XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM NGẪU NHIÊN THEO SỐ LIỆU
THỰC NGHIỆM
6.1 CÁC ĐẶC TRƯNG THỐNG KÊ CỦA HÀM NGẪU NHIÊN
Ở chương 2, chúng ta đã thấy rằng trong lý thuyết tương quan, người ta lấy kỳ vọng toán học và hàm
tương quan làm đặc trưng của hàm ngẫu nhiên. Ta sẽ xét phương pháp xác định các đặc trưng này theo số
liệu thực nghiệm. Trong đó cần nhớ rằng, khi sử dụng các số liệu thực nghiệm, ta không bao giờ giả thiết
có tập hợp tất cả các thể hiện có thể của hàm ngẫu nhiên, mà chỉ có một số hữu hạn các thể hiện, là một
phần nào đó trong tập tổng thể.
Vì vậy, các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên được xác định theo tập mẫu này mang tính chất ngẫu nhiên
và có thể khác với những đặc trưng thực xác định theo toàn bộ tập tổng thể các thể hiện. Những đặc trưng
nhận được theo số liệu thực nghiệm gọi là những đặc trưng thống kê hay ước lượng thống kê. Khác với giá
trị thực của kỳ vọng toán học
~
m( t ) và hàm tương quan R( t
1
,t
2
) , ta sẽ ký hiệu các đặc trưng thống kê
tương ứng dưới dạng
m~( t ), R( t
1
,t
2
)
.
Có thể xét hàm ngẫu nhiên như tập hợp tất cả các lát cắt của nó. Xuất phát từ đó, có thể đưa việc xác
định các đặc trưng thống kê của hàm ngẫu nhiên về việc xác định các đặc trưng tương ứng của hệ các đại
lượng ngẫu nhiên.
Giả sử do kết quả thực nghiệm ta nhận được n thể hiện
X
i

1
,
2
, ..., m
)
ta nhận được một lát cắt của quá trình ngẫu nhiên
X
j
=
X ( t
j
)
là một
đại lượng ngẫu nhiên, tức là ta nhận được hệ m đại lượng ngẫu nhiên. Và thay cho các đặc trưng thống kê của
quá trình ngẫu nhiên ta sẽ xét những đặc trưng tương ứng của hệ các đại lượng ngẫu nhiên này.
Theo mục 1.8, những đặc trưng đó là: kỳ vọng toán học của các đại lượng ngẫu nhiên
m~
[
X
j
]
=
m~
x
(
t
j
)
(6.1.1)
là những giá trị thống kê của kỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên tại các giá trị rời rạc của đối số t


...

~


R
mm

Các phần tử của ma trận tương quan (6.1.2) là mômen tương quan thống kê giữa các lát cắt của quá trình
ngẫu nhiên, ứng với các giá trị của đối số t
j
và t
l
, tức là các giá trị thống kê của hàm tương quan của quá trình
ngẫu nhiên tại những giá trị rời rạc của đối số
t
j
và
t
l
~ ~
R
j ,l
=
R
x
( t
j
,t

),
n
i
=
1
j =
1
,
2
, ..., m . (6.1.3)
Tương tự, các giá trị thống kê của mômen tương quan được xác định theo công thức
~
1
n
R
x
( t
j
,t
l
)
=
∑

[
x
i
( t
j
)

1
Đặc biệt khi
j
=
l
, mômen tương quan là giá trị thống kê của phương sai tại lát cắt tương ứng
(6.1.4)
~ ~
1
n 2
D
x
( t
j
) = R
x
( t
j
,t
j
)
=
∑

[
x
i
( t
j
)

quan chuẩn hoá
~r ( t
j
, t
l
)
tại những giá trị đối số
t
,
t
, được xác định theo công thức
x j l
~
~
R
x
( t
j
, t
l
)
trong đó
σ
~
x
( t )
=
~
D
x

kiện như nhau nếu khi thực hiện chúng có tính tới tập hợp tất cả những tác động mà điều kiện ban đầu và
những mối liên hệ được giữ nguyên không đổi. Các thí nghiệm được coi là độc lập nếu kết quả của mỗi thí
nghiệm không phụ thuộc vào kết quả của những lần thí nghiệm khác. Dưới góc độ toán học, tính độc lập
của các lần thí nghiệm khác nhau tương đương với sự độc lập của luật phân bố của hàm ngẫu nhiên trong
các thí nghiệm đó, còn sự tồn tại những điều kiện bên ngoài giống nhau khi tiến hành thí nghiệm tương
đương với việc các quy luật phân bố của hàm ngẫu nhiên như nhau trong tất cả các lần thí nghiệm.
Hệ phương pháp vừa xét cũng được ứng dụng để xác định các đặc trưng thống kê của trường ngẫu
nhiên.
Giả sử có n thể hiện
u
i
(
ρ

) ( i
=

1
, 2, ..., n )
của trường ngẫu nhiên
U (
ρ

)
trong miền không gian
D
nào đó. Ta chia miền
D
thành m phần bởi một tập hợp các mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ
và phân bố cách đều nhau. Ký hiệu

)
được nhận từ các công thức tương ứng của quá trình ngẫu nhiên
X ( t )
(6.1.3)
−
(6.1.6) bằng cách thay thế chỉ số
x
thành chỉ số
u
, còn đối số vô hướng
t
được thay bằng đối số vectơ
ρ


.
Phương pháp xử lý theo tập hợp các thể hiện của hàm ngẫu nhiên vừa xét đòi hỏi số lượng lớn các thể hiện,
bởi vì như đã biết từ thống kê toán học, độ chính xác của các đặc trưng thống kê nhận được giảm nhanh khi
giảm số lượng thể hiện.
Với số lượng thể hiện lớn, việc tính toán theo công thức (6.1.3) và đặc biệt theo công thức (6.1.4) rất khó
khăn. Công việc này có thể được thực hiện một cách hiệu quả nhờ máy tính điện tử. Ngày nay người ta
đã lập các chương trình xác định kỳ vọng toán học và ma trận tương quan cho nhiều loại máy tính khác
nhau, nhờ đó thực hiện được việc xử lý các thông tin khí tượng thủy văn.
Thông thường trong thực tế, việc đo đạc các yếu tố khí tượng thủy văn được tiến hành không liên tục
đối với tất cả các giá trị của đối số, mà chỉ tại những giá trị rời rạc của nó. Như vậy, khi xác định các đặc
trưng của hàm ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm quan trắc khí tượng thủy văn, chúng ta có một hệ các
lát cắt đối với những giá trị cụ thể đã cho của đối số, và chúng ta chỉ có thể thao tác với hệ đó.
Trong trường hợp quá trình ngẫu nhiên dừng hay trường đồng nhất đẳng hướng, kỳ vọng toán học
không phụ thuộc vào đối số của hàm ngẫu nhiên, còn hàm tương quan là hàm chỉ của một đối số vô hướng
− modul của hiệu các đối số. Khi đó, việc tính toán đơn giản hơn nhiều, thay vì ma trận tương quan (6.1.2)

diễn nó, nhận được bằng các dụng cụ tự ghi, hoặc thông thường nhất là bảng các giá trị của nó tại những trị
số rời rạc của đối số
t
.
Khi đó, trong các công thức (2.6.1) và (2.6.2), các tích phân được thay thế gần đúng bằng các tổng tích
phân.
Giả sử có băng ghi liên tục của thể hiện
x( t )
(hình 6.2), ta chia khoảng
[
0, T
]

thành n phần bằng
nhau có độ dài
⊗
t
và ký hiệu điểm cuối của từng đoạn là
t
j
=
j
⊗
t ( j
=

1
,
2
, ..., n )

( k = 1, 2, ..., m
) .
R
x
( τ
k
) =
n −
k
∑
[
x( j
⊗
t )
−
m~
x
][
x
[
( j
+
k )
⊗
t
]
−
m~
x
]

D
cũng được tiến
hành bằng cách
tương tự.
Hệ phương pháp vừa xét cũng hoàn
toàn được áp dụng để xác định hàm cấu trúc
của quá trình dừng egođic hay trường ngẫu
nhiên đồng nhất đẳng hướng. Công thức để
xác định giá trị thống kê của hàm cấu
trúc theo một thể
hiện của hàm
ngẫu nhiên
X ( t ) cho trên đoạn [0, T
] có dạng
1
T
−

τ
2
B
∫

[
x( t
+

τ
)
−

k
)
−

x( t
j
)
]
j =1
.
(6.2.4)
Nếu không chỉ có một thể hiện mà
là một số các thể hiện của nó nhận được
trong những điều kiện như nhau thì việc
xử lý được tiến hành theo phương pháp
trên đối với từng thể hiện, sau đó lấy
trung bình các đặc trưng tính được. Trong
trường hợp này, cần nhớ rằng giá trị
trung bình của hàm cấu trúc, nhận được
bằng cách lấy trung bình theo một bộ n
thể hiện độ dài hữu hạn T, sẽ tiến tới giá
trị thực khi cho
n

→

∞
.
Còn đối với hàm tương quan, do
khi tính nó không sử dụng giá trị thực


τ
)
−
X ( t )
]
2
dt


=
0


T
−

τ
=
∫

M
[
X ( t
+

τ
)
−
X ( t )

1

T
−

τ
M

[
R

(
τ
)
]
=
M


∫

[
X (
t )
−

m~


[
X ( t )
−
m
~
x
][
X ( t
+

τ
)
−
m
~
x
]

}
dt
=
T
1
0
T
−

τ
=

τ
−
∫

M
{

[
m
~
x
−

m
x
][
X (
t
+

τ
)
−
m
x
]

}
dt
−

−
m
x
][
X ( t )
−
m
x
]

}
dt
+
T
−

τ

0
+
1
T
−

τ
T
−

τ
2

(
τ
)
−
∫


1

−

1

[
τ
R
x
(
τ
)
+
TR
x
(
τ
−

τ
)
]

1
)
[
R
x
(
τ
1
)
+
R
x
(
τ
1
−

τ
)
]

d
τ
1
0
(6.2.7)
Từ đó thấy rằng, kỳ vọng toán học của giá trị thống kê của hàm tương quan, mà giá trị trung bình của
nó lấy theo tất cả các thể hiện sẽ tiến tới đó khi
n
→

x
]
=
D
x
−
2
∫

( T
−

τ
)R
x
(
τ
) d
τ

. (6.2.8)
0
Từ (6.2.8) thấy rằng, thậm chí khi số thể hiện để lấy trung bình các giá trị thống kê của phương sai
tiến tới vô hạn và khi khoảng ghi thể hiện T hữu hạn thì phương sai trung bình vẫn sẽ khác biệt với giá trị
thực của phương sai một đại lượng phụ thuộc vào T và bằng
2

T
α


6.3 ĐỘ CHÍNH XÁC XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG THỐNG KÊ CỦA HÀM
NGẪU NHIÊN
Do nhiều nguyên nhân làm ảnh hưởng tới độ chính xác, các đặc trưng thống kê của hàm ngẫu nhiên
∫

M
[

(
m~
−
1
1
T
T
∫
xác định theo số liệu thực nghiệm là những đặc trưng gần đúng và có thể khác nhiều so với giá trị thực của
kỳ vọng toán học và hàm tương quan. Ta sẽ xét ảnh hưởng của những nhân tố khác nhau tới độ chính xác của
việc xác định các đặc trưng thống kê.
Để đơn giản cho việc tính toán, ta sẽ tiến hành nghiên cứu độ chính xác đối với quá trình ngẫu nhiên. Với
trường ngẫu nhiên, tính chất nghiên cứu và các kết luận sẽ tương tự.
1. Ảnh hưởng của sai số trong số liệu ban đầu
Các số liệu thực nghiệm được sử dụng khi xử lý không tránh khỏi có chứa những sai số phụ thuộc vào
độ chính xác của phương pháp quan trắc và các dụng cụ đo.
Ta sẽ cho rằng sai số đo là một quá trình ngẫu nhiên Y ( t ) có kỳ vọng toán học m
y
( t ) và hàm tương
quan
R
y

1

n
m
~
z
( t
j
)
=
∑

[
x
i
( t
j
)
+
y
i
( t
j
)
]
=
m
~
x
( t

y
( t
j
)
, (6.3.3)
tức là sai số của giá trị thống kê của kỳ vọng toán học bằng kỳ vọng toán học của sai số đo.
Theo (6.1.4), ta sẽ xác định giá trị thống kê của hàm tương quan dưới dạng
~
R
z
( t
j
,t
l
)
=
∑

[
z
i
( t
j
)
−
m
~
z
( t
j


[
x
i
( t
j
)
+
y
i
( t
j
)
−
m
x
( t
j
)
−
m
y
( t
j
)
]
×
n
−


)
]
=
=
R
x
( t
j
,t
l
)
+
R
y
( t
j
,t
l
)
+
R
xy
( t
j
,t
l
)
+
R
yx

khi
j
≠
l ,
R
y
( t
j
,t
l
)
=



2
(6.3.6)
K h đó công thức
n
1
(6.3.5) được viết dưới dạng
σ

y
( t
j
)
khi
j = l .
~ R

+

σ

y
( t
j
)
k
hi
j = l .
Từ công thức (6.3.7) suy ra rằng, trong trường hợp đang xét, sai số đo không ảnh hưởng tới giá trị
thống kê của hàm tương quan của quá trình ngẫu nhiên khi
t
j
≠
t
l
, nhưng làm tăng giá trị thống kê của
phương sai
σ

y
( t
j
)
.
σ
~
z

l
)
=

σ
~
( t
)
σ
~ ( t )
=
2
2 2 2
. (6.3.8)
z j z l
σ

x
( t
j
)
+

σ

y
( t
j
)
σ

,
σ
2
là những đại lượng không đổi, khi đó (6.3.8) được viết thành
dạng
x y
~r

(

τ

)

=
R
x
(

τ
)
. (6.3.9)
z 2 2
Chia tử thức và mẫu thức của (6.3.9) cho σ
2
, ta có
σ

x
+

=
2
.
x
Khi τ →
0
, hàm tương quan chuẩn hoá tiến tới đơn vị, do đó
~
r
z
( τ ) →
1
1

+

δ
, và điều này cho phép
xác định đại lượng δ .
Ta sẽ dựng đồ thị hàm
~r
z
(
τ
)
, bắt đầu từ giá trị
τ

=



)
. (6.3.11)
Bây giờ những giá trị bị hạ thấp của hàm tương quan chuẩn hoá thống kê có thể được hiệu chỉnh lại khi
nhân chúng với đại lượng 1 + δ vừa tìm được.
Để hiệu chỉnh giá trị bị tăng của phương sai thống kê, cần phải lấy giá trị nhận được của σ
~
2
chia cho
1
+
δ
theo công thức
Giá tr
thống
kê củ
hàm
cấu
trúc
B
z
( τ
)
được
xác định
x
σ
σ
z