Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 1 Tài Liệu Năm học 2008 - 2009
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 3
BÀI TẬP CĂN THỨC

Bài 1 Cho A =
1 1 1
4
1 1
a a
a a
a a a
 
 
 
  
 
 
 

 
 

1. Tìm điều kiện có nghóa của A
2. Rút gọn A
Bài 3 Chứng minh
2 2 2 2 2
2 2 2 2
   
  
<
1
3

 Hd: Đặt a =
2 2 2 2
  


a
2
– 2 =
2 2 2
 
Bài 4
Cho A =
1 1 9
9 1
3 1 3 1
x x

3
1
9
x x
x
 


 
 

 
:
9 3 2
6 2 3
x x x
x x x x
 
  
 
 
 
   
 

a. Tìm điều kiện có nghóa của A .
b. Rút gọn A
c. Tìm x để A < 1
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 4

1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
x x
x x x x x
   
 
      

a. Rút gọn A b. So sánh A và
1
2

 Hd : Chứng minh A –
1
2
> 0
Bài 9 Cho A =
1 2
1 :
1
1 1
a a
a
a a a a a
   
 
   
   

   


Bài 12
Cho A =
1 4
: .
2
y xy
x y x y y x
x y
x y y xy xy x
 
 
 
 
 
 

  
 

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 5
a. Rút gọn A
b. Tính giá trò của A khi x =
7 3
4

và y =
6 24
25

   

a. Rút gọn A b. Tính giá trò của A khi x =
3 2 2
2


Bài 15 So sánh A và B biết :
A =
2
3 3 1
( 1)
1
x x x x
x
x
  
 

B =
2 2
1
1
x x x x
x x x x
  
  

Bài 16 Cho A =
5 25 3 5

Z để A nhận giá trò nguyên
Bài 18 Cho A =
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
a a a a a
a a
a a a
   
   
  
   
   
 
  
   

a. Rút gọn A b. So sánh A và
1
A

Bài 19 Cho A =
1 1 1 1 1
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
   

4 2 3
 và b =
4 2 3

d. Chứng minh nếu




1ab5ba 
thì A không đổi
Bài 21 Tính giá trò của biểu thức :

82x4x
22x
82x4x
22x
A
22






khi x = 3
Bài 22 Cho biểu thức : D =
21x
3x


Bài 25 Cho 2

a

6 . Chứng minh :
22a4a22a4a  = 4
Bài 26 a. Rút gọn : A =
1 3 2 2 3
2 3 3 2 2 3

 

b. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức :
y =
1 2 2 7 6 2
x x x x
      

c. Giải phương trình :
2 1 1
2
1 2 2
x
x x
  
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 7

:(1
9 1
3 1 1 3 3 1
a a a
a
a a a
 
 
  
 
 

  
 

a. Rút gọn M b. Tìm các giá trò của a để M =
6
5

Bài 29 Cho N =
3 3 2
( )
:
x y x y xy
x y
y x
x y x y
 
  


1 .
1
1 2 1
a a a a a a a a
a
a a a
 
    
 
 
 

 
 

a. Rút gọn M b. Tính a khi B =
6
1 6


Bài 32 Cho biểu thức :
N =
3 3 1 ( 1)( )
:
2 2 2
a a a a b
a ab b a a b b a b a ab b
 
 
 

 

a. Rút gọn P b. Chứng minh P. 1
a

< 0
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 8
Bài 34 Cho biểu thức : A =
1 1 1 2
:
1 2 1
a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 

a. Rút gọn A b. Tìm a để A >
1
6

Bài 35 Cho biểu thức :

xy y x x xy y x


    

a. Rút gọn M b. Tìm các giá trò x

Z để y =
625
và M < 0,2 .

PHNG TRÌNH CHỨA CĂN

Bài 1
1.
15 17
x x
  
2.
3 4 3 3
x x
   

3.
1
1x x
x
  
4.
2 2 2

2
1
4
x

)
9.
14
2 5 3
3 5
x
x
x

  
 
10.
3
24 12 6
x x
   

11.
3
2 1 1
x x
   
12.
2 2
17 17 9

x x y y
     
( VT

5)
16.
2 2
3 2 2 1
x x x x x
    
( đặt
2
0
x x t
  
)
17.
3 4 1 8 6 1 5
x x x x
       

18.
2 2
25 15 2
x x
   
( tính
2 2
25 15 5
x x

     
24.
15 2 1
x x
   

25.
(5 ) 5 ( 3) 3
2
5 3
x x x x
x x
    

  

26.
2 2
25 9 2
x x
   
27 .
2
6 3
3 2
1
x
x x
x x


2
– 10x – 12 = 0
Bài 2 Giải các phương trình sau :
a. 27x
3
= (x – 3)
3
+ (2x – 3)
3
b. 64x
3
= (x – 2)
3
+ (3x + 2)
3

b. (x – 1) + (2x + 3)
3
= 27x
3
+ 8
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 10
Bài 3 Giải các phương trình sau :
a. (x + 6)
4
+ (x + 4)
4
= 82 b. (x + 3)
4

2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) = 12
b. b. x(x + 1)(x – 1)(x + 2) = 24
c. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
d. (x – 1)(x – 3)(x + 5(x + 7) = 297
e. (x + 2)(x + 3)(x + 8)( x + 12) = 4x
2

f. (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9
g. (x
2
+ x – 1)( x + 1)x = 56
Bài 6 Giải các phương trình sau :
a. x
4
+ 2x
3
– x
2
– 2x + 1 = 0 b. 4x
4
+ 12x
3
+ 12x + 4 = 47x
2

c. x
4

2
+ 3x + 2 = 0
h. x
4
+ 3x
3
– 14x
2
– 6x + 4 = 0
i. x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 = 0
Bài 7 Giải các phương trình sau :
a. x
2
+
2
2
9
27
( 3)
x
x


b.

2
+ x(x
2
– 1) = 2(x + 1)
2

d. 2(x
2
+ x + 1)
2
– 7(x – 1)
2
= 13(x
3
– 1)
e. x
3
– x
2
–
3 2
8
x x

= 2
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 11
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI và ĐỊNH LÝ VI-ET
Bài 1
Cho phương trình bậc hai : x

2
thõa : 1 < x
1
< x
2
< 6
Bài 4
Cho phương trình : x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
1. Tìm a để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó
2. Xác đònh a để phương trình có hai nghiệm lớn hơn – 1
Bài 5
Cho phương trình : (m + 2)x
2
– (2m – 1)x – 3 + m = 0
1. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
2. Tìm các giá trò m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao
cho nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia
Bài 6
Cho phương trình : x
2
– 2mx + m + 2 = 0
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm không âm
2. Khi đó hãy tính giá trò biểu thức E =
1 2
x x

Bài 7
Cho phương trình : 3x

– 8 = 0. Xác đònh m để
phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thõa mãn :
1. A = x
1
+ x
2
– 3x
1
x
2
đạt giá trò lớn nhất
2. B = x
1
2
– x
2
2– x
1
x
2
đạt giá trò nhỏ nhất
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1

1
+ x
2

2. Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
3. Lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là :
X
1
=
1
1
1
1
x
x


và X
2
=
2
2
1
1
x
x

Cho phương trình : x
2
+ ax + b = 0.
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 13
1. Xác đònh a và b để phương trình có 2 nghiệm x
1
và x
2
thõa
mãn : x
1
– x
2
= 5 và x
1
3
– x
2
3
= 35
2. Tìm các nghiệm với a và b vừa tìm được
Bài 15
Không giải phương trình : 3x
2
+ 17x – 14 = 0. Hãy tính giá trò biểu
thức : S =
2 2
1 1 2 2
2 2

1
, x
2
.
Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 18
Cho phương trình : x
2
– 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
1. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
2. Xác đònh m để biểu thức E = x
1
2
+ x
2
2
+ 10x
1
x
2
đạt giá trò
nhỏ nhất . Tính giá trò nhỏ nhất đó
Bài 19
Cho phương trình : x
2
– (a – 1)x + 1 = 0

1
+ x
2
) và (x
1
– 1)(x
2
– 1) =
1
1
a


( với a

– 1)
Bài 21
Cho phương trình : x
2
– 2mx – m
2
– 1 = 0 (1)
1. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x

không phụ thuộc vào m
3. Tìm m sao cho | x
1
– x
2
|

2
Bài 23
Cho phương trình : x
2
– 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 (1)
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm không âm
2. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình . Xác đònh m để
biểu thức E = (x
1
+ 1)x
2
đạt giá trò lớn nhất


3
. Biết khối lượng riêng
của chất lỏng loại I hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là 200
kg / m
3
. Tính khối lượng riêng của mỗi chất /
Bài 6
Trong giải “Hội khỏe Phù đổng” ở môn bóng đá các đội đấu với nhau
theo thể thức “vòng tròn một lượt” tức là mỗi đội sẽ đá với tất cả các
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 16
đội còn lại. Có tất cả 15 trận đấu. Hỏi có bao nhiêu đội bóng tham dự
giải ?
Bài 7
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và làm đầy bể
trong 5 giờ 50 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ II chảy đầy bể nhanh
hơn vòi thứ I là 4 giờ. Hỏi nếu để chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể
trong bao lâu ?
Bài 8
Một phòng họp có 360 ghế ngồi đước xếp thành nhiều dãy và mỗi dãy
có số ghế bằng nhau.Nhưng do số người họp là 400 người nên phải
xếp thêm mỗi dãy 1 ghế nữa và phải tăng thêm 1 dãy nữa mới dủ chỗ
ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãûy có bao
nhiêu ghế ?
Bài 9
Tìm một số có hai chữ số , biết rằng chữ số đó gấp 7 lần chữ số hàng
đơn vò và nếu đem số đó chia cho tổng hai chữ số của nó thì được
thương là 4 và số dư là 3.
Bài 10
Tìm một số có hai chữ số biết rằng nếu chia chữ số đó cho tổng hai

Bài 16
Một đội xe chỏ 36 tấn hàng. Do được tăng cường thêm 3 xe nữa nên
mỗi xe chở ít đi 1 tấn hàngso với dự đònh. Hỏi lúc đầu đội có bao
nhiêu xe biết rằng số tấn hàng mỗi xe chở là bằng nhau.
Bài 17
Một tam giác vuông có cạnh huyền là 15 cm và hai cạnh góc vuông
hơn kém nhau 3 cm.Tính chu vi tam giác vuông đó ?
Bài 18
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và làm đầy bể
trong 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ I chảy đầy bể nhanh
hơn vòi thứ I là 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu để chảy riêng thì mỗi vòi chảy
đầy bể trong bao lâu ?
Bài 19
Một người đi xe đạp từ A đến B ,rồi trở về A ngay với vận tốc như lúc
đi. Nhưng sau khi từ B đi được 1 giờ thì nghỉ mệt 20 phút và đi tiếp về
A với vận tốc tăng thêm 4 km / h. Biết thời gian đi và về bằng nhau và
quãng đướng AB dài 60 km. Tính vận tốc lúc đi ?
Bài 20
Tính ba cạnh của một tam giác vuông biết chu vi là 12 cm và tổng
bình phương ba cạnh là 50cm
2
.
Bài 21
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 18
Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 3 giờ 36 phút.
Nếu người thứ I làm
1
3
công việc rồi để cho người thứ II làm tiếp thì

, người đó nghỉ 15 phút. Sau đó đi tiếp với vận tốc tăng thêm 4 km /h
so với ban đầu và đến B đúng giờ dự đònh. Tính vận tốc lúc đầu của
người đó ?
Bài 28
Một tổ học sinh dự đònh trồng 56 cây bạch đàn.Nhưng do có một bạn
ốm nghỉ nên mỗi bạn trong tổ phải trồng thêm 1 cây thì mới đủ số
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 19
cây dự đònh trồng.Hỏi tổ có bao nhiêu học sinh , biết số cây mỗi bạn
trồng đều bằng nhau.
Bài 29
Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1 m. Nếu tăng
thêm chiều dài ¼ của nó thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 3 m
2
.
Tính diện tích hình chữ nhật lúc đầu ?
Bài 30
Mỗi thợ may được giao phải may 30 cái áo. Mỗi ngày thợ A may
nhiều hơn thợ B 2 áo nên hoàn thành số áo được giao sớm hơn thợ B
nửa ngày.Hỏi mỗi thợ may hoàn thành công việc được giao trong bao
nhiêu ngày ?
Bài 31
Cùng một số tiền là 60000đ nếu mua vở giấy tốt thì được ít hơn mua
vở giấy xấu 3 cuốn. Biết giá một cuốn vở tốt nhiều hơn một cuốn vở
xấu 1000đ. Hỏi giá tiền một cuốn vở tốt là bao nhiêu ?
Bài 32
Một người dự đònh đi từ A đến B cách nhau 20 km với vận tốc không
đổi. Nhưng sau khi đi được 1 giờ, người đó giảm vận tốc 2 km / h nên
đến B muộn hơn dự đònh 15 phút.Tính vận tốc dự đònh của người đó ?
Bài 33

3. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN
4. Gọi K là giao điểm của NF và ME. Chứng minh đường thẳng KI
luôn đi qua một điểm cố đònh khi đường thẳng MN quay quanh A
5. Khi MN // EF. Chứng minh MN = BE + BF
Bài 2
Cho hình vuông ABCD cố đònh . E là điểm di động trên cạnh CD
(E

C và D ). Tia AE cắt đường thẳng BC tại F. Tia Ax vuông góc
với AE tại A cắt đường thẳng DC tại K.
1. Chứng minh


CAF CKF

.
3. Chứng minh

KAF vuông cân
4. Chứng minh đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF
5. Gọi M là giao điểm của BD và AE. Chứng minh IMCF nội tiếp
6. Chứng minh khi điểm E thay đổi vò trí trên cạnh CD thì tỉ số
ID
CF

không đổi. Tính tỉ số đó?
Bài 3
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 21
Cho


BC tại F; EH

AC tại H.
1. Chứng minh các tứ giác EFCH , EFBD nội tiếp
2. Chứng minh EF
2
= ED. EH
3. Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp
4. Chứng minh MN

EF
Bài 5
Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn .Vẽ tiếp tuyến AM
và cát tuyến ACD ( tia AO nằm giữa hai tia AM và AD). Gọi I là trung
điểm CD.
1. Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp đường tròn. Xác đònh tâm K.
2. Gọi H là giao điểm của MN và OA .Chứng minh CHOD nội tiếp
3. Đường tròn đường kính OA cắt (O) tại N. Vẽ dây CB

MO cắt
MN tại F. Chứng minh CFIN nội tiếp
4. Tia DF cắt AM tại K. Chứng minh KE

AM
Bài 6
Cho OM = 3R , MA , MB là hai tiếp tuyến , AD // MB , MD cắt (O) tại
C , BC cắt MA tại F , AC cắt MB tại E.
1. Chứng minh MAOB nội tiếp
2. Chứng minh EB


CKF và

CEH
6. Gọi I là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (CKF) và (CEH).
Chứng minh đường thẳng CI đi qua trung điểm của AB
Bài 8
Cho đường thẳng d cắt (O;R) tại C và D. M là điểm di động trên d (M
ngoài đường tròn và MC < MD ). Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A và B
là hai điểm) , H là trung điểm CD
1. Chứng minh MIHF và OHEI là các tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh MA
2
= MC.MD
3. Chứng minh CIOD nội tiếp
4. Chứng minh 4IF.IE = AB
2

5. Chứng minh khi M di động thì đường thẳng AB luôn điểm qua
điểm cố đònh
Bài 9
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) ; hai
đường cao AD và BE cắt nhau tại H ( D

BC ; E

AC ; AB < AC )
1. Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp
2. Chứng minh OC vuông góc với DE
3. CH cắt AB tại F. Chứng minh :

2. Chứng minh tứ giác MHEN nội tiếp
3. Tính ON theo a và R
4. Tia DE cắt (O) tại F. Chứng minh ABCF là hình thang cân
Bài 11
Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB . C là điểm chính giữa

AB

, K là trung điểm BC. AK cắt (O) tại M . Vẽ CI vuông góc với AM tại
I cắt AB tại D.
1. Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp . Suy ra số đo góc

OID

2. Chứng minh OI là tia phân giác của

COM

3. Chứng minh

CIO ~

CMB . Tính tỉ số
IO
MB

4. Tính tỉ số
AM
BM
. Từ đó tính AM , BM theo R


AIB
4. Cho A , B , C cố đònh. Chứng minh khi đường tròn (O) thay đổi
nhưng vẫn đi qua A , B thì đường thẳng FI luôn đi qua một điểm
cố đònh
Bài 14
Cho

ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm D . Vẽ đường tròn (O)
đường kính CD.Đường tròn (I ) đường kính BC cắt (O) tại E. AE cắt
(O) tại F.
1. Chứng minh ABCE nội tiếp
2. Chứng minh


BCA = ACF

3. Lấy điểm M đối xứng với D qua A ; N đối xứng với D qua đường
thẳng BC. Chứng minh BMCN nội tiếp
4. Xác đònh vò trí của D để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có
bán kính nhỏ nhất
Bài 15
Cho

ABC có

B
và

C

5. Khi EF quay quanh B thì I và K di chuyển trên đường nào?

Bài 17
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với
(O). Vẽ dây BD // AC. AD cắt (O) tại K. Tia BK cắt AC tại I.
1. Chứng minh IC
2
= IK.IB
2. Chứng minh

BAI ~

AKI
3. Chứng minh I là trung điểm AC
4. Tìm vò trí điểm A để CK

AB
Bài 18
Cho đường tròn (O;R)và điểm A cố đònh với OA = 2R. BC là đường
kính quay quanh O. Đường tròn ngoại tiếp

ABC cắt đường thẳng AO
tại I.
1. Chứng minh OI.OA = OB.OC. Suy ra I là điểm cố đònh
2. Trường hợp AB , AC cắt (O) tại D và E. DE cắt OA tại K.
a. Chứng minh tứ giác KECI nội tiếp
b. Tính AK theo R
c. Gọi N là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp

ADE


AB

3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của (O’)
4. Khi AB = R
3
. Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R

Bài 20
Cho đường tròn (O; R) và một dây AB cố đònh ( AB < 2R ) . Một
điểm M tùy ý trên cung lớn AB ( M

A , B ) . Gọi I là trung điểm
của dây AB và (O’) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A.
Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N ,
P.
1. Chứng minh IA
2
= IP.IM
2. Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành
3. Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP)
4. Chứng minh khi M di chuyển thì P chạy trên một cung tròn cố
đònh
Bài 21
Cho

ABC có góc A tù , đường tròn (O) đường kính AB cắt đường
tròn (O’) đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳng
d quay quanh A cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại M và N sao cho
A nằm giữa M và N.

luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố đònh tại H.
3. Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp

MON chạy trên
một tia cố đònh
4. Tìm vò trí của đường thẳng d sao cho chu vi

AHB đạt giá trò lớn
nhất , tính giá trò lớn nhất đó theo a
Bài 23
Cho

ABC có ba góc nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hành
BHCD. Đường thẳng qua D và // BC cắt đường thẳng AH tại E.
1. Chứng minh A , B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn
2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC , chứng minh


BAE OAC
 và BE = CD
3. Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng AM cắt OH tại G.
Chứng minh G là trọng tâm của

ABC
Bài 24
Cho ba điểm cố đònh A , B , C thẳng hàng ( theo thứ tự đó ). Một
đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B, C . Từ điểm A kẻ các
tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn (O). Đường thẳng MN cắt AO và

AB
vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA tại
E và cắt MB tại F. Chứng minh chu vi

MEF không đổi khi C
chạy trên cung nhỏ AB
3. OF cắt AB tại K , OE cắt AB tại H. Chứng minh EK

OF.
4. Khi sđ

BC
= 90
0
. Tính EF và diện tích

OHK theo R
Bài 27
Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố đònh. Điểm A di chuyển trên
cung lớn

BC
.Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
1. Chứng minh BEDC nội tiếp đường tròn
2. Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC lần lượt tại M
và N. Chứng minh MN // ED và 4 điểm B, C , M , N cùng thuộc
một đường tròn
3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A đi qua một
điểm cố đònh
4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H cũng đi qua

đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại K. Chứng minh :
1. Bốn điểm A , B , Q , K cùng thuộc một đường tròn
2.

BPK cân
3. Đường tròn ngoại tiếp

PQK tiếp xúc với PB và KB

Bài 30
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B . Tiếp tuyến chung
gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’) tại C và D.
Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O) và (O’) tại M
và N. Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P
và Q; các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E. Chứng minh :
1. Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD
2.

EPQ cân
Bài 31
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ).
Đường tròn tâm (O’) tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với hai cạnh
AB và AC tại I và K . Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với (O).
1. Chứng minh ME là tia phân giác

AMC

2. Tia phân giác Mx của

O và B )
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 30
Bài 33
Cho đường tròn (O;R) và một dây cung AB cố đònh . Gọi M là điểm
chính giữa cung nhỏ

AB
. Lấy điểm C tùy ý trên trên cung nhỏ

MB
,
kẻ tia Ax vuông góc với tia CM tại H , cắt đường thẳng BC tại K.
1. Chứng minh CM là tia phân giác của

ACK

2. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABK và sđ

AKB

không phụ thuộc vào vò trí điểm C
3. Tia KM cắt tia AB tại E và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F.
Chứng minh tích ME.MF không đổi khi C di động và tính tích
đó theo R và

MAB


AKD

3. Tia DE cắt đường thẳng AB tại I . Chứng minh KI

AB
4. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA , cắt AB tại H .
Chứng minh CH // KI
Bài 36
Cho hình vuông ABCD cạnh a. M , N là hai điểm di động trên AD và
DC sao cho

0
45
MBN  . BM , BN cắt AC lần lượt tại E và F.
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 31
1. Chứng minh NE

BM
2. Gọi H là giao điểm của ME và NF. Chứng minh
HF.HM =HE.HN
3. Tia BH cắt MN tại I. Tính BI theo a. Suy ra đường thẳng MN
luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh.
4. Cho a = 5, AM = 2 . Tính EF.
Bài 37
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố đònh trên đường tròn . Một
góc nhọn

xAy
có số đo không đổi quay quanh A cắt đường tròn tại B

AB
. M là điểm di động trên cung lớn

AB
. K là trung điểm AB. Vẽ
tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H cắt đường thẳng MB tại C.
1. Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp
2. Chứng minh

AMC là các tam giác cân
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 32
3. Chứng minh khi M di động thì C luôn thuộc một đường cố đònh
4. Gọi E là điểm đối xứng với A qua I và F là điểm đối xứng với B
qua đường thẳng MI. Chứng minh tứ giác AFEB nội tiếp
5. Tìm vò trí M để chu vi

ABM lớn nhất
6. Tìm vò trí M để chu vi

ACM lớn nhất
Bài 40
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là trung điểm AO. Vẽ
đường thẳng Cx

AB tại C cắt đường tròn tại I, K là điểm di động
trên đoạn CI ( K

C và I), Tia AK cắt (O) tại M. Đường thẳng Cx cắt
đường thẳng BM tại D, cắt tiếp tuyến tại M của (O) tại N


ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R). M là điểm thuộc
cung nhỏ AC. Tia AM cắt tia BC tại D.
a. Chứng minh


ADC ACM

b. Chứng minh AC
2
= AM. AD
c. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

MCD
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 33
d. Lấy E là điểm thuộc tia đối của tia MB sao cho ME = MC.
Chứng minh ABDE nội tiếp .
e. Chứng minh C luôn thuộc một cung tròn cố đònh . Xác đònh
tâm của cung tròn này.
Bài 43
Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng d không cắt đường tròn .
Vẽ OH

d tại H. M là điểm thuộc d. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và
MB với (O) ( A , B là các tiếp điểm ).
1. Chứng minh tứ giác MAOH nội tiếp
2. Đường thẳng AB cắt OH tại I. Chứng minh IH.IO = IA.IB
3. Chứng minh I cố đònh khi M chạy trên đường thẳng d.
4. Cho OM = 2R , OH = a. Tính diện tích


HAD

2. Chứng minh AB.AC = AH.AD
3. Chứng minh



HAD ABC ACB
 
4. EO cắt AC tại F , BF cắt AH tại M. Chứng minh

AFM cân
5. Cho AB = 4 , AC = 5 , R = 3. Tính BC (lấy 1 chữ số thập phân )
Bài 46
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 34
Cho

ABC đều nội tiếp (O;R). M là điểm trên cung nhỏ

BC
. Trên
dây AM lấy điểm E sao cho ME = MB .
1. Chứng minh

MBE đều
2. Chứng minh

CBM =

2. Chứng minh DF. DM = AD
2

3. Tia CM cắt đường thẳng AB tại E. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt
AF tại I. Chứng minh IE = IF
4. Chứng minh
FB KF
EB KA

Hd : d) Chú ý F là trực tâm của

CDE .
Suy ra : KE.KF = KC.KD
Bài 48
Cho

ABC vuông tại A ( AB < AC ). Tia phân giác của

ABC
cắt AC
tại M. Đường tròn (O) đường kính MC cắt tia BM tại H, cắt BC tại N.
1. Chứng minh tứ giác BAHC nội tiếp
2. Chứng minh HC
2
= HM.HB
3. HO cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm NC
4. Cho AB = 5 cm , HC =
3 2
cm. Tính độ dài cạnh BC.
Bài 49

2. Chứng minh MA
2
= MB.MC
3. Chứng minh MA = ME
4. Kẻ tiếp tuyến MF của (O) ( F là tiếp điểm ). Chứng minh tia
FE v đường thẳng DO cắt nhau tại điểm thuộc (O).
5. Biết BE = a và EC = b. Tính AM theo a và b.
Bài 51
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Phân giác của
góc

BAC
cắt BC tại D và cắt đường tròn tại E.
Vẽ DK

AB và DM

AC tại K và M.
1. Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp và KM

AE
2. Chứng minh AD.AE = AB.AC
3. Chứng minh MK = AD. sin

BAC

4. So sánh diện tích tứ giác AKEM và diện tích


AOB  ). Trên cạnh AB lấy điểm M , vẽ
MC // OB và MD // OA. Vẽ đường tròn (C;CM) và đường tròn
(D;DM) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
1. Chứng minh A

(C ; CM) và B

(D;DM)
2. Chứng minh

ANB ~

CMD
3. Chứng minh N thuộc một đường cố đònh khi M chạy trên AB
4. Chứng minh

ONM vuông
Bài 54
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ đường cao
AH của

ABC , đường kính AD. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu
của C và B lên AD. M là trung điểm BC.
1. Chứng minh các tứ giác ABHF và BFOM nội tiếp
2. Chứng minh HE // BD
3. Chứng minh S

ABC

) . AN cắt BC
tại D. Chứng minh AB.NC = AN.BD
3. AH cắt (O) tại K . Chứng minh : BC. AK = AB.CK + AC.BK
4. Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp

ADC luôn
thuộc một đường cố đònh khi A di chuyển trên cung lớn

BC

Bài 56
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’: r) (R > r) cắt nhau tại Avà B. Vẽ
đường kính AC của (O) và đường kính AD của (O’). M là điểm thuộc
cung nhỏ BC. MB cắt (O’) tại N.
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 37
1. Chứng minh C , B , D thẳng hàng. Tính tỉ số
AN
AM
theo R và r
2. CM và DN cắt nhau tại E. Ch. minh tứ giác AMEN nội tiếp
3. Chứng minh điểm E thuộc một đường cố đònh khi M thay đổi
4. Chứng minh

AMB ~

AED
Bài 57
Cho


3. Khi hai tia Px và Py quay quanh P sao cho Px và Py vẫn cắt
đường tròn và

xPy
không đổi thì H chạy trên đường cố đònh
nào.
Bài 59
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Điểm M di
động trên trên cung nhỏ

BC
. Từ M kẻ MH

AB và MK

AC.
1. Chứng minh

MBC ~

MHK
2. Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh MD

BC
3. Tìm vò trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất .
Bài 60
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 38


MFG
4. Tính tích PF.PG theo R và

PMN



Bài 62
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố đònh thuộc (O). Vẽ tiếp tuyến
Ax, trên tia Ax lấy điểm Q. Vẽ tiếp tuyến QB với đường tròn (O) ( B là
tiếp điểm ).
1. Chứng minh QBOA nội tiếp và OQ

AB
2. Gọi E là trung điểm OQ. Tìm quỹ tích của E khi Q di chuyển
trên tia Ax
3. Vẽ BK

Ax tại K cắt OQ tại H. Tìm quỹ tích của H
4. Cho AQ = 2R. Tính HK theo R
Bài 63
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Ba đường cao
AD , BE , CF cắt nhau tại H . AH cắt (O) tại K. Đường thẳng AO cắt
đường tròn (O) tại M.
1. Chứng minh MK // BC và DH = DK
2. Chứng minh HM đi qua trung điểm I của BC
3. Chứng minh :

thay đổi của (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BM và BN lần lượt tại E
và F. Gọi I là trung điểm EA và K là trung điểm AF.
1. Chứng minh tứ giác EMNF nội tiếp
2. Chứng minh IMNK là hình thang vuông. Tính EF theo R để
IMNK là hình chữ nhật
3. Chứng minh tích AI.AK không đổi khi MN thay đổi
4. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp

IBK luôn đi qua điểm cố
đònh ( khác điểm B )
Bài 66
Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm M tùy ý thuộc bán kính
OC . Qua M vẽ dây AE vuông góc với BC. Từ A vẽ tiếp tuyến của (O)
cắt đường thẳng BC tại D.
1. Chứng minh EC là phân giác của

AED

2. Vẽ đường cao AK của

BAE . Gọi I là trung điểm của AK. Tia
BI cắt đường tròn (O) tại H. Chứng minh MH

AH
3. Chứng minh tứ giác EMHD nội tiếp
4. Chứng minh đường thẳng BD là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp

AHD
5. Khi M là trung điểm OC. Tính diện tích

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm C trên nửa đường
tròn ( CA > CB ). Kẻ CH

AB tại H. Đường tròn tâm K đường kính
CH cắt AC tại D và BC tại E , cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ
hai là F.
1. Chứng minh CH = DE
2. Chứng minh CA.CD = CB.CE
3. Chứng minh ABED nội tiếp
4. CF cắt AB tại Q. Hỏi K là điểm đặc biệt gì của

OCQ.
5. Chứng tỏ Q là một giao điểm của DE và đường tròn ngoại tiếp

OKF
Bài 70
Cho đường tròn (O, R) và dây BC . A là điểm thuộc cung lớn

BC
sao
cho

0
60
BAC  .Kẻ đường cao AH, BE , CF của

ABC.
1. Chứng minh BEFC nội tiếp đường tròn . Xác đònh tâm I
2. Chứng minh đường thẳng kẻ từ A và vuông góc với EF đi qua
một điểm cố đònh khi A chạy trên

3. Chứng minh E , H , F thẳng hàng
4. Tìm vò trí M trên cung nhỏ

BC
để tổng AE.MB + AF.MC
lớn nhất.
Bài 72
Cho

ABC nội tiếp đường tròn (O) . D là điểm tùy ý trên

BC
không
chứa điểm A. Gọi (O’) là đường tròn tiếp xúc ngoài với (O) tại D.
Các tia AD , BD , CD lần lượt cắt đường tròn (O’) tại A’ ; B’ ; C’.
a. Chứng minh
' ' '
AA BB CC
AD BD CD
 

b. Chứng minh AD.BC = AC.BD + AB.CD
c. Gọi AA
1
, BB
1
, CC
1
là các tiếp tuyến của (O’) lần lượt vẽ từ
A , B , C ( A

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 42
d. Vẽ đường kính DF của đøng tròn (O;R), MF cắt AI tại N. Biết
AM = R tính khoảng cách từ N đến đường thẳng AM
Bài 74
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đøng tròn (O;R). (AC < AC)
Tiếp tuyến tại B và tiếp tuyến tại C của đøng tròn (O) cắt nhau tại D.
Tia OD cắt BC tại H
a. Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp và OD

BC tại H
b. Chứng minh HO.HD =
2
4
BC

c. Vẽ cát tuyến DMN với đøng tròn (O) song song với Abcắt AC
tại K. Chứng minh DM.DN = DB.DC
d. Chứng minh OK

MN
e. Cho

0
60
BAC  và

0

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 43 MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Bài 1 Giải các pt và hệ phương trình :
a. x
4
– 44x
2
– 1280 = 0 b. (x – 3)
4
+ 5(x – 3)
2
= 36
c.
5 2 3
3
2 8
2
x y
x y
  



 


1 2 1 2
5 24
x x x x
  

Bài 4
Một canô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km.
Cùng lúc đó một bè nứa cũng trôi từ A về B với vận tốc dòng nước là
4 km/h. Khi đến B canô quay về ngay và gặp bè nứa tại điểm cách A
là 8 km.Tính vận tốc thực của canô (vận tốc canô khi nước yên lặng )
Bài 5
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là trung điểm AO.
Vẽ đường thẳng Cx

AB tại C cắt đường tròn tại I, K là điểm di
động trên đoạn CI ( K

C và I), Tia AK cắt (O) tại M.Đường thẳng
Cx cắt đường thẳng BM tại D, cắt tiếp tuyến tại M của (O) tại N
a. Chứng minh AK.AM = R
2

b. Chứng minh

NMK cân
1
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 44
c. Khi K là trung điểm CI. Tính diện tích

x y
 


 


c. (x+1)
4
– 2(x+1)
2
– 8 = 0 d.





8
62
xy
yx

Bài 3
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và làm đầy bể
trong 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ I chảy đầy bể nhanh
hơn vòi thứ I là 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu để chảy riêng thì mỗi vòi
chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 4
Cho (P) y =
1

c. Chứng minh tâm P của đường tròn ngoại tiếp

CMK thuộc
một đường cố đònh
d. Tính khoảng cách nhỏ nhất của DP. Bài 1
Cho biểu thức : A =
2
1 1 1
.
2
2 1 1
x x x
x x x
   
 
 
   
   
 
   

a. Rút gọn B b. Tìm x để B = – 2
Bài 2 Giải các phương trình
a. 2x
4
– 5x
2


AC ; AB < AC )
a. Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp
b. Chứng minh OC vuông góc với DE
c. AH cắt (O) tại F. Chứng minh : AB.CF + AC.BF = BC.AF
3
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 46
d. Đường phân giác trong AN của

BAC
cắt BC tại N , cắt đường
tròn (O) tại K.(K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

CAN. Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đường
tròn (O). Bài 1 Cho biểu thức : A =
2 1 2
1 :
1
1 1
x x
x
x x x x x
   
 
   
   

m
) cắt nhau tại 2 điểm phân
biệt
Bài 4
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc dự đònh . Sau khi đi
được
1
3
quãng đường người đó tăng vận tốc thêm 10 km /h và đến B
sớm hơn dự đònh 24 phút. Tính vận tốc dự đònh của người đó biết
quãng đường AB dài 120 km.
Bài 5
Cho đường tròn (O; R) và một dây AB cố đònh ( AB < 2R ) Một điểm
M di động trên cung lớn AB ( M

A , B ) . Gọi I là trung điểm của
dây AB và (O’) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A.
Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N
và P.
4

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 47
a. Chứng minh IA
2
= IP.IM
b. Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành
c. Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP)
d. Chứng minh P luôn chạy trên một cung tròn cố đònh
Bài 6 Cho x =

Có hai thửa đất hình chữ nhật : thửa thứ nhất có chu vi 240 m, thửa
thứ hai có chiều dài và chiều rộng hơn chiều dài và chiều rộng của
thửa thứ nhất là 15 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mỗi thửa đất
biết tỉ số diện tích giữa hai thửa đất là
5
8

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y = – x
2

và đường
thẳng (d
m
) : y = mx + m – 1
a. Xác đònh m để (d
m
) tiếp xúc với (P)
b. Vẽ (P) và (d) với m vừa tìm được ở câu a
c. Viết phương trình đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) và đi qua
điểm A(0 ; 1)
Bài 4 Giải các phương trình và hệ phương trình :
a. x
4
– 8x
2
+ 15 = 0 b.
2 3 5
2 3
x y
x y

b. MF và NE cắt nhau tại H. Chứng minh HF.HM =HE.HN
c. Tia BH cắt MN tại I. Tính BI theo a. Suy ra đường thẳng MN
luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh.
d. Cho a = 5 , AM = 2. Tính EF.
Bài 1 Giải các phương trình và hệ phương trình :
a.
4 2
8 48 0
x x
  
b.
2
( 3 5) 15 0
x x
   

c.
2 5 3
3 2 14
x y
x y
 


 

d.

 
  

b. Giải phương trình :
2 3 5
x x
  

Bài 5
6

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 49
Cho

ABC vuông tại A ( AB < AC ). Tia phân giác của

ABC
cắt
AC tại M. Đường tròn tâm O đường kính MC cắt tia BM tại H, cắt
BC tại N.
a. Chứng minh tứ giác ABCH nội tiếp
b. Chứng minh HC
2
= HB.HM
c. HO cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm NC
d. Cho AB = 5 cm , HC =
3 2
cm. Tính độ dài cạnh BC.
Bài 6

2 9
6
1
5
x
y
x
y

 




  



Bài 2 Cho biểu thức : A =
1 1 2
4
2 2
x
x
x x
 

 

a. Rút gọn A b. Tính A khi x = 9 – 4

a. Chứng minh tứ giác NOBE nội tiếp
b. Chứng minh AN. AE = 2R
2

c. Chứng minh

ACN ~

MAC. Tìm vò trí của E để diện tích

NEM lớn nhất
d. Biết AM = 3BM. Tính DN và EB theo R
Bài 6
Tìm m để phương trình : x
2
–(m + 1)x + 2m = 0 có 2 nghiệm phân
biệt x
1
; x
2
sao cho x
1
và x
2
là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam
giác vuông có cạnh huyền bằng 5


2
( 1) 3 1 4 0
x x
    

Bài 2
a. Rút gọn A =
(8 2 3 14)(3 7) 8 3 7
  
b. Giải phương trình : x – 2
3
x

= 5
Bài 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y = – x
2

và đường thẳng
(d) : y = x – 6
a. Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán
c. Tìm k để đường thẳng (D) : y = 2x – k và (P) tiếp xúc
Bài 4
8