I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Nguyện vọng của tất cả học sinh khi tham gia học tập là có thể đậu được
vào các trường đại học hoặc cao đẳng. Tuy nhiên, đây là vấn đề không phải dễ
dàng. Đặc biệt với việc chuyển đổi từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm thì
càng khó khăn hơn. Bởi lẽ, học sinh không chỉ nắm vững về kiến thức mà còn
phải giải nhanh các bài tập để kịp với thời gian ít ỏi 1,8 phút/ câu.
Có người đã từng nhận xét rằng: Nếu một phát thanh viên đọc lưu loát một
đề thi trắc nghiệm dài 6 đến 7 trang thì ít nhất cũng phải mất 15 đến 20 phút.
Trong khi đó, học sinh vừa phải đọc, phải suy nghĩ, phải tính toán rồi mới chọn
đáp án để tô thì quả thật thời gian đã là một bài toán khó rồi. Đó là chưa tính đến
có những bài tập khó và phức tạp nếu trình bày theo hình thức tự luận để ra
được đáp án thì phải hết cả trang giấy. Do đó việc có những công thức thật ngắn
gọn, cách làm thật dễ nhớ giúp học sinh có thể giải nhanh được bài tập là rất cần
thiết.
Riêng đối với môn vật lí để giải các bài tập trong các đề thi đại học mà chỉ
sử dụng các công thức sách giáo khoa thì không thể đạt điểm cao. Có rất nhiều
các bài tập cần tới công thức xây dựng ngoài thì mới có thể làm kịp thời gian 1,8
phút/ câu. Qua nghiên cứu đề thi đại học trắc nghiệm các năm gần đây thì tôi
thấy rằng đề đang tăng dần mức độ khó lên trong khi sách giáo khoa thì không
thay đổi, thậm chí có những phần kiến thức giảm tải nhưng vẫn có trong đề thi
đại học.
Trong các chương thi đại học thì chương dao động cơ là chương có kiến
thức và các dạng bài tập nhiều nhất và cũng khó nhất. Đặc biệt trong chương
này, dao động tắt dần là phần khó hơn cả. Tuy nhiên, kiến thức về dao động tắt
dần mà sách giáo khoa cung cấp thì rất ít ỏi: chỉ nêu lí thuyết mà không có công
thức làm bài tập. Lại thêm số tiết luyện tập theo phân phối chương trình về dạng
bài tập này rất ít lại càng làm cho học sinh khó hiểu và không vận dụng để làm
các bài tập được. Do đó, việc cung cấp thêm cho học sinh các công thức để làm
bài tập là rất cần thiết. Đồng thời, trong quá trình giải bài tập học sinh có thể làm
1
theo nhiều cách dài ngắn khác nhau. Theo kinh nghiệm giảng dạy của tôi trong

Lực cản môi trường nhỏ
Lực cản môi trường lớn
- Nếu vật dao động điều hòa với tần số góc
0
ω
chịu thêm tác dụng của lực cản
nhỏ thì dao động của vật trở thành dao động tắt dần chậm. Dao động tắt dần
chậm có biên độ giảm dần theo thời gian.
2. Thực trạng việc giải bài tập phần dao động tắt dần của học sinh:
Sách giáo khoa chỉ trình bày kiến thức về dao động tắt dần dạng lí thuyết
không đưa ra công thức làm bài tập. Nếu học sinh gặp phải các bài tập tự luận
đòi hỏi phải tính toán, phải sử dụng các công thức thì học sinh không biết lấy
công thức ở đâu để áp dụng chứ chưa nói gì là áp dụng một cách thành thạo để
giải nhanh.
Theo phân phối chương trình số tiết dành cho việc luyện tập về dao động
tắt dần được gộp chung với dao động duy trì, dao động cưỡng bức, sự cộng
hưởng và tổng hợp dao động thành 1 tiết. Với thời lượng như vậy, giáo viên khó
có thể cho học sinh luyện tập được nhiều bài tập về dao động tắt dần. Đặc biệt,
đây lại là phần kiến thức khó.
Kết quả khảo sát với học sinh khi làm bài tập về dao động tắt dần mà giáo
viên không cung cấp thêm các công thức, chỉ trình bày lí thuyết như sách giáo
khoa thì tôi thu được bảng sau đây:
Lớp % Học sinh làm được % Học sinh không làm được
12N 4,4% 95,6%
12I 6,7% 93,3%
12C 4,6% 95,4%
Qua bảng số liệu nhận thấy tỉ lệ học sinh không làm được các bài tập là chủ
yếu. Điều đó cho thấy việc cung cấp cho học sinh các công thức mở rộng từ bên
ngoài là rất cần thiết và sau khi biến đổi nên chốt lại các công thức để học sinh
dễ nhớ và cho học sinh làm một số bài tập mẫu giúp học sinh củng cố được kiến

cứng k. Ban đầu con lắc ở vị trí cách vị trí cân bằng 1 đoạn bằng A, sau đó thả
nhẹ cho nó dao động. Biết hệ số ma sát giữa vật với mặt phẳng ngang là
µ
.
Trong
T
2
1
: Con lắc đi từ biên A về vị trí cân bằng tới biên A’<A (vì có ma
sát biên độ giảm)
Vì cơ năng của vật được bảo toàn nên tại 2 vị trí : biên A và vị trí biên A’ ta
có:
k
mg
AmgAAkAAmgAAk
AAmgkAkASNkAkASFmskAkA
µ
µµ
µµ
2
2)'()'(2)'(
)'('
2
1
2
1
.'
2
1
2

A
O
x
* Nếu con lắc nằm trên mặt phẳng nghiêng góc
α
so với phương nằm ngang thì
αµµ
cosmgNFms ==
khi đó công thức độ giảm biên độ sau mỗi chu kì là:
k
mg
A
αµ
cos4
=∆
3.3. Số dao động vật thực hiện được cho tới khi dừng lại.
Con lắc lò xo nằm ngang:
mg
kA
A
A
N
µ
4
=
∆
=
(2)
Con lắc lò xo trên mặt phẳng nghiêng:
αµ

2
===
∆
==∆

Vậy công thức thu gọn là:
g
A
t
µ
πω
2
=∆
(3)
3.5. Quãng đường vật đi được cho tới khi dừng lại:
Khi vật dừng lại thì toàn bộ cơ năng ban đầu chuyển hết thành công của lực
ma sát do đó:
mgSSFmskA
µ
== .
2
1
2

mg
kA
S
µ
2
2

1
2
1
2
0
2
0
2
)(
2
1
2
1
2
1
0
2
0
2
0
2
xAmgmvkxkA −++=
µ
)(2
0
2
0
2
0
2


=⇒
5
k
gm
mgAmv
k
gm
kA
222
2
0
222
2
2
2
µ
µ
µ
−++=⇒
k
gm
mgAmvkA
222
2
0
2
2
µ
µ

222
0
2
ω
µ
µω
g
gAAv
−−=⇒








+−=⇒
2
222
222
0
2
k
gm
k
mg
Av
µµ
ω

(5)
3.7 Phần trăm năng lượng giảm sau mỗi chu kì dao động.
Năng lượng ban đầu của con lắc là
2
2
1
kAE =
. Sau một chu kì năng lượng
con lắc giảm còn
2
'
2
1
' kAE =
với A’< A. Ta có:
22
22
22
)')('('''
1
'
1
''
A
AAAA
E
E
A
AA
E

=
2
2
2
2)2.(
A
A
A
A
A
AAA
E
E ∆
−
∆
=
∆−∆
=
∆
⇒
(Coi dao động là tắt dần chậm nên
AA ≈'
).
2
2
2
11)
2
1(1


luôn công thức. Ngoài ra, giáo viên có thể chọn một số bài tập đề nghị (có đáp
án) yêu cầu học sinh về nhà làm để học sinh rèn luyện hơn nữa kĩ năng giải bài
tập dao động tắt dần.
Về dao động tắt dần khi làm bài tập học sinh thường gặp 6 dạng bài toán
như sau:
Dạng 1: Tìm độ giảm biên độ, số dao động vật thực hiện được và thời gian vật
dao động cho tới khi dừng lại.
Phương pháp giải:
6
- Độ giảm biên độ: Áp dụng công thức (1) hoặc (2) là:
k
mg
A
µ
4
=∆
hoặc
k
F
A
C
4
=∆
hoặc
k
mg
A
αµ
cos4
=∆

. Độ giảm biên độ của vật sau một 3 chu kì dao động là:
A. 0,16 cm B. 0,32 cm C. 0,48 cm D. 0,64 cm.
Giải:
Áp dụng công thức (1) ta có độ giảm biên độ sau một chu kì dao động là :
cmm
k
mg
A 16,010.6,1
100
10.4,0.01,0.44
3
====∆
−
µ
Sau 3 chu kì độ giảm biên độ giảm là: 3. 0,16=0,48 cm. Do đó chọn đáp án C.
Bài 2: Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng k=50 N/m, vật có khối lượng
m=200g. Kéo vật tới vị trí lò xo dãn 8 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ
số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là
01,0=
µ
. Số dao động vật thực hiện
được cho tới khi dừng lại là:
A. 30 B. 40 C. 60 D. 50
Giải:
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì là:
cmm
k
mg
A 16,010.6,1
50

m
k
ω
(rad/s)
Biên độ dao động:
cmA
v
xA 525)
20
80
(3
22
2
2
22
=⇒=+=+=
ω
Số dao động vật thực hiện được là:
05,0
10.10.2,0.4
05,0.80
.44
===⇒=
∆
=
Nmg
kA
mg
kA
A

chu kỳ, lấy g = 10m/s
2
. Số lần vật đi qua vị trí cân bằng là :
A. 100 lần B. 150 lần C. 200 lần D. 50 lần
Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được.
Phương pháp giải:
- Quãng đường vật đi được tới khi dừng lại:
mg
kA
S
µ
2
2
=⇒
- Quãng đường vật đi được trong n chu kì đầu tiên.
- Nếu trong n chu kì đầu tiên thì
=∆
S
mg
kA
µ
2
2
mg
kA
n
µ
2
2
−

m=100g. Kéo vật cho lò xo dãn 2 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số
ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là
02,0=
µ
. Xem con lắc dao động tắt dần
chậm. Lấy g=10 m/s
2
2
π
=
. Quãng đường vật đi trong 4 chu kì đầu tiên là:
A. 32 cm B. 34,5 cm C. 100cm D. 29,44 cm.
9
Giải:
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì là:
cmm
k
mg
A 08,010.8
100
10.1,0.02,0.44
4
====∆
−
µ
- Biên độ dao động của vật sau 4 chu kì đầu tiên là:
cmAAA 68,108,0.42.4
4
=−=∆−=
- Quãng đường vật đi trong 4 chu kì đầu tiên là:

VTCB một đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa vật và
sàn là
3
10.5
−
=
µ
. Xem chu kỳ dao động không thay đổi và coi độ giảm biên độ
sau mỗi chu kỳ là đều. Lấy g = 10m/s
2
. Quãng đường vật đi được trong 1,5 chu
kỳ đầu tiên là:
A. 23,28cm B. 20,4cm C. 24cm D. 23,64cm
Bài 2: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm 1 vật có khối lượng m = 100(g)
gắn vào 1 lò xo có độ cứng k = 10(N/m). Hệ số ma sát giữa vật và sàn là 0,1.
Đưa vật đến vị trí lò xo bị nén một đoạn rồi thả ra. Vật đạt vận tốc cực đại lần
thứ nhất tại O
1
là v
max
= 60(cm/s). Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là:
A. 24,5cm B 24cm C.21cm D.25cm.
Bài 3: Một con lắc lò xo nằm ngang k = 20N/m, m = 40g. Hệ số ma sát giữa mặt
bàn và vật là 0,1, g = 10m/s
2
. Đưa con lắc tới vị trí lò xo nén 10cm rồi thả nhẹ.
Tính quãng đường đi được từ lúc thả đến lúc vectơ gia tốc đổi chiều lần thứ 2:
A. 30cm B. 28cm C. 29cm D. 31cm.
Dạng 3: Tìm vận tốc cực đại của vật.
Phương pháp giải:

.
Giải:
Áp dụng công thức tính vận tốc lớn nhất ta được:
( )
00
xAv −=
ω
( )
srad
m
k
/50
02,0
1
===
ω
và
cm
k
mg
x 02,0
1
10.02,0.1,0
0
===
µ
( ) ( ) ( )
scmsmv /240/24,002,01,050
0
==−=⇒

( )
scm /7,5
π
.
Giải:
Chu kì dao động của vật là:
( )
s
k
m
T 2
1
1,0
.22 ===
ππ
( )
srad
T
/
2
π
π
ω
==⇒
Phân tích thời gian
4,0
2
.214,0
2
2

cmA 2,42,0.21.21 ==∆
. Khi đó, biên độ
bằng:
cmAAA 8,52,410.21
'
=−=∆−=
.
Thời gian còn lại là
4
4,0
T
s <
tức là vật chưa thể về vị trí cân bằng mới để đạt tốc
độ lớn nhất do đó tốc độ lớn nhất của vật là tại vị trí cân bằng sau 21.
2
T
. Ta có:
( )
0max0
' xAv −=
ω
với
cmm
k
F
k
mg
x
C
1,010

* Một số bài tập đề nghị .
Bài 1: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 20N/m và vật
nặng m = 100g .Từ VTCB kéo vật ra 1 đoạn 6cm rồi truyền cho vật vận tốc
1420
cm/s hướng về VTCB. Biết rằng hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng
ngang là 0,4. Lấy g = 10m/s
2
. Tốc độ cực đại của vật sau khi truyền vận tốc bằng
:
A.
2220
cm/s B.80
2
cm/s C.20
10
cm/s D. 40
6
cm/s
Bài 2: Một con lắc lò xo có m = 17g, độ cứng K = 0,425N/cm. Vật nhỏ đặt trên
giá đỡ nằm ngang. Hệ số ma sát trượt giữa vật và giá đỡ là 0,15. Vật dao động
12
tắt dần với biên độ A = 5cm. Lấy g= 9,8m/ s
2
. Vào thời điểm lực đàn hồi cân
bằng với lực ma sát lần 31, tốc độ vật nhỏ bằng:
A. 2,4706m/s B. 0,7066m/s C. 0,7654m/s D. 1,5886m/s
Bài 3: Cho cơ hệ gồm 1 lò xo nằm ngang 1 đầu cố định gắn vào tường, đầu còn
lại gắn vào 1 vật có khối lượng M = 1,8kg. Lò xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m.
Một vật khối lượng m = 200g chuyển động với vận tốc v = 5m/s đến va vào M
(ban đầu đứng yên) theo hướng trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa M và mặt

%1%9975,0%)5,01(1% ≈=−−=∆⇒ E
Chọn đáp án B.
Bài 2: Cho con lắc lò xo dao động tắt dần chậm. Biết phần trăm năng lượng
giảm sau 3 chu kì là 1,5% . Phần trăm biên độ giảm sau mỗi chu kì là:
13
A. 0,5% B. 1% C. 0,25% D. 1,25%
Giải: Phần trăm năng lượng giảm sau 1 chu kì là
%5,0
3
%5,1
=
Nên ta có
%25,0%%5,0%)1(1%
2
=∆⇒=∆−−=∆ AAE
.
Chọn đáp án C.
* Một số bài tập đề nghị .
Bài 1: Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần. Cơ năng ban đầu của nó là 5J.
Sau ba chu kỳ dao động thì biên độ của nó giảm đi 20%. Phần cơ năng chuyển
hóa thành nhiệt năng trung bình trong mỗi chu kỳ là:
A. 0,5J B. 0,6J C. 0,7J D.0,8J.
Bài 2: Một con lắc lò xo dao động tắt dần có tốc độ cực đại giảm đi 5% sau mỗi
chu kì. Phần năng lượng của con lắc giảm đi trong 1 dao động là:
A. 5% B. 9,7% C. 9,8% D. 9,5%
Dạng 6: Thời gian chuyển động thẳng của vật.
Phương pháp giải:
- Tìm lại vị trí cân bằng mới của con lắc và biên độ sau mỗi phần của chu kì dao
động.
- Chia thời gian cần tìm ra các khoảng thời gian đặc biệt để tính.

ttt
Trong đó:
4
'26
T
tt
OAxx
==
→=→=
và
12
2
02
T
tt
O
Axx
==
→
=→=
Tổng thời gian chuyển động thẳng của con lắc từ vị trí ban đầu đến vị trí lò xo
không biến dạng là:
153
2
3124
ππ
===+=
k
mTTT
t

k
m
TTt
21,0209,0
3
2
3124
≈===+
π
. Chọn đáp án B
* Một số bài tập đề nghị .
Bài 1: Một con lắc lò xo có khối lượng vật nặng 100g, độ cứng lò xo 10N/m đặt
trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát trượt 0,2. Kéo con lắc để lò xo dãn 20 cm
rồi thả nhẹ. Chọn gốc thời gian lúc thả vật. Thời điểm lần thứ hai lò xo dãn 7 cm
là:
15
A.
( )
s
60
13
π
B.
( )
s
6
π
C.
( )
s

dao động trên mặt phẳng ngang, được thả nhẹ từ vị trí lò xo dãn 6cm. hệ số ma
sát trượt giữa con lắc và mặt bàn là 0,1. Thời gian chuyển động thẳng của vật m
từ lúc thả tay đến lúc m đi qua vị trí lực đàn hồi của lò xo nhỏ nhất lần thứ 1 là:
A. 0,296s B. 0,267s C. 0,358s D. 0,417s
5. Kết quả:
Ưu điểm của các công thức giải nhanh là học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng vào
làm các bài tập, rút ngắn thời gian làm bài giúp học sinh cảm thấy kiến thức về
dao động tắt dần không phải là quá khó không thể làm được, các em tự tin hơn
khi học môn vật lí vốn được coi là khó. Sau khi đưa ra hệ thống các công thức
giải nhanh và cho học sinh làm các bài tập mẫu kết quả khảo sát trên những lớp
học sinh tôi dạy như sau:
Lớp % Học sinh làm được % Học sinh không làm được
12N 89% 11%
12I 93% 7%
12C 81,8% 18,2%
Như vậy, việc cung cấp thêm các công thức về dao động tắt dần với việc
trình bày lí thuyết đơn thuần như sách giáo khoa thì số học sinh vận dụng để làm
được các bài tập và làm được nhanh các bài tập đã tăng lên rõ ràng. Số học sinh
vận dụng được ít hoặc không vận dụng được giảm đáng kể. Điều đó cho thấy
16
rằng việc đưa ra các công thức giải nhanh mang lại hiệu quả cao, có thể áp dụng
rộng rãi cho nhiều đối tượng học sinh khác nhau.
III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.
1. Bài học kinh nghiệm:
Để việc truyền đạt kiến thức tới học sinh mang lại hiệu quả cao nhất cụ thể
là giúp học sinh hiểu lí thuyết từ đó vận dụng làm được bài tập và làm nhanh bài
tập người giáo viên cần có cái nhìn tổng quát đồng thời phải chọn lọc được các
bài tập điển hình trong quá trình giảng dạy.
Khi dạy phần kiến thức khó như dao động tắt dần trước hết giáo viên phải
giúp học sinh hiểu bản chất của dao động tắt dần, sau đó đưa hệ thống bài tập

4. 1234 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm điển hình – Tác giả: Trần Ngọc, Trần
Hoài Giang.
5. Mạng internet
18