Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 1

DAO ĐỘNG TẮT DẦN.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I - ĐỊNH NGHĨA
Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian gọi là dao động tắt dần.
II – NGUYÊN NHÂN
Nguyên nhân chung là do lực cản của môi trường và ma sát sinh ra ở trong hệ. Năng lượng tiêu hao
dưới dạng nhiệt tương ứng với sự giảm dần biên độ dao động.
III – KIỂU DAO ĐỘNG TẮT DẦN DO LỰC MA SÁT KHÔ.
Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu lò xo có độ cứng k, đầu kia
cố định. Giả thiết rằng con lắc lò xo nằm ngang và hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và kí hiệu là µ.
1. Phương trình động lực học của chuển động của vật nặng

mx'' kx mg
   F kx
 
: lực kéo về
(1.1)
Dấu trước số hạng cuối cùng là (+) trong khoảng thời gian vật chuyển động ngược chiều Ox, là dấu
(-) trong khoảng thời gian vật chuyển động cùng chiều Ox.
2. Vị trí cân bằng của vật trong quá trình dao động
Xét sự tương tự giữa chuyển động của vật với con lắc lò xo đặt thẳng đứng (định tính)
k

O



ms
F


O

A

O
1

O
2

B

O
2

O

P


- Vai trò của P và F
ms
là
như nhau.
+ Trọng lực P không ảnh

cũng
không ảnh hưởng tới chu
kì dao động của con lắc.
+ P làm VTCB của con lắc
được kéo xuống đoạn OO
2

= mg/k ; Lực F
ms
cũng làm
VTCB của dao động
chuyển từ O đến O
2
với
OO
2
= F
ms
/k.
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 2

* Xét cụ thể chuyển động của vật nặng với điều kiện ban đầu : Vật được kéo đến tọa độ x = A
0
và thả không
vận tốc đầu. Trong quá trình chuyển động của vật, hợp lực tác dụng lên vật :

mg
mx'' kx mg k x
k

0
+ 2x
0
. Biên độ dao động là A
0
– x
0
.
Khi vật tới vị trí này, nếu


dh msn
max
F F
thì vật chuyển động ngược trở lại theo chiều trục Ox và
thực hiện tiếp nửa dao động điều hòa với tần số góc
k
m
 
qua vị trí cân bằng O
2
(có tọa độ
2 0
mg
OO x
k

   
) và dừng lại tại điểm có tọa độ A – 4x
0

max
mg
F F k x mg x a a x a
k

          

(1.3) B. BÀI TẬP
I. ĐỘ GIẢM CƠ NĂNG CỦA DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1. Phần trăm cơ năng bị mất sau 1 chu kì.
Ta chỉ xét trường hợp dao động tắt dần chậm (ma sát nhỏ) , độ giảm biên độ sau mỗi chu kì
A A A'
  
rất nhỏ → A + A' ≈2A.
Phần trăm cơ năng bị mất sau một chu kì:



    

  
 
    
2
2
2
2

+ 6a
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 3 A
A

là phần trăm biên độ bị giảm trong một chu kì.
VD1 Một con lắc dao động tắt dần trong môi trường với lực ma sát rất nhỏ. Cứ sau mỗi chu kì, biên độ giảm
đi 3%. Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu phần trăm?
A. 3% B. 4,5% C. 6% D. 9%.
Lời giải
Do dao động tắt dần chậm vì lực ma sát nhỏ nên sau mỗi chu kì, phần trăm năng lượng của con lắc bị mất đi
là :

W A
2. 2.3% 6%
W A
 
  2. Phần trăm cơ năng bị mất sau n chu kì.
- Phần trăm biên độ bị giảm sau n chu kì : h
na
=
n
A A
A

trăm cơ năng còn lại sau khoảng thời gian đó là
A. 6,3% B 81% C. 19% D. 27%
Giải
Theo bài ra sau 3 chu kì biên độ giảm đi 10% nên ta có :

3 3
2
2
3 3
A A A
10% 90%
A A
W A
0,9 0,81 81%
W A


  



 

   
 

 


VD2 Một con lắc lò xo đang dao động với cơ năng ban đầu của nó là 8J, sau 3 chu kì đầu tiên biên độ của

Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 4

II. ĐỘ GIẢM BIÊN ĐỘ TRONG DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì. Biên độ dao động sau n dao động.
- Ta chỉ xét dao động tắt dần chậm nên độ giảm biên độ sau một chu kì rất nhỏ

A A A' A A' 2A
     

- Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát thực hiện trong chu kì đó :



  
2
2
ms
ms ms
k A'
4FkA k
F .4A A A' A A' F .4A A A
2 2 2 k
         

- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 




VD2 Một vật khối lượng 100g nối với một lò xo có độ cứng 100(N/m). Đầu còn lại của lò xo gắn cố định,
sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 8cm rồi
buông nhẹ. Lấy gia tốc trọng trường 10m/s
2
. Khi hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,2. Biên
độ dao động của vật sau 5 chu kì dao động là:
A. 2cm B. 6cm C. 5cm D. 4cm
Giải
Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
4 mg
A 0,8cm
k

  

Biên độ dao động của vật sau 5 chu kì : A' = A – 5.∆A = 4cm.

2. Số dao động thực hiện được và thời gian trong dao động tắt dần
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 
- Tổng số dao động thực hiện được:
A
N


VD2 Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một lò xo nhẹ có k = 100N/m, một đầu cố định, một đầu gắn vật
nặng có khối lượng m = 0,5kg. Ban đầu kéo vật theo phương thẳng đứng khỏi vtcb 5cm rồi buông nhẹ cho
vật dao động. Trong quá trình dao động vật luôn chịu ác dụng của lực cản có đọ lớn bằng 1/100 trọng lực tác
dụng lên vật. Coi biên độ của vật giảm đều trong từng chu kì, g = 10m/s
2
. Số lần vật qua vtcb kể từ khi thả
vật đến khi nó dừng hẳn bằng bao nhiêu?
A. 25 B. 50 C. 30 D. 20
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì : ∆A = 4F
ms
/k=0,2cm.
- Tổng số dao động thực hiện được :
A
N 25
A
 


- Tổng số lần qua vtcb : 25.2 = 50 lần.

VD3 Một con lắc lò xo m = 100g, k = 100N/m, dao động trên mặt phẳng ngang với biên độ ban đầu là
10cm. g = 10m/s
2
. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng 0,1. Tìm thời gian dao động.
A. 5s B. 3s C.6s D.4s
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms

4F
4 mgcos60
A
k k

  

- Tổng số dao động thực hiện được :
0
A kA
N
A 4 mgcos60
 
 

- Thời gian dao động :
 
0
kA m
t N.T .2 5 s
4 mgcos60 k
     



* Nếu n > 5 → Số lần 1/2 dao động là a = m + 1
* Nếu n
≤ 5 → S
ố lần 1/2 dao động là a = m.
+ Thời gian dao động là :
T
t a.
2


+ Quãng đường vật đi được : S = 2A
0
.a – x
0
.(2 + 6 + 10 +…) ; (trong ngoặc là cấp số cộng với công
sai là 4)
→
2
0 0
S 2A .a 2.x .a
 

Cách 2
+ Tính x
o
=
mg
k

+ Gọi A là độ giảm biên độ trong 1/2 chu kì A =

2
∆A

3. 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước khi dừng của vật là A
n
= q.∆A = x
o
+ rΔA (r = q – 0,5).
Vật sẽ dừng trước khi qua VTCB. Ta có
1
2
k(A
n
2
– x
2
) = mg(A
n
– x)  A
n
+ x = = 2x
o

 x
o
+ rΔA + x = 2x
o
 x = x
o
– rΔA = (1 –2 r)x

2
)/ ∆A

Cách 3
- Sau mỗi nửa chu kì, vị trí biên nhích lại gần O một khoảng bằng 2a.
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 7

- Trong nửa chu kì cuối , vật sẽ chuyển động từ điểm M nào đó nằm ngoài đoạn O
1
O
2
đến điểm M’
nằm trong đoạn O
1
O
2
.
- Tọa độ vật khi dừng :
0
x A n.2a
 
với n là số nguyên lần nửa chu kì.
+ Vật dừng khi :
0
a x a a A n.2a a
       
. Giải bất phương trình trên để tính n từ đó suy ra
tọa độ vật khi dừng.
- Theo định luật bảo toàn năng lượng :


Áp dụng cụ thể cho bài toán trên:
∆A = 2cm ; x
o
= 1cm
1. A
o
= 12cm, chia hết cho A nên s =
12
2
2
= 72cm
2. A
o
= 13cm, chia cho A ra số bán nguyên, vật dừng cách VTCB1 đoạn x
o
nên
s =
13
2
 1
2
2
= 84cm
3. A
o
= 13,2cm:
A
o
A

2
 0.2
2
2
= 74,4cm
* Các phần trên dùng công thức
2
0 0
S 2A .a 2.x .a
 
đều cho kết quả đúng.
Ví dụ 2
Một con lắc lò xo gồm lò xo k = 100N/m và vật nặng m =160g đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật đến
vị trí lò xo dãn 24,0mm rồi thả nhẹ. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là µ = 5/16. Lấy g =
10m/s
2
. Từ lúc thả đến lúc dừng lại, vật đi được quãng đường bằng
A. 43,6mm. B. 60,0mm. C. 57,6mm. D. 56,0mm.
Giải
* Ta có : x
0
= 5.10
– 3
(m)
*
0
0
A
24
2,4