................ 20
Chương 2: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó. ................... 24
2.1. Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình. .................................................. 24
2.1.1. Định nghĩa .................................................................................................. 24
2.1.2. Định lý (Milloux) ........................................................................................ 24
2.1.3. Định lý ........................................................................................................ 26
2.1.4. Định lý ........................................................................................................ 28
2.1.5. Bổ đề: .......................................................................................................... 28
2.2. Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó ............................... 32
2.2.8. Định lý ........................................................................................................ 34
2.2.9. Định lý ........................................................................................................ 36
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 39
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình (lý thuyết Nevanlinna )
là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của giải tích phức và vẫn đang
thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên thế giới. Đề tài
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong
quá trình làm luận văn.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi
những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo,
các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chương 1
Hai định lý cơ bản của Nevanlinna
1.1. Công thức Poison – Jensen
1.1.1. Định lý
; ta có:
2
22
22
0
22
11
1
log log
2 2 cos
log log .
i
MN
Rr
f z f Re d
R Rr r
R z a
R z b
R a z R b z
zR
nên
log fz
là hàm
chỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có:
2
0
11
log 0 log log Re
22
i
zR
dz
f f z f d
iz
.
Lấy phần thực hai vế ta được:
d
f z f
iz
Mặt khác, do điểm
2
R
z
có môđun
22
RR
R
zr
nên điểm đó nằm ngoài hình
tròn, do đó:
2
1
log 0.
2
R
2
R
R
f z f d
R
iz
z
Rz
fd
i
z R z
22
22
0
1
log log Re .
2 2 cos
i
Rr
f z f d
R Rr r
Lấy phần thực hai vế ta được công thức cần chứng minh đối với trường hợp
hàm
fz
chỉnh hình và khác không.
+ Bước 3: Giả sử
fz
không có không điểm và cực điểm trong
R
suy ra
0f
.
(+) Giả sử
fz
có vô hạn cực điểm trên
n
0
:
0
lim
k
n
k
. Do các
k
n
là các cực điểm.
Suy ra
;
0
log logf
trong lân cận
0
.
Với mỗi
0
là không điểm, cực điểm, ta vẽ vòng tròn tâm
0
bán kính
0
đủ nhỏ.
Xét
C
: Hợp các cung tròn bán kính
nằm bên trong
R
,
log 0
khi
0
.
Vậy cho
0
ta được công thức cần chứng minh.
+ Bước 4: Trường hợp tổng quát.
Với các giả thiết như trong định lý ta đặt:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
2
dễ thấy
0,
bên trong hình tròn
R
, nên ta áp dụng được công
thức đã chứng minh trong bước 3.
Mặt khác, các hàm trong hai dấu tích chính là các hàm thực hiện ánh xạ hình
tròn
R
lên hình tròn đơn vị, nên môđun của chúng bằng 1 khi
R
.
Từ đó, nếu
Re
i
thì
ta được công thức Poisson-Jensen cho trường
hợp tổng quát.
1.1.2. Hệ quả
Trong những giả thiết của Định lý, đồng thời nếu
0 0,f
, ta có:
2
11
0
1
log 0 log Re log log .
2
MN
i
a
b
f f d
RR
Xét hàm
R f z
z
z
.
Ta thấy
0 0,
, đồng thời khi
Re ,
i
f
. Từ đó ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
2
fz
tại điểm
0
zG
, ký hiệu
0
z
ord f
, là số nguyên m sao cho
hàm
0
m
fz
gz
zz
chỉnh hình và khác không tại
0
z
.
(*) Ví dụ:
(1)
0
z
là 0 điểm cấp k của
ord 0f
.
Công thức Poisson – Jensen có thể viết dưới dạng:
2
2
2
2
2
0
1
log log Re ord log
2
Re
i
i
Rz
Rz
f z f f
Rz
z
,
vì:
1:log 0 log logx x x x
11
log 0 log 0
xx
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
0 1:log 0 log 0
1 1 1
log 0 log log log .
x x x
x
x x x
Như vậy, ta có:
m R f f d
.
Giả sử f có các cực điểm
1,
v
b v n
(mỗi cực điểm được tính một số lần
bằng bậc của nó), và các không điểm
1,aM
trong
;,z R n t f
là
số cực điểm của f trong
zt
.
.
Khi đó công thức Poisson – Jensen được viết dưới dạng:
11
log 0 , , , ,f m R f m R N R f N R
ff
11
, , , , log 0m R f N R f m R N R f
ff
.
Đặt
11
, , log
ll
kk
kk
m r f z m r f l
.
(2)
1
1
,,
l
l
kk
k
k
m r f z m r f
.
(5)
11
, , log
ll
kk
kk
T r f T r f l
.
(6)
1
1
,,
l
, 0,z R R a
là số
phức tùy ý. Khi đó ta có:
11
, , , log 0 , ,m R N R T R f f a a R
f a f a
trong đó
, log log2a R a
.
Chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Thật vậy, từ (1.1) và (1.2) ta có:
1 1 1
,
trong đó
a
là các nghiệm của phương trình
f z a
trong hình tròn
zR
.
Hàm xấp xỉ
2
0
1 1 1
, log
2
Re
i
m R d
fa
fa
thức trong định lý cơ bản có thể xem là không phụ thuộc a.
Vì thế định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình
fz
nhận
mỗi giá trị a (và giá trị gần a ) một số lần như nhau.
1.3. Định lý cơ bản thứ hai
1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản)
Giả sử
fz
là hàm phân hình khác hằng số trong hình tròn
zr
;
1
,..., ; 2
q
a a q
, là các số phức phân biệt. Khi đó ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
1
1
, , 2 ,
q
q
v
v
fq
S r m r q
f a f
,
1
min 0.
v
vq
aa
( Để đơn giản ta giả thiết:
' 0 0,f
.
Chứng minh.
1 1 1
, , , , , ,N r g N r T r g m r g T r m r
g g g
11
, , , ,T r g T r m r g m r
gg
12
2
0
11
log log
02
i
g re d
g
.
Đặt
1
1
q
v
v
Fz
fa
thì (*) đúng.
Thật vậy với mọi
ta có :
1
1 3 1 3
log log
q
qq
q
f a f a
.
Vế phải của (*)
0
+ Giả sử tồn tại
v
:
3
v
aa
q
. (vô lý)
Với mọi
;
3
v f a
q
,
2
33
vv
f a a a f a
q
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
.
1
1 1 1
q
vv
vv
Fz
f a f a
fa
=
1 1 1 1
11
22
v
v v v
fa
q
f a f a q f a
fa
1
13
log 1 log log2
q
q
q
fa
1
13
log log log2
q
q
q
fa
.
1
3
, , log log2
q
v
v
q
m r F m r a q
.
f
m r F m r f F
ff
ff
m r m r m r
f f f a
1 1 1
, , ,
11
, log 0 , .
m r T r N r
f f f
T r f N r
ff
0
''
, , , log
' ' 0
f
f f f
m r N r N r
f f f f
.
Từ bổ đề một ta có:
2
0
'0
'1
, , log log
1
0
'
, log
'0
q
v
v
f
f
mr
f a f
v
q
m r m r a m r m r F q
Copyright: Tài liệu đại học ©