Chuyên đề 2:
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở
rộng.
từ đẳng thức (1) ta suy ra:
cabcabcbacba 222)(
2222

Mở rộng:
nnnnn
aaaaaaaaaaa
121
22
1
2
2
2
1
2
21
2 2 ) (


Tổng quát:

n
b
n
a
n
aBbBba 

4.14=25=5
2

suy ra x-y =

5
b) (x+y)
2
=x
2
+y
2
+2xy

suy ra x
2
+y
2
=(x+y)
2
-2xy = 9
2
-2.14 = 53

c) (x+y)
3
= x
3
+y
3

( A + B)
3
= A
3
+ B
3
+ 3AB(A+B)

( A – B)
3
= A
3
- B
3
- 3AB(A-B )
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x + 3y – 5)
2
- 6xy + 26

Giải :
A = x
2
+ 9y
2
+ 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26
= ( x
2
- 10x + 25) + ( 9y

1. Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau.
Chẳng hạn:
(A – B )
2
= A
2
- 2AB + B
2
hoặc ngược lại
2. Bình phương của mọi số đều không âm :
( A – B )
2

0 (dấu “ =” xảy ra

A = B).

Ví dụ 4:
Cho đa thức 2x
2
- 5x +3.Viết đa thức trên dưới dạng một
đa thức của biến y trong đó y =x+ 1.
Giải: thay x bởi y-1, ta được :

1x
2
- 5x +3 = 2( y – 1)
2
- 5( y-1 ) + 3
= 2 ( y

áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a
2
- b
2
nhiều lần, ta được:
A = 2
32
-1. Vậy A < B.
Ví dụ 6:
Rút gọn biểu thức :
A = (a + b + c)
3
+ (a - b – c)
3
-6a(b + c)
2
.
Giải :
A = [a + (b + c)]
3
+ [a – (b + c)]
3
- 6a(b + c )
2

= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)

+146.127 + 73
2
;
b) 9
8
.2
8
- (18
4
- 1)(18
4
+ 1) ;
c) 100
2
- 99
2
+ 98
2
- + 2
2
- 1
2

d) (20
2
+18
2
+ +4
2
+2

2
+ 74.263 + 37
2
; C = 136
2
-92.136 +
46
2
;

a) D = (50
2
+ 48
2
+ +2
2
) – (49
2
+47
2
+ +3
2
+ 1
2
)

Bài 8 :
Cho a
2
+ b

2
+1)+(x
2
-1)
3
;
c) (a+b+c)
3
+((a-b-c)
3
+(b-c-a)
3
+(c-a-b)
3
;
Bài 11 :
Tìm x biết :
6(x+1)
2
-2(x+1)
3
+2(x-1)(x
2
+x+1) = 0
Bài 12 :
Chứng minh các hằng đẳng thức :
(a+b+c)
3
= a
3