Trần Tuấn Anh – Mail:

Sài Gòn, 10/2013 Page 1

O0O Phƣơng pháp 1:
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN
()
( ) log
fx
a
a b f x b  
;
log ( ) ( )
b
a
f x b f x a  
.

Ví dụ 1. Giải các phƣơng trình:
a)
2
54
3 81
xx

; b)
2

log (3 4) 3x 
.
ĐK:
4
3 4 0
3
xx   
.
3
2
log (3 4) 3 l3 4 2 3 4 8 3 12 4x x x x x           
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4. www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

Trần Tuấn Anh – Mail:

Sài Gòn, 10/2013 Page 2 Phƣơng pháp 2:
ĐƢA VỀ CÙNG CƠ SỐ
1) Đối với phương trình mũ: biến đổi phương trình về dạng
( ) ( )f x g x
aa
.
- Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì
( ) ( )

fx
f x g x







Ví dụ 1. Giải các phƣơng trình:
a)
2
54
3 81
xx

; b)
2
log (3 4) 3x 
.
Giải:
a)
22
5 4 5 4 4 2
3 81 3 3 5 4 4
x x x x
xx

.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4.
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

Trần Tuấn Anh – Mail:

Sài Gòn, 10/2013 Page 3

Ví dụ 2. Giải các phƣơng trình:
a)
2
8 1 3
39
x x x  

; b)
11
2 2 2 28
x x x
  
.
c)
22
33
2.5 5.2
xx

; d)
2 2 2 2
1 1 2

x x x x x x x     
          1 1 2
2 4 2 2 1 2 3
xx
xx

        
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.
c)
2
2
22
2
31
3
33
3
5 5 5 5
2.5 5.2
2 2 2
2
x
x
xx
x


2 4 2 2
2 .9 3 .4 1 2
3 9 3 3
xx
xx
x


     
        
     
     

2
33xx    
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = -
3
và x =
3
.
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

Trần Tuấn Anh – Mail:

Sài Gòn, 10/2013 Page 4

Ví dụ 3. Giải các phƣơng trình:
a)
2

.

b) ĐK:
0x 
.

2 3 4 5 2 3 2 4 2 5 2
log log log log log log 2.log log 2.log log 2.logx x x x x x x x      
2 3 4 5
log .(1 log 2 log 2 log 2) 0x    
2
log 0 1xx   
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1. Phƣơng pháp 3:
BIẾN ĐỔI ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH

Ví dụ 1. Giải các phƣơng trình:
a)
1
12.3 3.15 5 20
x x x
  
; b)
2 2 2
log (3 4).log logx x x
.
Giải:

Trần Tuấn Anh – Mail:

Sài Gòn, 10/2013 Page 5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
3
5
log
3
x




.
b) ĐK:
3 4 0
4
0
3
x
x
x






.


    


.
Do
4
3
x 
nên nghiệm của phương trình là
2x 
.

Phƣơng pháp 4:
LÔGARIT HÓA, MŨ HÓA

Ví dụ 1. Giải các phƣơng trình:

a)
2
3 .2 1
xx

; b)
2
log
32
x
x
.

.

b) ĐK:
0x 
.
Đặt
2
log 2
t
x t x  
ta thu được phương trình mũ theo biến t :

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

Trần Tuấn Anh – Mail:

Sài Gòn, 10/2013 Page 6

3 2 2
tt

(*).
Vế trái của (*) là hàm số đồng biến, vế phải là hàm hằng nên phương trình (*)
nếu có nghiệm thì có nhiều nhất là một nghiệm. Mà
0t 
là một nghiệm của (*)
nên đó là nghiệm duy nhất của (*).
2
log 0 1.xx   


x x x x

Đặt
2
2
xx
t
điều kiện t > 0. Khi đó phương trình tương đương với :
22
2
2
1
2
2
4
2 2 2 1
2 9 4 0
1
2
1
22
2
xx
xx
t
x x x
tt
x
xx
t

t

Khi đó phương trình tương đương với:

2 3 2
2
1
3
2 0 2 3 0 1 3 0
30
t
t t t t t t
t
tt1 2 3 1 0
x
tx
.
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
Ví dụ 3. Giải phƣơng trình:
2
3 2 9 .3 9.2 0
x x x x

Giải: Đặt
3
x
t

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

Trần Tuấn Anh – Mail:

Sài Gòn, 10/2013 Page 8

Ví dụ 4. Giải phƣơng trình:
2
2 2 6 6
xx

Giải: Đặt
2
x
u
, điều kiện u > 0. Khi đó phương trình thành:
2
66uu

Đặt
6,vu
điều kiện
2
66v v u

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
2
22
2
60

u
u u u x
u
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
2
log 3x
và x =
2
21 1
log .
2
Phƣơng pháp 6:
DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 1. Giải phƣơng trình:
73
log log ( 2)xx
.
Giải: ĐK :
0x 
.
Đặt t =
7
log 7
t
xx
. Khi đó phương trình trở thành :

Vậy phương trình có nghiệm x = 49.

Ví dụ 2. Giải phƣơng trình:
1
7
7 6log (6 5) 1
x
x

  
.
Giải: ĐK :
5
6 5 0
6
xx   
.
Đặt
 
7
1 log 6 5yx  
. Khi đó, ta có hệ phương trình
 
 
1
11
11
11
7
7 6 1 1

Xét hàm số
 
1
76
t
f t t


.
 
1
5
' 7 .ln7 6 0,
6
t
f t t

    
nên
 
ft
là hàm số
đồng biến trên
5
;
6





1
'' 7 ln7 0
x
gx


. Suy ra,
 
'gx
là hàm số đồng biến trên
5
;
6
D

 


, do đó phương trình
 
'0gx
có
nhiều nhất một nghiệm. Suy ra, phương trình
 
0gx
nếu có nghiệm thì có nhiều
nhất là hai nghiệm.
Nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

.
Giải: ĐK :
0x 
.
Ta có
2
1 0 1
2 2 2
x
VT

  
và
2 2 0 2VP x    
. Suy ra
VT VP
, dấu bằng
xảy ra khi
0x 
.
Vậy
0x 
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 2. Giải phƣơng trình:
1
1 4 2 2 2
x x x x
   
.
Giải:

xx
x







.
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

Trần Tuấn Anh – Mail:

Sài Gòn, 10/2013 Page 11

Vậy
0x 
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 3. Giải phƣơng trình:
 
 
2
32
log 9 1 log 2 5x x x    
.
Giải:
ĐK :
   


33
log 9 1 log 9 2VT x    
và
 
 
2
2
2 2 2
log 2 5 log 1 4 log 4 2VP x x x

       

. Suy ra
VT VP
, dấu bằng
xảy ra khi
 
2
10
1
10
x
x
x







   
(**). Giả sử (*) đúng với giá trị
0
x
nào đó thì phương trình ẩn t sau có nghiệm t = 4:
0 0 0
1
2
2 4 16 0
x x x
tt

   
.
www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

Trần Tuấn Anh – Mail:

Sài Gòn, 10/2013 Page 12

Biệt thức
   
0 0 0 0
2
1
2 4 4 16 4.16 0
x x x x
      
.
Suy ra

2
1 65
2 ( )
4
x
xx
x x x x
x
n
l






        






02
1 65
log
4
x



. Phƣơng pháp 9:
SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE

Ví dụ 1. Giải phƣơng trình:
5 4 2 7
x x x x
  
(1).
Giải:
Giả sử
0
x
là một nghiệm của (1), hay ta có:

0 0 0 0 0 0 0 0
5 4 2 7 5 2 7 4
x x x x x x x x
      
(*).
Xét hàm số
 
0
0
( ) 3
x
x
f t t t  

  

(do (*)) mà
 
0
0
1
1
00
'( ) 3
x
x
f t x t x t


  

 
0
0
1
1
0
3
x
x
x t t







    


    



0
0
00
1
00
0
00
3
1 0 1
1
x
x
xx
k
xx
k



