Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 1

DAO ĐỘNG TẮT DẦN.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I - ĐỊNH NGHĨA
Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian gọi là dao động tắt dần.
II – NGUYÊN NHÂN
Nguyên nhân chung là do lực cản của môi trường và ma sát sinh ra ở trong hệ. Năng lượng tiêu hao dưới dạng
nhiệt tương ứng với sự giảm dần biên độ dao động.
III – KIỂU DAO ĐỘNG TẮT DẦN DO LỰC MA SÁT KHÔ.
Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu lò xo có độ cứng k, đầu kia cố định.
Giả thiết rằng con lắc lò xo nằm ngang và hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và kí hiệu là µ.
1. Phương trình động lực học của chuyển động của vật nặng

mx'' kx mg
   F kx
 
: lực kéo về
(1.1)
Dấu trước số hạng cuối cùng là (+) trong khoảng thời gian vật chuyển động ngược chiều Ox, là dấu (-) trong
khoảng thời gian vật chuyển động cùng chiều Ox.
2. Vị trí cân bằng của vật trong quá trình dao động
Xét sự tương tự giữa chuyển động của vật với con lắc lò xo đặt thẳng đứng (định tính)
k

chiều chuyển động

B
ms
F


O

A

O
1

O
2

B
O
2

O

P


- Vai trò của P và F
ms
là
như nhau.

0
và thả không vận tốc
đầu. Trong quá trình chuyển động của vật, hợp lực tác dụng lên vật :

mg
mx'' kx mg k x kX
k

 
      
 
 


(1.2)
Như vậy, vật nặng chịu tác dụng của lực kéo về tỉ lệ với khoảng cách từ điểm O
1
(có tọa độ
1 0
mg mg
X 0 x 0 OO x
k k
 
      
) đến vật, và luôn hướng về O
1
. Vì vậy, vật sẽ thực hiện một nửa dao
động điều hòa với tần số góc
k
m

2 0
mg
OO x
k

   
) và
dừng lại tại điểm có tọa độ A – 4x
0
. Trong giai đoạn này, chuyển động của vật cũng là điều hòa với cùng tần số góc ω
như giai đoạn trước nhưng vị trí cân bằng là O
2
và biên độ là A – 3x
0
.
Quá trình dao động được thực hiện cho tới khi vật dừng lại.

* Tọa độ của các vị trí biên : *Tóm lại :
- Sau mỗi nửa chu kì, biên độ dao động giảm một lượng
0
2 mg
A 2x
k

O

A
0
O
1
O
2

-A
0
+ 2a
A
0
-4a
-A
0
+ 6a
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 3

B. BÀI TẬP
I. ĐỘ GIẢM CƠ NĂNG CỦA DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1. Phần trăm cơ năng bị mất sau 1 chu kì.
Ta chỉ xét trường hợp dao động tắt dần chậm (ma sát nhỏ) , độ giảm biên độ sau mỗi chu kì

A

là phần trăm biên độ bị giảm trong một chu kì.
Bài 1: Một con lắc dao động tắt dần trong môi trường với lực ma sát rất nhỏ. Cứ sau mỗi chu kì, biên độ giảm đi 3%.
Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu phần trăm?
A. 3% B. 4,5% C. 6% D. 9%.
Lời giải
Do dao động tắt dần chậm vì lực ma sát nhỏ nên sau mỗi chu kì, phần trăm năng lượng của con lắc bị mất đi là :

W A
2. 2.3% 6%
W A
 
  2. Phần trăm cơ năng bị mất sau n chu kì.
- Phần trăm biên độ bị giảm sau n chu kì : h
na
=
n
A A
A


- Phần trăm biên độ còn lại sau n chu kì :
n
na
A
1 h

2
2
3 3
A A A
10% 90%
A A
W A
0,9 0,81 81%
W A


  



 

   
 

 


Bài 2: Một con lắc lò xo đang dao động với cơ năng ban đầu của nó là 8J, sau 3 chu kì đầu tiên biên độ của nó giảm
đi 10%. Phần cơ năng chuyển thành nhiệt sau khoảng thời gian đó là :
A. 6,3J B. 7,2J C. 1,52J D. 2,7J
Giải
Phần trăm cơ năng còn lại sau 3 chu kì là :
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 4



  
2
2
ms
ms ms
k A'
4FkA k
F .4A A A' A A' F .4A A A
2 2 2 k
         

- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 

- Độ giảm biên độ sau nửa chu kì:
ms
2F
A
2 k



- Biên độ dao động còn lại sau n chu kì: A
n

4 mg
A 0,8cm
k

  

Biên độ dao động của vật sau 5 chu kì : A' = A – 5.∆A = 4cm. 2. Số dao động thực hiện được và thời gian trong dao động tắt dần
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 
- Tổng số dao động thực hiện được:
A
N
A



- Thời gian dao động :
m
t N.T N.2
k
   
/k=0,2cm.
- Tổng số dao động thực hiện được :
A
N 25
A
 


- Tổng số lần qua vtcb : 25.2 = 50 lần.

Bài 3: Một con lắc lò xo m = 100g, k = 100N/m, dao động trên mặt phẳng ngang với biên độ ban đầu là 10cm. g =
10m/s
2
. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng 0,1. Tìm thời gian dao động.
A. 5s B. 3s C.6s D.4s
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 

- Tổng số dao động thực hiện được :
A
N
A




 
 

- Thời gian dao động :
 
0
kA m
t N.T .2 5 s
4 mgcos60 k
     
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 6

Bài 5: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 10N/m, khối lượng vật nặng m = 100g dao động trên mặt phẳng ngang,
được thả nhẹ từ vị trí lò xo dãn 5cm. Hệ số ma sát trượt giữa con lắc và mặt bàn là µ = 0,1. Thời gian ngắn nhất
chuyển động thẳng của vật m từ lúc ban đầu đến vị trí lò xo không biến dạng là:
A. 0,177s. B. 0,157s. C. 0,147s. D. 0,182s.
Giải
+ Vị trí cân bằng mới O
1
cách O đoạn :

 

  
0
mg

 
 
   
 
 
 

 
 
0
1
0 1
OO
90 arc cos 14,48
A OO

Thời gian chuyển động :
 
 
1
O O
14,48
t .T 0,025 s
2.180

+ Thời gian chuyển động :


     
0 1 1

1
O

Vị trí lò xo không biến dạng

M

M
1
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 7

III. QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG TẮT DẦN.

Bài toán: Một CLLX đặt trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng là µ. Ban đầu kéo
vật ra khỏi vị trí cân bẳng (Lò xo không biến dạng) một đoạn A
0
rồi buông nhẹ. Tính quãng đường vật đi được
từ lúc thả vật đến lúc dừng lại.
Bài giải:
Cách 1
+ Xác định vị trí
0
mg
x
k



+ Tìm số lần vật thực hiện 1/2 dao động :

n
S 2u n 1 d
2
 
  
 
)
→
2
0 0
S 2A .a 2.x .a
 

Cách 2
- Xác định vị trí
0
mg
x
k



- Tìm số lần vật thực hiện 1/2 dao động :
0
0
A
m,n
2x



. Giải bất phương trình trên để tính n từ đó suy ra
tọa độ vật khi dừng.
O
O
1
O
2
A
0
-A
0
A
1
2x
0
A
2
4x
0
6x
0
A
3
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 8

- Theo định luật bảo toàn năng lượng :
2 2
0
1 1

∆A

2. q = 0,5 (A
o
là số ban nguyên lần ∆A): vật dừng lại ở vị trí có |x| = x
o
. Khi đó:
s =
A
o
2
– x
o
2
∆A

3. 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước khi dừng của vật là A
n
= q.∆A = x
o
+ rΔA (r = q – 0,5). Vật sẽ
dừng trước khi qua VTCB. Ta có
1
2
k(A
n
2
– x
2
) = mg(A

n
2
– x
2
) = mg(A
n
+ x)  A
n
– x = ∆A  x = p, Vậy
S=(A
0
2
-p
2
)/ ∆A
Bài 1: Con lắc lò xo nằm ngang có
k
m
= 100(s
2
), hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và cùng bằng 0,1. Kéo vật
ra khỏi VTCB 1 đoạn A
o
rồi buông. Cho g = 10m/s
2
. Tìm quãng đường tổng cộng vật đi được trong các trường hợp
sau:
1. A
o
= 12cm 2. A

2
2
= 84cm
3. A
o
= 13,2cm:
A
o
A
= 6,6. Biên độ cuối cùng là A
n
= 0,6.A = 1,2cm . Vật dừng lại trước khi qua VTCB
1
2
k(A
n
2
 x
2
) = mg(A
n
 x)  A
n
+ x = A  x = 2  1,2 = 0,8cm
s =
13.2
2
 0.8
2
2

(m)
*
0
0
A
24
2,4
2x 2.5
 
→ a = 2.
*


2 2
0 0
S 2A .a 2.x .a 2.24.2 2.5.2 56 mm
    

Bài 3: * Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0.02kg và lò xo có độ cứng k = 1N/m.Vật nhỏ được đặt trên bàn
nằm ngang dọc theo trục lò xo.Hệ số ma sát giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0.1.Ban đầu giữ vật đứng yên ở O, sau đó đưa
vật đến vị trí lò xo nén 10cm rồi buông, con lắc dao động tắt dần, g=10.Vật nhỏ dừng lại tại vị trí cách O ?
A. 1 cm. B. 2 cm. C. 3 cm. D. 4 cm.
Giải
+ Tọa độ vật khi dừng :
0 0 0 0 0 0
x A a.2x x x A a.2x x
       

Thay số vào bất phương trình trên, tính được :
2 a 3

0
0
A
20
2x
. Vật dừng tại O.
+ Quãng đường đi được :
 
 

2
0
1
mv
2
s 0,7896 m
mg

Bài 5: Một con lắc lò xo bố trí đặt nằm ngang, vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 160N/m. Lấy
g = 10m/s
2
. Khi vật đang ở vị trí cân bằng, người ta truyền cho vật vận tốc v
0
= 2m/s theo phương ngang để vật dao
động. Do giữa vật và mặt phẳng ngang có lực ma sát với hệ số ma sát µ = 0,01 nên dao động của vật sẽ tắt dần. Tốc độ
trung bình của vật trong suốt quá trình dao động là:
A. 63,7 cm/s. B. 34,6cm/s. C. 72,8cm/s. D. 54,3cm/s.
Giải
+ Chu kì dao động :
 

. Vật dừng tại O.
- Quãng đường vật đi tới khi dừng :
 
 

2
0
1
mv
2
s 20 m
mg

- Thời gian chuyển động tới khi dừng :
 
   

0
A
T
t T 31,45 s
4 A'

+ Vận tốc trung bình :
 
  

s 20
v 0,6358 m / s
t 31,455