MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
Bài 1 : Cho các số dương x, y, z thoa mãn: 1/x + 1/y + 1/z = 4
Tìm max của: P= 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z)
Với a,b > 0 ta có bđt : 1/(a + b) ≤ 1/4.(1/a + 1/b) (*)
Áp dụng bđt (*) với a = (x + y) > 0 ; b = (x + z) > 0 ta có :
1/(2x + y + z) = 1/ [ (x + y) + (x + z) ] ≤ 1/4.[ 1/(x + y) + 1/(x + z) ]
Lại áp dụng bđt (*) ta có :
. 1/(x + y) ≤ 1/4(1/x + 1/y)
. 1/(x + z) ≤ 1/4(1/x + 1/z)
> 1/(2x + y + z) ≤ 1/16.(2/x + 1/y + 1/z)
Tương tự ta có :
. 1/(x + 2y + z) ≤ 1/16.(1/x + 2/y + 1/z)
. 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(1/x + 1/y + 2/z)
> 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(4/x + 4/y + 4/z)
> P ≤ 1/4.(1/x + 1/y + 1/z) = 1 (do 1/x + 1/y + 1/z = 4)
> đ.p c.m . Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 3/4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
CM (*) , ta có (*) <=> 1/(a + b) ≤ (a + b)/4ab <=> 4ab ≤ (a + b)²
<=> 4ab ≤ a² + 2ab + b² <=> 0 ≤ a² - 2ab + b²
<=> 0 ≤ (a - b)² > luôn đúng > (*) được CM
Dấu " = " xảy ra <=> a = b
Cach kh¸c: giả sử u và v là hai số dương ta có: (u+v)(1/u + 1/v) >=4
<=> 4/(u+v) <= 1/u + 1/v
có 1/(2x+y+z) = 1/[(x+y)+(x+z)] <=(1/4)*(1/(x+y) + 1/(x+z))
<=(1/16)*(2/x+1/y+1/z)
làm tương tự cho hai biểu thức còn lại và cộng các vế của 3 BĐT ta được
VT<=(1/16)*(4/x + 4/y + 4/z) = 1
Bài 2:Cho tam giác ABC cố định vuông tại A, đường cao AD. Vẽ đường tròn tâm (O1) ngoại tiếp
tam giác ABD và đường tròn (O2) ngoại tiếp tam giác ACD. Qua A kẻ đường thẳng d bất kì không
cắt đoạn thẳng BC. Gọi giao điểm của d với (O1) là E, với (O2) là F. Gọi giao điểm của DE với AB
là M, giao điểm của DF với AC là N Hãy xác định vị trí của EF để chu vi của tứ giác BEFC đạt

Trường Đại học ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội Năm học 2003- 2004 )
 Hướng dẫn:
1
1/ Tìm tập xác định của hàm số:
)(xfy =
.
0)2).(1(
2
≥−+ xx
và
043
2
≠−+ xx
Vậy TXĐ :
2≥x
;
4≠x
2/ Chứng minh
3≤y
. Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu ?
( )
( )
43
52.162
)(
2
22
−+
+−++
==

xx
xx
Vì với
2≥x
;
4≠x
thì
0
)4).(1(
)231(
22
≥
+−
−−+
xx
xx
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
2.31
2
−=+ xx

⇔
1891
2
−=+ xx
( Bình phương hai vế không âm)

⇔
0199
2

1
22
=
−+
≤
xx
. Vậy
2
1
≤y
suy ra :
2
1
2
1
≤≤− y
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
22
1 xx −=
( hay
2
2
±=x
)
Min y =
2
1
−
khi và chỉ khi
2

+
=
1x
11x
2
2
+
++
=
1x
1
1x
2
2
+
++
Có :
1x
1
1x
2
2
+
++
≥
1x
1
1x2
2
2

ab
b
ca
a
bc
A ++=

 Hướng dẫn:
Ta có
ab
abc
b
ca
a
bc
2
2
≥+

⇔
c
b
ca
a
bc
2
≥+
2

ac

c
ab
b
ca
2
≥+
Suy ra :
).(. cba
c
ab
b
ca
a
bc
++≥






++
22

cba
c
ab
b
ca
a

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Bài 7: Cho
0
≥
cba ;;
và thoả mãn: a.b.c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

( ).( ).( )P a b b c c a
= + + +

 Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

abba .2
≥+

bccb .2≥+

caac .2≥+
.
Suy ra :
cabcabaccbba )).().(( 222
≥+++
.

222
8 cbaaccbba ≥+++ )).().((
.

8

abc≥
27
1
. (1)
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 accbbaaccbba +++≥+++++
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
3
32 accbbacba +++≥++
⇒
( ) ( ) ( )
3
32 accbba
+++≥

⇒
( ) ( ) ( )
3
3
2
accbba +++≥
⇒
)).().(( accbba
+++≥
27
8
(2)

= + + + +
 ÷
 
 Hướng dẫn:
Vì a ; b; c là ba số dương. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
3 abccba ≥++
(1)
Vì
a
1
;
b
1
;
c
1
là ba số dơng. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
1
3
111
abccba
≥++
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :

3
3 abccba ≥++
Suy ra :

   
 Hướng dẫn:
Ta có:






+
a
1
1
=






++
+
a
cba
1
=
a
c
a
b

=
b
c
b
a
+++
11
≥
4
2
4
b
ac






+
c
1
1
=









+






+
cba
1
1
1
1
1
1
≥
4
222
222
64
cba
cba







3
1
===
cba
.
Bài 11: Cho x ; y là hai số dương thoả mãn điều kiện
2
22
=+ yx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
yx
11
+
?
 Hướng dẫn:
Ta có :
3
222
11
3
112
x
xx
x
xx
x
x
⋅⋅≥++=+
Suy ra :

2
22
≥








+++
yx
yx .
Suy ra :
2
11
≥+
yx

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
2
11
x
xx
==
;
2
11
y

−≥
1
⇒
323
331 aaab
−+−≥
⇒
233
331 aaba
+−≥+

⇒
233
331 aaba
+−≥+

⇒
4
1
4
1
3
233
+







b c a
   
= + + +
 ÷ ÷ ÷
   
 Hướng dẫn:
Vì a; b; c là ba số dương. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
4

b
a
b
a
21 ≥+
.
c
b
c
b
.21 ≥+
.
a
c
a
c
.21 ≥+
Suy ra :

a
c


+abc
abc
a
c
c
b
b
a
8111 ≥






+






+




b
b
a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
1
===
cba
Vậy với
1
===
cba
thì
1 1 1
a b c
P
b c a
   
= + + +
 ÷ ÷ ÷
   
giá trị nhỏ nhất bằng 8.
Bài 14:
Cho biểu thức








ab
a
ab
aab
ab
a
M :
a) Rút gọn biểu thức M ?
b) Cho a+b=1 hãy tính giá trị nhỏ nhất của M ?
 Hướng dẫn:
a) Rút gọn biểu thức M
TXĐ :
0≥a
0≥b

1≠ab
.








+
−
+
−
+

M :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
11
11111
11
11111
−+
−++++−−+
−+
−+−+++−+
=
abab
abababaababa
abab
abababaababa
M

:

( ) ( )
1
12
1
12
−
+−
−

≥
a

0
≥
b
. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
ab
ba
≥
+
2
suy ra :
2
1
≤ab
hay
2
1
−≥−
ab
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :

2
1
==
ba
. Vậy với
2
1