CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức.
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.

Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác.
CMR: ab + bc + ca

a
2
+b
2
+c
2
< 2.(ab + bc + ca).
Giải:
Ta có:
a
2
+b
2
+c
2
- ab + bc + ca


.0)()()(.
2
1
222
 accbba
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Vậy: ab + bc + ca

Đặt:





nzy
mzx
(m,n,z > 0).
Khi đó (1) trở thành: )).(( nzmzznzm 
 
zn
z
m
nm 






 .1
(2).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
 
2
2
1 .( ) . 1 .( ) .
m m m
n z n z n m n z n m




yx
yx
xy

Ta có:
).1(4
1
4
1
.21 
xy
xyxyyx

Lại có:
 
 
2
2
2
4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2
8. 4.(1 1 ).( ) 4.( ) (1 1 ).( ) 1.
x y x y x y x y x y
 
 
           
 
 

- 9ac.
Giải:
Ta có:x + y + z = 3. (a + b + c)
2
- 9.(ab + bc + ca) = 3.(a
2
+ b
2
+c
2
- ab - bc - ca) =
=


.0)()()(.
2
3
222
 accbba (Do a

b

c

a).
Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương.

Bài 5: Nếu








4488221010
yxyxyxyx 




4444121288221212
yxyxyxyxyxyx 




44448822
yxyxyxyx 


0.
62268822
 yxyxyxyx







2
- ab - bc - ca) < 0.
Bài 8:CMR:
4
1
)12(
1

25
1
9
1
2



n
A với .1,



nn
Giải:
Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được:







1
12
1

4
1
3
1
3
1
2
1
.
2
1
)22).(12(
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1
.
2
1




Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: pq
qp
qp



22
.
Giải:
Có:




.0
.
2
22






qp
qpqpqp
pq
qp
qp


1
1
).1(
11
2





.
Áp dụng cho k = 2,3, ,n ta được:
.
1
2
1
1
1

3
1
2
1
2
1
1
1
1
1


2
).(.2
2
22







yx
yx
yx
yx
yx
yx

Ta có đpcm.

Bài 12:Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn:
.cba


CMR:


.9
2
bccba 

2


(2b + c)
2


9bc.
Ta có đpcm.
Bài 13:
Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn hơn 1.
Giải:
Ta có:
.1
2
2
.
2
2
.
2
2
)2().2.().2.()2().2().2.(
222








Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR:
caca
c
baba
b



.
Giải:
Ta có:
caca
c
baba
b




2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2. 2 2.
a b a b a c a c
a b a b a c a c
a a b a a c a b a c b c
     
         
           


z
y
 (2) và
2
3
2zxz
x
z
 (3).
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có:
).(2
222
333
zyxzx
x
z
yz
z
y
xy
y
x

Suy ra:
.1)()().(2
222222
333
 zyxzxyzxyzyx
x
z