Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
102

Chuyên đề 11:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian

• x
'
Ox : trục hoành
• y
'
Oy : trục tung
• z
'
Oz : trục cao
• O : gốc toạ độ
•
  
, ,
i j k

Ký hiệu: M(x;y;z)
( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M ) ⇔ = + +
   
/
( ; ; )
đ n
M x y z OM xi y j zk

•
Ý nghóa hình học: ; y= OQ ; z = OR
x OP=
O

z
'x

2
M
R
O
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
1032. Đònh nghóa 2:
Cho
( )
a kg Oxyz
∈

. Khi đó véc tơ
a

được biểu diển một cách duy nhất theo

  
, ,
i j k
bởi hệ thức có dạng :
= + ∈
   
»
1 2 3 1 2 3
+ a với a ,a ,aa a i a j k .
Bộ số (a
1

( ; ; ) và B(x ; ; )
A A A B B
A x y z y z
thì ( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
☞Đònh lý 2:
Nếu
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) và ( ; ; )
a a a a b b b b
= =
 
thì
*
1 1
2 2
3 3
a

b
a b a b
a b


( )
k
∈
»III. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
104

Nhắc lại
•

Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng
song song .
•
Đònh lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

☞ Đònh lý 3 :
Cho hai véc tơ
và với 0
a b b
≠
   
cùng phương !k sao cho .
a b a k b


☞ Đònh lý 4 :
, , thẳng hàng cùng phương
A B C AB AC
⇔
  ☞ Đònh lý 5:
Cho hai véc tơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) và ( ; ; )
a a a a b b b b
= =
 
ta có : 1 1
2 2 1 2 3 1 2 3
3 3
a
cùng phương a : : : :
kb


. 0
a b a b
⊥ ⇔ =
   
☞

Đònh lý 6:
Cho hai véc tơ
1 2 2 1 2 3
( ; ; ) và ( ; ; )
a a a a b b b b
= =
 
ta có : 1 1 2 2 3 3
.
a b a b a b a b
= + +
 
Đònh lý 7:
Cho hai véc tơ

( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −

☞

Đònh lý 9:
Cho hai véc tơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) và ( ; ; )
a a a a b b b b
= =
 
ta có : 1 1 2 2 3 3
a 0
a b b a b a b
⊥ ⇔ + + =
 
☞

Đònh lý 10:
Cho hai véc tơ
1 2 3 1 2 3

Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k
:
Đònh nghóa :
Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k
≠
1 ) nếu như :

.
MA k MB
=
 
•

•

•

☞ Đònh lý 11 :
Nếu
B
( ; ; ) , B(x ; ; )
A A A B B
A x y z y z
và

−

=

−

−

=

−

−

=

−
 Đặc biệt :
M là trung điểm của AB
⇔

2
2
2
A B
M
A B


A B M
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
106

G là trọng tâm tam giác ABC
⇔

3
3
3
+ +

=


+ +

=


+ +

=


A B C
G
A B C
G

 
 
 
có tọa độ là : 2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
; ; ;
a a a a
a a
a b
b b b b
b b
 
 
=
 
 
 
 
Cách nhớ:
1 2 3
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
a a a a
b b b b

ABCD
S AB AD
 
=
 

 •

' ' ' '
'
.
; .
ABCD A B C D
V AB AD AA
 
=
 

 •

1
. ; .
6
ABCD

AB,AC,AD
⇔
  
đồng phẳng
AB,AC .AD 0
 
⇔ =
 
  BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
1 2 3
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
'
AĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
108

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Các đònh nghóa:
1. Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng: a

là VTCP của đường thẳng (
∆
)
đn
⇔
0
a có giá song song hoặc trùng với (
)
a

≠


∆



là VTVP của đường thẳng b. Khi đó :
Cặp
( , )
a b

được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng
α

Chú ý :
•

Một mặt phẳng
α
hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của nó.
3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng : n

là VTPT của mặt phẳng
α
đn
⇔
0
n có giá vuông góc với mp
n

)(
∆
a

b

a
b
n

Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
109Đònh lý:
Giả sử mặt phẳng
α
có cặp VTCP là :
1 2 3
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
a a a a
b b b b

=


=

Ví dụ:
Tìm một VTPT của mặt phẳng
α
biết
α
đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)
II. Phương trình của mặt phẳng :
Đònh lý 1:
Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng
α
đi qua điểm
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
và có một
VTPT
( ; ; )
n A B C
=

là:
(
)
M x;y;z



là phương trình tổng quát của một mặt phẳng .
Chú ý :
•

Nếu
( ): 0
+ + + =
x y
C
z
B
D
A
α
thì
( )
α
có một VTPT là
( ; ; )
n A B C
=


•

0 0 0 0 0 0 0
( ; ; ) ( ): 0 Ax 0
M x y z Ax By Cz D By Cz D
α

α
],[ ban



=
a

b

α
);;( CBAn
=

);;(
0000
zyxM
0
M
α
x
y
z
);;( CBAn
=

)(Oxz

(
)
1;2;3 , 2; 3;1
A B
−
. Viết phương trình mặt phẳng
(
)
P
đi qua A và vng góc
với đường thẳng AB.
Ví dụ 3
:
Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng
(
)
: 2 3 4 0
P x y z
+ + + =
và
(
)
:3 2 1 0
R x y z
+ − − =
. Viết phương
trình mặt phẳng
(
)
R

b b b



được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số
0
t
≠
sao cho
1 1
2 2
.
.
n n
a tb
a tb
a tb
=


=





=




α
β
+ + + = =
+ + + = =


β

α

2
n

1
n

β
α

1
n

A
( ) ( )
A
B B C C A
B C A B C hoặc hoặc
B B C C A
B C D
B C D
B C D
B C D
α β
α β
α β
⇔ ≠ ≠ ≠ ≠
⇔ = = ≠
≡ ⇔ = = =

Đặc biệt:

1 2 1 2 1 2
A 0
A B B C C
α β
⊥ ⇔ + + =ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. Phương trình của đường thẳng:
1.Phương trình tham số của đường thẳng:


= +

» 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Đònh lý:
Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng
( )
∆
đi qua điểm
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z

và nhận
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=

làm VTCP là : 0 0 0
1 2 3

= +


= − −


= +

. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
M và vuông góc với đường thẳng (d).

Ví dụ 4:
Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng
x z z
(d):
1 1 1
= =
−
. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm
M và đường thẳng (d)
II. Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
1.Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :


Khi đó :

1 2 3
1 2 3
0 0 0
1 2 3
0 0 0
( ) cắt ( ) Aa 0
Aa 0
( ) // ( )
0
Aa 0
( ) ( )
0
Ba Ca
Ba Ca
Ax By Cz D
Ba Ca
Ax By Cz D
α
α
α
∆ ⇔ + + ≠
+ + =

∆ ⇔

+ + + ≠

α
∆



tìm x,y,z
Suy ra: M(x,y,z)

Ví dụ 1
: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0
Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
Ví dụ 2:
Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình:
x 2y 3z 14 0
+ − + =
. Tìm tọa độ hình
chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).
α

n

M
)(
∆
a

α

n


− −
và mặt phẳng
2
(P):x 3y 4m z m 0
− − + =
. Tìm m
để đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P).

2. Vò trí tương đối của hai đường thẳng :
Đònh lý:
Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

0 0 0
1 0 0 0 0
' ' ' ' ' ' ' '
0 0 0
2 0 0 0 0
' ' '
( ): có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
( ): có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
x x y y z z
u a b c x y z
a b c
x x y y z z


' '
1 2 0 0
' '
0 0
1 2
' ' '
1 2
( ) và ( ) đồng phẳng , . 0
, . 0
( ) cắt ( )
: : : :
( ) // ( ) : :
u u M M
u u M M
a b c a b c
a b c ≠ − − −
• ∆ ≡ ∆ ⇔ = = − − −
 
• ∆ ∆ ⇔ ≠
 
 
 

' ' ' ' ' '
0 0 0 0 0 0
' ' ' ' ' '
1 2 0 0 0 0 0 0
' '
1 2 0 0

Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng
,
α β
xác đònh bởi phương trình :

1 1 1 1
2 2 2 2
( ): 0
( ): 0
A x B y C z D
A x B y C z D
α
β
+ + + =
+ + + =

Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
( ) & ( )
α β
ta có công thức: 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos
.
A A B B C C

'u

1
∆
2
∆
'
0
M
0
M
'
0
M
u

'u

1
∆
2
∆
u

'u

0
M
'
0

∆ = =
0 0 0
( ):
x x y y z z
a b c

và mặt phẳng
( ): 0
Ax By Cz D
α
+ + + =

Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
( ) & ( )
α
∆
ta có công thức:
2 2 2 2 2 2
sin
.
Aa Bb Cc
A B C a b c
ϕ
+ +
=

( ) & ( )
∆ ∆
ta có công thức: ' ' '
2 2 2 '2 '2 '2
cos
.
aa bb cc
a b c a b c
ϕ
+ +
=
+ + + +IV. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Đònh lý:
Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng
( ): 0
Ax By Cz D
α
+ + + =
và điểm
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z

α

);;(
CBAn
=

)(
∆
);;(
cbaa
=

00
900 ≤≤
ϕ
);;(
1
cbaa
=

1
∆
2
∆
)';';'(
2
cbaa
=

đến
( )
∆
được tính bởi công thức: 0 1
1
;
( , )
M M u
d M
u
 
 
∆ =
 
Ví dụ
: Cho đường thẳng :
1 3
( ):
3 4 1
x y z
d
− +
= = và điểm A(1;2;1)
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).

; '
 
 
∆ ∆ =
 
 

 
 
u u M M
d
u u

Ví dụ
: Cho hai đường thẳng :

1 2
9 6
5 5 1
( ): và (d ): 2
3 2 2
2
x t
x y z
d y t
z t


M
)(
∆
0
M
'
0
M
u

'u

1
∆
2
∆
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
116

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: (A-2013)

Bài 2: (B-2013)

Bài 3: (B-2013)

Bài 4: (D-2013)

Bài 5: (D-2013)

Bài 19:

Bài 20:

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
118

Bài 21:

Bài 22:
Phương trình (1) được gọi là phương trình
chính tắc của mặt cầu

Đặc biệt: Khi I
≡
O thì + + =
2 2 2 2
( ):
C x y z R 2. Phương trình tổng quát:

Đònh lý :
Trong Kg(Oxyz). Phương trình : + + − − − + =
2 2 2
2 2 2 0
x y z ax by cz d

với
+ + − >
2 2 2
0
a b c d là phương trình của mặt cầu (S) có
tâm I(a;b;c), bán kính
= + + −
2 2 2

α α
α α
α α
⇔
⇔
⇔
1. ( ) cắt mặt cầu (S)
d(I; ) < R
2. ( ) tiếp xúc mặt cầu (S)
d(I; ) =R
3. ( ) không cắt mặt cầu (S) d(
I; ) > R α

α

α

I

α
cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C). Đường tròn (C) này có:

• Phương trình là:
( ) ( ) ( )
+ + + =



− + − + − =


0
2 2 2
2
Ax By Cz D
x a y b z c R

• Tâm là hình chiếu vng góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng
α

• Bán kính
α
= −
2 2
( , )
r R d I

Ví dụ: Cho mặt cầu
2 2 2

Hết