áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán
I. Đặt vấn đề
Toán học là môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông đối với học sinh khá
và giỏi môn toán, học toán hay giải toán là yêu cầu thờng nhật trong mọi hoạt động và
suy nghĩ. Vì vậy vấn đề bồi dỡng học sinh có khả năng t duy sáng tạo, luôn vận dụng
tốt các lý thuyết đã học và phát huy hết năng lực của cá nhân là một vấn đề rất đợc coi
trong và cũng chẳng đơn dản, dễ dàng gì.
Để quá trình bồi dỡng học sinh có kết quả tốt hơn, có chất lợng cao ngời thầy
phải nắm chắc chơng trình bồi dỡng vấn đề nào cơ bản trọng tâm, vấn đề nào cần trình
bày kỹ hay cần lớt qua và đặc biệt phải có một kế hoạch cụ thể, thờng xuyên liên tục
bồi dỡng (cho cả thầy và trò). Ngời học sinh giỏi toán trớc hết phải nắm vững kiến
thức cơ bản để dựa vào đó suy luận và phát triển thành kiến thức mới của chính mình.
Là một giáo viên trẻ tôi luôn có ý thức học hỏi và quan tâm đến việc bồi dỡng
học sinh giỏi. Tôi đã nghiên cứu nhiều dạng toán trong quá trình bồi dỡng tôi thấy học
sinh đang còn lúng túng cha tìm ra phơng pháp chung để giải quyết các bài toán theo
từng dạng.
Bởi vậy tôi luôn tự mình học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô giáo đi trớc cũng
nh cố gắng tìm tòi các loại tài liệu mới để tham khảo và rút kinh nghiệm.
Với một bài toán, việc định hớng để tìm ra lời giải là một việc rất quan trọng, vì
vậy khi học sinh giải một bài tập, để có một định hớng rõ ràng cho việc tìm ra lời giải
quả thật không phải là một công việc đơn giản. Khi học sinh định hớng đợc lời giải thì
cũng có nghĩa là sẽ đa ra bài toán phụ thích hợp, có khả năng suy luận dẫn tới lời giải
tốt. Vậy làm thế nào để học sinh có định hớng tốt để tìm ra lời giải cho từng bài toán
là một điều tôi luôn trăn trở, băn khoăn trong quá trình dạy và bồi dỡng học sinh khá
và giỏi toán.
Sau đây tôi đa ra một vài nhận xét, suy nghĩ một vài định hớng giải các bài toán,
chẳng hạn nh việc áp dụng các hàng đẳng thức để giải toán, mong đợc sự góp ý của
các thầy cô để công tác dạy và học toán đợc tốt hơn.
II. Giải quyết vấn đề:
1. Một số tồn tại trong việc giải toán
Học sinh và giáo viên thờng bằng lòng và kết thúc công việc giải một bài toán

2
-ab-bc-ca)
Chứng minh: Ta có: a
3
+b
3
= (a+b)(a
2
-ab+b
2
) = (a+b)
3
-3ab (a +b)
Do đó a
3
+b
3
+c
3
- 3abc

= (a+b)
3
-3ab(a+b) + c
3
-3abc
= (a +b +c)[(a+b)
2
- c (a+b)] + c
2

- c
3
= (a +b +c)
3
- a
3
- (b
3
+ c
3
)
= (b+c) ((a +b +c)
2
+a (a +b +c) + a
2
) - (b + c)(b
2
bc +c
2
)
= (b +c)(a
2
+b
2
+c
2
+2ab +2bc+2ca + a
2
+ ab + ac+a
2

= a
3
+ b
3
+ c
3

a = -b
b = -c
c = -a
áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán
Việc vận dụng hai hằng đẳng thức này trong nhiều trờng hợp thật là hiệu quả và
bất ngờ. Sau đây tôi xin đa ra một vài bài toán minh hoạ.
a) Các bài toán rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
A= (a+b+c)
3
- (a+b-c)
3
- (b+c-a)
3
- (c+a-b)
3
Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ:
x = a + b - c
y = b + c a

x + y + z = a + b + c
z = c + a - b
khi đó: A= (x + y + z)

3
= x
3
+ y
3
+ z
3
= 3(a-b)(b-c)(c-a)
Từ đó ta thấy ngay: (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)
3
chia hết cho 3
Nhận xét: Cũng với phơng pháp trên, chúng ta còn có thể chứng minh đợc các kết quả
tổng quát hơn sau:
1) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = (a - b)(b - c)(c - a)
Chứng minh rằng: (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)
3
chia hết cho 81
2) Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:
(a+b+c)
p
+ (a-b-c)
p

2
)
Giải: Từ giả thiết: x+y+z = 0 suy ra.
x
3
+y
3
+z
3
= 3xyz
áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán
(x
3
+y
3
+z
3
)( x
2
+y
2
+z
2
) = 3xyz (x
2
+y
2
+z
2
)

5
+z
5
- xyz(xy+yz+zx) =3xyz( x
2
+y
2
+z
2
)

x
5
+y
5
+z
5
+xyz (
2
222
zyx ++
) = 3xyz(x
2
+y
2
+z
2
)

2(x

2
= 3abc
2) Biết:





=+
=+
=+
baycx
acybx
cbyax
Chứng minh rằng: a
5
+ b
5
+ c
5
= 3abc
3) Biết: x
n
+y
n
+z
n
= a
n
+b

3
b) Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đại số, trục căn thức bậc 3 ở mẫu số và
tính giá trị của biểu thức.
Bài 4: Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức.
A =
162244
1
33
+

Giải: Ta coi mẫu số của A có dạng a + b+ c, khi đó nhân cả tử và mẫu của A với
(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca) ta có:
A =
16.22.43416)22()44(
23246416256441616
3333333
3333
+
+++
=
3056
460272
3


= 3 abc và abc

0.
Tính giá trị của biểu thức:
áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán
M= (1+
b
a
) (1+
c
b
) (1+
a
c
)
Giải: Từ giả thiết : a
3
+ b
3
+ c
3
= 3 abc Suy ra a + b + c =0
a = b = c
Ta xét 2 trờng hợp.
Trờng hợp 1: Nếu a + b + c =0. Suy ra a + b = -c
b + c = -a
c + a = -b

M =
1....

=++
zyx
nên
xyzzyx
3111
333
=++
Khi đó: P =
333222
z
xyz
x
xyz
y
xyz
z
xy
y
xz
x
yz
++=++
= xyz(
)
111
333
zyx
++
= xyz
3

) (1+
a
c
)
Nhận xét: ở bài toán trên chúng ta đã sử dụng điều kiện xuôi để tính giá trị của biểu
thức. Các bài toán sua đay ta sử dụng điều kiện ngợc để tính giá trị của biểu thức
Bài 7: Biết a
3
+b
3
=3ab - 1. Tính giá trị của biểu thức B=a+b
Giải: Từ a
3
+b
3
=3ab - 1 ta có : a
3
+b
3
+ 1 = 3ab

a + b +1 = 0
a = b = 1
Bài tập đề nghị:.
1) Biết a + b + c = 0.Tính giá trị của biểu thức: A= a
3
+b
3
+c
3

acaccbbcbaab
accacbbcbaab
c) Sử dụng hai hằng đẳng thức đó vào việc giải phơng trình và hệ phơng
trình.
Bài 8: Giải các phơng trình sau: a) x
3
-3x+2=0; b) x
3
+16 =12x.