VĂN NAM - PHAN VĂN THIỆN
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
NÂNG CAO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ
Huế, tháng 05, năm 2012.
Giáo trình này được viết bởi Văn Nam và Phan văn
Thiện, giảng viên Khoa Toán, Trường ĐHSP - Đại
học Huế. Giáo trình này được dùng để giảng dạy
và học tập học phần đại số đại cương nâng cao mã
số: TOAN4423 (theo mã học phần) .
CÁC KÝ HIỆU THÔNG DỤNG
Ký hiệu Nghĩa ký hiệu
N Tập hợp các số tự nhiên
Z Tập hợp các số nguyên
Q Tập hợp các số hữu tỷ
R Tập hợp các số thực
C Tập hợp các số phức
≡ (mod n) Đồng dư theo môđulô n
Z
n
Vành các lớp thặng dư theo môđulô n
Z
∗
n
Nhóm các lớp khả nghịch của vành Z
n
Z
p
Trường các lớp thặng dư theo môđulô p (p nguyên tố)
G
s

Im h Ảnh của đồng cấu môđun (đại số) h
Ker h Hạt nhân của đồng cấu môđun (đại số) h
Coim h Đối ảnh của đồng cấu môđun (đại số) h
ii
Coker h Đối hạt nhân của đồng cấu môđun (đại số) h
S
n
Nhóm đối xứng cấp n
A
n
Nhóm thay phiên cấp n
Hom
R
(M, N) Tập các đồng cấu R−môđun từ M vào N
End
R
(M) Tập các tự đồng cấu R−môđun của M
GL
R
(M) Nhóm tuyến tính tổng quát

i∈I
M
i
Tích của họ R−môđun (M
i
)
i∈I

i∈I

nghiệp đã giảng dạy học các học phần có liên quan đến học phần Đại số đại
cương nâng cao. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các giảng viên đã đọc bản
thảo và đóng góp nhiều ý kiến xác đáng.
Cuối cùng, chúng tôi rất mong được bạn đọc vui lòng chỉ cho những thiếu
sót của cuốn sách để góp phần xây dựng giáo trình Đại số đại cương nâng cao
này được tốt hơn.
Huế, ngày 10 tháng 02 năm 2011.
Văn Nam - Phan văn Thiện
iv
MỤC LỤC
CÁC KÝ HIỆU THÔNG DỤNG ii
LỜI NÓI ĐẦU iv
1 Nhóm Aben 1
1 Tác động của nhóm trên tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Nhóm con Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Nhóm Aben tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Nhóm Aben hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Tóm tắt chương 1 21
Hướng dẫn giải bài tập chương 1 23
Bài tập tổng hợp chương 1 28
2 Môđun 31
1 Môđun và môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Các cấu trúc trên tập hợp các đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Tích và tổng của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Tích tenxơ của môđun trên vành giao hoán . . . . . . . . . . . . 63
7 Song môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tóm tắt chương 2 74
v

là một tác động của G trên chính nó, được gọi là tác động liên hợp.
ii) Tịnh tiến: Cho G là một nhóm; khi đó
f : G ×G → G
(x, y) → f(x, y) = xy
là một tác động của G trên chính nó, được gọi là tác động tịnh tiến.
1
2 Chương 1. Nhóm Aben
iii) Cho G là một nhóm, S
1
là tập tất cả các nhóm con của G, S
2
là tập tất
cả các tập con của G. Khi đó, ta có các tác động của G trên S
1
, S
2
là
f
1
: G ×S
1
→ S
1
(x, H) → f
1
(x, H) = xHx
−1
,
f
2

là một đồng cấu
từ nhóm G đến nhóm các phép thế của tập S.
iii) Cho G tác động liên hợp trên chính nó; khi đó với mỗi x ∈ G, ánh xạ
σ
x
: G → G
y → σ
x
(y) = xyx
−1
là một tự đẳng cấu của nhóm G, với σ
−1
x
= σ
x
−1
. Và x → σ
x
là một đồng
cấu từ nhóm G đến nhóm các tự đẳng cấu của G.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§1. Tác động của nhóm trên tập 3
Định nghĩa 1.4. Cho S là một G−tập. Khi đó, với s ∈ S,
G
s
= { x ∈ G | xs = s }
là một nhóm con của G, được gọi là nhóm đẳng hướng của phần tử s trong
G . Và
Gs = { xs | x ∈ G }
được gọi là quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G.

−1
| x ∈ G }.
Mệnh đề 1.6. Cho S là một G−tập và s ∈ S. Khi đó
Card Gs = (G : G
s
)
Chứng minh. Xét tương ứng f : G/G
s
−→ Gs xác định bởi f(xG
s
) = xs, khi
đó f là một đơn ánh vì với mọi xG
s
, yG
s
∈ G/G
s
,
xG
s
= yG
s
⇒ x
−1
y ∈ G
s
⇒ s = (x
−1
y)s = x
−1

Chứng minh. Giả sử Gs
1
, Gs
2
là hai quỹ đạo bất kỳ đối với nhóm G. Khi
đó, nếu Gs
1
∩ Gs
2
= ∅, tức tồn tại s ∈ Gs
1
∩ Gs
2
, thì s = x
1
s
1
= x
2
s
2
, với
x
1
, x
2
∈ G. Và ta có
xs
1
∈ Gs

. (1)
Tương tự
Gs
2
⊂ Gs
1
. (2)
Từ (1) và (2) ta có
Gs
1
= Gs
2
Mệnh đề 1.8.
i) Cho S là một G−tập. Khi đó
Card S =

i∈I
(G : G
s
i
),
trong đó S = ∪
i∈I
G
s
i
, với G
s
i
đôi một rời nhau.


i∈I
(G : G
s
i
).
ii) Vì nhóm đẳng hướng của x trong G là G
x
= C
x
, nên theo i), ta có
cấp G =

i∈I
(G : C
x
i
),
trong đó G = ∪
i∈I
Gs
i
, với Gs
i
đôi một rời nhau.
Ngoài ra,
x ∈ Z(G)

yxy
−1

m
⊂ ··· ⊂ G
2
⊂ G
1
⊂ G
0
= G (1)
được gọi là một tháp nhóm con của G
ii) Tháp nhóm con (1) được gọi là tháp chuẩn tắc nếu
G
i+1
✁ G
i
, i = 0, 1, . . . , m −1.
iii) Tháp chuẩn tắc sao cho mỗi nhóm thương G
i
/G
i+1
là Aben (t.t.t cyclic)
được gọi là tháp Aben(t.t.t tháp cyclic).
iv) Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nó có một tháp Aben mà hạng
tử cuối cùng G
m
= {1
G
}.
Thí dụ 1.10.
i) S
3

⊂ G

0
= G/H.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§1. Tác động của nhóm trên tập 7
Lấy G
i
= p
−1
(G

i
); thì ta có tháp Aben
G
m
= H ⊂ . . . ⊂ G
2
⊂ G
1
⊂ G
0
= G (∗).
Ngoài ra, do H giải được nên ta có tháp Aben mà hạng tử cuối cùng
H
n
= {1
G
}:
H

},
ii) G giải được.
Chứng minh. i) Theo ii) Mệnh đề 1.8, ta có
cấp G = cấp Z(G) +

x∈C
(G : C
x
), (∗)
trong đó C là tập các đại diện không thuộc tâm Z(G) của các lớp khác nhau
của các phần tử liên hợp, và C
x
là cái chuẩn tắc hóa của x.
Vì x ∈ Z(G) nên (G : C
x
) = cấp Gx = 1, tức mỗi hạng tử của tổng trong (∗)
đều là bội của p. Từ đó
p | cấp Z(G) ⇒ cấp Z(G) = 1 ⇒ Z(G) = {1
G
}.
ii) Nếu cấp G = 1, thì rõ ràng G giải được. Còn nếu cấp G > 1 thì theo i),
Z(G) = {1
G
}, cho nên cấp G/Z(G) < cấp G. Từ đó, bằng quy nạp ta chứng
minh G giải được.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
8 Chương 1. Nhóm Aben
Bài tập
Bài 1.1. Cho G là một nhóm hữu hạn cấp n, và p là ước nguyên tố bé nhất
của n, và H là một nhóm con của G sao cho (G : H) = p. Chứng minh rằng

2
.
Và có một 3−nhóm con Sylow là
[(1 2 3)]
3
= [(1 3 2)]
3
.
ii) Trong Z
12
, có một 2−nhóm con Sylow là
[
¯
3]
4
= {
¯
0,
¯
3,
¯
6,
¯
9 }.
Và có một 3−nhóm con Sylow là
[
¯
4]
3
= {

Bây giờ, giả sử p | cấp G = m, khi đó theo điều vừa chứng minh, trong G tồn
tại một phần tử x có cấp là một bội khác không của p, tức ord x = ps, s = 0
(vì nếu không thì lấy số mũ n của G là bội chung nhỏ nhất của các cấp của
các phần tử của G ta sẽ thấy cấp G = m không chia hết một lũy thừa nào của
n cả). Suy ra, ord x
s
= p, và vì vậy cấp [x
s
] = p.
Định lý 2.4. Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố chia hết
cấp của G. Khi đó, trong G tồn tại một p−nhóm con Sylow.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo cấp của nhóm G. Khi cấp
G = p thì khẳng trên rõ ràng đúng. Giả sử Định lý đã được chứng minh đối
với tất cả các nhóm có cấp bé hơn cấp của G; khi đó nếu trong G có một nhóm
con thực sự H mà có chỉ số nguyên tố với p, thì p−nhóm con Sylow của H
cũng là p−nhóm con Sylow của G. Còn nếu mọi nhóm con thực sự của G đều
có chỉ số chia hết cho p, thì xét tác động liên hợp của G trên chính nó ta có
cấp G = cấp Z(G) +

x∈C
(G : C
x
),
với p | (G : C
x
). Từ đó suy ra p | Z(G), suy ra Z(G) = {1
G
}.
Theo Bổ đề 2.3, trong Z(G) tồn tại một nhóm con cyclic H sinh bởi một
phần tử cấp p. Vì H ⊂ Z(G) nên H ✁ G. Xét phép chiếu chính tắc f : G →

G
P
chứa P, và do đó quỹ đạo GP có số phần tử nguyên tố với p (vì Card
GP = (G : G
P
)).
Giả sử H là một p−nhóm con cấp lớn hơn 1 của G; khi đó H tác động liên
hợp trên GP và GP được phân tích thành hợp của các quỹ đạo đối với H đôi
một rời nhau. Vì cấp của H là một lũy thừa của p nên chỉ số của một nhóm
con thực sự bất kỳ của nó chia hết cho p, do đó có ít nhất một trong các quỹ
đạo đối với H trong GP gồm chỉ một phần tử,tức là gồm chỉ một nhóm con
Sylow P

nào đó. Khi đó, H chứa trong cái chuẩn tắc hóa của P

và do đó
HP

là một nhóm con của G. Ngoài ra, P

✁ HP

. Vì
(HP

)/P

∼
=
H/(H ∩P

tử (chính P ,) còn các quỹ đạo khác có nhiều hơn một phần tử, tức số phần tử
của các quỹ đạo đó đều chia hết cho p. Vì vậy, số số các p−nhóm con Sylow
của G ≡ 1 (mod p).
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§3. Nhóm Aben tự do 11
Bài tập
Bài 2.1. Cho G là một nhóm hữu hạn cấp n và p là một ước nguyên tố của
n, và n = mp
k
với (m, p) = 1. Chứng minh rằng số các p− nhóm con Sylow
của G là một ước của m.
Bài 2.2. Tìm số các 5−nhóm con Sylow của A
5
.
Bài 2.3. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 6 đều đẳng cấu với một trong hai
nhóm Z
6
và S
3
.
Bài 2.4. Chứng minh rằng
i) Mọi nhóm cấp pq (trong đó p, q là các số nguyên tố và p < q) hoặc là
nhóm cyclic, hoặc là nhóm không Aben với một q− nhóm con Sylow chuẩn tắc.
ii) Trường hợp sau xẩy ra khi và chỉ khi q − 1 chia hết cho p.
iii) Mọi nhóm cấp 15 đều cyclic.
Bài 2.5. Chứng minh rằng tập hợp P các ma trận
±

¯
1

1

, ±

¯
0
¯
1
−
¯
1
¯
0

,
với các phần tử trong Z
3
là một 2−nhóm con Sylow chuẩn tắc trong SL(2, Z
3
).
Trong đó
SL(n, F ) = { A ∈ GL(n, F ) | det (A) = 1 },
với F là một trường.
§ 3 NHÓM ABEN TỰ DO
Định nghĩa 3.1. Cho S là một tập khác rỗng. Khi đó, nhóm Aben tự do trên
S là một cặp (f, F), trong đó F là một nhóm Aben và f là một ánh xạ từ S
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
12 Chương 1. Nhóm Aben
đến F, sao cho
Với mỗi cặp (g, G), trong đó G là một nhóm Aben và g là một ánh xạ từ


x∈S
k
x
.x (∗) (tổng có giá hữu hạn),
trong đó k
x
∈ Z, x ∈ S. Thật vậy, ta có thể thấy ngay α viết được dưới dạng
(∗), với k
x
= α(x) là những giá trị khác không của α; ngoài ra
α =

x∈S
k
x
.x =

x∈S
k

x
.x
⇓
0 =

x∈S
(k
x
− k


x∈S
k
x
g(x),
là đồng cấu nhóm duy nhất thỏa mãn g = hf.
Ngoài ra, giả sử (f
1
, F
1
) và (f
2
, F
2
) là hai nhóm Aben tự do trên cùng một
tập S; khi đó tồn tại một đồng cấu nhóm h
1
: F
1
→ F
2
sao cho h
1
f
1
= f
2
và
tồn tại một đồng cấu nhóm h
2

1
,
do (f
1
, F
1
) là nhóm Aben tự do.
Tương tự
h
1
h
2
= Id
F
2
.
Vậy h
1
là một đẳng cấu nhóm.
Định nghĩa 3.3. Nhóm G được gọi là nhóm Aben tự do nếu G
∼
=
Z
(S)
, với
một tập S nào đó. Và khi đó, S được gọi là một cơ sở của nhóm Aben tự do
G.
Quy ước: nhóm 0 được coi như là nhóm Aben tự do sinh bởi tập rỗng.
Bổ đề 3.4. Giả sử h : G → G


i
, i ∈ I. Nếu

i∈I
n
i
x
i
= 0
với n
i
là những số nguyên sao cho chỉ có một số hữu hạn khác 0, thì
0 =

i∈I
n
i
h(x
i
) =

i∈I
n
i
x

i
,
từ đó n
i


i∈I
n
i
x

i
= h(x) −h(x) = 0,
tức x −

i∈I
n
i
x
i
∈ H. Từ đó G = H + K, và vì vậy G = H ⊕ K.
Định lý 3.5. Cho G là một nhóm Aben tự do và H là một nhóm con của
G. Khi đó, H cũng là một nhóm Aben tự do và lực lượng của cơ sở của H bé
hơn hoặc bằng lực lượng của cơ sở của G. Hai cơ sở bất kỳ của H có cùng lực
lượng, gọi là hạng của H.
Chứng minh. Ta chỉ chứng minh bằng quy nạp theo n, trong trường hợp G
hữu hạn sinh với cơ sở {x
1
, . . . , x
n
}, n ≥ 1 (trong trường hợp G không hữu
hạn sinh, có thể lý luận tương tự bằng quy nạp siêu hạn). Thật vậy, ta có
G = Zx
1
⊕ ···⊕Zx

là tự do và cơ sở có lực lượng bé hơn hoặc bằng
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§4. Nhóm Aben hữu hạn sinh 15
n − 1. Theo Bổ đề 3.4, trong H tồn tại một nhóm con K
1
đẳng cấu với một
nhóm con của Zx
1
sao cho
H = H
1
⊕ K
1
.
Vì Zx
1
là nhóm cyclic vô hạn nên K
1
hoặc bằng {0} hoặc cyclic vô hạn (tức
là nhóm Aben tự do với một phần tử sinh). Do đó, H là Aben tự do có cơ sở
S = {y
1
, . . . , y
m
}, với m ≤ n. Như vậy, ta chỉ còn cần chứng minh hai cơ sở
bất kỳ của H có cùng lực lượng.
Thật vậy, giả sử T là một cơ sở khác của H chứa ít nhất r phần tử z
1
, . . . , z
r

đẳng cấu với một nhóm
con của H/pH có p
r
phần tử. Suy ra p
r
≤ p
m
, tức r ≤ m, và do đó số phần
tử của T bé hơn hoặc bằng m. Do vai trò của S và T như nhau, nên lý luận
tương tự ta có m bé hơn hoặc bằng số phần tử của T.
Bài tập
Bài 3.1. Nhóm cyclic có phải là nhóm Aben tự do không?
Bài 3.2. i) Chứng minh rằng nhóm (Z, +) là nhóm Aben tự do, nhưng (Q, +)
không phải là nhóm Aben tự do.
ii) (R, +) và (C, +) có phải là nhóm Aben tự do không?
§ 4 NHÓM ABEN HỮU HẠN SINH
Nhóm Aben hữu hạn sinh, tức là nhóm Aben có một tập sinh hữu hạn, là
một loại nhóm thường gặp. Trong mục này ta sẽ mô tả một cách hoàn chỉnh
cấu trúc của loại nhóm này.
Định nghĩa 4.1. Cho G là một nhóm Aben (phép toán ký hiệu +). Khi đó
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
16 Chương 1. Nhóm Aben
i) Phần tử x ∈ G được gọi là phần tử tuần hoàn nếu ord x hữu hạn.
ii) Bộ phận tất cả các phần tử tuần hoàn của nhóm G lập thành một nhóm
con của G, được gọi là nhóm con xoắn của G.
iii) Nhóm G được gọi là nhóm tuần hoàn nếu G trùng với nhóm con xoắn
của nó.
Lưu ý 4.2. i) Nếu ord x = n và ord x = m thì ord (x ± y) | mn. Và rõ
ràng mọi nhóm Aben tuần hoàn hữu hạn sinh đều hữu hạn.
ii) Với p là số nguyên tố, ta ký hiệu G(p) là bộ phận gồm các phần tử x ∈ G

G thì m

x = 0 và mx = 0, và từ đó x = rmx + sm

x = 0.
Như vậy, G là tích trực tiếp của hai nhóm con mG và m

G.
Hơn nữa, nếu ký hiệu G
k
là nhóm con của G gồm tất cả các x mà kx = 0, thì
G
m
= m

G và G
m

= mG. Thật vậy, rõ ràng m

G ⊂ G
m
(do mm

G = {0}); và
ngược lại nếu x ∈ G
m
thì x = rmx + sm

x = m

m

|, m) = 1 và
|G
m
||G
m

| = n = mm

). Và bằng quy nạp ta có được kết luận của Định lý.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
§4. Nhóm Aben hữu hạn sinh 17
Định nghĩa 4.4. Cho G là một nhóm. Khi đó
i) G được gọi là nhóm không xoắn nếu đơn vị là phần tử duy nhất trong G
có cấp hữu hạn.
ii) Giả sử G là một p−nhóm hữu hạn và r
1
, . . . , r
s
là các số nguyên ≥ 1.
Khi đó, được gọi là nhóm kiểu (p
r
1
, . . . , p
r
s
) nếu nó đẳng cấu với tích
trực tiếp của các nhóm cyclic cấp p
r

b = p
r
nên p
r
b ∈ G
1
, tức p
r
b = na
1
, n ∈ Z. Giả sử
n = p
k
m, (m, p) = 1; khi đó ma
1
cũng là phần tử sinh của G
1
, và vì vậy
ord (ma
1
) = p
r
1
. Ta có thể giả sử k ≤ r
1
, và khi đó ord (p
k
ma
1
) = p

= p
r
p
k−r
ma
1
). Đặt
a = b −c, khi đó a là một đại diện của
¯
b. Vì
p
r
= ord
¯
b ≤ ord a
và p
r
a = p
r
b −p
r
c = 0, nên ord a = p
r
.
Định lý 4.6. Mọi p− nhóm Aben hữu hạn đều đẳng cấu với tích trực tiếp các
p− nhóm cyclic. Và nếu nó là nhóm kiểu (p
r
1
, . . . , p
r

trong đó G
j
là các nhóm con cyclic cấp p
r
j
của G/G
1
, với r
2
≥ . . . r
s
.
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê
18 Chương 1. Nhóm Aben
Giả sử a
j
là phần tử sinh của G
j
(j = 2, . . . , s) với ord a
j
= ord a
j
(xem
Bổ đề 4.5). Giả sử G
j
là nhóm con cyclic sinh bởi a
j
. Ta sẽ chứng minh
G = G
1

x = m
1
a
1
+ ···+ m
s
a
s
,
và do đó G = G
1
+ ···+ G
s
.
Ngoài ra, giả sử m
1
, . . . , m
s
là các số tự nhiên sao cho
0 = m
1
a
1
+ ···+ m
s
a
s
(∗);
khi đó, vì ord a
j

Từ đó suy ra
(G
1
+ ···+ G
i
) ∩G
i+1
= {0}, với mỗi i ≥ 1,
tức G = G
1
× . . . ×G
s
.
Tính duy nhất của dãy (r
1
, . . . , r
s
) cũng được chứng minh bằng quy nạp.
Thật vậy, giả sử G có đồng thời các kiểu
(p
r
1
, . . . , p
r
s
) và (p
m
1
, . . . , p
m

i
−1 = m
i
−1, i = 1, . . . , u. Từ
đó suy ra G có các kiểu
(p
r
1
, . . . , p
r
n
, p, . . . , p
  
ν
) và (p
r
1
, . . . , p
r
n
, p, . . . , p
  
µ
).
✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê